Integral Numerik Simpson 3per8 - KELOMPOK 7 [PDF]

Citation preview

INTEGRAL NUMERIK ATURAN SIMPSON 𝟑/𝟖 Diajukan untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Metode Numerik Dosen Pengampu: Darta, S.Pd., M.Pd. / Thesa Kandaga, S.Si., M.Pd.



Oleh : Jayanti Purwati



(175050004)



Nida Aulia Pangesti Limbangan



(175050025)



Risya Fadilah



(175050031)



PROGAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PASUNDAN BANDUNG 2020



Dengan menyebut nama Allah yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang



KATA PENGANTAR Puji dan Syukur kita panjatkan kehadirat Allah SWT karena berkat rahmat dan hidayah-Nya akhirnya penyusun dapat menyelesaikan makalah Integrasi Numerik; Aturan Simpson 3/8 ini dengan baik dan lancar. Penyelesaian penyusunan makalah Integrasi Numerik; Aturan Simpson 3/8 ini ditujukan untuk memenuhi salah satu tugas yang diberikan oleh Dosen Mata Kuliah Metode Numerik, Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Pasundan, Bapak Darta, S.Pd., M.Pd. dan Bapak Thesa Kandaga, S.Si., M.Pd. Penyusun menyadari bahwa makalah ini tidak akan berhasil tanpa bantuan berbagai pihak baik secara langsung maupun tidak langsung. Maka dari itu, penyusun mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan makalah ini. Penyusun menyadari bahwa kerterbatasan kemampuan dan pengetahuan telah menjauhkan makalah ini dari kata sempurna. Untuk itu penyusun sangat mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun dari pembaca demi perbaikan makalah ini kedepannya. Akhirnya besar harapan penyusun agar makalah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang bergerak dan terlibat dari dunia pendidikan pada umumnya.



Bandung,



Mei 2020



Penyusun



ii



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR ............................................................................................ ii DAFTAR ISI .......................................................................................................... iii BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1 1. 1 Latar Belakang ........................................................................................ 1 1. 2 Rumusan Masalah ................................................................................... 1 1. 3 Tujuan ..................................................................................................... 2 BAB II KAJIAN PUSTAKA .................................................................................. 3 2. 1 Metode Numerik ..................................................................................... 3 2. 2 Angka Signifikan / Bena ........................................................................ 3 2. 3 Deret Taylor ............................................................................................ 6 2. 4 Deret Mc. Laurin .................................................................................... 7 2. 5 Galat (Error) ........................................................................................... 7 2. 6 Interpolasi Polinom Newton–Gregory Maju ........................................ 10 2. 7 Interpolasi Polinom Newton–Gregory Mundur .................................... 12 2. 8 Integrasi Numerik ................................................................................. 14 2. 9 Kaidah Trapesium................................................................................. 15 BAB III PEMBAHASAN ..................................................................................... 18 3. 1 Kaidah Metode Simpson 3/8................................................................. 18 3. 2 Contoh Soal Metode Integrasi Simpson 3/8 ......................................... 22 3. 3 Manfaat Metode Simpson 3/8 .............................................................. 27 BAB IV PENUTUP .............................................................................................. 28 4. 1 Kesimpulan ........................................................................................... 28 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 29



iii



BAB I PENDAHULUAN



1. 1 Latar Belakang Integrasi numerik adalah suatu metode yang digunakan untuk mendapatkan nilai – nilai hampiran dari beberapa integral tentu yang memerlukan penyelesaian numerik sebagai hampirannya. Suatu integral dapat diselesaikan dengan 2 cara, yaitu secara analitik dan secara numerik. Banyak permasalahan yang dihadapi dapat dimodelkan ke dalam persamaan integral. Namun persamaan integral ini terkadang memiliki bentuk yang terlalu rumit sehingga sulit untuk diselesaikan dengan menggunakan kaidah – kaidah kalkulus secara analitik. Untuk menangani persamaan yang rumit tersebut dapat menggunakan metode numeriks. Dengan menggunakan metode numerik, solusi eksak dari persoalan yang dihadapi tidak akan diperoleh. Metode numerik hanya bisa memberikan solusi yang mendekati atau menghampiri solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran (approximation solution). Pendekatan solusi ini tentu saja tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya yang disebut dengan galat (error). Semakin kecil galat yang diperoleh berarti semakin dekat solusi hampiran yang diperoleh dengan solusi sejatinya. Tidak seperti metode analitik yang solusinya biasanya disajikan dalam bentuk fungsi matematik yang selanjutnya dapat di evaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka, sesuai dengan namanya solusi dari metode numerik selalu berbentuk angka.



1. 2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan diatas, maka rumusan masalahnya adalah sebagai berikut. 1. Apa itu Metode Simpson 3/8? 2. Bagaimana algoritma dari Metode Simpson 3/8?



1



3. Bagaimana penyelesaian masalah dengan Metode Simpson 3/8? 4. Bagaimana penerapan dari Metode Simpson dalam kehidupan sehari – hari? 1. 3 Tujuan 1. Memahami pengertian dari Metode Simpson 3/8. 2. Mengetahui algoritma dari Metode Simpson 3/8. 3. Memahami langkah – langkah penyelesaian Metode Simpson 3/8. 4. Memahami penerapan dari Metode Simpson dalam kehidupan sehari – hari.



2



BAB II KAJIAN PUSTAKA



2. 1 Metode Numerik Metode numerik adalah satu – satunya metode alternative yang ada dalam upaya menyelesaikan persoalan – persoalan matematis. Metode yang lain dikenal dengan sebutan metode analitik. Ada dua alasan mengapa pilihan dijatuhkan kepada metode numerik. Alasan pertama metode ini memberikan keefesiensinan dan keefektifan di dalam menyelesaikan persoalan – persoalan matematis dikarenakan berkembangnya perangkat keras dan lunak komputer akhir – akhir ini. Alasan yang lain adalah metode numerik memungkinkan untuk mengkaji parametrik dari persoalan dengan medan yang bersifat sembarang. Alasan yang terakhir



ini



lebih



bermakna



ketidakmampuan



metode



analitik



untuk



menyelesaikan persoalan – persoalan matematis aplikasi yang kompleks. Dalam banyak literatur analisa numerik diungkapkan bahwa di dalam metode numerik keputusan menerima atau menolak suatu jawaban aproksimasi berdasarkan kepada toleransi kedekatan yang disepakati. Toleransi yang dibuat menyangkut kesepakatan kesalahan atau galat yang ditimbulkan oleh rumus atau formula yang digunakan. Tentu semakin kecil kesalahan atau galat yang ditimbulkan oleh penggunaan suatu rumus atau formula maka semakin baik hasil aproksimasi yang dihasilkan.



