![Integral LIpat - Doc Hi [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/integral-lipat-doc-hi.jpg)
14 0 716 KB
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Konsep integral tentu untuk fungsi dengan satu peubah dapat diperluas menjadi untuk fungsi dengan banyak peubah. Integral fungsi satu peubah selanjutnya akan dinamakan integral lipat satu, untuk membedakannya dengan integral lipat yaitu integral untuk fungsi dengan banyak peubah. Integral lipat satu merupakan materi pendukung untuk pembahasan dalam materi integral lipat dua dan lipat tiga. Bagaimana defenisi dan perhitungan dalam integral lipat dua dan tiga kemudian untuk kasus apa saja dapat diterapkan integral lipat dua dan tiga. 1.2. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan, maka beberapa rumusan masalah yang dapat diambil dalam makalah ini adalah: 1. Bagaimana definisi dan perhitungan integral lipat dua dan lipat tiga? 2. Bagaimana penerapan integral lipat dua dan lipat tiga? 1.3. Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan makalah ini berdasarkan rumusan masalah di atas adalah: 1. Untuk mengetahui definisi dan perhitungan integral lipat dua dan lipat tiga. 2. Untuk mengetahui penerapan integral lipat dua dan lipat tiga. 1.4. Identitas Buku No 1 Judul 2
Terjemahan
BUKU I Calculus with Analytic Judul Geometry Drs. I. Nyoman Susila, Terjemahan
BUKU II Matematika Teknik Drs. Erwin
3
Pengarang
M.Sc. J.Edwin
Pengarang
M.Sc. K.A Stroud
4 5
Penerbit Tahun terbit
Purcell-DaleVanberg Erlangga 1987
Penerbit Tahun terbit
Erlangga 1998
untuk Sucipto,
BAB II PEMBAHASAN
1
2.1. Integral Lipat Dua Pandang suatu fungsi z f ( x, y ) yang kontinu pada daerah hingga R di bidang XOY. Misalkan daerah ini dibagi atas n buah sub (bagian) daerah R1, R2, ...., Rn masingmasing luasnya 1 A, 2 A, ....., n A . Dalam setiap sub daerah pilih suatu titik Pk ( xk , yk ) dan bentuk jumlah n
f (x k 1
k
, y k ) k A f ( x1 , y1 ) 1 A f ( x 2 , y 2 ) 2 A ..... f ( x n , y n ) n A
....... (1)
Sekarang tentukan diameter dari sub daerah yang merupakan jarak terbesar antara dua titik sembarang di dalam atau pada batas sub daerah, dengan n adalah diameter maksimum dari sub daerah. Misalkan banyaknya sub daerah makin besar diartikan
n maka
n 0 , maka
integral lipat dua dari fungsi f(x, y) atas daerah R didefinisikan sebagai
n
f ( x, y ) dA lim f ( x k , y k ) k A
R
n
.
k 1
...... (2)
(a)
(b)
Bila z = f(x, y) non negatif atas daerah R, sebagai dalam gambar (b), integral lipat dua bisa diartikan sebagai volume. Sembarang suku f ( xk , yk ) k A dari persamaan (1) memberikan volume dari kolom vertikal yang alasnya k A dan tingginya adalah dan tingginya adalah zk yang diukur sepanjang vertikal dari titik Pk yang dipilih sebagai permulaan z f ( x, y ) . Jadi persamaan (1) adalah volume-volume pendekatan kolom vertikal yang alasnya Rk di bawah dan di atasnya adalah permukaan yang proyeksinya Rk . Persamaan (2)
adalah ukuran dari volume dari sub-sub daerah.
2
2.2. Aplikasi Integral Lipat Dua Integral lipat dua dapat digunakan dalam banyak hal, misalnya : 1.
Menghitung volume antara permukaan z f ( x, y ) dan bidang xy. Rumus :
f ( x, y ) dx dy
V
R
2.
