Fungsi Logaritma - Docx Kirim [PDF]

Citation preview

FUNGSI ELEMENTER TUJUAN PEMBELAJARAN: 1. Mahasiswa dapat memahami fungsi logaritma 2. Mahasiswa dapat mengetahui cabang fungsi logaritma 3. Mahasiswa dapat menentukan pangkat kompleks 4. Mahasiswa dapat memahami invers trigonometri dan fungsi hiperbolik



I. FUNGSI LOGARITMA dan CABANG FUNGSI LOGARITMA



a. FUNGSI LOGARITMA Diberikan bilangan kompleks Jika



akan dicari bilangan kompleks



| | dan



dengan



( ) dan



sehingga



dengan



dan



.



bilangan real.



Maka diperoleh



( Maka diperoleh



) dan



sembarang bilangan bulat, dan Bilangan



(



(



, sehingga



) dengan k



adalah nilai (real) dari logaritma bilangan real positif.



ini dinamakan logaritma bilangan kompleks



Tampak bahwa



).



dan dinyatakan dengan



.



suatu fungsi bernilai banyak, bahkan tak berhingga banyaknya.



Definisi Jika r dan φ berturut-turut modulus dan argumen bilangan komplek



, maka logaritma



dari z didefinisikan ( Jika φ nilai utama argumen z, jadi φ



) ( ) dengan demikian



( )



( )



( )



Dinamakan nilai utama logaritma dan diberi notasi dengan merupakan fungsi bernilai satu. Contoh



(1) , maka



(dengan L huruf besar) dan



Karena



, maka ( ⁄



, jadi (



√ (



dan



)



)



) dan (



, jadi



⁄



)



(



⁄



) dan



⁄ dengan



b. CABANG FUNGSI LOGARITMA Di atas telah diuraikan bahwa | | dan



dengan



adalah fungsi bernilai banyak. Tetapi untuk



( ) fungsi (



)



bernilai tunggal dan dinamakan nilai utama dari Bagian imajiner fungsi ini adalah



(



.



)



. Sembarang titik



negatif dalam domain yang diberikan, mempunyai nilai



. Sekarang diperiksa nilai limit (



dari atas sumbu maka (



)



maka v( )



(



) untuk



(



)



. Jadi di titik (



). Jika P dari bawah sumbu



. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa ) tidak ada



) tidak kontinu pada



) tidak kontinu pada



. Karena



titik sembarang pada sumbu



, sedangkan (



)



(



)



tidak kontinu. Sekarang titik-titik pada



kontinu pada domain fungsi



kontinu pada domain yang diberikan. Jadi fungsi



tidak mungkin terdiferensial di titik-titik pada sumbu



Selanjutnya ditinjau fungsi



, maka



.



Pembaca dapat menyelidiki sendiri bahwa kecuali pada



dan



. Akan tetapi, jika



( Jadi (



pada sumbu real



, karena di titik-titik ini fungsi



dihapus dari fungsi



.



( Dalam domain (



)



) ini fungsi



⁄



kontinu dan memenuhi persamaan C-R untuk koordinat kutub . Menurut teorema dalam 2.9 maka fungsi



terdiferensial di setiap



titik domain yang baru ini, dan derivatifnya. (



)[



(



)



(



)]



.



Uraian di atas memberikan hasil sebagai berikut. Fungsi analitik dan Fungsi



dalam domain (



) bernilai tunggal dan



= . di dalam domainnya dimana bernilai tunggal dan analitik dinamakan cabang



utama dari fungsi yang bernilai banyak



.



Definisi Cabang F suatu fungsi bernilai banyak f adalah fungsi bernilai satu yang analitik dalam suatu domain dan di setiap titik domain itu ( ) adalah salah satu nilai dari ( ). Untuk setiap nilai real α, fungsi



( )



dalam domain



) adalah suatu cabang dari fungsi bernilai banyak adalah bernilai satu dan analitik dalam domain di atas, dan ( ). Tentang hal ini, dan bahwa Sinar



Cabang utama



misalnya



Sifat-sifat



( )



Jadi



( ) adalah salah satu nilai dari



, para pembaca dipersilahkan membuktikan sendiri.



dinamakan irisan cabang untuk cabang



cabang setiap cabang



cabang



( )



(



. Titik O yang dilalui oleh irisan



dinamakan titik cabang fungsi ( ) yang domainnya( | |)



. (



) mempunyai irisan



yakni sumbu real negatif. Jika bekerja dengan fungsi bernilai banyak, , kita harus menunjuk salah satu cabangnya, biasanya diambil cabang utama.



