Integral Fungsi Aljabar [PDF]

Citation preview

𝑝



Integral Fungsi Aljabar



∫(3𝑥 2 + 2𝑥) 𝑑𝑥 = 78



A. Pengertian Integral merupakan lawan dari turunan. Jika f (x) merupakan turunan pertama dari F (x), maka



1



|𝑥 3 + 𝑥 2 |1𝑝 = 78 (𝑝3 + 𝑝2 ) − (1 + 1) = 78 𝑝3 + 𝑝2 − 80 = 0 ⟶ 𝑝 = 4 Jadi, nilai -2p = -8



∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 B. Integral Tak Tentu 𝑎 1. ∫ 𝑎𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑛+1 𝑥 𝑛+1 + 𝐶 ; 𝑛 ≠ 1 1



2. ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶 3. ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶 4. ∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 =



𝑎𝑥 ln 𝑎



+𝐶



C. Integral Tertentu 𝑏



𝑏



1. ∫𝑎 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏



𝑏



2. ∫𝑎 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± 𝑏



∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥



𝑑𝑢



𝑏 𝑎 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑐 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0 𝑏 𝑏+𝑘 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎+𝑘 𝑓(𝑥 − 𝑘)𝑑𝑥 𝑏−𝑘 ∫𝑎−𝑘 𝑓(𝑥 + 𝑘)𝑑𝑥



3. 4. 5. 6.



D. Teknik Pengintegralan 1. Teknik Dasar Ubahlah operasinya menjadi bentuk penjumlahan atau pengurangan 2. Substitusi 1 1 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛+1 + 𝐶 ∫(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 𝑑𝑥 = 𝑎𝑛+1 Contoh soal : 1. ∫ 4𝑥(4𝑥 2 − 3)4 𝑑𝑥 adalah ..... Pembahasan : Misalkan : u = 4x2 – 3 𝑑𝑥



2. =



Hasil dari ∫ 7 2𝑥 2



=



1



3



2



77



= 6 √(2𝑥 3 − 5)2 + 𝑐 3.



Parsial ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢



∫(𝑥 3 − 6𝑥 2 + 8𝑥 + 2)𝑑𝑥 −1 1



= [4 𝑥 4 − 3𝑥 3 + 4𝑥 2 − 2𝑥]



2 −1



1



= (4 (2)4 − 3(2)3 + 4(2)2 − 2(2)) − 1



(4 (−1)4 − 3(−1)3 + 4(−1)2 − 2(−1)) 3



= 34



Contoh soal : Hasil ∫ 𝑥 √𝑥 + 1 𝑑𝑥 = ..... 𝑑𝑢



U = x ; 𝑑𝑥 = 1 ; du = dx 𝑑𝑣



2



+ 3) 𝑑𝑥 = 78.



Maka : ∫ 𝑥 √𝑥 + 1 𝑑𝑥 =



𝑝



2 ∫ 3𝑥 (𝑥 + ) 𝑑𝑥 = 78 3



3



4



5



𝑥(𝑥 + 1)2 − 15 (𝑥 + 1)2 + 𝑐 3 2 15



D. -4 E. -8



3



2



= ( x + 1)1/2 ; 𝑣 = 3 (𝑥 + 1)2 𝑑𝑥



2 𝑝 ∫1 3𝑥 (𝑥



Nilai (-2p) = ... A. 8 B. 4 C. 0 Pembahasan :



1



6𝑥 2



= 3 (2 (2𝑥 3 − 5)7 ) + 𝑐



E. 34



Diketahui



𝑑(2𝑥 3 −5)



∫(2𝑥 3 − 5) 𝑑(2𝑥 3 − 5)



2



2.



𝑑𝑥 = .....



5 − 7



3 1 7



Pembahasan :



4



1



𝑑𝑥 5



3



17



−5)5



= ∫ 2𝑥 2 (2𝑥 3 − 5)−7



1



C. 74



=8-



2𝑥 2



√(2𝑥 3 −5)5



∫ 7√(2𝑥 3



D. 44



1



1



= 2 ∫ 𝑢4 𝑑𝑢 = 2 . 5 u5 + C



Pembahasan :



− 6𝑥 + 8𝑥 + 2)𝑑𝑥 = ⋯



B. 84



8𝑥



1



1



2



A. 124



𝑑𝑢



= 10 (4𝑥 2 − 3)5 + C



Contoh soal : 1.