Menghitung luas daerah di bidang xy dimana f ( x, y ) 1 Rumus :
dx dy
L
R
3.
Menghitung massa f dipandang sebagai massa jenis (massa persatuan luas) Rumus : M
f ( x, y ) dx dy R
4.
Menghitung pusat massa f = massa jenis, M = massa dari pelat tipis dan (x, y) = pusat massa di R, maka : Mx
x f ( x, y ) dx dy R
My
y f ( x, y) dx dy R
5.
Menghitung momen inersia. Momen inersia dari pelat tipis terhadap sumbu x dan sumbu y, diberikan dengan Ix
y R
2
f ( x, y ) dx dy ; I y
x
2
f ( x, y ) dx dy
R
Contoh : 1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola-parabola y2 4 x y 2 4 4x
Cari titik potong kedua parabola 4 x 4 4x 3x 0
x0 y 2
Titik-titik potong : (0,2) dan (0, -2)
3
2 2 4 y
L = 2 0
dx dy
1
2
y2 4
4 y 2
x dy
0
1
y2 4
2
2 (4 y 2 1 0
2(3 y
y2 ) dy 4
1 3 2 y )| 0 4
2( 6 2) 8
2.
Hitung volume ruang yang dibatasi oleh silinder x 2 y 2 4 dan bidang-bidang yz4
V
dan z 0 .
z dA R
V
(4 y ) dA R
2
4 y 2
(4 y ) dx dy
2
4 y 2
4
2
2
4 y 2
(4 y ) dx dy
2
0
2
2 (4 x yx) |
4 y 2
0
2
dy
2 2 (4( 4 y 2 ) y ( 4 y 2 ) dy 2 2
1 1 1 y 2 2.4( y 4 y 2 .4 arc sin ) | 1 ( 4 y 2 ) 2 d (4 y 2 ) 2 2 2 2 2 2
3 2 2 4.(0 0) 4.4( ) 2. (4 y 2 ) 2 | 2 2 2 3
16
4 (0 0) 16 3
3. Hitung volume dari ruang yang dibatasi oleh silinder 4 x 2 y 2 4 , bidang-bidang z 0 dan z 2 y .
z dA
V
R
4 y 2 2
2
y 0
2 y dx dy
4 y 2 2 4 y 2
2
2 0
2
2 y dx dy 0
2
2 2 yx | 0
0
4 y 2 2
dy
5
2
2 2 y. 0 2
1 2
4 y 2 dy
4 y2 d 4 y2
0
2 2 2 ( 4 y ) 3 3
4.
2
0
2 16 (0 8) 3 3
Tentukan pusat bidang yang luasnya dibatasi oleh parabola y 6 x x 2 dan
yx
Jawab : A
5
6 x x2
x 0
x
dA dy dx R
5
(6 x x 2 x )dx 0
5 2 1 3 5 125 125 125 x x | 2 3 0 2 3 6 5 6 x x2
Mx
y dA y dy dx R
0
x
5
6 x x2 1 y2 | dx x 20
6
5
1 6x x 2 20
1 (35 x 2 12 x 3 x 4 )dx 2 0
5 1 35 3 1 ( x 3x 4 x 5 )| 0 2 3 5
1 4375 625 ( 1875 625) 2 3 6
2
x 2 dx
5
625 Mx y 6 5 A 125 6 5 6 x x2
x dA x dy dx
My
R
5
0
6 xx2
( xy ) | 0
x
x
5
dx (6 x 2 x 3 x 2 ) dx
0
5 625 625 625 5 3 1 4 x x 3 4 12 3 4 0
625 5 x 12 A 125 2 6 My
Pusat bidang (5/2 , 5) 5. Tentukan pusat bidang yang luasnya dibatasi oleh parabola-parabola : y 2x x 2 y 3x 2 6 x
7
Jawab : Titik-titik potongnya (0, 0) dan (2, 0)
dA
A
R
2 2 xx2
dy dx
0 3 x 2 6 x
2
(2 x x 2 3x 2 6 x)dx 0
2
( 4 x
2
8 x )dx
0
2 4 32 16 x 3 4 x 2 | 16 0 3 3 3 2 2 x x2
1 2 2 x x2 y dy dx ( 0 2 0 2 y )|3 x 2 6 x dx 3 x 6 x
y dA
Mk
R
2
2
1 (2 x x 2 ) 2 (3x 2 6 x) 2 dx 20
