Fisika Dasar - BAB 4 [PDF]

Citation preview

BAB 4: KINEMATIKA II: GERAK BENDA TITIK DALAM 1-DIMENSI DAN 2-DIMENSI Pada prinsipnya semua persoalan kinematika dapat ditangani dengan pembahasan umum dalam Bab 3, namun ada baiknya kita melihat lika-liku beberapa gerak sederhana yang sering dijumpai. Yang pertama akan kita bahas adalah dalam 1 dimensi, atau gerak lurus, tanpa dan dengan percepatan. Salah satu contoh populer untuk gerak lurus adalah gerak jatuh bebas. Kemudian kita perluas ke dalam gerak 2 dimensi. Contoh yang banyak dipakai dalam hal ini adalah gerak peluru dan gerak melingkar. 4.1 Gerak Lurus Beraturan Gerak lurus beraturan adalah gerak lurus tanpa percepatan. Bila kita pilih sumbu x berimpit dengan lintasan benda, hanya ada satu komponen posisi dan satu komponen kecepatan yang muncul, yaitu komponen x.  vd



 vc



d



c



 va



 vb



a



b



0



x



Gambar 4.1 Gerak lurus sepanjang sumbu x



Dalam Gambar 4.1. diperlihatkan empat buah benda yang bergerak sepanjang sumbu x,



 r  x a ˆi dan v a  v a ˆi , untuk letaknya dan kecepatannya. Posisi dan kecepatan benda A adalah a  rb  x b ˆi



benda B,



 



 v c  v c  ˆi   v c ˆi



dan



 



 v b  v b  ˆi   v b ˆi



, dan untuk benda D,



, untuk benda C,



 



 r d  x d  ˆi   x d ˆi



dan



 



dan



 



. Kita



 rc  x c  ˆi   x c ˆi



 v d  v d  ˆi   v d ˆi



lihat bahwa vektor satuan yang muncul hanyalah vektor ˆi , karena itu tidak ada masalah bila vektor ini tidak kita tuliskan, dengan pengertian bahwa vektor ini tersirat dalam besaran vektor yang dipakai. Sebagai contoh, bila dituliskan xb = 3 m dan vb = -5 m/s, yang dimaksud adalah



 



 v  5ˆi  5  ˆi dan b



 rb  3ˆi m



m/s, dan untuk xc = -4 m dan vc = 2 m/s, yang dimaksud adalah



 



  rc  4ˆi  4  ˆi m dan v c  2ˆi m/s. Jadi kita lihat bahwa x positif menunjukkan bahwa posisi



28



benda berada di sebelah kanan titik acuan, sedangkan x negatif di sebelah kiri. Sedangkan v positif menunjukkan bahwa benda sedang bergerak ke kanan dan v negatif benda bergerak ke kiri. Untuk gerak lurus beraturan, percepatan sama dengan nol, sehingga rumus-rumus (3.1) untuk gerak lurus beraturan menjadi a=0 v = v0 = tetap x = v0t + xo



(4.1)



dengan v0 dan x0 berturut turut adalah kecepatan dan posisi benda pada saat t = 0. Bila kita buat grafik ketiga besaran di atas terhadap waktu, akan kita peroleh grafik yang khas bagi gerak lurus beraturan, Gambar 4.2. Perhatikan bahwa kemiringan grafik posisi yang konstan berkaitan dengan kecepatan yang tetap dari partikel. Demikian juga grafik kecepatan yang horizontal (kemiringan = 0) berkaitan dengan percepatan yang sama dengan nol. Gambar 4.2 Grafik percepatan, kecepatan dan posisi gerak lurus beraturan. Grafik b dan



ax



vx



x



vx



x



vo > 0 0



)α tan α = vo > 0 0



(a)



t



0



(b)



t



0



(c)



t



vo < 0 (d)



tan α = vo < 0 α



t 0



(e)



t



c adalah untuk kecepatan positif, sedangkan grafik d dan e untuk kecepatan negatif. Kesimpulan apa yang dapat anda petik dari sini ?



