Integral Lipat Tiga [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN



1.1 Latar Belakang Masalah Pada bahasan sebelumnya telah dibahas mengenai integral lipat dua dan penentuan batasan daerahnya untuk mencari luas pada fungsi dua peubah. Untuk persoalan fungsi tiga peubah, penentuan batasan dan pemecahan masalah volume dari fungsi diperoleh dengan pemakaian integral lipat tiga. Untuk itu penulis menyusun sebuah makalah yang akan membahas mengenai bagaimana menyelesaikan integral lipat tiga dan bagaimana menentukan batas dan penyelesaian dari fungsi integral yang memiliki tiga variabel secara detail.



1.2 Rumusan Masalah 1.



Bagaimana perumusan definisi integral lipat tiga



2.



Bagaimana menghitung integral lipat tiga pada daerah terbatas umum



3.



Bagaimana menghitung massa dari sebuah fungsi kerapatan objek yang menempati daerah



4.



Bagaimana menghitung momen dari sebuah fungsi kerapatan objek yang menempati daerah



5.



Bagaimana menghitung pusat massa dari sebuah fungsi kerapatan objek yang menempati daerah



1.3 Tujuan Penulisan Tujuan penulisan dari makalah ini adalah untuk membahas mengenai integral lipat tiga, penghitungan dan cara penentuan batasan integralnya untuk menghitung volume benda pada batasan koordinat kartesius.



1



BAB II PEMBAHASAN



2.1 Pengantar Integral Lipat Tiga Integral lipat tiga merupakan perluasan dari integral lipat dua ke dimensi yang lebih tinggi. Seperti halnya integral tunggal yang ditentukan untuk fungsi satu variabel dan integral lipat dua (integral ganda) untuk fungsi dua peubah, kita menentukan integral lipat tiga untuk menentukan fungsi tiga variabel/peubah. Konsep yang diwujudkan dalam integral tunggal dan lipat-dua dapat diperluas secara wajar menjadi integral lipat-tiga, atau bahkan ke integral lipat-n.



2.2 Defenisi Integral Lipat Tiga Perhatikan suatu fungsi f tiga peubah yang didefinisikan atas suatu daerah berbentuk balok B dengan sisi-sisi sejajar bidang koordinat. Kita tidak dapat lagi menggambarkan grafik f (dimensi empat yang diinginkan), tetapi kita dapat menggambar bangun B. Perhatikan suatu fungsi f tiga peubah yang didefinisikan atas suatu daerah berbentuk balok B. B = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝑟 ≤ 𝑧 ≤ 𝑠} Bentuklah suatu partisi P dari B dengan melewatkan bidang-bidang melalui B sejajar dengan bidang koordinat, sehingga memotong B menjadi kotak-kotak yang lebih kecil B1, B2, . . . , Bn. Sebuah kotak khusus 𝐵𝑘 , diperlihatkan pada gambar 1.



Gambar 1 2



Pada 𝐵𝑘 , ambil satu titik contoh (𝑥̅𝑘 , 𝑦̅𝑘 , 𝑧̅𝑘 ) dan perhatikan penjumlahan Rieman. 𝑛



∑ 𝑓( 𝑥̅𝑘 , 𝑦̅𝑘 , 𝑧̅𝑘 )∆𝑉𝑘 𝑘=1



Dengan ∆𝑉𝑘 = ∆𝑥𝑘 ∆𝑦𝑘 ∆𝑧𝑘 adalah volume 𝐵𝑘 . Andaikan norma partisi |𝑃| ini adalah panjang diagonal terpanjang dari seluruh bagian kotak. Maka kita definisikan integral lipat tiga sebagai limit dari jumlah Riemann lipat tiga. 𝑛



∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = lim ∑ 𝑓( 𝑥̅ 𝑘 , 𝑦̅𝑘 , 𝑧̅𝑘 )∆𝑉𝑘 |𝑃|→0



𝐵



𝑘=1



asalkan limit ini ada.