2. 2 Angka Signifikan / Bena Angka signifikan (Bena atau angka penting) adalah bilangan yang diperoleh dari hasil pengukuran yang terdiri dari angka – angka penting yang sudah pasti (terbaca pada alat ukur) dan satu angka terakhir yang ditafsir atau diragukan. Sedangkan angka eksak atau pasti adalah angka yang sudah pasti (tidak diragukan nilainya), yang diperoleh dari kegiatan membilang (menghitung).



3



1. Ketentuan Penulisan Angka Penting a. Semua angka yang bukan nol adalah angka penting. Contoh: 1) 14569 = 5 angka penting. 2) 2546 = 4 angka penting. 3) 6,89 = 3 angka penting. b. Semua angka nol yang berada di antara angka bukan nol termasuk angka penting. Contoh: 1) 2,0067 = 5 angka penting. 2) 7000,2003 = 9 angka penting. 3) 0,005006 = 4 angka penting. c. Semua angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol termasuk angka penting. Contoh: 1) 2500, = 4 angka penting. 2) 70000, = 5 angka penting. d. Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir dan di belakang tanda decimal adalah angka penting. Contoh: 23,50000 = 7 angka penting. e. Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir dan tidak dengan tanda desimal adalah dalah angka tidak penting. Contoh: 1) 350000 = 2 angka penting. 2) 141441000 = 6 angka penting. f. Angka nol yang terletak di depan angka bukan nol yang pertama adalah angka tidak penting. Contoh: 0,0000352 = 3 angka penting.



4



2. Kaidah Pembulatan a. Jika angka pertama setelah angka yang hendak dipertahankan adalah 4 angka atau lebih kecil, maka angka itu dan seluruh angka di sebelah kanannya ditiadakan. Contoh: 1) 75,494 = 75,49 (angka 4 yang terakhir ditiadakan). 2) 1,00839 = 1,008 (kedua angka dari paling terakhir ditiadakan). b. Jika angka pertama setelah angka yang akan dipertahankan adalah 5 atau lebih besar, maka angka tersebut dan seluruh angka di bagian kanannya ditiadakan. Angka terakhir yang dipertahankan bertambah satu. 3. Kaidah Penjumlahan dan Pengurangan Apabila melakukan operasi penjumlaha atau pengurangan, maka hasilnya hanya boleh mengandung satu angka taksiran. Angka taksiran adalah angka terakhir dari suatu angka penting. Contoh: Hasil dari 273,219 + 15,5 + 8,43 ? Jawab: Jumlahkan ketiga angka diatas seperti biasanya, diperoleh: 273,219 + 15,5 + 8,43 = 297,149 Selanjutnya bulatkan hasilnya hingga hanya terdapat satu angka taksiran. Dari hasil penjumlahan angka 4 dan 9 ditiadakan, hasilnya menjadi 297,1. 4. Kaidah Perkalian dan Pembagian a. Pada operasi perkalian atau pembagian, hasil yang diperoleh hanya boleh memiliki jumlah angka penting sebanyak bilangan yang angka pentingnya paling sedikit. Contoh: Hitunglah opeasi perkalian dari 0,6283 × 2,2 Jawab: Lakukan prosedur perkalian dengan cara biasa, diperoleh: 0,6283 × 2,2 = 1,38226 Kemudian bulatkan hasilnya hingga memiliki angka penting sebanyak salah satu bilangan yang memiliki angka penting paling sedikit. 0,6283 = 4 angka penting. 2,2 = 2 angka penting.



5



Jadi yang diambil adalah 2 angka penting. Sehingga 1,38226 hasilnya dibulatkan menjadi 1,4 (dua angka penting). b. Hasil perkalian atau pembagian antara bilangan penting dengan bilangan eksak atau pasti hanya boleh memiliki angka penting sebanya jumlah angka penting pada bilangan penting. Contoh: Hitunglah opeasi perkalian dari 25 × 8,95 Jawab: 25 × 8,95 = 223,75 Hasilnya dibulatkan menjadi 224 (tiga angka penting) agar sama dengan banyak angka penting pada bilangan penting 8,95.



2. 3 Deret Taylor Deret Taylor adalah deret pangkat 𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑧0 ) + ∑∞ 𝑛=1



𝑓 (𝑛) (𝑧0 ) 𝑛!



(𝑧 − 𝑧0 )𝑛



yang analitik pada daerah 𝐷 = {𝑧: |𝑧 − 𝑧0 | < 𝑟} (lingkaran dengan pusat di 𝑧0 dan jari – jari 𝑟). Maka untuk setiap titik 𝑧 pada lingkaran itu, 𝑓(𝑧) dapat dinyatakan sebagai: 𝑛 𝑓(𝑧) = ∑∞ 𝑛=0 𝑎𝑛 (𝑧 − 𝑧0 ) …… (|𝑧 − 𝑧0 | < 𝑟)



dengan 𝑎𝑛 =



𝑓 (𝑛) (𝑧0 ) 𝑛!



…… (𝑛 = 0, 1, 2, … )



atau dituliskan, 𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑧0 ) +



𝑓′(𝑧𝑜 ) 𝑓′′(𝑧𝑜 ) (𝑧 − 𝑧0 ) + (𝑧 − 𝑧0 )2 + ⋯ (|𝑧 − 𝑧0 | < 𝑟) 1! 2! ∞



= 𝑓(𝑧0 ) + ∑ 𝑛=1



𝑓 (𝑛) (𝑧0 ) (𝑧 − 𝑧0 )𝑛 𝑛! 1



Contoh : Tentukan deret Taylor 𝑓(𝑧) = 𝑧 di 𝑧 = 1 Jawab



1



1



𝑛 𝑛 : 𝑓(𝑧) = 𝑧 = 1+(𝑧−1) = ∑∞ 𝑛=0(−1) (𝑧 − 1) …… (|𝑧 − 1| < 1)



6



2. 4 Deret Mc. Laurin Deret Mc. Laurin merupakan Deret Taylor pada saat 𝑧0 = 0 berbentuk: ∞



𝑓 (𝑛) (0) 𝑛 𝑓(𝑧) = ∑ 𝑧 … (|𝑧| < 𝑟) 𝑛! 𝑛=0



Teorema: 𝑧𝑛



1. 𝑒 𝑧 = ∑∞ 𝑛=0 𝑛! = 1 + 𝑧 +



𝑧2



… , |𝑧| < ∞



2!



(−1)𝑛



𝑧3



2𝑛+1 2. sin 𝑧 = ∑∞ =𝑧− 𝑛=0 (2𝑛+1)! 𝑧 (−1)𝑛



2𝑛 3. cos 𝑧 = ∑∞ =1− 𝑛=0 (2𝑛)! 𝑧 𝑧 2𝑛+1



4. sinh 𝑧 = ∑∞ 𝑛=0 (2𝑛+1)! = 𝑧 + 𝑧 2𝑛



5. cosh 𝑧 = ∑∞ 𝑛=0 (2𝑛)! = 1 + 6. 7.