Di bawah ini disajikan beberapa sifat fungsi logaritma untuk variabel kompleks. Sifatsifat ini terpaksa ada yang harus mengalami perubahan seperlunya jika dibandingkan dengan sifat yang semacam untuk variabel real. TEOREMA 1) Jika 2) Untuk



untuk sembarang nilai



berlaku



sembaranng ada tak hingga nilai untuk



3) Jika



dan



4) Jika



(



sembarang nilai



dan suatu nilai



. ) sama dengan jumlah suatu nilai



,



) sama dengan suatu nilai



,



.



dan



(



sembarang nilai



dikurang suatu nilai



.



5) Untuk



berlaku



(



)



6) Untuk



berlaku



(



)



Bukti: 1) Untuk



maka



(



, jadi



2) Dimisalkan



, maka . Jadi



)



)



(



dan



dan (



(



) untuk



hanya salah satu nilai



3) Untuk ditentukan, maka



)



(



)



[(



dan m sembarang bilangan bulat yang [(



)



)



]



] adalah nilai sembarang dari (



)



[



(



Kedua suku di ruas kanan kesamaan ini adalah suatu nilai



(



).



)] .



dan sembarang dari



( ) 6) Untuk n bulat positif dan (



dengan



, ada n buah nilai untuk ). Nilai



[



(



yakni )]



√



√ dengan



sembarang bilangan bulat dan akan memberikan n buah nilai yang berlainan yakni nilai dari Contoh:



.



(



Buktikan



)



√ )(



(



(



√ )



).



Bukti: ( Sedangkan ( (



)



√ )(



( )



√ )(



) √



) √



)



√ )(



(



, sehingga



. Terbukti soal di atas.



Jadi perlu diperhatikan bahwa dalam teorema di atas tanda tanda



.



(



Tetapi



)



√ )(



(



)



kanan berturut-turut suatu nilai



(



(



) dimana dua suku di ruas



√ ) dan suatu nilai



SIFAT-SIFAT LAIN LOGARITMA (



1.



)



2. 3. BUKTI: (



)



), (



[ (



)



|



= = 2) Misal



tidak boleh diganti dengan



)



(



|



(



(| ||



|)



| |



|



)



( |



)]



) (



)



(



).



(



)



( ) 3)



. [ (



)]



(



(



)



)



)



( (



II.



(



) )



PANGKAT KOMPLEKS Untuk



dan



berlaku



=



, dan untuk n bulat positif berlaku



. Jika m negatif bulat yakni



dan



positif bulat, maka sifat .



memberikan



Jadi sifat



boleh juga untuk n bulat negatif.



Untuk sembarang bilangan rasional ( ) Jadi sifat



dengan m dan n bulat dapat ditulis (



)



.



boleh juga untuk n rasional. Jadi diperoleh hasil ( ⁄



)



Definisi: Untuk



dan c konstanta kompleks didefinisikan ( )



Karena



fungsi bernilai banyak, maka tampak bahwa



, fungsi bernilai banyak. Pada



suatu cabangnya. ( ⁄ )



( )



Cabang utama fungsi ini adalah (| |



)



( )



( )



Contoh1: Tentukan semua nilai dari Dalam soal ini Dengan Contoh2:



dan



, jadi . Nilai utama dari



((



))



adalah



.



Tentukan cabang utama fungsi (



)



(



.



)(



)



(



)



(



)



[



(



)



(



)] dengan



.



Fungsi Fungsi



dengan



c



konstanta (



kompleks



yang



tidak



)



Fungsi ini bernilai banyak. Setelah nilai



nol



didefinisikan



( ) diberi nilai tertentu, misalknya nilai



utamanya, maka fungsi menjadi bernilai satu. Untuk nilai utama



, fungsi ini



terdiferensial di seluruh bidang kompleks, jadi merupakan fungsi utuh, dan mempunyai derivatif



.



Untuk suatu cabang tertentu dari Untuk



, berlaku pernyataan sbb.



dan untuk cabang tertentu dari



, fungsi c’ merupakan fungsi utuh dan ( )



III. INVERS FUNGSI TRIGONOMETRI Invers fungsi trigonometri dapat dinyatakan dalam fungsi logaritma. Kita definisikan , invers dari fungsi sinus, yakni niali w yang berkorespondensi dengan nilai z sehingga ( )



Dari (1) w dapat dinyatakan ke dalam z (



) (



)



(



Suku (



)



( )



) dalam ruas kanan (2) adalah fungsi bernilai dua. Jika telah ditentukan



suatu cabang fungsi ini, maka ruas kanan (2) bernilai satu dan analitik. Untuk cabang yang telah dipilih ini (



