Faktorisasi Bilangan Bulat [PDF]

Citation preview

FAKTORISASI BILANGAN BULAT



DISUSUN OLEH : KELOMPOK 2 1. ANDI SALFIN MENDROFA 2. FITRI WANDANI HULU 3. NITOLO GEA 4.SESILIA SETIANI GULO 5. WINISTINA GIAWA 6. YUDIKA ZEBUA



KELAS/SEMESTER MATA KULIAH PRODI FAKULTAS



: A/IV : TEORI BILANGAN : MATEMATIKA : FPMIPA



DOSEN PENGAMPU, NETTI KARIANI MENDROFA, S.Pd., M.Pd



INSTITUT KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (IKIP) GUNUNGSITOLI FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2020 1



KATA PENGANTAR



Puji Syukur kami panjatkann kepada Tuhan Yang Maha Esa, kami panjatkan puji syukur atas kehadirat-Nya, yang telah melimpahkan rahmat -Nya kepada kami, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah Faktorisasi bilangan bulat pada mata kuliah teori bilangan. Namun tidak lepas dari semua itu, kami menyadari sepenuhnya bahwa ada kekurangan baik dari segi penyusunan bahasa, penggunaan tanda baca maupun dari segi yang lainnya. Oleh karena itu dengan lapang dada dan tangan terbuka kami mengaharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun sehingga dapat memperbaiki laporan kami ini. Akhir kata, kami mengharapkan semoga dari makalah kami ini dapat diambil hikmah dan manfaatnya sehingga dapat memberikan inpirasi terhadap pembaca.



Gunungsitoli



Penulis



2



, April 2020



DAFTAR ISI



KATA PEGANTAR



.............................................................................................



ii



DAFTAR ISI



.............................................................................................



iii



BAB 1



PENDAHULUAN



A. Latar Belakang ............................................................................................. B. Rumusan Masalah......................................................................................... C. Tujuan ............................................................................................. BAB II



PEMBAHASAN



Faktorisasi Bilangan Bulat ........................................................................................ BAB III A. Kesimpulan B. Saran



1 1 1



2



PENUTUP ............................................................................................. .............................................................................................



7 7



DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................



8



3



BAB I PENDAHULUAN



A. Latar Belakang Kegiatan pendidikan selalu berlangsung di dalam suatu lingkungan. Dalam konteks pendidikan, lingkungan dapat diartikan sebagai segala sesuatu yang berada diluar diri anak. Lingkungan dapat berupa hal-hal yang nyata, seperti tumbuhan,orang, keadaan, politik, kepercayaan dan upaya lain yang dilakukan manusia, termasuk didalamnya pendidikan. Pada makalah kami kali ini kami akan membahas tentang Faktorisasi Bilangan Bulat, bagaiman itu yang dimaksud dengan faktorisasi bilangan bulat serta apa saja yg akan dibahas didalamnya akan kami bahas pada makalah kami ini.



B. Rumusan Masalah a) Apa itu faktorisasi bilangan Bulat? b) Bagaimana itu faktorisai bilangan bulat!



C. Tujuan Untuk mengetahui apa faktorisasi bilangan bulat dan apa saja yang ada didalam faktorisasi bilangan bulat.



4



BAB II PEMBAHASAN Faktorisasi Tunggal Pada materi sebelumnya telah dibahas bahwa bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 terbagi oleh suatu bilangan prima, sehingga setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 adalah suatu bilangan prima atau bilangan itu dapat dinyatakan sebagai perkalian dari bilangan bilangan-bilangan prima tertentu. Pada makalah ini kita akan mempelajari bahwa suatu pemfaktoran suatu bilangan bulat positif atas faktor-faktor prima adalah tunggal, sehingga kita mengenalnya sebagai faktorisasi tunggal. Tetapi sebelumnya membicarakan faktorisasi tunggal, kita akan mempelajari beberapa teorema sebagai persiapan untuk mempelajari faktorisasi tunggal. Teorema 4.5: Jika p suatu bilangan prima dan p│ab. Maka p│a atau p│b Bukti : ➢ Karena p suatu bilangan prima, maka untuk sembarang bilangan bulat a berlaku (a,p) = 1 atau (a,p) = p, jika (a,p) = 1 dan p│ab, , kita pernah membuktikan bahwa p│b. ➢ Dan jiika (a,p) = p maka p│a ➢ Jadi terbukti bahwa p│a atau p│b Contoh : Misalkan a = 10, b = 20 P merupakan bilangan prima contoh 2 1. Jika n suatu bilangan prima, maka n adalah faktornya sendiri, jika n seuatu bilangan komposit dan diandaikan bahwa pemfaktoran n atas faktor-faktor prima adalah tidak tunggal, misalnya : n = p1 p2.... pt dan n = q1q2 ... qr dengan pi dan qj masing-masing adalah bilangan prima untuk i = 1,2,3 ... r serta p 1 dan q1. ➢ Karen n = p1p2 ..... pt maka p1│n sehingga p1│ p1 p2 p3.... qr dan selanjutnya menurut perluasan teorema 4.5 , maka p 1 – qk untuk suatu k dengan 1 dan mengingat q 1 ➢ Karena n = q1q2 ... qr maka q1│n sehingga q1│ p1p2 ..... pt. Dan menurut perluasan teorema 4.5 , maka q 1 = pm. Untuk suatu m dengan 1 dan mengingat p 1