1 1−𝑧 1 1+𝑧



𝑧3



𝑧2 2!



𝑧2



3!



2!



+



+



+



3!



4!



𝑧4



𝑧5



𝑧4



+



5!



4!



𝑧5 5!



… , |𝑧| < ∞



… , |𝑧| < ∞



… , |𝑧| < ∞



… , |𝑧| < ∞



𝑛 2 3 = ∑∞ 𝑛=0 𝑧 = 1 + 𝑧 + 𝑧 + 𝑧 + ⋯ , |𝑧| < 1 𝑛 𝑛 2 3 = ∑∞ 𝑛=0(−1) 𝑧 = 1 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑧 + ⋯ , |𝑧| < 1 1



Contoh : Perderetan 𝑓(𝑧) = 1+𝑧 dalam deret Mc. Laurin. Jawab



1



: Fungsi 𝑓(𝑧) = 1+𝑧 tidak analitik di 𝑧 = −1, sehingga daerah keanalitikan |𝑧| < 1 ∞



∞



𝑛=0



𝑛=0



1 1 𝑓(𝑧) = = = ∑(−𝑧)𝑛 = ∑(−1)𝑛 𝑧 𝑛 … |𝑧| < 1 1 + 𝑧 1 − (−𝑧)



2. 5 Galat (Error) Data numerik adalah suatu aproksimasi (taksiran) yang sesuai sampai dengan dua, tiga, atau lebih tempat desimal. Kadang metode yang digunakan pun adalah suatu aproksimasi. Oleh sebab itu galat dalam hasil perhitungan mungkin disebabkan oleh galat data, atau galat di dalam pemakaian suatu metode, atau kedua – duanya. Dalam bagian ini akan dibicarakan ide dasar tentang galat.



7



1. Tipe Galat a. Galat Inheren (Inheren Error) Galat inheren merupakan galat bawaan akibat penggunaan suatu metode numerik. Akibat perhitungan numerik sebagian besar adalah tidak eksak, dapat menyebabkan data yang diperoleh adalah data aproksimasi. Selain itu, keterbatasan dari alat komputasi seperti tabel matematika, kalkulator atau komputer digital juga membuat perhitungan numerik tidak eksak. Karena keterbatasan tersebut, bilangan – bilangan yang diperoleh adalah hasil pembulatan. Di dalam perhitungan, galat inheren dapat diperkecil melalui pengguaan data yang besar, pemeriksaan galat yang jelas dalam data, dan penggunaan alat komputasi dengan ketelitian yang tinggi. b. Galat pemotongan (Truncation Error) Galat ini disebabkan oleh adanya penghilangan sebarisan suku dari suatu deret atau ekspansi untuk tujuan peringkasan pekerjaan perhitungan. Galat pemotongan adalah galat yang tak dapat dihindarkan. 2. Jenis Galat a. Galat Mutlak (Absolute Error) Galat mutlak adalah selisih numerik antara besar nilai sebenarnya dengan nilai aproksimasinya. Jadi, bila 𝑥 besar nilai yang sebenarnya, dengan 𝑥1 nilai pendekatannya (aproksimaksinya), maka galat mutlak 𝐸𝛼 didefinisikan dengan Galat = Nilai sebenarnya – Pendekatan 𝐸𝛼 = 𝑥 − 𝑥1 = 𝛿𝑥 b. Galat Relatif Galat relatif 𝐸𝑅 didefinisikan dengan 𝐺𝑎𝑙𝑎𝑡



Galat relatif = 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟𝑛𝑦𝑎 𝐸𝑅



=



𝐸𝛼 𝛿𝑥 = 𝑥 𝑥



8



Kemudian persentase galat dihitung dari galat relatif yang diberikan dalam bentuk, Persentase 𝐸𝑅 =



𝐺𝑎𝑙𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟𝑛𝑦𝑎 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟𝑛𝑦𝑎



× 100%



𝑃𝑅 = 100𝐸𝑅 c. Galat Global Misal 𝑢 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) adalah fungsi dengan variabel banyak 𝑥1 = (1, 2, … , 𝑛), dam misalkan galat dari tiap 𝑥1 adalah ∆𝑥1 . Galat ∆𝑢 dari 𝑢 diberikan dalam bentuk, 𝑢 + ∆𝑢 = 𝑓(𝑥1 + ∆𝑥1 , 𝑥2 + ∆𝑥2 , … , 𝑥𝑛 + ∆𝑥𝑛 ) Perluasan ruas kanan dari galat global tersebut oleh deret Taylor menghasilkan 𝑛



𝑢 + ∆𝑢 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) + ∑ 𝑖=1



𝜕𝑓 ∆𝑥 𝜕𝑥𝑖 𝑖



+ semua suku yang memuat (∆𝑥𝑖 )2 + semua suku yang lain Anggap bahwa galat dalam 𝑥𝑖 adalah kecil dan



∆𝑥𝑖 𝑥𝑖



< 1. Kemudian semua



suku setelah suku kedua pada ruas kanan persamaan diatas diabaikan. Persamaan menjadi, 𝑛



∆𝑢 ≈ ∑ 𝑖=1



𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 ∆𝑥𝑖 = ∆𝑥𝑖 + ∆𝑥2 + ⋯ + ∆𝑥 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥2 𝜕𝑥𝑛 𝑛



Bila diperhatikan formula (1.12) bentuknya sama dengan diferensial total dari 𝑢. Formula untuk galat relatif adalah sebagai berikut, 𝐸𝑅 =



∆𝑢 𝜕𝑢 ∆𝑥𝑖 𝜕𝑢 ∆𝑥2 𝜕𝑢 ∆𝑥𝑛 = ∙ + ∙ + ⋯+ ∙ 𝑢 𝜕𝑥𝑖 𝑢 𝜕𝑥2 𝑢 𝜕𝑥𝑛 𝑢



d. Galat Dalam Aproksimaksi Deret Galat yang ada dalam aproksimaksi suatu deret dapat di evaluasi oleh sisa sesudah suku – suku ke 𝑛. Pandang deret Taylor untuk 𝑓(𝑥) pada 𝑥 = 𝑎 yang diberikan dalam bentuk, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + (𝑥 − 𝑎)𝑓 ′(𝑎) +



(𝑥 − 𝑎)2 ′′(𝑎) (𝑥 − 𝑎)𝑛−1 𝑛−1 (𝑎) + 𝑅𝑛 (𝑥) 𝑓 + 𝑓 (𝑛 − 1)! 2!