Sama halnya seperti pada integral tunggal dan lipat-dua. Tentu saja cukup bahwa f kontinu di B. Sebenarnya kita membolehkan beberapa ketakkontinuan, sebagai contoh, pada sejumlah berhingga permukaan mulus. Kita tidak membuktikan (suatu tugas yang sangat sukar), tetapi kita nyatakan bahwa ia benar. Integral lipat tiga mempunyai sifat-sifat baku : kelinearan, penjumlahan pada himpunan-himpunan yang bersekutu hanya pada suatu permukaan batas, dan sifat pembanding. Akhirnya sama seperti untuk integral lipat-dua, metode praktis untuk penghitungan integral lipat-tiga adalah menyatakannya sebagai integral berulang rangkap tiga (teorema fubini). Jika f kontinu pada balok B dengan 𝐵 = [𝑎, 𝑏]𝑥; [𝑐, 𝑑]𝑦; [𝑟, 𝑠]𝑧 Maka, 𝑠



𝑑



𝑏



∭𝐵 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ∫𝑟 ∫𝑐 ∫𝑎 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧



CONTOH 1 Hitung ∭𝐵 𝑥 2 𝑦𝑧 𝑑𝑉 dengan B adalah balok yang memiliki batas-batas B = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 1 ≤ 𝑥 ≤ 2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 2}



3



Penyelesaian : Kita dapat menggunakan salah satu urutan diantara enam urutan pengintegralan yang mungkin. Jika kita memilih untuk mengintegralkan terlebih dulu terhadap x, y kemudian z, kita akan memperoleh sbb 0



2 1 2



∭ 𝑥 2 𝑦𝑧 𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑥 2 𝑦𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝐵



0 0 1 2



2



1 1



2



17



= ∫0 ∫0 [3 𝑥 3 𝑦𝑧] 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = ∫0 ∫0 3 𝑦𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑧 1



= = = =



7



2



1



7



2 1



1



∫ ∫ 𝑦𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 3 ∫0 [2 𝑦 2 𝑧] 𝑑𝑧 3 0 0 0



21 ∫ 3 0 2 7



71



2



𝑧 𝑑𝑧 = 3 2 ∫0 𝑧 𝑑𝑧



7 1 2 2 [ 𝑧 ] 6 2 0



=



7 6



(2 − 0)



7 3



Terdapat enam urutan pengintegralan yang mungkin. Yang mana saja diantara ke7



enam kemungkinan tersebut akan menghasilkan jawaban 3. 2.3 Integral Lipat Tiga atas Daerah Terbatas Umum S Tinjaulah sebuah himpunan S yang tertutup dan terbatas pada ruang berdimensi tiga dan dilingkupi oleh sebuah kotak B, seperti yang ditunjukkan gambar 2.



4



Gambar 2 Misalkan f(x, y, z) didefinisikan pada S dan f bernilai nol di luar S. Maka kita dapat mendefinisikan 0



0



∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 𝑆



𝐵



Integral di ruas kanan didefinisikan pada catatan pembukaan kita, integral ini ada jika f kontinu dan batas dari S “cukup halus”. Kita membatasi perhatian kita pada fungsi kontinu f dan dan pada daerah tertentu dengan jenis yang sederhana. Andaikan S adalah himpunan sederhana -z (garis-garis tegak/garis pada arah sumbu z memotong S menurut ruas garis tunggal) dan andaikan 𝑆𝑥𝑦 adalah proyeksinya pada bidang -xy (Gambar 3).



Gambar 3



5



Maka, 0



0



𝛹2 (𝑥,𝑦)



∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ∭ [∫ 𝑆



𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑧 ] 𝑑𝐴



𝛹1 (𝑥,𝑦)



𝑆𝑥𝑦



Jika 𝑆𝑥𝑦 adalah himpunan y sederhana (seperti diperlihatkan Gambar 3), kita dapat menulis ulang integral lipat dua sebelah luar sebagai sebuah integral berulang. 0



𝑎2



𝛷2 (𝑥)



∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ∫ ∫ 𝑎1



𝑠



𝛹2 (𝑥,𝑦)



∫



𝛷1 (𝑥)



𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥



𝛹1 (𝑥,𝑦)



Urutan pengintegralan lainnya juga memungkinkan, bergantung dari bentuk S, tetapi dalam tiap kasus kita seharusnya menjadikan batas-batas dari integral sebelah dalam berupa fungsi dua peubah, yang berada pada integral tengah berupa fungsi satu peubah, dan yang di sebelah luar berupa konstanta.