4.2 Gerak Lurus Berubah Beraturan Di sini benda masih bergerak lurus, artinya vektor satuan yang muncul masih hanya satu macam, karena itu dapat kita hilangkan dalam penulisan. Penyajian tanda (+) dan (-) sama seperti dalam gerak lurus beraturan. Kecepatan benda tidak lagi tetap, tetapi berubah secara beraturan, dengan kata lain percepatan benda tetap. Hubungan (3.10) untuk gerak lurus berubah beraturan menjadi ax = a0 = tetap vx = a0t + v0 x=



1



2



a0t2 + v0t + x0



(4.2)



Dari persamaan-persamaan di atas dapat diperoleh hubungan berikut (buktinya ditinggalkan untuk latihan) : x – x0 =



1 2



(v0 + vx)t



29



(f)



v 2x  v 02  2a 0  x  x 0 



(4.3) x Dalam sebuah hubungan di atas , a 0, v0 dan x0 adalah tetapan yang menyatakan keadaan awal gerak partikel ( pada t = 0 s).



(e)



(d)



Grafik yang khas untuk gerak lurus berubah beraturan diperlihatkan dalam gambar 4.3. 0



t2 beberapa t3 t diperlihatkant1 juga titik pada saat yang bersesuaian. Perhatikan bahwa hubungan



percepatan terhadap kecepatan di sini serupa dengan hubungan kecepatan terhadap posisi dalam gerak lurus beraturan.



Gambar 4.3 Grafik untuk gerak lurus berubah beraturan. Pasangan grafik a, b, c dan pasangan d, e, f hanya berbeda dalam hal keadaan awalnya saja (a 0, v0, x0).



Pada Gambar 4.3, tampak bahwa pada titik ekstrim posisi (maksimum dan minimum), kecepatannya sam dengan nol, yang dicapai oleh benda pada saat t 2 = -v0/a0. Tampak pula bahwa gerak benda simetrik terhadap harga ekstrim ini, artinya posisi dan laju pada selang t sebelum dan sesudah t2 sama besar, hanya arah kecepatannya yang berlawanan. Salah satu contoh gerak lurus berubah beraturan adalah gerak jatuh bebas, yaitu gerak lurus berubah beraturan dengan percepatan yang ditimbulkan oleh tarikan bumi. Percepatan ini disebut  g percepatan gravitasi , besarnya sekitar 9,8 ms-2 dan berarah ke “bawah” (yaitu ke pusat bumi). Sebetulnya besar percepatan ini bergantung kepada jarak benda dari pusat bumi, dan juga bergantung kepada lintang tempat pengukuran, tetapi untuk gerak dekat permukaan bumi praktis dapat dianggap konstan. Untuk memudahkan perhitungan, seringkali dalam pemecahan soal-soal dianggap



g



10 ms-2.



Untuk gerak ini, rumus (4.2) dan (4.3) tetap berlaku dengan menggantikan a dengan g. Karena kebiasaan kita mengambil orientasi vertikal sebagai sumbu y dengan arah positif ke atas, maka persamaan untuk gerak jatuh bebas dapat dituliskan sebagai



30



ay = -g vy = -gt + v0 1 y = - 2 gt2 + v0t + y0



dengan



(4.4)



 g g 



10 ms-2. Disini pun berlaku 1 y – y0 = 2 (v0 + vy)t



v 2y  v 02  2g y  y 0 



(4.5)



Contoh 4.1 : Sebuah balon udara sedang bergerak ke atas dengan laju tetap 2 ms 1



. Karena ada gangguan teknis, maka pada ketinggian 72 m harus



dilepaskan beban keluar balon. Tentukanlah : (a) lamanya waktu untuk beban sampai di tanah, dihitung sejak beban dilepaskan, (b)



vo = 2 ms-1 yo = 40 m



kecepatan beban tepat pada saat menyentuh tanah dan (c) ketinggian maksimum yang dicapai oleh beban. Gambar 4.4



Jawab :



Karena semula beban pada waktu dilepaskan sama dengan balon, maka kecepatan beban pada waktu dilepaskan sama dengan kecepatan balon, v0 = 2 ms-1. Persamaan gerak beban adalah 1 y = - 2 gt2 + v0t + y0 = -5t2 + 2t + 72 vy = -gt + v0 = -10t + 2



a. Beban tiba di tanah, artinya y = 0 0 = -5t2 + 2t + 40 2



t=



 2  2  4  5 72  2  5







 2  38  3,6  10 s atau 4 s



t1 = -3,6 s ditolak karena t harus positif (dihitung setelah beban dilepaskan). Jadi yang berlaku adalah t2 = 4 s. b. Kecepatan beban pada saat menyentuh tanah, yaitu kecepatan beban pada saat t = 4 s, vy = -10(4) + 2 = -38 m/s. Tanda negatif artinya beban sedang bergerak ke bawah. c. Ketinggian maksimum beban dicapai ketika vy = 0, yaitu pada vy = -10t + 2 = 0  t = 0,2 s



