Turunan Parsial [PDF]

Citation preview

TURUNAN PARSIAL 1



Turunan Parsial Dua Peubah



Andaikan bahwa f adalah suatu fungsi dua peubah x dan y . Jika y ditahan agar konstan, misalnya y = y0 , maka (x, y0 ) menjadi fungsi satu peubah x. Turunannya di x = x0 di sebut turunan parsial f terhadap x di (x0 , y0 ) dan dinyatakan sebagai fx (x0 , y0 ). Jadi, f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) ∆x→0 ∆x Demikian pula turunan parsial f terhadap y di (x0 , y0 ) dinyatakan oleh fy (x0 , y0 ) fx (x0 , y0 ) = lim



dan ditulis sebagai



f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) ∆y→0 ∆y Ketimbang menghitung fx (x0 , y0 ) dan fy (x0 , y0 ) secara langsung dari denisi yang di dalam kotak, secara khas kita mencari fx (x, y) dan fy (x, y) dengan fy (x0 , y0 ) = lim



menggunakan aturan baku untuk turunan; kemudian kita menyulihkan (mensubstitusikan) x = x0 dan y = y0 . Jika z = f (x y), kita gunakan cara penulisan lain. ∂z ∂f (x, y) = ∂x ∂x ∂z fx (x0 , y0 ) = |(x , y ) ∂x 0 0



∂z ∂f (x, y) = ∂y ∂y ∂z fy (x0 , y0 ) = |(x , y ) ∂y 0 0



fx (x, y) =



fy (x, y) =



Lambang ∂ adalah lambang khas dalam matematika dan disebut tanda turunan parsial.



Contoh 1 Carilah fx (1, 2) dan fy (1, 2) jika f (x, y) = x2 y + 3y 3 penyelesaian



Untuk mencari fx (x, y) kita anggap y sebagai konstanta dan kita diferensialkan fungsi ini terhadap x didapat fx (x, y) = 2 xy + 0



Jadi fx (1, 2) = 2 · 1 · 2 = 4



Demikian pula sehingga



fy (x, y) = x2 + 9 y 2 fy (1, 2) = 12 + 9 · 22 = 37



1



Contoh 2 Tentukan turunan parsial pertama dari z =



p



x2 + y 2



penyelesaian



∂z ∂x



= = = = = = = = =



f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) ∆x p p 2 (x + ∆x) + y 2 − x2 + y 2 lim ∆x→0 ∆x p p p p 2 (x + ∆x) + y 2 − x2 + y 2 (x + ∆x)2 + y 2 + x2 + y 2 p lim ·p ∆x→0 ∆x (x + ∆x)2 + y 2 + x2 + y 2 lim



∆x→0



lim



(x + ∆x)2 + y 2 − (x2 + y 2 ) p p ∆x · (x + ∆x)2 + y 2 + x2 + y 2



lim



x2 + 2x∆x + ∆x2 + y 2 − x2 − y 2 p p ∆x · (x + ∆x)2 + y 2 + x2 + y 2



∆x→0



∆x→0



2x∆x + ∆x2 p p ∆x→0 ∆x · (x + ∆x)2 + y 2 + x2 + y 2 2x + ∆x p lim p ∆x→0 (x + ∆x)2 + y 2 + x2 + y 2 2x p 2 · x2 + y 2 x p 2 x + y2 lim



2



∂z ∂y



= = = = = = = = =



2



f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) ∆y p p 2 x + (y + ∆y)2 − x2 + y 2 lim ∆y→0 ∆y p p p p 2 x + (y + ∆y)2 − x2 + y 2 x2 + (y + ∆y)2 + x2 + y 2 p lim ·p ∆y→0 ∆y x2 + (y + ∆y)2 + x2 + y 2 lim



∆y→0



lim



x2 + (y + ∆y)2 − x2 + y 2 p p ∆y · x2 + (y + ∆y)2 + x2 + y 2



lim



x2 + y 2 + 2y∆y + ∆y 2 − x2 − y 2 p p ∆x · x2 + (y + ∆y)2 + x2 + y 2



∆y→0



∆y→0



2y∆y + ∆y 2 p p ∆y→0 ∆y · x2 + (y + ∆y)2 + x2 + y 2 2y + ∆y p lim p 2 ∆y→0 x + (y + ∆y)2 + x2 + y 2 2y p 2 · x2 + y 2 y p 2 x + y2 lim



Turunan Parsial Peubah Lebih Dari Dua



Andaikan f suatu fungsi tiga peubah x, y , dan z . Turunan parsial f terhadap y, z) dan didenisikan oleh x di (x, y, z) dinyatakan oleh fx (x, y, z) atau ∂f (x, ∂x f (x + ∆x, y, z) − f (x, y, z) ∆x Jadi fx (x, y, z) boleh diperoleh dengan memperlakukan y dan z sebagai konstanta dan menurunkan terhadap x. Turunan parsial terhadap y dan z didefx (x, y, z) = lim



∆x→0



nisikan dengan cara yang serupa



Contoh 3 Jika f (x, y, z) = xy + 2yz + 3zx, cari fx , fy dan fz penyelesaian



Untuk memperoleh fx , kita pandang y dan z sebagai konstanta dan turunkan terhadap peubah x. Jadi, fx (x, y, z) = y + 3z



Untuk mencari fy , kita anggap x dan z sebagai konstanta dan turunkan terhadap y 3



fy (x, y, z) = x + 2z



Serupa halnya fz (x, y, z) = 2y + 3x



3



Turunan Parsial Tingkat Tinggi



Secara umum, karena turunan parsial suatu fungsi x dan y adalah fungsi lain dari dua peubah yang sama ini, turunan tersebut dapat diturunkan secara parsial terhadap x atau y untuk memperoleh empat buah turunan parsial kedua fungsi f : fxx fxy