[



Tampak bahwa



)



⁄



]



( )



bernilai banyak bahkan takhingga banyaknya. Jika diambil salah



satu cabangnya, maka (3) memberikan fungsi bernilai satu dan analik. Dengan menggunakan aturan rantai dapat diperoleh derivatif cabang fungsi ini yakni (



( )



)



Jadi dalam uraian di atas kita dua kali menetukan cabang, yang pertama cabang untuk akar pangkat dua dan kemudian cabang untuk fungsi logaritma. Dengan cara yang serupa dapat dijabarkan invers untuk fungsi cosinus dan tangen, (



*



)+



( ) ( )



Fungsi (5) dan (6) benilai banyak, dan dalam cabang-cabang mereka yang telah ditentukan, mereka bernilai tunggal dan analitik dan mempunyai derivatif



(



)



⁄



( )



( )



Perlu dikemukakan disini bahwa notasi yang juga umum dipakai untuk invers fungsi trigonometri yaitu arc sin,arc cos,dan seterusnya.



Invers Fungsi Hiperbolik



Seperti haln\ya invers fungsi trigonometri, dengan cara yang serupa dengan cara diatas, dapat diperoleh fungsi invers fungsi hiperbolik



Cabang fungsi (



)



*



(



)



⁄



+



( )



*



(



)



⁄



+



(



)



(



)



⁄



Dalam uraian di atas kita berhadapan dengan cabang fungsi bernilai dua ( (



)



⁄



berturut-turut dalam definisi fungsi



dan



)



⁄



dan



. Agar jelas akan dibahas



cabang dari salah satu fungsi bernilai dua tersebut. ⁄



Lebih dahulu akan dibahas cabang fungsi bernilai dua ⁄



⁄



, maka ( )



√



bentuk kutub,



. Dengan menyajikan



. Untuk setiap



kecuali



dalam , fungsi



ini bernilai dua, nilai fungsi yang satu negatif dari fungsi yang lain. Untuk



kedua fungsi ini adalah



( )



√



⁄



dan



( )



√



(



)⁄



Dalam domain ( dibahas



) fungsi



saja, hasilnya dapat digunakan untuk



Fungsi



( )



√



(



dibuktikan bahwa tidak terdiferensial di untuk



⁄



√



( ). dan



, karena ada hubungan bahwa



namun dapat



. Akan ditunjukkan bahwa



tidak kontinu



ini tidak sama, maka



( )



dari atas sumbu real, maka



bawah sumbu real, maka tampak bahwa



( )



.



) meskipun kontinu di



real positif. Diberikan sembarang bilangan real positif . Jika



bernilai satu. Akan



dengan



√ . Akan tetapi, jika



√



( ) tidak mempunyai limit untuk



dan dari



√ . Karena kedua nilai limit , jadi



tidak terdiferensial di



dan di Di titik-titik yang tidak terletak di



, jadi untuk



dan



, mudah



dibuktikan bahwa



kontinu. Lebih dari itu ternyata untuk titik-titik itu bagian real dan



bagian imajiner, (



) dan (



) dari



( ), kontinu dan memenuhi persamaan C-R dalam



koordinat kutub, sehingga di titik-titik itu



terdiferensial. Dengan demikian



(dan juga



) analitik dalam domain seluruh bidang kompleks tanpa sumbu real positif. Kita memperoleh pernyataan berikut. Fungsi



( ) dan



fungsi bernilai dua ( )



( ) dalam domain ( ⁄



) adalah cabang dari



.



Tentu saja pembaca juga mengetahui bahwa domain (



dan



) untuk sembarang



juga cabang dari



. Sinar



⁄



dalam



adalah irisan cabang



dan titik pangkal 0 adalah titik cabang dari cabang-cabang tersebut. Dari uraian di atas dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut: Suatu fungsi bernilai satu F yang untuk setiap titik satu dari nilai



⁄



, maka F merupakan cabang dari



titik nol F dan titk-titik di mana F tidak kontinu.



⁄



, nilai



( ) merupakan salah



dengan irisan cabang yang terdiri dari



FUNGSI LOGARITMA, CABANG FUNGSI LOGARITMA, PANGKAT KOMPLEKS, INVERS FUNGSI TRIGONOMETRI dan FUNGSI HIPERBOLIK Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Analisis Kompleks Dosen Pengampu: Dr. Kartono M.Si



Disusun oleh: 1.



Nurrohmah



4101408088



2.



Galih Kurniadi



41014080



3.



M. Achsin



4101408



JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM



UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2011