31



t t x



Pada saat ini ketinggian beban adalah y



a =v



t



-5(-0,2)2 = 2(0,2) + 72 = 72,2 m Titik balik



4.3 Pembahasan Gerak Lurus Secara Grafik Dalam matematika turunan suatu fungsi diartikan sebagai kemiringan garis singgung grafik fungsi tersebut. Bila grafik fungsi itu sedang naik, maka turunannya positif, bila sedang turun, turunannya negatif dan bila sedang di titik ekstrim(maksimum dan minimum), turunannya sama dengan nol. Hubungan percepatan, kecepatan dan posisi dalam gerak lurus juga diberikan oleh turunan sebagai berikut : Titik ekstrimdv



ax 



vx 



x



dt



dan



dx dt



Jadi dapat juga diartikan pula bahwa kecepatan adalah kemiringan garis singgung grafik (bukan lintasan) posisi terhadap waktu, dan percepatan adalah kemiringan garis singgung grafik kecepatan terhadap waktu.



Gambar 4.5 Hubungan turunan antara posisi, kecepatan dan percepatan. Perhatikan bahwa titik ekstrim menghasilkan harga nol bagi turunannya dan titik balik kelengkungan menghasilkan harga ekstrim bagi turunannya.



Sebaliknya, dalam matematik integrasi diartikan sebagai luas daerah bawah grafik, jadi hubungan integrasi antara percepatan, kecepatan dan posisi dalam gerak lurus dapat juga dibaca dari luas daerah di bawah grafik yang sesuai t



v  t   v 0   a   d t0



,



t



x  t   x 0   v    d



. Perhatikan bahwa luas daerah berhubungan dengan selisih harga kecepatan atau selisih posisi t0



(perpindahan), bukan dengan harga kecepatan atau posisinya secara langsung.



32



a v(t1) – v(t0)



t0



v



t1 t x(t1) – x(t0) I



t0



t1



I



t



Gambar 4.6 Hubungan percepatan, kecepatan dan posisi sebagai luas daerah di bawah grafik.



Bila grafik berada di bawah sumbu waktu, maka luas dianggap berharga negatif. Untuk perpindahan, luas negatif berarti perpindahan ke kiri, sedangkan luas positif berarti perpindahan ke kanan. Jadi dalam Gambar 4.6 di atas, perpindahan total dari t 0 ke t1 adalah luas daerah I dikurangi dengan luas daerah II. Bila yang kita inginkan adalah panjang lintasan yang ditempuh, maka lintasan ke kanan dan ke kiri sama-sama dihitung positif. Jadi untuk Gambar 4.6 di atas, panjang lintasan yang ditempuh dari t0 ke t1adalah luas daerah I ditambah dengan luas daerah II. Istilah lain yang sering menimbulkan kerancuan adalah istilah jarak yang ditempuh. Ada yang mengartikan jarak sebagai perpindahan (jadi dapat berharga negatif), ada pula yang mengartikan sebagai panjang lintasan yang ditempuh (jadi tidak pernah berharga negatif). Untuk keseragaman, disarankan agar pemakaian istilah ini dihindari; gunakanlah perpindahan atau panjang lintasan agar tidak menimbulkan kesangsian dalam penafsirannya. Contoh 4.2 : Grafik kecepatan terhadap waktu diberikan seperti pada gambar di bawah ini : v(m/s) 10 α 1



2



3



4



5



6



7



8



-10



a. Tentukan percepatan benda pada t = 0, t = 1 s, t = 3 s, t = 5 s. b. Gambarkanlah sketsa grafik percepatan terhadap waktu



33



t(s)



c. Tentukan percepatan rata-rata antara t = 0 dan t = 1 s; antara t = 0 dan t = 3 s; antara t = 0 dan t = 7 s; dan antara selang t = 3 s dan t = 7 s. Jawab : a. Kemiringan grafik pada t = 0 adalah tan  



 10



10 1



Jadi a(0) = -10 m/s2 Pada t = 1 s, tan α = -10



jadi a(1) = -10 m/s2



Pada t = 3 s, tan α = 0



jadi a(3) = 0



10 Pada t = 5 s, tan   1.5  6,67



jadi a(5) = 6,67 m/s2



b. 20 a(m/s2) 10 1



2



4



3



6



5



7



t(s)