𝑑𝑢 𝑢4 8𝑥



∫ 4𝑥



( UN 2014 ) 2 ∫−1(𝑥 3 1



= 8x → dx =



3



(𝑥 + 1)2 [5𝑥 − 2(𝑥 + 1)] + 𝑐



2 (𝑥 + 1)√𝑥 + 1 (5𝑥 − 2𝑥 − 2) + 𝑐 15 2 (𝑥 + 1)(3𝑥 − 2)√𝑥 + 1 + 𝑐 15 2 15



(3𝑥 2 + 𝑥 − 2)√𝑥 + 1 + 𝑐



QUIZ INTEGRAL FUNGSI ALJABAR 1.



2 ∫0 3(𝑥



Hasil



B.



+ 1)(𝑥 − 6)𝑑𝑥 = ....



A. -58 B. -56 C. -28 2.



A.



D. -16 E. -14



3



5



5



2



5



1



5



1



5



2



3



1



3



(8 − 3𝑥)(4 − 𝑥)2 + 𝑐 15 1



3



1



3



2



3



D. − 15 (3𝑥 + 8)(4 − 𝑥)2 + 𝑐 E. − 15 (3𝑥 + 8)(4 − 𝑥)2 + 𝑐 ( UN 2015/2016 )



2



𝐴. 3 𝑥 − 3 𝑥 + 2𝑥 + 𝑐 1



3



(3𝑥 + 8)(4 − 𝑥)2 + c 15



C. − 15 (8 − 3𝑥)(4 − 𝑥)2 + 𝑐



( UN 2013 ) ∫((𝑥 2 + 1)(2𝑥 − 5))𝑑𝑥 = ..... 2



2



7.



B. 2 𝑥 3 − 3 𝑥 2 + 𝑥 + 𝑐 C. 3 𝑥 4 − 3 𝑥 3 + 𝑥 2 − 5𝑥 + 𝑐 D. 4 𝑥 4 − 3 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 5𝑥 + 𝑐 E. 𝑥 4 − 𝑥 3 + 𝑥 2 − 5𝑥 + 𝑐 3.



( UN IPS 2015/2016 ) Diberikan persamaan differensial 𝑑𝑦 𝑑𝑥



= √1 − 𝑥 − 𝑥 . Jika untuk x = 0, y =



0, maka y(1) = ..... 1



A. − 3



D. 1



B. 0



E.



C. 4.



( SIMAK UI 2015 )



1 6



2 3



( Kem-IPA UM UNDIP 2012 ) Perhatikan gambar berikut ! Y



12



-4



4 3



X



Luas daerah yang diarsir dinyatakan dalam bentuk integral adalah ..... 4



A. ∫0 (12 − 4𝑥)𝑑𝑥 4



B. ∫0 (3𝑥 + 12)𝑑𝑥 4



C. ∫0 (𝑥 + 3)𝑑𝑥 4



D. ∫0 (3𝑥 + 4)𝑑𝑥 4



E. ∫0 (𝑥 + 12)𝑑𝑥 ( UN IPS 2014/2015 ) 5.



4𝑥−10



∫ 3√(𝑥−1)(𝑥−4) 𝑑𝑥 = ..... 3



A. 6 √(𝑥 2 − 5𝑥 + 4)2 + 𝑐 3



B. 3 √(𝑥 2 − 5𝑥 + 4)2 + 𝑐 C. D.



33 √(𝑥 2 2 43 2 3



− 5𝑥 + 4)2 + c



√(𝑥 − 5𝑥 + 4)2 + c



3



E. √(𝑥 2 − 5𝑥 + 4)2 + c 6.



Hasil dari ∫ 𝑥√4 − 𝑥 𝑑𝑥 = ⋯