CONTOH 2 Hitunglah integral lipat tiga 5



3𝑥



𝑥+2



∫ ∫



∫



−2 0



𝑦



4 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥



Penyelesaian 5



3𝑥



𝑥+2



∫−2 ∫0 ∫𝑦



5



3𝑥



𝑥+2



4 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫−2 ∫0 (∫𝑦 5



3𝑥



5



3𝑥



4 𝑑𝑧) 𝑑𝑦 𝑑𝑥



= ∫−2 ∫0 [4𝑧]𝑦𝑥+2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫−2 ∫0 (4𝑥 − 4𝑦 + 8)𝑑𝑦 𝑑𝑥 5



= ∫−2[4𝑥𝑦 − 2𝑦 2 + 8𝑦]3𝑥 0 𝑑𝑥 5



= ∫−2(−6𝑥 2 + 24𝑥) 𝑑𝑥 = −14



6



CONTOH 3 Hitunglah integral lipat tiga untuk f(x, y, z) = 2xyz dalam daerah padat S yang 1



dibatasi oleh silinder parabolik z = 2− 2 𝑥 2 dan bidang-bidang z = 0, y = x, dan y = 0. Penyelesaian



Gambar 4 Daerah padat S sebagai suatu himpunan sederhana -z dan proyeksinya 𝑆𝑥𝑦 pada bidang xy adalah sederhana -y ( dan juga sederhana -x).



Gambar 5



7



Jadi, 2



2−𝑥 2 /2



𝑥



∭ 2𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ 0



𝑠



0



2𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥



0



Pada pengintegralan pertama, x dan y tetap, kita mengintegralkannya disepanjang garis vertikal dari z = 0 sampai z = 2 − 𝑥 2 /2. Hasilnya kemudian diintegralkan atas himpunan 𝑆𝑥𝑦 2



𝑥



2



𝑥



2−𝑥 2 /2



= ∫0 ∫0 [𝑥𝑦𝑧 2 ]0



𝑑𝑦 𝑑𝑥 1



= ∫0 ∫0 (4𝑥𝑦 − 2𝑥 3 𝑦 + 4 𝑥 5 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2



1



= ∫0 (2𝑥 3 − 𝑥 5 + 8 𝑥 7 ) 𝑑𝑥 =



4 3



Banyak urutan pengintegralan yang berbeda yang memungkinkan pada Contoh 2. Urutan lain untuk mengerjakan soal ini misalnya pada contoh 4



Contoh 4 Hitunglah integral dari Contoh 3 dengan mengerjakan pengintegralan dalam urutan dy dx dz. Penyelesaian Perhatikan bahwa benda padat S adalah sederhana -y dan ia diproyeksikan ke dalam himpunan bidang 𝑆𝑥𝑧 yang diperlihatkan pada Gambar 5. Jadi, pertama kita integralkan di sepanjang sebuah garis horizontal dari y = 0 hingga y = x, kemudian kitamengintegralkan hasilnya atas Sxz 2



√4−2𝑧



∭ 2𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑉 = ∫ ∫ 0



𝑠



∫ 2𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧



0



0



2



√4−2𝑧



[𝑥𝑦 2 𝑧]0𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑧



2



√4−2𝑧



𝑥 3 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑧



= ∫0 ∫0



= ∫0 ∫0 2 1



= ∫0 [4 𝑥 4 𝑧] 1



𝑥



2



√4−2𝑧 0



𝑑𝑧 4



= 4 ∫0 (√4 − 2𝑧) 𝑧 𝑑𝑧 8



1



2



= 4 ∫0 (16𝑧 − 16𝑧 2 + 4𝑧 3 ) 𝑑𝑧 4



=3 2.4 Massa dan Pusat Massa Konsep massa dan pusat massa dapat digeneralisasi dengan mudah ke daerah benda padat. Saat ini, proses yang mengarah pada rumus integral yang benar telak dikenal dengan baik dan dapat diringkas dalam sebuah motto, yaitu iris, hampiri, integralkan. Gambar 6 mengilustrasikan keseluruhan gagasan tentang masalah ini. Simbol 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) melambangkan kerapatan (massa per satuan volume) di (x, y, z).