6



➢ Karena pt ≤ qt dan qt ≤ p1 maka pt = qt sehingga dari pemisalan n diatas kita memperoleh bahwa p 2 p3.... pt = q2 q3 ... qr. Jika proses seperti diatas diteruskan maka kita akan memperoleh bahwa : P2 = q2 sehingga p3 p4.... pt = q3q4..... qt P3 = q3 sehingga p4 p5.... pt = q4q5..... qt dan seterusnya. ➢ Apabila t = r maka proses tersebut akan berakhir pada p t = qt dan teorema terbukti. Tetapi apabila t < r maka akan diperoleh bahwa 1 = q t+1 qt+2 qt+3.... qt. ➢ Hal ini mustahil, karena q t+1 qt+2 qt+3 .... qt adalah bilangan-bilangan prima, maka haruslah t = r, sehingga: Pt = qt, p2 = q2, p3 = q3 .... pt = qt Ini berarti bahwa bilangan bulat n positif tersebut hanya dapat dinyatakan sebagai hasil kali faktor-faktor prima secara tunggal. Pembuktian yang lebih singkat dari teorema faktorisasi tunggal tersebut bisa menggunakan induksi matematika. Coba lakukan pembuktian dengan induksi matematik ini dengan memperhatika petunjuk berikut : ➢ Apakh teorema benar untuk n = 2? ➢ Sebagai hipotesis misalkan teorema benar untuk suatu bilangan bulat positif n ≤ k dan harus ditunjukkan bahwa teorema benar untuk n = k + 1 ➢ Misalkan k + 1 = p 1 p2.... pt = q1q2q3 ... qr dengan pi dan qj masing-masing adalah bilangan prima .... dan seterusnya seperti bagian pembuktian diatas, sehingga diperoleh pt = qt dan p2 ... pt = q2 q3 ... qr. Bilangan ini lebih kecil atau sama dengan k, mengingat hipostesis, maka teorema benar untuk n = k + 1. Dengan demikian teorem tersebut terbukti.



Kita mengetahui bahwa banyak bilangan asli adalah tak berhingga dan setiap bilangan bulat positif dapat difaktorkan atas faktor-faktor prima. Apakah banyaknya bilangan prima itu tak berhingga pula? Euclides membuktikan dengan bukti tak langsung (bukti dengan kotradiksi) bahwa banyaknya bilangan prima adalah tak berhingga. ➢ Misalkan pt = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7,..... adalah urutan bilangan-bilangan prima terbesar, misalkan pn sekarang dibentuk oleh bilangan bulat positif : N = p1 p2 ... pn+1 ➢ Karena N > 1, menurut teorema 4.1 maka N dapat dibagi oleh suatu bilangan prima, sehingga N dapat dibagi oleh sekurang- kurangnya suatu bilangan prima dari P1, p2, p3 ...... pn ➢ Misalkan bilangan prima p k dengan 1≤ k ≤ n yang membagi N, yaitu p k│N N = p1 p2 p3 .... pn + 1 dengan pk │ p1 p2 p3 .... pn maka pk│1 ➢ Hal ini tidak mungkin, karena pk adalah suatu prima. Oleh karena itu pengandaian bahwa adalah bilangan prima terbesar adalah tidak benar, sehingga pengandaian tersebut harus diingkar, dan diperoleh bahwa bahwa tak ada bilangan prima terbesar. 7



Atau dengan kata lain bahwa banyaknya bilangan prima adalah tak berhingga. Hal ini terkenal sebagai Teorema Euclides yang dinyatakan berikut ini.



