Fungsi Rasional [PDF]

Citation preview

FUNGSI RASIONAL



Kelomp



ok 4



1. Abigael Noya / 01 2. Farinsa Stupa



Victoria Fortuna Devi / 11



Kelas X



IPS 1



TAHUN 2020 SEMESTER 2



FUNGSI RASIONAL 1. Pengertian  Apa itu Bilangan Rasional a



Bilangan RASIONAL adalah bilangan dalam bentuk b dimana a dan b merupakan bilangan bulat dan b ≠ 0.  Apa itu Fungsi Rasional



Fungsi rasional adalah fungsi yang memetakan suatu bilangan real x p (x)



ke bilangan rasional  q(x) . Dengan p(x) dan q(x)adalah polinompolinom/suku banyak dan q(x) ≠ 0. Fungsi rasional dapat diartikan sebagai fungsi yang memiliki bentuk: F(x)=



p(x) , q ( x ) ≠0 q (x )



Ada beberapa bentuk fungsi rasional antara lain sebagai berikut : ax+ b



a. f(x)= px +q , p≠ 0 b. f(x)=



ax +bx +c , a ≠ 0 dan p≠ 0 p x 2 +qx +r



2. Menggambar Grafik dan Menentukan Domain serta Range dan Fungsi Rasional



A. Grafik Fungsi f(x)=



ax+ b px +q



ax+ b



1. Grafik Fungsi f(x)= px +q ax+ b



Berikut adalah langkah-langkah menggambar grafik fungsi f(x)= px +q a. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu X yaitu jika y =0 y  0 ax  b  0 b



x= a b a



Koordinat titik potong adalah { ,0 }



b. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu Y yaitu jika x=0 b



x 0 y = q Koordinat titik potong adalah {0,b}



c. Menentukan asimtot Tegak, Asimtot adalah garis lurus yang makin didekati oleh grafik fungsi bahkan sampai berhimpit dengan grafik tersebut untuk nilai x atau y tak hingga tetapi tidak sampai memotong garis tersebut. Menentukan asimtot tegak yaitu jika y = ∞ ,px + q =0 a



d. Menentukan asimtot mendatar yaitu jika x =∞ ,y = p



ax+ b



e. Plotkan titik koordinat x dan y yang memenuhi fungsi f(x)= px +q pada bilangan Cartesius. 2. Menentukan Domain dan Range Untuk memudahkan menentukan domain dan range dari fungsi f(x)= (𝑎𝑥+𝑏)/(𝑝𝑥+𝑞) terlebih dahulu di buat sketsa grafiknya. ax+ b



a) Domain dari fungsi f(x)= px +q merupakan semua nilai x kecuali di asimtot tegaknya dan dinotasikan dengan D f ={ x ∈ R|x ≠ asimtot tegak }. ax+ b



b) Range dari fungsi f(x)= px +q merupakan semua nilay y pada grafik (bilangan riil) dan dinotasikan dengan R f ={ y ∈ R }. 3. Garis dengan Hiperbola Ortogonal ax+ b



Misalkan persamaangaris y =mx + n dan persamaan hiperbola y = px +q berpotongan maka berlaku: ax+ b



mx + n = px +q → ( mx+n ) ( px+ q )=ax+ b → mp x 2 +mqx+npx +nq=ax +b → mp x 2 + ( mq+np−a ) x+ ( nq−b )=0



Dari persaman kuadrat di atas di perbolehkan berikut. a. D > 0, garis memotong hiperbola di dua titik yang berlainan. b. D = 0, garis memotong hiperbola di dua titik yang sama atau garis menyinggung hiperbola c. D < 0, garis tidak memotong hiperbola d. D ≥0, garis memotong hiperbola



Contoh Soal : 2 x−4



Buatlah grafik fungsi f(x) = x +2 , kemudian tentukan domain dan rangenya! Penyelesaian :



a. Titik potong dengan sumbu X,y = 0 2 x−4 =0↔ 2 x−4=0 ↔ 2 x=4 ↔ x=2 x +2



Jadi, titik potong dengan sumbu x adalah (2,0) b. Titik potong dengan sumbu Y,x = 0 y=



2 ( 0 )−4 −4 = =−2 0+2 2



Jadi ,titik potong dengan sumbu Y adalah (0,-2) c. Asimtot tegak y=∞ → x+2=0 ↔ x=−2



d. Asimtot mendatar x=∞ → y =



koefisien x 2 = =2 koefisien x 1



e. Sketsa grafik x = -2 Y 2



y=2 X



-2



0



2



-2



f. Domain : Df ={ x ∈ R|x ≠−2 } Range : R f = { y ∈ R }



SOAL LATIHAN!! Gambarlah grafik fungsinya, kemudian tentukan domain dan rangenya! x +2 1. f ( x )= x−5 2 x−1 2. f ( x )= x+ 7



Jawaban x +2 1. f ( x )= x−5



a. Titik potong dengan sumbu X,y = 0 x+ 2 =0 ↔ x +2=0 ↔ x=−2 x−5



Jadi, titik potong dengan sumbu x adalah (-2,0) b. Titik potong dengan sumbu Y,x = 0 y=