2 1 32 3 8 x 8x 4 x5 2 3 5 0
1 256 256 128 2 3 5
y
64 15
64
15 4 16 5 3
My
x dA R
2 2 x x2
x dy dx
0 3 x 2 6 x
2
2 x x2
xy | 0
3 x 2 6 x
dx
2
(2 x 2 x 3 3 x 3 6 x 2 )dx 0
2 64 16 8 3 4 16 x x 3 3 3 0
8
x
My
A
16
3 1 16 3
* Pusat bidang (1,
4 ) 5
2.3. Integral Lipat Tiga . F(x,y,z) didefinisikan pada ruang tertutup
Bentuknya:
V dibagi atasparalelepipedum tegak lurus oleh bidang-bidang sejajar bidang koordinat. Paralelepipedum dalam V kita beri nomor 1 sampai n. Paralelepipedum ke i mempunyai volume Integral tripel (integral lipat tiga didapat dari limit jumlah
Jika
, sedang diagonal maksimum dari
. Titik
dipilih
sebarang dalam paralelepidum ke-i. Adanya suatu limit yang unik dapat ditunjukkan jika f (x,y,z) kontinu di V. Teori sederhana berlaku untuk ruang tertutup V yang dilukiskan sebagai ,
,
.
Untuk ruang tertutup ini, integral lipat tiga dapat disingkat menjadi integral berulang:
2.4. Aplikasi Integral Lipat Tiga 1.
Momen Inersia terhadap sumbu OX
9
Dimana V = volume dari benda Contoh- contoh: Hitung :
Jawab :
2.
Hitung
dimana
V dibatasi oleh oleh
10
3.
Hitung tripel dari oleh bidang
atas daerah R dalam oktano pertama yang dibatasi ,
,
,
dan silinder
Jawab:
11
Daerah ruang yang dimaksud
4.
Hitung integral lipat 3 dari
atas daerah yang dibatasi oleh parabola
dan bidang Jawab:
12
5.
Hitung volume dari daerah yang terletak dalam silinder
cos
di atas bidang
dan di atas dibatasi oleh
13
Jawab:
6.
Tentukan koordinat dari Centroid soal nomor 5 Jawab:
Dengan simetri;
14
Jadi Centroid koordinatnya :
BAB III PENUTUP
3.1. Kesimpulan Beberapa kesimpulan yang diperoleh dari makalah ini antara lain adalah: 1. Integral lipat dua didefenisikan :
R
n
f ( x, y ) dA lim f ( x k , y k ) k A n
k 1
Integral lipat tiga didefenisikan :
2. Integral lipat dua dapat diaplikasikan untuk menghitung volume antara permukaan, menghitung luas, menghitung massa, menghitung pusat massa, dan menghitung momen inersia. Integral lipat tiga dapat diaplikasikan untuk menghitung volume, menghitung momen inersia, dan menentukan koordinat centroid.
15
DAFTAR PUSTAKA Edwin, J. Purcell-Dale Vanberg, C. 1987. Calculus with Analytic Geometry, 5th Edition. Terjemahan: Drs. I. Nyoman Susila, M.Sc. Jakarta: Penerbit Erlangga. Stroud, K.A. 1998. Matematika untuk Teknik. Terjemahan: Drs. Erwin Sucipto, M.Sc. Jakarta: Penerbit Erlangga.
16