Teorema 4.7 (teorema Euclides) Banyaknya bilangan prima adalah tak berhingga Pada pembuktian teorema Euclides tersebut yang menarik adalah pembentukan bulat positif N sebagai hasil kali semua bilangan prima ditambah 1. Apakh N tersebut suatu bilangan prima ? Bukti : ➢ Misalkan kita memulai untuk bilangan prima pertama yaitu 2, maka kita memperoleh: N1 = 2 + 1= 3 N2 = 2.3 + 1 = 7 N3 = 2.3.5 + 1 = 31 N4 = 2.3.5.7 + 1 = 211 N5 = 2.3.5.7.11 + 1 = 2311 Coba tunjukkan bahwa N1, N2, N3 , N4 , dan N5 tersebut masing-masing adalah bilangan prima. Selanjutnya tentukan N5, N7 dan N8. Tunjukkan bahwa bilangan-bilangan ini bukan bilangan prima! N6 = 59.509 N7 = 19.97.277 N8 = 347.27953 Suatu pernyataan yang jawabannya belum diketahui, apakah ada yang tak berhingga k sedemikian hingga N k suatu bilangan prima pula. Demikian pula, apakah ada tak berhingga bilangan komposit N k? ➢ Perhatikan barisan bilangan prima 2. 3, 5, 7,.... p n. Pn adalah bilangan prima ke – n. Sekarang kita ingin menentuka suatu batas atas dari barisan bilangan prima p n tersebut. Pada pembuktian teorema Euclides diatas dapat diambil kesimpulan bahwa : Pn+1 ≤ P1, p2, p3 ...... pn + 1 < 𝑝𝑛𝑛 + 1 Sebagai contoh, jika n = 3 maka ketidaksamaan itu menjadi 7 = p4 < 𝑝33 + 1 = 52 + 1 = 126 Ketidaksamaan ini menunjukkan bahwa bilangan prima ke-4 kurang dari 126. 8



Teorema 4.8 Dalam suatu bilangan prima, jika p n meyatakan bilangan prima ke-n maka: Pn ≤ 22



𝑛−1



Bukti : Pembuktian menggunakan induksi matematika pada n 0



➢ Untuk n = 1 diperoleh p t ≤ 22 yaitu pt ≤ 2. Hal ini memang benar sebab bilangan prima pertama adalah 2. ➢ Selanjutnya sebagai hipotesis, teorema diasumsikan benar untuk n = k, yaitu: Pk ≤ 22



𝑘=1



.



➢ Harus dibuktikan bahwa teorema benar untuk n = k + 1, yaitu p k+1 ≤ 22



𝑘



Perhatikan bahwa : pk+1 ≤ (P1, p2, p3 ...... pk ) + 1 2



3



pk+1 ≤ (2(22 )( 22 )( 22 )....... (22 pk+1 ≤ (22



1+2+23 +23 +⋯ 2𝑘=1



𝑘=1



)) + 1



)+1



➢ Mudah ditunjukkan bahwa 1 + 2 + 22 + 23 + ...... 2𝑘=1 = 2k – 1 yaitu suatu deret geometri dengan rasio 2 sehingga diperoleh : pk+1 ≤ (2𝑘=1 + 1) ➢



Karena 22



𝑘 −1



22−1



pk+1 ≤ 2



> 1 untuk setiap bilangan asli k, maka ketidaksamaan itu menjadi



+ 22



𝑘 −1



𝑘



pk+1 ≤ 22 ➢ Karena teorema benar untuk n = 1 dan benar untuk n = k dan telah ditunjukkan benar untuk n = k + 1, maka teorema benar untuk setiap bilangan asli n. 𝑛



Memperhatikan teorema ini, maka bilangan prima ke (n + 1 ) , yaitu pn ≤ 22 sehingga 𝑛 banyak bilangan prima yang lebih kecil dari 22 tidak kurang dari (n + 1) buah. Jadi, untuk n ≥ 1, maka ada paling sedikit n + 1 buah bilangan prima yang lebih kecil dari 𝑛 22 .



9



BAB III PENUTUP



A. Kesimpulan 1. Jika p suatu bilangan prima dan p│ab. Maka p│a atau p│b 2. Pemfaktoran suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 atas faktor-faktor prima adalah tunggal, kecuali urutan dari faktor-faktornya. 3. Banyaknya bilangan prima adalah tak berhingga atau tidak ada bilangan prima yang terbesar. 4. Dalam suatu bilangan prima, jika p n meyatakan bilangan prima ke-n maka: 𝑛−1



Pn ≤ 22 5. Untuk, n ≥ 1 maka ada paling sedikit n + 1 buah bilangan prima yang lebih kecil 𝑛 dari 22 .



B. Saran Menyadari bahwa makalah kami ini masih jauh dari kata sempurna, kedepannya kami akan lebih fokus dan details dalam menjelaskan tentang makalah di atas dengan sumber – sumber yang lebih banyak yang tentunya dapat di pertanggung jawabkan. Untuk saran bisa berisi kritik atau saran terhadap penulisan juga bisa untuk tanggapan terhadap kesimpulan dari bahasan makalah yang telah di jelaskan.



10



DAFTAR PUSTAKA Sukirman. 2006. Pengantar Teori Bilangan. Yogyakarta : Hangar Kreator



11