∂2f = ∂x2   ∂2f ∂ ∂f = = ( fx ) y = ∂y ∂x ∂y ∂x ∂ = ∂x







∂f ∂x







fyy fyx



∂2f = ∂y 2   ∂ ∂f ∂2f = ( fy )x = = ∂x ∂y ∂x∂y



∂ = ∂y







∂f ∂y







Contoh 4 Cari keempat turunan parsial kedua dari f (x, y) = xey − sin



  x y



+



3 2



x y



penyelesaian



  x 1 cos + 3x2 y 2 y y   x x xey − 2 cos + 2x3 y y y   x 1 sin + 6xy 2 y2 y     x2 x 2x x xey + 4 sin − 3 cos + 2x3 y y y y     x 1 x x + 2 cos + 6x2 y ey − 3 sin y y y y     x 1 x x ey − 3 sin + 2 cos + 6x2 y y y y y



fx (x, y)



= ey −



fy (x, y)



=



fxx (x, y)



=



fyy (x, y)



=



fxy (x, y)



=



fyx (x, y)



=



Turunan parsial tingkat tiga dan lebih tinggi didenisikan dengan cara yang sama dan cara penulisannya pun serupa. Jadi, jika f suatu fungsi dua peubah 4



x dan y , turunan parsial-ketiga f yang diperoleh dengan menurunkan f secara parsial, pertama kali terhadap x dan kemudian dua kali terhadap y , akan ditunjukkan oleh ∂ ∂y



4







∂2f ∂y ∂x



 =



∂3f = fxyy ∂y 2 ∂x



Aturan Rantai



Aturan rantai merupakan suatu aturan yang digunakan untuk mencari Turunan fungsi komposisi. 4.1



Aturan Rantai Dua Variabel



Misalkan u adalah fungsi dua peubah dari x dan y yang terdiferensial, didenisikan melalui persamaan u = f (x, y), x = F (r, s) dan y = G (r, s) serta ∂x ∂y ∂y turunan-turunan parsial ∂x ∂r , ∂s , ∂r , ∂s semuanya ada, maka u adalah fungsi dari r dan s maka diperoleh rumus aturan rantai yaitu : ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = + ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s



Contoh 5 Diketahui u = x2 + y 2 ; x = r · es ; dan y = r · e−s maka tentukanlah : ∂u ∂u ∂x ∂x ∂y ∂y ∂u ∂u , , , , , , , dan ∂x ∂y ∂r ∂s ∂r ∂s ∂r ∂s penyelesaian ∂u = 2x ∂x ∂x = es ∂r ∂x = r · es ∂s ∂u ∂r ∂u ∂s



= =



∂u = 2y ∂y ∂y = e−s ∂r ∂y = r · e−s ∂s



∂u ∂x ∂u ∂y + = (2x)(es ) + (2y)(e−s ) = 2xes + 2ye−s ∂x ∂r ∂y ∂r ∂u ∂x ∂u ∂y + = (2x)(re2 ) + (2y)(re−s ) = r (2xes − 2ye−s ) ∂x ∂s ∂y ∂s



5



4.2



Aturan Rantai n Variabel



Misalkan u adalah fungsi terdiferensial dari n peubah x1 , x2 , . . . , xn sedangkan masing-masing peubah x1 adalah fungsi dari m peubah y1 , y2 , . . . , ym . Jika ∂xi (i = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , m) ada maka u adalah semua turunan parsial ∂y j fungsi dari y1 , y2 , . . . , ym . Jadi dapat kita peroleh rumus sebagai berikut : ∂u ∂y1 ∂u ∂y2



5



= =



∂u ∂x1 ∂u ∂x2 + + ··· + ∂x1 ∂y1 ∂x2 ∂y1 ∂u ∂x1 ∂u ∂x2 + + ··· + ∂x1 ∂y2 ∂x2 ∂y2



∂u ∂xn ∂xn ∂y1 ∂u ∂xn ∂xn ∂y2



.. .



.. .



.. .



∂u ∂ym



=



∂u ∂x1 ∂u ∂x2 ∂u ∂xn + + ··· + ∂x1 ∂ym ∂x2 ∂ym ∂xn ∂ym



Turunan Parsial Fungsi Implisit



Misal z = F (x, y) dan y = g(x), maka z = F (x, g(x)) menyatakan fungsi satu variabel, sehingga berdasarkan aturan rantai diperoleh : ∂z ∂x



=



∂F ∂x ∂F ∂y ∂z ∂F ∂F ∂y + ⇔ = + ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x



(1)



Jika z = 0 maka F (x, y) = 0 mendenisikan y secara implisit sebagai fungsi x dan (1,1) menjadi 0=



− ∂F ∂F ∂F ∂y ∂y ∂x + ⇔ = ∂F ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y



asalkan



∂F 6= 0 ∂y



Analogi dengan hal tersebut, jika z fungsi implisit variabel x dan y yang terdenisikan oleh persamaan F (x, y) = 0 maka : − ∂F ∂z ∂x = ∂F ∂x ∂z



− ∂F ∂z ∂y dan = ∂F ∂y ∂z



6



asalkan



∂F 6= 0 ∂z



Contoh 5 Diketahui x3 + y 2 x − 3 = 0 tentukan



∂y ∂x



penyelesaian ∂(x3 + y 2 x − 3) ∂y 3 ∂(x + y 2 x − 3) ∂x ∂y karena ∂x ∂y ∂x



=



2yx



=



3x2 + y 2



=



− ∂F ∂x



=



7



∂F ∂y



maka



−(3x2 + y 2 ) 2yx