9



Suku terakhir dalam deret diatas dikenal dengan sebutan suku sisa deret Taylor yang didefinisikan sebagai berikut, 𝑅𝑛 (𝑥) =



(𝑥 − 𝑎)𝑛 𝑛 𝑓 (𝑎), 𝑎 < 𝛼 < 𝑥 𝑛!



Untuk suatu barisan yang konvergen, suku – suku sisa akan mendekati nol untuk 𝑛 → ∞. Jadi, bila kita mengaproksimasi 𝑓(𝑥) oleh 𝑛 suku pertama dari deret tersebut maka galat maksimum yang dibuat dalam aproksimasi tersebut diberikan oleh suku sisa.



2. 6 Interpolasi Polinom Newton–Gregory Maju Polinom Newton–Gregory Maju diturunkan dari tabel selisih maju. Penurunan rumus polinom Newton–Gregory Maju dikembangkan berdasarkan pada tabel selisih maju. 1. Penurunan Rumus Polinom Newton–Gregory Maju 𝑓[𝑥1 , 𝑥2 ] =



𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 ) 𝑥1 − 𝑥0



∆𝑓(𝑥0 ) ℎ ∆𝑓0 = 1! ℎ 𝑓[𝑥2 , 𝑥1 ] − 𝑓[𝑥1 , 𝑥0 ] 𝑓[𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥0 ] = 𝑥2 − 𝑥0 =



𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥2 ) 𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 ) − 𝑥2 − 𝑥1 𝑥1 = 𝑥2 − 𝑥0 ∆𝑓1 − ∆𝑓0 ℎ = 2ℎ =



∆2 𝑓0 ∆2 𝑓0



=



∆2 𝑓0 2! ℎ2



Bentuk Umum: 𝑓[𝑥𝑛 , … , 𝑥1 , 𝑥0 ] =



∆𝑛 𝑓(𝑥0 ) 𝑛!ℎ𝑛



∆𝑛 𝑓



= 𝑛!ℎ𝑛0



10



dengan demikian polinom Newton untuk data berjara sama dapat ditulis sebagai, 𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑓(𝑥) + (𝑥 − 𝑥0 )𝑓[𝑥1 , 𝑥2 ] + (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )𝑓(𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ) + ⋯ + (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑛−1 )𝑓[𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , … , 𝑥1 , 𝑥0 ] ∆𝑓0 ∆2 𝑓0 + (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) +⋯ 1! ℎ 2! ℎ2 ∆𝑛 𝑓0 (𝑥 )(𝑥 ) (𝑥 ) + − 𝑥0 − 𝑥1 … − 𝑥𝑛−1 𝑛! ℎ𝑛



= 𝑓0 + (𝑥 − 𝑥0 )



Persamaan ini dinamakan polinom Newton–Gregory maju. Persmaan diatas juga dapat ditulis sebagai relasi rekursif: 𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑃𝑛−1 (𝑥) + (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑛−1 )



∆𝑛 𝑓0 𝑛! ℎ𝑛



Jika titik – titik berjarak sama dinyatakan sebagai, 𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖ℎ, 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑛 dan nilai 𝑥 yang diinterpolasikan adalah 𝑥 = 𝑥0 + 𝑠ℎ, 𝑠 ∈ 𝑅 maka persamaan polinom Newton–Gregory Maju dapat juga ditulis dalam parameter 𝑠 sebagai, 𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑓0 +



𝑠ℎ 𝑠(𝑠 − 1)ℎ2 2 𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 − 2) … (𝑠 − 𝑛 + 1)ℎ𝑛 𝑛 ∆𝑓0 + ∆ 𝑓 + ⋯ + ∆ 𝑓0 0 1! ℎ 2! ℎ2 𝑛! ℎ𝑛



yang menghasilkan 𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑓0 +



𝑠 𝑠(𝑠 − 1) 2 𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 − 2) … (𝑠 − 𝑛 + 1) 𝑛 ∆𝑓 + ∆ 𝑓0 + ⋯ + ∆ 𝑓0 1! 0 2! 𝑛!



2. Algoritma Polinom Interpolasi Maju a. Definisikan fungsi 𝑓(𝑥) b. Tentukan selang 𝑓(𝑥) c. Tentukan jarak antar selang atau ℎ d. Tentukan derajat 𝑛 e. Buatlah tabel selisih maju



11



f. Tentukan 𝑠 𝑠=



𝑥 − 𝑥0 ℎ



g. Cari 𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑓0 +



𝑠 𝑠(𝑠 − 1) 2 𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 − 2) 3 ∆𝑓0 + ∆ 𝑓0 + ∆ 𝑓0 + ⋯ 1! 2! 2! 𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 − 2) … (𝑠 − 𝑛 + 1) 𝑛 + ∆ 𝑓0 𝑛!



2. 7 Interpolasi Polinom Newton–Gregory Mundur Polinom Newton–Gregory Mundur (Newton–Gregory Backward) dibentuk dari tabel selisih mundur. Polinom ini sering digunakan pada perhitungan nilai turunan (derivatif) secara numerik. Titik-titik yang digunakan berjarak sama, yaitu 𝑥0 , 𝑥−1 , 𝑥−2 , … , 𝑥−𝑛 yang dalam hal ini, 𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖ℎ dengan 𝑖 = 0, −1, −2, … , −𝑛 dan nilai 𝑥 yang diinterpolasikan adalah 𝑥 = 𝑥0 − 𝑠ℎ dengan 𝑠 ∈ ℝ 1. Penurunan Rumus Interpolasi Newton Gregory Mundur 𝑓(𝑥0 , 𝑥1 ) =



𝑓(𝑥0 ) − 𝑓(𝑥1 ) 𝑥0 − 𝑥1



∇𝑓0 ℎ ∇𝑓0 = 1! ℎ =



𝑓(𝑥0 ) − 𝑓(𝑥−1 ) 𝑓(𝑥−1 ) − 𝑓(𝑥−2 ) − 𝑥0 − 𝑥−1 𝑥−1 − 𝑥−2 𝑓(𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥0 − 𝑥−2 ∇𝑓0 ∇𝑓1 − ℎ = ℎ 2ℎ =



∇2 𝑓0 2! ℎ2



Bentuk umum: 𝑓[𝑥0 , 𝑥−1 , 𝑥−2 , ⋯ , 𝑥−𝑛 ] =



∇n 𝑓(𝑥0) 𝑛!ℎ𝑛



∇n 𝑓



= 𝑛!ℎ𝑛0 , 𝑛 = 0,1,2, …



12



Selanjutnya, 𝑓(𝑥) ≈ 𝑃𝑛 (𝑥) 𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) + (𝑥 − 𝑥0 )𝑓[𝑥0 , 𝑥1 ] + (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥0 − 𝑥1 )𝑓[𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 ] + … + (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥0 − 𝑥1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑛+1 )𝑓[𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1 , … , 𝑥1 , 𝑥0 ] ∇2 𝑓



∇𝑓



= 𝑓(𝑥0 ) + (𝑥 − 𝑥0 ) 1!ℎ0 + (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥0 − 𝑥1 ) 2!ℎ20 + … + (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥0 − 𝑥1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑛+1 ) = 𝑓(𝑥0 ) + 𝑠



∇𝑓0 1!



