Integral Pecahan Parsial [PDF]

Citation preview

7𝑥+8



Pernyataan seperti ∫



𝑑𝑥 tidak muncul dalam daftar integral standar kita, tetapi



2𝑥 2 +11𝑥+5



sebenarnya muncul pada banyak penerapan matematis. Kita lihat pada Program F.7 bahwa 7𝑥+8



pernyataan seperti



2𝑥 2 +11𝑥+5



dx dapat dinyatakan dalam pecahan parsial yang lebih



sederhana strukturnya. 7𝑥+8



7𝑥+8



3



1



Sebenernya, 2𝑥 2 +11𝑥+5 = (𝑥+5)(2𝑥+1) = 𝑥+5 + 2𝑥+1 sehingga ∫



7𝑥+8 2𝑥 2 +11𝑥+5



3



𝑑𝑥 = ∫



𝑥+5



𝑑𝑥 + ∫



1 2𝑥+1



𝑑𝑥



Pecahan parsial ini merupakan ‘fungsi dari suatu fungsi linear x,’ yang didasarkan pada 1



integral standar ∫𝑥 𝑑𝑥, jadi hasilnya sudah jelas : ∫



7𝑥+8



7𝑥+8



2𝑥 2 +11𝑥+5



𝑑𝑥 = (𝑥+5)(2𝑥+1) 𝑑𝑥 =∫



3



𝑑𝑥 + ∫ 𝑥+5



1 2𝑥+1



𝑑𝑥



1



= 3 In ( x+5 ) + 2 In ( 2x+1) + C Anda akan ingat Aturan Pecahan Parsial yang telah kita lihat pada daftar sebelumnya dan kita gunakan pada Program F.7, jadsi marilah kita gunakan aturan itu dalam contoh ini. Pada tahap ini kita hanya akan menangani penyebut linear sederhana : Contoh Soal 1. ∫



3𝑥 2 +18𝑥+3 3𝑥 2 +5𝑥−2



𝑑𝑥 dengan pecahan parsial.



Langkah pertama ialah membaginya. Karena pembilang tidak berderajat lebih rendah daripada derajat penyebutnya jadi 3𝑥 2 +18𝑥+3 3𝑥 2 +5𝑥−2



=1+



13𝑥 2 +5 3𝑥 2 +5𝑥−2



Penyebutnya difaktorisasi menjadi (3x-1)(x+2) jadi pecahan parsial dari 13𝑥 2 +5 (3x−1)(x+2)



Karena



=



4 3x−1



13𝑥 2 +5 (3x−1)(x+2)



+ =



3 x+2 𝐴 3x−1



+



𝐵 x+2



∴ 13x 2 + 5 = A(x+2)+B(3x-1) = Ax + 2A + 3Bx – B = (A+3B)x + (2A-B)



∴



[𝑥] [CT]



A+3B = 13



A+3B = 13



2A – B = 5



6A-3B = 15 7A



∴



(3x−1)(x+2)



∴∫



3𝑥 2 +18𝑥+3 3𝑥 2 +5𝑥−2



=



4 3x−1



4𝑥 2 +26𝑥+5



+



∴ B=3



3 x+2 4



3



𝑑𝑥 = ∫ (1 + 3x−1 + I =x+



2. ∫



∴ 3B = 9



4+3B = 13



13𝑥 2 +5



∴



∴ A= 4



= 28



4.In (3x−1) 3



x+2



) 𝑑𝑥



+ 3.In (x+2) + C



𝑑𝑥 = 2x + 5 In (x+4) – In (2x+1) + C



2𝑥 2 +9𝑥+4



Caranya mengerjakannya : 4𝑥 2 +26𝑥+5



=2+



2𝑥 2 +9𝑥+4 8𝑥−3 2𝑥 2 +9𝑥+4



8𝑥−3 2𝑥 2 +9𝑥+4



8𝑥−3



=



(x+4)(2x+1)



=



𝐴 x+4



𝐵



+



2x+1



∴ 8𝑥 − 3 = A(2x + 1) + B(x + 4) = (2A+B)x + (A+4B) ∴ 2A+B = 8



8A+4B = 32



A+4B = -3



A+4B = -3 ∴ 7A



∴ A=5



= 35



B = -2 2A+B = 8 10 +B = 8 ∴∫



4𝑥 2 +26𝑥+5 2𝑥 2 +9𝑥+4



5



𝑑𝑥 = ∫ (2 + x+4 −



2 2x+1



= 2x + 5 In (x+4) -



) 𝑑𝑥



2 In (2𝑥+1) 2



+C



= 2x + 5 In (x+4) – 2 In (2x+1) + C 3. Tentukanlah I = ∫



16𝑥+7 6𝑥 2 +𝑥−12



𝑑𝑥 dengan pecahan parsial .



