Fungsi Naik Turun Stasioner [PDF]

Citation preview

TURUNAN FUNGSI ALJABAR FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN TITIK DAN NILAI STASIONER



FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN A. PENGERTIAN FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN Y y = f (x)



f (x) naik f (x) turun



O



xa



X



Perhatikan grafik fungsi y = f (x) yang dilukiskan pada gambar disamping. Fungsi f (x) merupakan fungsi naik untuk nilai-nilai x dalam interval x > a Fungsi f (x) merupakan fungsi turun untuk nilai-nilai x dalam interval x < a Berdasarkan pengertian di atas, fungsi naik dan fungsi turun dapat didefinisikan sebagai berikut.



Definisi: Misalkan fungsi f(x) terdefinisi dalam interval I 1. Fungsi f(x) dikatakan fungsi naik dalam interval I, jika untuk setiap bilangan x1 dan x2 dan x1 < x2 maka berlaku hubungan f(x1) < f(x2) 2. Fungsi f(x) dikatakan fungsi naik dalam interval I, jika untuk setiap bilangan x1 dan x2 dan x1 > x2 maka berlaku hubungan f(x1) > f(x2)



FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN B. SYARAT FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN Suatu fungsi f dirumuskan oleh y = f(x) dalam interval I dan f(x) terdefinisi pada setiap titik dalam interval tersebut. 1. Jika f / (x) > 0 untuk semua x dalam interval I, maka fungsi f(x) naik dalam interval tersebut. 2. Jika f / (x) < 0 untuk semua x dalam interval I, maka fungsi f(x) turun dalam interval tersebut. 3. Jika f / (x) = 0 , maka f(x) mempunyai nilai stasioner



Contoh : Diketahui fungsi f(x) = 2x3 – 9x2 +12x + 10. Tentukan dalam interval mana fungsi f(x) naik dan dalam interval mana fungsi f(x) turun. Jawab: Diperoleh batas-batas interval f (x) = 2x3 – 9x2 + 12x + 10 x = 2 dan x = 1 f /(x) = 6x2 – 18x + 12 + 0



Batas-batas interval f /(x) = 0  6x2 – 18x + 12 = 0  x2 – 3x + 2 = 0  (x – 2)(x – 1) = 0  (x – 2) = 0 atau (x – 1) = 0  x = 2 atau x = 1



+



–



+



Jadi f(x) naik untuk x < 1 atau x > 2 dan f(x) turun untuk 1 < x < 2



Contoh : Diketahui fungsi f(x) = – x4 + 4x3 + 20x2 – 5. Tentukan dalam interval mana fungsi f(x) naik dan dalam interval mana fungsi f(x) turun. Jawab: Diperoleh batas-batas interval f (x) = – x4 + 4x3 + 20x2 – 5 x = 0, x = –2, dan x = 5 f /(x) = – 4x3 + 12x2 + 40x Batas-batas interval – – + + f /(x) = 0 – 4x3 + 12x2 + 40x = 0  (– 4x)(x2 – 3x –10) = 0  (– 4x)(x + 2)(x – 5) = 0  – 4x = 0 V x + 2 = 0 V x – 5 = 0



f(x) naik untuk x < –2 atau 0 < x < 5 f(x) turun untuk –2 < x < 0 atau x > 5



TITIK DAN NILAI STASIONER TITIK STASIONER DAN NILAI STASIONER Jika fungsi y = f(x) terdiferensial di x = a dengan f /(a) = 0, maka f(a) merupakan nilai nilai stasioner dari dari fungsi f(x) di x = a. Y b



A (a,b)



f (a) y = f (x)



O



a



X



Pada gambar disamping terdapat titik A (a,b) dengan b = f(a) terletak pada puncak grafik fungsi y = f(x). Titik A disebut titik stasioner. Titik stasioner sering disebut juga dengan titik kritis. Sedangkan nilai b = f(a) disebut dengan nilai stasioner yang sering disebut juga dengan nilai kritis.



Ada dua jenis nilai stasioner, yaitu nilai ekstrim dan dan bukan nilai ekstrim. Apa yang dimaksud dengan nilai ekstrim dan bagaimana cara menentukannya?



Contoh :



Tentukan nilai stasioner dan koordinat titik stasioner untuk fungsi f(x) = x2 – 4 Jawab: Jadi fungsi f(x) = x2 – 4 mempunyai f(x) = x2 – 4 Nilai stasioner – 4, dan f /(x) = 2x Koordinat titik stasioner (0, – 4) f(x) stasioner pada saat f /(x) = 0  2x = 0 x = 0 x=0 f (0) = 02 – 4 =–4



LATIHAN 2+𝑥 2



1 3



1. Diketahui f (x) = - 𝑥 3 . Tentukan dalam interval mana fungsi f(x) naik dan dalam interval mana fungsi f(x) turun. 2. 3. Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari y = 𝑥 3 - 3x + 1. 4. Tentukan interval x yang membuat kurva fungsi f(x) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9x + 2 selalu turun. 5. Tentukan nilai stasioner dan koordinat titik stasioner untuk fungsi y = 𝑥 2 - 4.