8



-10



c. Untuk selang 0 ≤ t ≤ 1 : Untuk selang 0 ≤ t ≤ 3 : Untuk selang 0 ≤ t ≤ 7 : Untuk selang 3 ≤ t ≤ 7 :



a 



v  1  v  0  1 0



 0 110  10



a 



v  3  v  0  3 0







a 



v  7 v 0 7 0



 10710  0



a 



v  7   v  3 73



 10 410  5



10 10 3



m/s2



 6,67



m/s2



m/s2 m/s2



Contoh 4.3 : Untuk grafik yang sama seperti pada contoh di atas, a. Tentukan perpindahan benda dalam selang 0 ≤ t ≤ 3, selang 0 ≤ t ≤ 2, selang 0 ≤ t ≤ 3, dan selang 0 ≤ t ≤ 8. b. Bila pada t = 0 benbda berada pada x = 1 m, x(1), x(2), x(3) dan x(8). c. Tentukanlah panjang lintasan yang ditempuh untuk masing-masing selang dalam pertanyaan a). Jawab :



v(m/s) 10 I 1



II 2



3 III



Luas daerah I -10 : AI = (10)(1)/2 = 5 Luas daerah II



VI



V 4



6



5



7



8



t(s)



; IVLuas daerah IV : AIV = -(10)(5)/2 = -2,5



: AII = -(10)(1)/2 = -5 ;



Luas daerah V : AV = (10)(1,5)/2 = 7,5



34



Luas daerah III



: AIII = -(10)(2) = -20



;



Luas daerah VI : AVI = (10)(2) = 20



a. Untuk selang 0 ≤ t ≤ 1 : perpindahan = A1 = 5 m ke kanan Untuk selang 0 ≤ t ≤ 2 : perpindahan = A1 + AII = 5 – 5 = 0 m Untuk selang 0 ≤ t ≤ 3 : perpindahan = A1 + AII +



1



2



AIII = -10 m ke kiri



Untuk selang 0 ≤ t ≤ 8 : perpindahan = A1 + AII + AIII + Arv + Av + AVI = +5 m ke kanan b. Bila x(0) = 1 m : x(1) – x(0) = AI = 5







x(1) = 6 m



x(2) – x(0) = AI + AII = 0







x(2) = 1 m







x(3) = -9 m



1



x(3) – x(0) = AI + AII +



2



AIII = -10



x(8) –x(0) = AI + AII + AIII + AIV + AV = 5 



x(8) = 6 m



c. Panjang lintasan yang ditempuh : 0 ≤ t ≤ 1 : s = AI = 5 m 0 ≤ t ≤ 2 : s = AI +



A II



0 ≤ t ≤ 3 : s = AI +



A II 



0≤t≤8:s=



= 5 + 5 = 10 m 1



2



A III  20



m



A I  A II  A III  A IV  A V  A VI  60



m



4.4 Gerak Peluru Gerak peluru adalah gerak dalam dua dimensi, yaitu gerak dalam bidang, bukan gerak lurus (Gambar 4.7). y



\



 v0



v0y )α



y0



lintasan



v0x



vx(t)



 r (t)



vy(t)



 v( t ) x



x0



Gambar 4.7 Besaran-besaran dalam gerak peluru



 ˆ ˆ Bila posisi benda pada setiap saat dinyatakan r  t   x  t  i  y t  j , maka gerak peluru ditandai oleh



gerak lurus beraturan untuk komponen x dan gerak lurus berubah beraturan (gerak jatuh bebas) untuk komponen y. Persamaan gerak untuk masing-masing komponen dirangkumkan dalam Tabel 4.1



35



Tabel 4.1 Persamaan gerak peluru



Komponen x (g.l.b.)



Komponen y (g.l.b.b.)