0+ 2 −2 = 0−5 5 −2



Jadi ,titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 5 ) c. Asimtot tegak y=∞ → x−5=0↔ x=5



d. Asimtot mendatar x=∞ → y =



koefisien x 1 = =1 koefisien x 1



e. Sketsa grafik



f. Domain : Df ={ x ∈ R|x ≠ 5 } Range : R f = { y ∈ R| y ≠ 1 } 2 x−1 2. f ( x )= x+ 7



a. Titik potong dengan sumbu X,y = 0



2 x−1 1 =0↔ 2 x −1=0 ↔ 2 x=1 ↔ x= x +7 2 1



Jadi, titik potong dengan sumbu x adalah ( 2 ,0) b. Titik potong dengan sumbu Y,x = 0 y=



2 ( 0 )−1 −1 = 0+7 7 −1



Jadi ,titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 7 ) c. Asimtot tegak y=∞ → x+7=0 ↔ x=−7



d. Asimtot mendatar x=∞ → y =



koefisien x 2 = =2 koefis ien x 1



e. Sketsa grafik



f. Domain : Df ={ x ∈ R|x ≠−7 } Range : R f = { y ∈ R| y ≠ 2 }



B. FUNGSI f(x)=



a x 2+ bx+ c p x 2 +qx +r



a x 2+ bx+ c 1. GRAFIK FUNGSI f(x)= 2 p x +qx +r



Berikut adalah langkah-langkah menggambar grafik fungsi f(x)= a x 2+ bx+ c p x 2 +qx +r



a. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu X yaitu jika y =0 y  0 ax  b  0 b



x=- a b a



Koordinat titik potong adalah { ,0 }



b. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu Y yaitu jika x=0 b



x 0 y = r



b r



Koordinat titik potong adalah {0, }



c. Menentukan asimtot tegak yaitu jika y = ∞ ( penyebut=0) d. Menentukan asimtot mendatar yaitu jika x =0 berlaku y =



koefisien x 2 = koefisien x 2



a p a x 2+ bx+ c e. Plotkan titik koordinat x dan y yang memenuhi fungsi f(x)= 2 p x +qx +r



pada bilangan Cartesius. 2. Menentukan Domain dan Range Untuk memudahkan menentukan domain dan range dari fungsi f(x)=



a x 2+ bx+ c p x 2 +qx +r



a x 2+ bx+ c merupakan semua nilai x kecuali di p x 2 +qx +r asimtot tegaknya dan dinotasikan dengan Df ={ x ∈ R|x ≠ asimtot tegak }



a. Domain dari fungsi f(x)=



a x2 +bx +c b. Range dan fungsi f(x)= 2 merupakan semua nilai y paada p x +q x +r grafik(bilangan riil) dan dinotasikan dengan R f ={ y ∈ R }.



Contoh Soal : 2



x +2 x−3 Buatlah grafik fungsi f ( x )= 2



x −5 x−6



kemudian tentukan domain dan rangenya! Penyelesaian : a. Titik potong dengan sumbu X,y = x 2+ 2 x−3 2 =0 ↔ x +2 x−3=0 2 x −5 x−6 ( x−1)( x+ 3) x−1=0 v x+3=0 x=1



x=−3



b. Titik potong dengan sumbu Y,x = 0 02 +2 ( 0 )−3 0+0−3 −3 1 f ( 0 )= 2 = = = 0 +5 ( 0 )−6 0+ 0−6 −6 2



c. Asimtot tegak y=∞ → x2 +5 x−6=0 ( x−6)(x +1) x−6=0 v x +1=0 x=6



d. Asimtot mendatar x=∞ → y =



koefisien x 1 = =1 koefisien x 1



e. Sketsa grafik



f. Domain : Df ={ x ∈ R|x ≠ (−1,6) } Range : R f = { y ∈ R| y ≠ 1 }



x=−1



SOAL LATIHAN!! Gambarlah grafik fungsinya, kemudian tentukan domain dan rangenya! 2



x + 3 x−4 1. f ( x )= 2 x −x−2



a. Titik potong dengan sumbu X,y = x2 +3 x−4 2 =0 ↔ x +3 x−4=0 2 x −x−2 ( x +4 )( x−1) x +4=0 v x−1=0 x=−4



x=1



b. Titik potong dengan sumbu Y,x = 0 02 +3 ( 0 )−4 0+0−4 −4 f ( 0 )= 2 = = =2 0−2 −2 0 −0−2



c. Asimtot tegak y=∞ → x2 −x−2=0 ( x +1)( x −2) x +1=0 v x−2=0 x=−1



d. Asimtot mendatar x=∞ → y =



koefisien x 1 = =1 koefisien x 1



x=2



e. Sketsa grafik



f. Domain : Df ={ x ∈ R|x ≠ (−1,2) } Range : R f = { y ∈ R| y ≠ 1 }



SOAL PR DAN SOAL HOTS  Soal PR 3 x +2



1. f ( x )= 2 x−5 6−x



2. f ( x )= x +3 3. f ( x )=



2 x−5 x+ 4



4.