+ 𝑠(𝑠 + 1)



∇2 𝑓0 2!



∇n 𝑓0 𝑛!ℎ𝑛



+ … + 𝑠(𝑠 + 1) … (𝑠 + 𝑛 − 1)



∇n 𝑓0 𝑛!



Polinom Newton-Gregory mundur yang menginterpolasi (𝑛 + 1) titik data adalah sebagai berikut: 𝑛



𝑓(𝑥) ≈ 𝑃𝑛 (𝑥) = ∑ ( 𝑘=0



𝑠+𝑘−1 𝑘 ) ∇ 𝑓0 𝑠



𝑠∇𝑓0 𝑠(𝑠 + 2 − 1)∇2 𝑓0 𝑠(𝑠 + 2 − 1)(𝑠 + 3 − 1)∇3 𝑓0 𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑓0 + + + +⋯ 1! 2! 3! 𝑠(𝑠 + 2 − 1)(𝑠 + 3 − 1) … (𝑠 + 𝑛 − 1)∇𝑛 𝑓0 + 𝑛! = 𝑓0 + 𝑠∇𝑓0 +



𝑠(𝑠 + 1)∇2 𝑓0 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)∇3 𝑓0 + +⋯ 2! 3! 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2) … (𝑠 + 𝑛 − 1)∇𝑛 𝑓0 + 𝑛!



2. Algoritma Interpolasi Newton Gregory Mundur a. Tentukan fungsi 𝑓(𝑥) b. Tentukan selang (𝑥𝑖 ) c. Tentukan jarak antar selang atau ℎ d. Tentukan derajat 𝑛 e. Buatlah tabel selisih mundur f. Tentukan 𝑠 𝑠=



𝑥 − 𝑥0 ℎ



13



g. Cari 𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑓0 +



𝑠 𝑠(𝑠 + 2 − 1) 2 𝑠(𝑠 + 2 − 1)(𝑠 + 3 − 1) 3 ∇𝑓0 + ∇ 𝑓0 + ∇ 𝑓0 1! 2! 3! 𝑠(𝑠 + 2 − 1)(𝑠 + 3 − 1) … (𝑠 − 𝑛 + 1) 𝑛 + ⋯+ ∇ 𝑓0 𝑛!



2. 8 Integrasi Numerik Integrasi numerik adalah proses mencari hampiran luas bidang yang dibatasi oleh 𝑓(𝑥) dan sumbu 𝑥 pada selang tertutup [𝑎, 𝑏]. Jika 𝑓(𝑥) dihampiri dengan polinomial 𝑃𝑛 (𝑥), maka integrasi numerik ditulis dalam bentuk, 𝑏



𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 𝑏



≈ ∫ 𝑃𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 𝑎



Proses pencarian nilai hampiran 𝐼 dilakukan jika: 1. Fungsi 𝑓(𝑥) disebut integran, mempunyai bentuk yang sulit untuk dilakukan proses integrasi. 2. Nilai 𝑥 dan 𝑓(𝑥) hanya dalam bentuk tabel diskrit.



Gambar 2.1



Gambar 2.2



Luas bidang yang dibatasi 𝑓(𝑥)



Hampiran luas bidang yang dibatasi 𝑃𝑛 (𝑥)



Proses menentukan nilai hampiran integrasi numerik dilakukan dengan beberapa cara atau metode, yaitu kaidah trapesium, kaidah titik tengah, kaidah Simpson, serta Kuadratur Gauss.



14



2. 9 Kaidah Trapesium Kaidah trapesium merupakan kaidah integrasi numerik yang didasarkan pada penjumlahan segmen-segmen berbentuk trapesium.



Gambar 2.3 Luas satu trapesium/pias 𝑥1



∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥0



ℎ [𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥0 )] 2



Persamaan diatas dikenal dengan nama kaidah trapesium.



Gambar 2.4 Luas beberapa n buah trapesium/pias



15



𝑏



𝑥1



𝑥2



𝑥𝑛



∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) + ⋯ + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑎



𝑥0



𝑥1



𝑥𝑛−1



ℎ ℎ ℎ [𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥1 )] + [𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 )]+. . . + [𝑓(𝑥𝑛−1 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )] 2 2 2 ℎ ≈ [𝑓(𝑥0 ) + 2𝑓(𝑥1 ) + 2𝑓(𝑥2 )+. . . +2𝑓(𝑥𝑛−1 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )] 2 ≈



𝑛−1



ℎ ≈ (𝑓0 + 2 ∑ 𝑓𝑖 + 𝑓𝑛 ) 2 𝑖=1



dengan 𝑓𝑟 = 𝑓(𝑥𝑟 ), 𝑟 = 0, 1, 2, … , 𝑛 Gala



1



: 𝐸 ≈ − 12 ℎ3 𝑓 ′′(𝑡) , 0 < 𝑡 < ℎ ℎ3



Galat total : 𝐸𝑡𝑜𝑡 ≈ − 12 (𝑓 ′′ 0 + 𝑓 ′′1 + 𝑓 ′′ 2 + ⋯ + 𝑓 ′′ 𝑛−1 ) ℎ3



≈ −𝑛 12 𝑓 ′′(𝑡) , 𝑎 < 𝑡 < 𝑏 𝑏



ℎ



𝑛−1



∫ 𝑓(𝑥) = (𝑓0 + 2 ∑ 𝑓𝑖 + 𝑓𝑛 ) + ()(ℎ2 ) 𝑎



2



𝑖=1



Algoritma Kaidah Trapesium 1. Mendefinisikan fungsi yang akan diintegrasikan 𝑦 = 𝑓(𝑥) 2. Menentukan batas bawah (𝑎) dan batas atas (𝑏) integrasi 3. Menentukan jumlah segmen atau pias 𝑛 4. Menghitung lebar segmen yaitu ℎ =



𝑏−𝑎 𝑛



5. Buatlah tabel kaidah trapesium 6. Menentukan nilai integrasi menggunakan kaidah trapesium 𝑛−1



ℎ 𝐿 = [𝑓(𝑥0 ) + 2 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓 (𝑥𝑛 )] 2 𝑖=1



7. Menentukan nilai integrasi sejatinya 8. Menentukan galat kaidah trapesium ℎ3



𝐸 = − 12 (𝑏 − 𝑎)𝑓′′(𝑡), 𝑎 < 𝑡 < 𝑏



16



9. Menentukan nilai sejati (terletak diantara batas galat minimum dan maksimum) Nilai integrasi menggunakan kaidah trapesium – batas galat maksimum, dan nilai integrasi menggunakan kaidah trapesium – batas galat minimum. 𝑏