Ax = 0 v x  v 0 x  v 0 cos 



ay = -g v y  v 0 y  gt  v 0 sin   gt



x  v 0x t  x 0



y   12 gt 2  v 0 y t  y 0



 v 0 cos t  x 0



  12 gt 2  v 0 sin t  y 0



Besar dan arah kecepatan benda setiap saat diberikan oleh



v  v 2x  v 2y  v 20  2g y  y 0  tan  



vy vx



2



 y  y0   tan  x  x0 



(4.6) Pada kebanyakan gerak peluru, seringkali titik awal dipilih pada titik asal koordinat, jadi x0 = y0 = 0. Contoh 4.4 : Sebuah meriam diarahkan pada sebuah sasaran di lereng bukit. Jarak horisontal sasaran dari meriam adalah 800 m dan ketinggiannya 100 m. Laju peluru meninggalkan moncong meriam adalah 100 ms-1. (a) Dengan sudut elevasi berapakah meriam harus diarahkan agar peluru dapat mengenai sasaran ? (Ambil jawaban yang memberikan sudut yang lebih kecil). (b) Berapa selang waktu yang dibutuhkan peluru untuk sampai ke tempat sasaran ? (c) Kapan dan dimana peluru mencapai titik tertinggi pada lintasannya ? Jawab : Persamaan gerak peluru



 v0



x = 100 cos α t



y = -5 t2 + 100 sin α t



vx = 100 cos α



vy = -10t + 100 sin α



v0 sin α y = 100 m



)α v0 cos α



x = 800 m



36



Gambar 4.8. Lintasan peluru menuju ke sasaran



a.



Supaya peluru mengenai sasaran, maka pada waktu x = 800 m, maka haruslah y = 100 m. Jadi 800 = 100 cos α t atau t = 8/cos α 100 = -5 (8/cos α)2 + 100 sin α (8/cos α) 



320  800 tan  cos 2 



 320 tan 2   1  800 tan 



320 tan 2   800 tan   420  0 tan  



 800  2   4  320 420  2  320



800 







tan 1 



1120 7  640 4







1  60,3 0



tan  2 



480 3  640 4







 2  36,9 0



800  320 640



Karena α2 lebih kecil, kita pilih jawaban ini (atas permintaan soal) b.



Dari hasil (a), tan α2 = 3/4, jadi cos α2 = 4/5 dan t = 8/cos α =10 s.



c.



Peluru mencapai titik tertinggi bilamana vy = 0, yaitu 



0 = -10 t + 100 sin α



t







100 sin  100 0,6  6 10 10 s



Koordinat peluru pada saat itu adalah x = 100 t cos α = (100)(6)(0,8) = 480 m y = -5t2 + 100 sin α t = (-5)(6)2 + (100)(0,6) = 180 m Bentuk lintasa peluru secara umum dapat diperoleh dari tabel 4.1 dengan mengeliminasi parameter t untuk mendapatkan hubungan antara y dan x. Hasilnya adalah tan 



x  x0 v 0 cos 



 x  x0   y   g  v 0 cos   1 2







2



 v 0 sin 



x  x0  v 0 cos 



 y0



g  x  x 0  2  tan  x  x 0   y 0 2 2 v 0 cos 



37



(4.7)



yang tidak lain daripada persamaan sebuah parabola. Bila titik asal diambil di x 0 = 0, y0 = 0, maka jarak dari x0 = 0 sampai ke titik lain yang ketinggiannya juga nol dikenal sebagai jangkauan R.



y



)α



x R = jangkauan



Gambar 4.9. Jangkauan gerak peluru



Dari tabel 4.1 atau dari rumus (4.7) didapatkan bahwa   g g 0 R 2  tan R    R  tan   R 2 2 2 v 0 cos   2 v 0 cos   Jadi 2 v 2 cos 2  tan  v 20 sin 2 2 v 0 x v 0 y R 0   g g g



(4.8) Tampak bahwa untuk laju awal yang sama, jangkauan peluru akan maksimum bila sin 2α = 1 atau α = 450 4.5 Gerak Melingkar Contoh lain gerak dalam dua dimensi yang banyak kita jumpai adalah gerak melingkar. Dari Gambar 4.8 jelas bahwa posisi benda setiap saat dapat dituliskan sebagai  r  t   R cos  t  ˆi  R sin  t  ˆj



(4.9)



dengan θ(t) adalah sudut yang dibuat oleh vektor posisi benda dengan sumbu x; bila dinyatakan dalam koordinat polar, vektor posisi ini dapat dituliskan sebagai  r  Rˆ



(4.10)



Perhatikan bahwa dalam hal ini R adalah konstan, tetapi vektor satuannya merupakan fungsi dari waktu (berubah-ubah terhadap waktu)



y



v(t)



 r



s(t)