Penyelesaian : 16𝑥+7 6𝑥 2 +𝑥−12



=



16𝑥+7 (2x+3)(3x−4)



=



𝐴 2x+3



+



𝐵 3x−4



∴ 16x + 7 = A(3x − 4)+ B(2x + 3) = (3A + 2B)x - (4A - 3B) Dengan menyamakan koefisien-koefisiennya akan diperoleh A = 2 dan B = 5 ∴∫



16𝑥+7 6𝑥 2 +𝑥−12



2



𝑑𝑥 = ∫ (2x+3 +



5 3x−4



= In (2x + 3) +



5 3



) 𝑑𝑥 In (3x- 4) + C



Rangkuman Revisi Integrasi dengan pecahan parsial Pecahan al jabar sering dapat dinyatakn dalam suku-suku pecahan parsial. Ini akan mengakibatkan memungkinkannya integrasi pecahan aljabar seperti itu, integrasi setiap pecahan parsialnya ∫



𝐴 𝑎𝑥 +𝑏



In (𝑎𝑥+𝑏)



𝑑𝑥 = A



a



+C



Latihan Revisi 1. Integrasikanlah dengan pecahan parsial masing-masing integral berikut : a. ∫ b. ∫ c. ∫



5𝑥+2 3𝑥 2 +𝑥−4 𝑥+1 4𝑥 2 −1



𝑑𝑥



𝑑𝑥



3𝑥 1+𝑥−2𝑥 2



𝑑𝑥



Penyelesaian :



a.



5𝑥+2 3𝑥 2 +𝑥−4



=



5𝑥+2 (3x+4)(x−1)



=



𝐴 3x+4



+



𝐵 x−1



oleh sebab itu



5x + 2 = A(x-1) + B(3x+4) = (A+3B)x + (A+4B) sehingga A + 3B = 5 -A + 4B = 2 Oleh sebab itu dengan menambahkannya kita peroleh bahwa 7B = 7 jadi B = 1 dan A=2 Oleh sebab itu :



∫



5𝑥+2 3𝑥 2 +𝑥−4



𝑑𝑥 = ∫ =



b.



𝑥+1



3𝑥+4



𝑑𝑥 + ∫



1 𝑥−1



𝑑𝑥



In (3x+4) + In (x-1) + C



3



𝑥+1



=



4𝑥 2 −1



2



2



(2x+1)(2x−1)



=



𝐴



𝐵



+



2x+1



2x−1



oleh sebab itu



x + 1 = A(2x + 1) + B(2x − 1) = (2A+2B)x + (-A+B) sehingga 2A + 2B = 1



2A+2B = 1



-A + B = 1



-2A+2B = 2



Oleh sebab itu dengan menambahkannya kita peroleh bahwa 4B = 3 jadi B = 3/4 dan A = -1/4 Oleh sebab itu :



∫



𝑥+1



𝑑𝑥 = ∫



4𝑥 2 −1



1/4 2𝑥+1



=c.



3𝑥 1+𝑥−2𝑥 2



=



1 8



3/4



𝑑𝑥 + ∫



2𝑥−1



In (2x+1) +



3𝑥 (1−x)(1+2x)



=



𝐴 1−x



3



𝑑𝑥



In (2x-1) + C



8



+



𝐵 1+2x



oleh sebab itu



3x = A(1 + 2x) + B(1 − x) = (2A-B)x + (A+B)



sehingga



2A - B = 3 A+B = 0 Oleh sebab itu dengan menambahkannya kita peroleh bahwa 3A= 3 jadi A=1 dan B = -1 Oleh sebab itu :



3𝑥 1+𝑥−2𝑥 2



𝑑𝑥 = ∫



1 1−𝑥



𝑑𝑥 - ∫



= - In (1 - x) -



1 2



1 1+2𝑥



𝑑𝑥



In (1 + 2x) + C