10. Menentukan galat hasil integrasi ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥



17



BAB III PEMBAHASAN



Integral numerik merupakan suatu cara untuk menghitung aproksimasi luas daerah dibawah fungsi yang dimaksud pada selang yang diberikan. Aturan simpson adalah metode untuk integrasi numerik, pendekatan integral tertentu. Jika pada metode Simpson 1/3 digunakan pendekatan polinomial berderajat 2 untuk mencari luas dibawah kurva, pada metode Simpson 3/8 digunakan pendekatan polinomial berderajat 3 untuk memperoleh hasil yang lebih baik. Metode simpson 1/3 biasanya lebih disukai karena mencapai ketelitian order tiga dan hanya memerlukan tiga titik, dibandingkan metode simpson 3/8 yang membutuhkan empat titik. Dalam pemakaian banyak pias, metode simpson 1/3 hanya berlaku untuk jumlah pias genap. Apabila dikehendaki jumlah pias ganjil, maka dapat digunakan metode trapesium. Tetapi metode ini tidak begitu baik karena adanya kesalahan yang cukup besar. Untuk itu kedua metode dapat digabung, yaitu sejumlah genap pias digunakan metode simpson 1/3 sedang tiga pias sisanya digunakan metode simpson 3/8.



3. 1 Kaidah Metode Simpson 3/8 Seperti halnya pada kaidah Simpson 1/3, hampiran nilai integrasi yang lebih teliti dapat ditingkatkan terus dengan mengunakan polinom interpolasi berderajat lebih tinggi pula. Misalkan sekarang fungsi 𝑓(𝑥) kita hampiri dengan polinom interpolasi derajat 3. Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai integrasi adalah daerah di bawah kurva polinom derajat 3 tersebut parabola (gambar). Untuk membentuk polinom interpolasi derajat 3, dibutuhkan 4 buah titik data, misalkan titik-titk tersebut (0, 𝑓(0)), (ℎ, 𝑓(ℎ)), (2ℎ, 𝑓(2ℎ)), 𝑑𝑎𝑛 (3ℎ, 𝑓(3ℎ)).



18



Gambar 3.1 Kaidah Simpson 3/8



Polinom interpolasi Newton–Gregory derajat 3 yang melalui keempat buah titik itu adalah, 𝑥 𝑥(𝑥 − ℎ) 2 𝑥(𝑥 − ℎ)(𝑥 − 2ℎ) 3 𝑃3 (𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) + ∆𝑓(𝑥0 ) + ∆ 𝑓(𝑥0 ) + ∆ 𝑓(𝑥0 ) 2 ℎ 2! ℎ 3! ℎ3 𝑥 𝑥(𝑥 − ℎ) 2 𝑥(𝑥 − ℎ)(𝑥 − 2ℎ) 3 = 𝑓0 + ∆𝑓0 + ∆ 𝑓 + ∆ 𝑓0 … (1) 0 ℎ 2! ℎ2 3! ℎ3 Integrasi 𝑃3 (𝑥) di dalam selang [0,3ℎ] adalah, 3ℎ



𝐼=∫



3ℎ



𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∫ 𝑃3 (𝑥)𝑑𝑥



0 3ℎ



≈∫ 0 3ℎ



≈∫ 0



0



𝑥 𝑥(𝑥 − ℎ) 2 𝑥(𝑥 − ℎ)(𝑥 − 2ℎ) 3 [𝑓0 + ∆𝑓0 + ∆ 𝑓0 + ∆ 𝑓0 ] 𝑑𝑥 2 ℎ 2! ℎ 3! ℎ3 𝑥 𝑥 2 − 𝑥ℎ 2 𝑥 3 − 3𝑥 2 ℎ + 2𝑥ℎ2 3 [𝑓0 + ∆𝑓0 + ∆ 𝑓 + ∆ 𝑓0 ] 𝑑𝑥 0 ℎ 2ℎ2 6ℎ3



≈ [𝑥𝑓0 +



𝑥2 𝑥3 𝑥2ℎ 𝑥4 3𝑥 3 ℎ 𝑥 2 ℎ2 3 3ℎ ∆𝑓0 + ( 2 − 2 ) ∆2 𝑓0 + ( − + ) ∆ 𝑓0 ] 2ℎ 6ℎ 4ℎ 24ℎ3 18ℎ3 6ℎ3 0



≈ 3ℎ𝑓0 +



9ℎ2 27ℎ3 9ℎ3 81ℎ4 81ℎ4 9ℎ4 3 ∆𝑓0 + ( 2 − 2 ) ∆2 𝑓0 + ( − + ) ∆ 𝑓0 − 0 2ℎ 6ℎ 4ℎ 24ℎ3 18ℎ3 6ℎ3



19



9ℎ 27ℎ 9ℎ 2 81ℎ 81ℎ 9ℎ 3 ∆𝑓0 + ( − ) ∆ 𝑓0 + ( − + ) ∆ 𝑓0 2 6 4 24 18 6 9ℎ 27ℎ 2 27ℎ 3 ≈ 3ℎ𝑓0 + ∆𝑓0 + ∆ 𝑓0 + ∆ 𝑓0 2 12 72 ≈ 3ℎ𝑓0 +



Mengingat, ∆𝑓0 = 𝑓1 − 𝑓0 ∆2 𝑓0 = ∆𝑓1 − ∆𝑓0 = (𝑓2 − 𝑓1 ) − (𝑓1 − 𝑓0 ) = 𝑓2 − 2𝑓1 + 𝑓0 dan ∆3 𝑓0 = ∆2 𝑓1 − ∆2 𝑓0 = (∆𝑓2 − ∆𝑓1 ) − (𝑓2 − 2𝑓1 + 𝑓0 ) = ((𝑓3 − 𝑓2 ) − (𝑓2 − 𝑓1 )) − (𝑓2 − 2𝑓1 + 𝑓0 ) = (𝑓3 − 2𝑓2 + 𝑓1 ) − (𝑓2 − 2𝑓1 + 𝑓0 ) = 𝑓3 − 3𝑓2 + 3𝑓1 − 𝑓0 maka selanjutnya, ≈ 3ℎ𝑓0 +