f ( x )=



x 2 +2 x−3 x 2−5 x−6



5.



f ( x )=



x 2−2 x−8 x 2+ 3 x−10



Kunci jawaban 3 x +2



1. f ( x )= 2 x−5 a. Titik potong dengan sumbu X,y = 0 3 x+2 −2 =0 ↔3 x+ 2=0 ↔ 3 x=2↔ x= 2 x−5 3 2



Jadi, titik potong dengan sumbu x adalah (- 3 ,0) b. Titik potong dengan sumbu Y,x = 0 y=



3 ( 0 ) +2 −2 = 2 ( 0 )−5 5 −2



Jadi ,titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 5 ) c. Asimtot tegak y=∞ → 2 x−5=0 ↔ 2 x=5 ↔ x=



d. Asimtot mendatar x=∞ → y =



koefisien x 3 = koefisien x 2



e. Sketsa grafik



5 2



5 f. Domain : Df = x ∈ R x ≠ 2



Range



{ | } 3 : R ={ y ∈ R| y ≠ 2 } f



6−x



2. f ( x )= x +3



a. Titik potong dengan sumbu X,y = 0 6−x =0 ↔ 6−x =0 ↔ x=6 x+ 3



Jadi, titik potong dengan sumbu x adalah (6,0) b. Titik potong dengan sumbu Y,x = 0 y=



6−0 6 = =2 0+3 3



Jadi ,titik potong dengan sumbu Y adalah (0,2) c. Asimtot tegak y=∞ → x+3=0 ↔ x =−3



d. Asimtot mendatar x=∞ → y =



koefisien x −1 = =−1 koefisien x 1



e. Sketsa grafik



f. Domain : Df ={ x ∈ R|x ≠−3 } Range : R f = { y ∈ R| y ≠−1 }



3. f ( x )=



2 x−5 x+ 4



a. Titik potong dengan sumbu X,y = 0 2 x−5 5 =0 ↔2 x−5=0↔ 2 x=5 ↔ x= x +4 2 5



Jadi, titik potong dengan sumbu x adalah ( 2 ,0) b. Titik potong dengan sumbu Y,x = 0 y=



2 ( 0 )−5 −5 = 0+4 4 −5



Jadi ,titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 4 )



c. Asimtot tegak y=∞ → x+ 4=0 ↔ x=−4



d. Asimtot mendatar x=∞ → y =



koefisien x 2 = =2 koefisien x 1



e. Sketsa grafik



f. Domain : Df ={ x ∈ R|x ≠−4 } Range : R f = { y ∈ R| y ≠ 2 }



4.



2



x +2 x−3 f ( x )= 2 x −5 x−6



g. Titik potong dengan sumbu X,y = x 2+ 2 x−3 2 =0 ↔ x +2 x−3=0 2 x −5 x−6 ( x−1)( x+ 3)



x−1=0 v x+3=0 x=1



x=−3



h. Titik potong dengan sumbu Y,x = 0 02 +2 ( 0 )−3 0+0−3 −3 1 f ( 0 )= 2 = = = 0 +5 ( 0 )−6 0+ 0−6 −6 2



i. Asimtot tegak y=∞ → x2 +5 x−6=0 ( x−6)(x +1) x−6=0 v x +1=0 x=6



j. Asimtot mendatar x=∞ → y =



koefisien x 1 = =1 koefisien x 1



k. Sketsa grafik



l. Domain : Df ={ x ∈ R|x ≠ (−1,6) } Range : R f = { y ∈ R| y ≠ 1 }



x=−1



5.



f ( x )=



x 2−2 x−8 x 2+ 3 x−10



a. Titik potong dengan sumbu X,y = x2 +2 x−8 2 =0 ↔ x +2 x−8=0 2 x +3 x−10 ( x−4)(x +2) x−4=0 v x+2=0 x=4



x=2



b. Titik potong dengan sumbu Y,x = 0 f ( 0 )=



02−3 ( 0 )−8 0−0−8 −8 4 = = = 0−10 −10 5 02 +(3)0−10



c. Asimtot tegak y=∞ → x2 +3 x−10=0 ( x +5)(x−2) x +5=0 v x−2=0 x=−5



d. Asimtot mendatar x=∞ → y =



koefisien x 1 = =1 koefisien x 1



e. Sketsa grafik



x=2



f. Domain : Df ={ x ∈ R|x ≠ (−5 , 2) } Range : R f = { y ∈ R| y ≠ 1 }



 Soal HOTS p( x )



1. Tentukan fungsi pecahan f ( x )= q(x ) dimana p(x) dan q(x) berderajat dua, yang grafiknya memotong garis sumbu xdi titik (-2,0), (2,0) serta mempunyai asimtot garis x = -1, x = -4, dan x = 1! Jawaban Rumus fungsinya adalah f(x) =



x2 −4 x2 −3 x −4