) θ(t) x



Gambar 4.10 Gerak melingkar



38



Bahwa lintasannya berbentuk lingkaran dapat diperiksa dengan mengeliminasi kebergantungan terhadap waktu untuk mendapatkan hubungan antara kedua komponennya x(t)2 + y(t)2 = R2



(4.11)



Parameter lain yang sering digunakan adalah panjang busur s(t). Bila sudut θ(t) dinyatakan dalam radian, maka s(t) = θ(t) R



(4.12)



Kecepatan benda setiap saat diberikan oleh   dr d ˆ d ˆ v t     R sin  t  i  R cos  t  j dt dt dt    R sin  t   ˆi  R cos  t  ˆj t 



(4.13)



dengan  t  



d dt θ,



(4.14)



adalah laju perubahan sudut θ, atau sering juga disebut sebagai kecepatan sudut. Dari (4.13) tampak bahwa laju benda setiap saat diberikan oleh  v  t   v  t   v 2x  v 2y   t  R



(4.15)



sedangkan arah kecepatannya menyinggung lingkaran. Dalam koordinat polar, kecepatan benda dapat dituliskan sebagai  v  t    t  Rˆ



(4.16)



Percepatan benda dapat diperoleh dengan mendiferensiasikan persamaan (4.13) terhadap waktu,











d   R sin  t  ˆi  R cos  t  ˆj dt   t     2  t  r  v  (4.17) d  t   dt dengan (4.18) dikenal sebagai percepatan sudut. Perhatikan bahwa percepatan benda terdiri atas dua bagian,



bagian dalam arah radial menuju ke puat lingkaran (berlawanan dengan vektor posisi) disebut  a percepatan sentripetal sp , dan bagian yang menyinggung lingkaran (berimpit dengan kecepatan)  disebut percepatan tangensial a t , 39



 v2  2 2  a sp    r   R r   r R   v at   Rˆ 



(4.19)



Bila kita rangkumkan hasil-hasil diatas, maka gerak melingkar dalam koordinat polar secara umum dapat dinyatakan dengan  r  t   Rrˆ



 v  t   Rˆ    a  t   a sp  a t    2 Rrˆ  Rˆ



(4.20)



dengan kecepatan dan percepatan sudutnya didefinisikan sebagai



 t   d / dt dan



 t   d / dt



(4.21)



4.5.1 Gerak Melingkar Beraturan Dalam hal khusus benda bergerak melingkar tanpa percepatan sudut, α = 0, maka kecepatan sudut  konstan dan benda bergerak melingkar beraturan dengan laju tetap, v   R . Bila waktu untuk menempuh satu putaran (perioda) kita nyatakan dengan T, maka panjang lintasan yang ditempuh benda dalam waktu ini adalah s = vT = 2R. Jadi v



2 R T



atau







2 T



(4.22)



Untuk gerak melingkar beraturan, percepatan yang ada hanyalah percepatan sentripetal (karena α = 0, sehingga aT = αR = 0). Perubahan kecepatan yang ada hanyalah perubahan arah. Jadi dapat kita simpulkan bahwa percepatan sentripetal adalah percepatan yang mengubah arah kecepatan, tetapi tidak mengubah besar kecepatan. Arah percepatan ini selalu tegak lurus pada kecepatan. Contoh 4.5 : Sebuah kereta api mainan bergerak melingkar beraturan di atas rel yang berjari-jari 50 cm dengan perioda 1 menit. a. Tentukan kecepatan sudut dan laju kereta api tersebut b. Hitung sudut dan panjang lintasan yang ditempuh dalam 10 detik c. Tentukan besar percepatan sentripetal yang ditimbulkan oleh rel pada kereta api Jawab : a.







2 2   0,105 T 60 rad/s



; v  R  0,105 x 0,5  0,52m / s  5,2 cm / s



40



tersebut



b.   t  0,105 x 10  1,05 rad s  R  1,05 x 0,5  0,52 m  52 cm



a sp   2 R   0,105  0,5  5,5 x 10 3 m / s 2 2



c.