9ℎ 27ℎ 27ℎ (𝑓1 − 𝑓0 ) + (𝑓2 − 2𝑓1 + 𝑓0 ) + (𝑓 − 3𝑓2 + 3𝑓1 − 𝑓0 ) 2 12 72 3



9ℎ 9ℎ 27ℎ 54ℎ 27ℎ 27ℎ 81ℎ 81ℎ 27ℎ 𝑓1 − 𝑓0 + 𝑓2 − 𝑓1 + 𝑓0 + 𝑓3 − 𝑓2 + 𝑓1 − 𝑓 2 2 12 12 12 72 72 72 72 0 9ℎ 27ℎ 27ℎ 9ℎ 54ℎ 81ℎ 27ℎ 81ℎ 27ℎ ) 𝑓0 + ( − ) 𝑓1 + ( ) 𝑓2 + ≈ (3ℎ − + − + − 𝑓 2 12 12 2 12 72 12 72 72 3 ≈ 3ℎ𝑓0 +



≈



27ℎ 72



𝑓0 +



81ℎ 72



𝑓1 +



81ℎ 72



𝑓2 +



27ℎ 72



𝑓3



3ℎ 9ℎ 9ℎ 3ℎ 𝑓0 + 𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓 8 8 8 8 3 3ℎ (𝑓 + 𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3 ) … (2) ≈ 8 0 ≈



20



Sedangkan kaidah Simpson 3/8 gabungan adalah, 𝑏



∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ 𝑎



3ℎ (𝑓 + 3𝑓1 + 3𝑓2 + 2𝑓3 + 3𝑓4 + 3𝑓5 + 2𝑓6 + 3𝑓7 + 3𝑓8 + 2𝑓9 8 0 + ⋯ + 2𝑓𝑛−3 + 3𝑓𝑛−2 + 3𝑓𝑛−1 + 𝑓𝑛 ) 𝑛−1



𝑛−3



𝑖=1 𝑖≠3,6,9



𝑖=3,6,9



3ℎ (𝑓0 + 3 ∑ 𝑓𝑖 + 2 ∑ 𝑓𝑖 + 𝑓𝑛 ) … (3) ≈ 8 Persamaan (3) ini mudah dihafalkan dengan mengingat pola suku – sukunya, 1, 3, 3, 2,



3, 3, 2,



3, 3, 3, … , 2, 3, 3, 1



Namun penggunaan kaidah Simpson 3/8 mensyaratkan jumlah upselang (𝑛) harus kelipatan 3. Kaidah simpson 3/8 memiliki orde galat yang sama dengan orde galat kaidah simpson 1/3 namun dalam parktek, kaidah simpson 1/3 lebih disukai daripada kaidah simpson 3/8, karena dengan tiga titik (simpson 1/3) sudah diperoleh orde ketelitian yang sama dengan 4 titik (simpson 3/8). Tetapi untuk 𝑛 kelipatan tiga, kita hanya dapat menggunakan kaidah simpson 3/8, dan bukan simpson 1/3. Algoritma Metode Integrasi Simpson 3/8 1. Masukkan nilai 𝑛 (jumlah upselang) dan (𝑥, 𝑦) dengan 𝑥 sebagai titik dan 𝑦 = 𝑓(𝑥) 2. Hitung ℎ =



(𝑥0 −𝑥𝑛−1 ) 𝑛



dimana 𝑥0 merupakan titik awal, dan 𝑥𝑛−1 merupakan



titik akhir 3. Hitung 𝐼 = 𝑦0 − 𝑦𝑛−1 4. Jika 𝑟 kelipatan 3, maka 𝑛−3



∑ 𝑖=3.6,9,…



𝑛−3



= 2 ∑ 𝑓𝑖 𝑖=3,6,9…



21



5. Dan jika bukan kelipatan 3, maka 𝑛−1



𝑛−1



∑



= 3 ∑ 𝑓𝑖



𝑖≠3.6,9,…



𝑖≠3,6,9…



6. Hitung I 𝑏



𝑛−1



𝑛−3



𝑖≠3,6,9,..



𝑖=3,6,9,…



3ℎ (𝑓 + 3 ∑ 𝑓𝑖 + 2 ∑ 𝑓𝑖 +𝑓𝑛 ) + 0(ℎ4 ) 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) = 8 0 𝑎



3. 2 Contoh Soal Metode Integrasi Simpson 3/8 1. Hitunglah 3



∫



𝑐𝑜𝑠(𝑥)



2



√𝑥



3



dengan menggunakan kaidah 8 dan up selang yang digunakan adalah 𝑛 = 7. Penyelesaian : 3



𝑐𝑜𝑠(𝑥)



∫



√𝑥



2



𝑎 = 2, 𝑏 = 3, 𝑛 = 7 ℎ=



𝑏−𝑎 3−2 = = 0,142857 𝑛 7



Tabel titik di dalam selang [2,3] dengan h = 0,142857 𝑟



𝑥𝑟



𝑓𝑟



0



2



-0,29426



1



2,142857



-0,36982



2



2,285714



-0,43361



3



2,428571



-0,48537



4



2,571429



-0,52496



5



2,714286



-0,5524



6



2,857143



-0,56783



7



3



-0,57157



22



Nilai integrasi 𝑓(𝑥) didalam selang [2,3] 3



𝐼=∫



𝑐𝑜𝑠(𝑥)



2



√𝑥



𝑑𝑥



3ℎ (𝑓 + 3𝑓1 + 3𝑓2 +2𝑓3 + 3𝑓4 + 3𝑓5 + 2𝑓6 + 3𝑓7 ) 8 0 3 𝐼 = . 0,142857(−2,29426 + 3. −0,36982 + 3. −0,43361 + 2. −0,48537 8 𝐼=



+ 3. −0,52496 + 3. −0,5524 + 2. −0,56783 + 1. −0,57157) 𝐼 = 0,053571. (−0,975777) 𝐼 = −0,52274



2. Hitunglah integral dari 1 2



∫ 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 0 3



dengan menggunakan kaidah 8 dan up selang yang digunakan adalah n = 12 Penyelesaian : 1 2



∫ 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 0



𝑛 = 12 ℎ=



𝑏−𝑎 1−0 = = 0,08333 𝑛 12



Tabel titik – titik di dalam selang [0,1]dengan h = 0,08333 r



xr



fr



0



0



1



1



0,08333



0,99308



2



0,16666



097261



3



0,24999



0,93942



4



0,33332



0,89485



5



0,41665



0,84064



6



0,49998



0,77882



7



0,58331



0,71159



23



8



0,66664



0,6412



9



0,74997



0,56981



10



0,8333



0,49938



11



0,91663



0,43162



12



1



0,36788



Nilai integrasinya 𝑓(𝑥) di dalam selang [0,1] adalah 1 2



𝐼 = ∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 0 1 2 ∫ 𝑒−𝑥 𝑑𝑥



0



𝑛−1



𝑛−3



𝑛=1 𝑖 ≠3,6,9



𝑖=3,6,9



3ℎ = 𝑓0 + 3 ∑ 𝑓𝑖 + 2 ∑ 𝑓𝑖 + 𝑓𝑛 8 [



=



3(0,8333) 8



]