Gambar 6



Rumus-rumus integral yang berhubungan dengan massa m dari benda padat S, adalah m = ∭ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉



Dan momennya di sekitar tiga koordinat yaitu momen 𝑀𝑥𝑦 dari S terhadap bidang xy, momen 𝑀𝑦𝑧 dari S terhadap bidang yz, momen 𝑀𝑥𝑧 dari S terhadap bidang xz adalah 𝑀xy = ∭ 𝑧𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 𝑆



𝑀yz = ∭ 𝑥𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 𝑆



𝑀xz = ∭ 𝑦𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 𝑆



9



dan pusat massa di koordinat x, y, dan z yaitu 𝑥̅ = 𝑦̅ = 𝑧̅ =



𝑀yz 𝑚 𝑀xz 𝑚 𝑀xy 𝑚



Gambar 7



CONTOH 5 Tentukan massa dan pusat massa dari benda pejal S pada contoh 3 dengan anggapan bahwa kerapatannya sebanding terhadap jarak dari alas pada bidang –xy nya. Penyelesaian Berdasarkan hipotesa 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘𝑧, dengan k adalah konstanta. Jadi, 𝑥2



m = ∭ 𝑘𝑧 𝑑𝑉 = 2



𝑥 1



= 𝑘 ∫0 ∫0



2 𝑥 2− ∫0 ∫0 ∫0 2



(2 − 2



𝑥2



𝑘𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥



2



2



𝑥



1



) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫0 ∫0 (2 − 𝑥 2 + 8 𝑥 4 ) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2



2



𝑥6



1



2



= 𝑘 ∫0 (2𝑥 − 𝑥 3 + 8 𝑥 5 ) 𝑑𝑥 = 𝑘 [𝑥 2 − 𝑥 4 + 48] = 0



𝑥2



2



𝑀𝑥𝑦 = ∭𝑆 𝑘𝑧 𝑑𝑉 = =



𝑘



2



𝑥



∫ ∫ (2 − 3 0 0



𝑥2



2 𝑥 2− ∫0 ∫0 ∫0 2



4 3



𝑘



𝑘𝑧 2 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥



3



) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2



10



= = =



2 𝑥 ∫ ∫ 3 0 0



𝑘



3



2



𝑘



1



(8 − 6𝑥 2 + 2 𝑥 4 − 8 𝑥 6 ) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3



1



∫ (8𝑥 − 6𝑥 3 + 2 𝑥 5 − 8 𝑥 7 ) 𝑑𝑥 3 0



𝑘 3



3



1



1



[4𝑥 2 − 2 𝑥 4 − 4 𝑥 6 − 64 𝑥 8 ]20 = 2



𝑥



2−𝑥 2 /2



𝑀𝑥𝑧 = ∭𝑠 𝑘𝑦𝑧 𝑑𝑣 = ∫0 ∫0 ∫0 2



𝑥1



= 𝑘 ∫0 ∫0 2 𝑦 (2 − 2



1



𝑥2



2



4 3



𝑘



𝑘𝑦𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 21



) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫0 4 𝑥 2 (2 − 2



𝑥2



2



) 𝑑𝑥 2



1



= 𝑘 ∫0 (𝑥 2 − 2 𝑥 4 + 6 𝑥 6 ) 𝑑𝑥 =



64 105



𝑘 2



𝑥



2−



𝑀𝑦𝑧 = ∭𝑠 𝑘𝑥𝑧 𝑑𝑣 = ∫0 ∫0 ∫0 =



𝑍̅



= =



128 105



𝑥2 2



𝑘𝑥𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥



𝑘



𝑀𝑥𝑦 𝑚 4 𝑘 3 4 𝑘 3



= 1



𝑥̅



= = =



𝑦̅



= = =



𝑀𝑦𝑧 𝑚 128 𝑘 105 4 𝑘 3



32 35



𝑀𝑥𝑧 𝑚 64 𝑘 105 4 𝑘 3



16 35



11



BAB III PENUTUP



3.1 KESIMPULAN Integral lipat tiga merupakan perluasan dari integral lipat dua ke dimensi yang lebih tinggi. Kita menggunakan integral lipat tiga untuk menentukan solusi fungsi tiga variabel/peubah. Dalam menentukan batas-batas dari integral lipat tiga, integral sebelah dalam adalah berupa fungsi dua peubah, yang berada pada integral tengah berupa fungsi satu peubah, dan yang di sebelah luar berupa konstanta. Penerapan integral lipat dua juga berlaku untuk integral lipat tiga seperti pada pusat massa, massa, dan menentukan momen di sekitar koordinatnya.



12



DAFTAR PUSTAKA



Purcell E. J.,Verberg D., dan Rigdon,. (2004). Kalkulus Jilid II Edisi Kedelapan. Jakarta : Erlangga



13