4.5.2 Gerak Melingkar Berubah Beraturan Bila benda bergerak melingkar berubah beraturan, maka berlaku hubungan yang serupa dengan gerak lurus berubah beraturan, yaitu   tetap  t   t   0 1 2 t   0 t   0 2 2  t    0     t  2   2 0   t  



(4.23)



Disini laju benda v(t) =  (t)R tidak lagi tetap, tetapi berubah terhadap waktu. Percepatan tangensial aT = αR menimbulkan perubahan laju ini. Contoh 4.6 : Dengan sebuah alat kendali jarak jauh, kecepatan kereta api mainan dalam contoh di atas dapat diatur. Bila tombol rem ditekan, maka kereta api akan berhenti setelah menempuh panjang lintasan 40 cm. a. Hitunglah sudut yang ditempuh kereta api mulai dari tombol rem ditekan sampai kereta api berhenti. b. Hitung pula percepatan sudut dan percepatan tangensial selama proses pengereman berlangsung. c. Tentukan pula waktu yang dibutuhkan sampai kereta api berhenti terhitung mulai tombol rem ditekan. Jawab : a.







S 40   0,8 rad R 50



b. Sebelum tombol rem ditekan 0  0,105 rad / s (dari contoh soal di atas), dan pada waktu kereta api berhenti   0 . Jadi 2  2  02 



2  02 0   0,105 2   6,9 x 10 3 rad / s 2  2  0,8 2



a r  R   6,9 x 10 3  0,5  3,45 x 10  3 m / s 2



41



c.   t  0 0    6,9 x 10 3  t  0,105 t



0,105  15,23 s 6,9 x 10 3



Soal-Soal Latihan Bab 4 1. Sebuah mobil bergerak lurus dengan laju konstan 60 km/jam dari kota A ke kota B. Setengah jam kemudian sebuah motor berangkat dari kota A menuju kota B dengan laju 80 km/jam. a. Tuliskan persamaan posisi untuk mobil dan motor sebagai fungsi waktu, terhitung sejak mobil berangkat. b. Gambarkan grafik posisi tehadap waktu untuk mobil dan motor (dalam satu sumbu koordinat) c. Tentukanlah kapan dan dimana mobil tersususl oleh motor dengan menggunakan persamaan dalam pertanyaan a. Periksalah hasil ini dengan menggunakan grafik dalam pertanyaan b. d. Seandainya jarak dari kota A ke B adalah 240 km, dan motor berangkat dari B menuju A, bagaimanakah jawab pertanyaan a dan b untuk keadaan ini. Tentukan juga kapan dan dimana kedua kendaraan itu berpapasan 2. Pada suatu rally motor, seorang pe-rally mendaki bukit dengan laju v 1 dan menuruni bukit dengan laju v2. Bila bukit kita anggap simetris (artinya jalan mendaki dan menurun sama panjang), tentukanlah laju rata-rata pe-rally dalam menempuh bukit tersebut. 3. Sebuah partikel bergerak dengan laju tetap 5 m/s selama 10 detik ke arah sumbu x negatif. Partikel kemudian dipercepat dengan percepatan tetap selama 5 detik sampai mencapai laju 3 m/s ke arah sumbu x positif. a. Gambarkanlah grafik kecepatan terhadap waktu. b. Hitunglah percepatan rata-rata dalam selang 10 s ≤ t ≤ 15 dan selang 0 ≤ t ≤ 15 s. c. Dapatkan perpindahan pertikel dalam selang 0 ≤ t ≤ 15 s. 4. Kecepatan partikel sebagai fungsi waktu diberikan dalam grafik berikut : v(m/s)



Pada t = 0 s, partikel berada pada x = 0 m.



3



a. Buatlah sketsa grafik percepatan terhadap waktu 2



4



6



8



t(s)



-3 Buatlah perpindahan dan panjang lintasan yang ditempuh patrikel dalam selang 0 ≤ t ≤ 8s.



5. Sebutir peluru menembus balok setebal 10 cm. Peluru masuk dengan laju 400 m/s dan keluar dari balok dengan laju 300 m/s. Bila dianggap perlambatan di dalam balok adalah konstan,



42



a. Hitunglah perlambatan yang dialami peluru di dalam balok. b. Hitung juga lamanya peluru berada di dalam balok. 6. Titik massa yang mula-mula melaju dengan kecepatan 10 m/s mengalami perlambatan sehingga dapat berhenti dalam jarak 20 meter. a. Hitunglah perlambatan yang dialami oleh titik massa tersebut. b.



Berapa waktu yang diperlukan sampai ia berhenti ?