[1 + 3(0,99308) + 3(0,97261) + 3(0,89485) +



3(0,84064) + 3(0,71159) + 3(0,6412) + 3(0,49938) + 3(0,43162) + 2(0,93942) + 2(0,7782) + 2(0,56981 + 0,36788 ] = (0,03124)(23,74889) = 0,74191



3. Hitunglah integral dari 4



𝐼 = ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 0



dengan menggunakan 5 pias dan ∆𝑥 = 0,8. Penyelesaian : Metode Simpson 3/8 dengan satu pias a. Integral dihitung dengan persamaan berikut. 𝑓(𝑥0 ) + 3 𝑓(𝑥1 ) + 3 𝑓(𝑥2 ) + 𝑓( 𝑥1) 𝐼 = (𝑏 − 𝑎) [ ] 8



24



𝐼 = (4 − 0) [



𝑒 0 + 3 𝑒 1,3333 + 3 𝑒 2,667 + 𝑒 4 ] 8



= 55,07798



b. Besar kesalahan adalah 5,598150 − 55,07798 𝜀= × 100% = −2,761 % 5,598150 Metode Simpson 3/8 dengan lima pias 𝑓(0) = 𝑒 0 = 1 𝑓(0,8) = 𝑒 0,8 = 2,22554 𝑓(1,6) = 𝑒 1,6 = 4,9530 𝑓(2,4) = 𝑒 2,4 = 11,02318 𝑓(3,2) = 𝑒 3,2 = 24,53253 = 𝑒 4 = 54,59815



𝑓(4) •



Integral untuk 2 pias pertama dihitung dengan metode simpson 1/3 dengan persamaan berikut : 𝑎1 =



𝑏−𝑎 [𝑓(𝑎) + 4𝑓(𝑐) + 𝑓(𝑏)] 6



1,6



𝐼 = 6 (1 + (4 x 2,22554) + 4,95303) = 3,96138 •



Tiga pias terakhir digunakan aturan simpson 3/8 𝐼 = (𝑏 − 𝑎) [ 𝐼 = 2,4 [



𝑓(𝑥0 )+3 𝑓(𝑥1 )+3 𝑓(𝑥2 )+𝑓( 𝑥1) 8



]



4,95303+(3 𝑥 11,02318)+(3 𝑥 24,53253)+54,59815) 8



]



= 49,86549 •



Integral total adalah jumlah dari kedua hasil diatas : 𝐼 = 3,96138 + 49,86549 = 53,82687



•



Kesalahan terhadap nilai eksak : 𝜀𝑡 =



53,598150−53,826873 5,598150



× 100% = −0,427%



25



Cara lain 1) Fungsi integrasinya adalah 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 2) Batas bawah (𝑎) = 0 3) Batas atas (𝑏) = 4 4) Jumlah pias adalah 𝑛 =



𝑏−𝑎 4−0 = = 5 ℎ 0,8



5) ℎ = 0,8 6) Tabel aturan simpson I



xi



f(xi)



0



0



1



1



0,8



2,22554



2



1,6



4,9530



3



2,4



11,02318



4



3,2



24,53253



5



4



54,59815



Aturan Simpson 3/8 4



𝑛−1



𝑛−3



𝑛=1 𝑖 ≠3,6,9



𝑖=3,6,9



3ℎ ∫ 𝑒 𝑑𝑥 = [𝑓 + 3 ∑ 𝑓𝑖 + 2 ∑ 𝑓𝑖 + 𝑓𝑛 ] 8 0 𝑥



0



=



3(0,8) [1 + 3(2,22554) + 3(4,9530) + 3(24,53253) 8 + 3(54,59815) + 2(11,02318) + 54,59815 ]



= (0,3)(1 + 6,67662 + 14,85909 + 73,59759 + 163,79445 + 22,04634 + 54,59815) = 100,971



26



7) Nilai integrasi sejatinya 4



∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ]40 0 4



= 𝑒 𝑥 ]0 = 54,59815 – 1 = 53,59815



3. 3 Manfaat Metode Simpson 3/8 1. Aturan simpson adalah seperangkat aturan yang digunakan dalam stabilitas kapal dan arsitektur angkatan laut, untuk menghitung luas dan volume angka yang tidak teratur. 2. Aturan simpson digunakan untuk menghitung volume sekoci dan oleh surveyor untuk menghitung volume lumpur tangka minyak kapal. 3. Aturan ke-3 simpson digunakan untuk menemukAan volume antara dua koordinat. 4. Aturan simpson digunakan petugas kapal untuk memeriksa bahwaarea dibawah kurva GZ kapal memenuhi kriteria stabilitas IMO. 5. Aturan 3/8 adalah tentang dua kali lebih akurat dari metode standar,tetapi menggunakan satu nilai fungsi lagi.



27



BAB IV PENUTUP



4. 1 Kesimpulan Metode Integrasi Simpson 3/8 adalah hampiran nilai integrasi yang lebih teliti dapat ditingkatkan terus dengan mengunakan polinom 3 pada empat titik data diskrit yang mempunyai jarak yang sama. Algoritma Metode Integrasi Simpson 3/8 1. Masukkan nilai 𝑛 (jumlah upselang) dan (𝑥, 𝑦) dengan 𝑥 sebagai titik dan 𝑦 = 𝑓(𝑥) 2. Hitung ℎ =



(𝑥0 −𝑥𝑛−1 ) 𝑛



dimana 𝑥0 merupakan titik awal, dan 𝑥𝑛−1 merupakan



titik akhir 3. Hitung 𝐼 = 𝑦0 − 𝑦𝑛−1 4. Jika 𝑟 kelipatan 3, maka 𝑛−3



∑



𝑛−3



= 2 ∑ 𝑓𝑖



𝑖=3.6,9,…



𝑖=3,6,9…



5. Dan jika bukan kelipatan 3, maka 𝑛−1



∑



𝑛−1



= 3 ∑ 𝑓𝑖



𝑖≠3.6,9,…



𝑖≠3,6,9…



6. Hitung I 𝑏



𝑛−1



𝑛−3



𝑖≠3,6,9,..



𝑖=3,6,9,…



3ℎ (𝑓 + 3 ∑ 𝑓𝑖 + 2 ∑ 𝑓𝑖 +𝑓𝑛 ) + 0(ℎ4 ) 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) = 8 0 𝑎



28



DAFTAR PUSTAKA https://en.wikipedia.org/wiki/Simpson%27s_rule https://www.academia.edu/35588482/METODE_SIMPSON_1_3_DAN_3_8 https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/72562-simpson-s-3-8rule-composite https://aimprof08.wordpress.com/2012/09/07/aturan-simpson-3-per-8-simpsonrule/



29



1