Infinite Series [PDF]

Citation preview

INFINITE SERIES (DERET TAK TERHINGGA) 9.1 Infinite Sequence (Barisan Tak hingga) In simple language ,a sequence (dalam bahasa yang sederhana,sebuah urutan)



is an ordered arrangement of real numbers,one for each positive integer(adalah pengaturan bilangan real, satu untuk setiap bilangan bulat positif tipe data).More formally,an infinite sequence is a function whose domain is the set of positife integers and whose range is a set of real number(Lebih formal, urutan tak terbatas adalah fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan bulat positif dan rentangnya adalah himpunan bilangan real).We may denote a sequence by(Kami dapat menunjukkan urutan oleh) or simply by (atau sederhana oleh) we will extend the notion slightly by allowing the domain to consist of all integers greater than or equal to a specified integer(kami akan memperluas gagasan sedikit dengan membiarkan domain terdiri dari semua bilangan bulat lebih besar dari atau sama dengan bilangan bulat yang ditentukan),as in(sebagai) which are also denoted by(yang juga dilambangkan dengan) .respectively(masing masing)



A sequence may be specified by giving enough initial terms to establish a patern,as in ( Sebuah urutan dapat ditentukan dengan memberikan persyaratan awal yang cukup untuk menetapkan pola, seperti pada )



By an explicit formula for the nth term,as in(Dengan rumus eksplisit untuk istilah ke-n, seperti pada)



Or by a recursion formula(Atau dengan rumus rekursi)



Note that each of our three illustrations decribes the same sequences.Here are four more explicit formulas and the first few terms of the sequences that they generate



Perhatikan bahwa masing-masing dari tiga ilustrasi kami mendeklarasikan urutan yang sama. Berikut adalah empat rumus yang lebih eksplisit dan beberapa istilah pertama dari urutan yang dihasilkannya.



Convergence (Konvergensi)



Consider the four sequences just defined.Each has values that pile up near 1 (see the diagrams in figure 1). Pertimbangkan empat urutan yang baru saja ditentukan. Setiap memiliki nilai yang menumpuk dekat 1 (lihat diagram pada gambar 1) but do they all converge to 1?the correct response is that sequences 1,but



and



,converge to



do not.



tetapi apakah mereka semua konvergen ke 1? respon yang benar adalah urutan itu konvergen ke 1, tetapi



dan



,



tidak.



For a sequences to converge to 1 means first that values of the sequences should get close to 1.But they must do more than get close;they must remain close for all n beyond a certain value.



Untuk urutan konvergen ke 1 pertama bahwa nilai-nilai urutan harus mendekati 1. Tetapi mereka harus melakukan lebih dari mendekati, mereka harus tetap dekat untuk semua dan melampaui nilai tertentu . This rules out sequences .And close means arbitrarily close,that is,within any specified nonzero distance from 1,which rules out sequence While sequence does not converge to 1,it is correct to say that it converges to 0.999.Sequence does not converge at all;we say it diverges. Ini mengesampingkan urutan . Dan menutup berarti menutup secara sewenang-wenang, yaitu, dalam jarak bukan nol yang ditentukan dari 1, yang mengesampingkan urutan Sementara urutan tidak konvergen ke 1, itu benar untuk mengatakan bahwa itu konvergen ke 0.999. Akibatnya tidak konvergen pada semua, kita katakan itu berbeda.



Contoh pertama Show that if p is a positive integer,then (Tunjukkan bahwa jika p adalah bilangan bulat positif, maka



Contoh Kedua:



Contoh Ketiga Apakah



urutan



bertemu



dan,



jika



demikian,



ke



nomor



berapa?



Contoh Keempat



Tunjukan bahwa



Untuk



.Karena



dan



Contoh Kelima



Tunjukan Bahwa Jika r=0, hasilnya akan biasa,jadi misalkan sebaliknya. kemudian



dan sebagainya



untuk beberapa nomor



Contoh Keenam



menunjukkan bahwa urutannya



konvergen dengan menggunakan teorema D



beberapa istilah pertama dari urutan ini adalah



untuk urutannya tampak menurun fakta yang sekarang kita tegaskan, masingmasing ketidaksetaraan berikut ini setara dengan yang lain.



ketidaksetaraan terakhir jelas untuk



Contoh Soal dan Pembahasan