7. Mobil yang mesinnya dikendalikan dengan komputer mengalami percepatan yang berbanding lurus dengan waktu. Dalam 20 detik setelah mesin dihidupkan, mobil telah mencapai laju 20 km/jam. Berapakah panjang lintasan yang ditempuh mobil dalam 1 menit ? 8. Sebuah benda dilepaskan dari ketinggian 5 km di atas permukaan bumi. Bila percepatan gravitasi dianggap tetap g = 10 m/s2, a. Pada ketinggian berapakah laju benda mencapai laju supersonik ? (Anggap laju suara di udara 340 m/s dan diabaikan perlambatan akibat gesekan dengan udara). b. dalam kenyataannya, selalu ada perlambatan yang diakibatkan oleh gesekan dengan udara, sehingga akhirnya benda mencapai laju konstan yang dikenal sebagai laju terminal. Seandainya perlambatan akibat gesekan ini mempunyai besar dua kali laju benda (dalam arah yang berlawanan dengan kecepatan tentunya), tentukanlah besarnya laju terminal ini. c. Dalam waktu berapa lama setelah dilepaskan laju benda mencapai 99% dari laju terminalnya ? 9. Seorang anak muda sedang mengebut dengan mobilnya dengan laju 30 m/s (yaitu 108 km/jam). Bila rem diinjak penuh, mobil akan mendapat perlambatan sebesar -10 m/s 2. Waktu reaksi anak tersebut adalah 0,2 s.(Waktu reaksi adalah selang waktu antara ia berfikir untuk menginjak rem sampai kakinya betul-betul menginjak rem). a. Berapakah jarak minimal yang harus dijaganya dengan kendaraan didepannya agar tidak terjadi kecelakaan seandainya kendaraan didepannya berhenti mendadak ? b. Andaikan lebar persimpangan jalan adalah 20 meter dan lampu kuning di persimpangan tersebut berlangsung selama 2 detik. Bila ia berada pada jarak 55 meter dari mulut persimpangan jalan ketika ia melihat lampu berubah menjadi kuning, haruskah ia jalan terus atau haruskah ia mengerem mobilnya ? c. Bila ia melihat lampu menjadi kuning pada saat ia berjarak 40 meter dari mulut persimpangan jalan, apa yang harus dilakukannya ? Bagaimana pula bila jarak tersebut bukan 40 m melainkan 48 m ?



43



10. Sebuah bola ditendang ke atas membentuk sudut 500 dengan tanah. Bola melambung dan jatuh kembali ke tanah pada jarak 20 m dari tempatnya semula. a. Tentukan laju awal bola b. Tentukan lamanya bola melambung di udara c. Tentukan ketinggian maksimum yang dicapai bola. 11. Sebuah pesawat pem-bom terbang horisontal dengan laju 275 m/s pada ketinggian 3000 m dari tanah. Ketika pesawat berada tepat di atas titik A permukaan tanah, sebuah bom dilepaskan. a. Pada jarak berapa dari bom akan mengenai tanah ? b. Dimanakah letak pesawat ketika bom tiba di tanah ? c. Supaya bom jatuh di titik C yang berjarak 1000 m dari A, dengan sudut berapakah bom harus dilepaskan ? 12. Seseorang dapat melemparkan bolavertikal ke atas sampai ketinggian 40 m. Bila ia melemparkan bola tersebut agak miring, berapakah jangkauan maksimum yang dapat dicapainya ? 13. Bulan mengelilingi bumi dengan perioda 27,3 hari. Bila jejari orbit bulan adalah 3,84 x 10 8 m (anggap orbitnya berbentuk lingkaran), hitunglah 14. Sebuah satelit mengitari bumi setiap 90 menit pada ketinggian 630 km. Berapa percepatan sentripetal satelit tersebut bila diketahui jari-jari bumi adalah 6370 km ? 15. Piringan pedal sebuah sepeda memiliki jari-jari 15 cm, poros roda giginya berjari-jari 5 cm dan ban sepedanya berjari-jari 30 cm. Bila sepeda bergerak dengan laju 5 m/s, tentukanlah a. Laju sudut ban sepeda b. Laju sudut roda gigi c. Laju sudut piringan pedal 16. Sebuah titik di tepi roda yang berjari-jari 20 cm bergerak melingkar mengikuti persamaan sudut θ(t) = t3 - 3t2 + 9t + 12 a. Tentukanlah kecepatan sudut  t  dan percepatan sudut α(t).  b. Pada saat berapakah percepatan linier a berarah radial ? Berapa besar percepatan ini ?



44