Penerapan Turunan Parsial (2) .PDFX [PDF]

Citation preview

MODUL III peNERAPAN TURUNAN PARSIAL



Vektor Normal Andaikan F(x,y,z) = k adalah persamaan suatu permukaan S pada ruang dimensi tiga, dan misalkan bahwa P(x0,y0,z0) sebuah titik pada permukaan S. Selanjutnya misalkan C adalah kurva pada permukaan S yang melalui titik P(x0,y0,z0). Lihat gambar Sebuah vektor yang tegak lurus pada vektor singgung sari setiap kurva C pada permukaan S dan melalui titik P0 pada S disebut dengan vektor normal pada S di P, yaitu  F ( x0 , y 0 , z 0 ) 



F F F i j k x ( x , y , z ) y ( x , y , z ) z ( x , y , z ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0



Bidang Singgung Andaikan F(x,y,z) = k adalah persamaan suatu permukaan S pada ruang dimensi tiga, yang memuat titik P(x0,y0,z0). Bilamana gradien F di P(x0,y0,z0) yakni ∇F(x0,y0,z0) ≠ 0, maka bidang yang melalui P(x0,y0,z0) yang tegak lurus ∇F(x0,y0,z0) disebut dengan bidang singgung permukaan S di P(x0,y0,z0). Persamaan bidang singgung dari permukaan S di P(x0,y0,z0) dengan gradien ∇F(x0,y0,z0) diberikan oleh, F F F ( x  x0 )  ( y  y0 )  ( z  z0 )  0 x ( x , y , z ) y ( x , y , z ) z ( x , y , z ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0



Dalam hal khusus, untuk permukaan S yang persamaannya diberikan oleh, z = f(x,y) persamaan bidang singgung di titik (x0,y0,f(x0,y0)) diberikan oleh, ( z  z0 ) 



z z ( x  x0 )  ( y  y0 ) x ( x , y ) y ( x , y ) 0 0 0 0



Contoh



Contoh



Carilah persamaan bidang singgung di permukaan elipsoida, x2 + 4y2 + 3z2 – 2x – 8y = 56 pada titik (3,2,4) Penyelesaian F(x,y,z)=x2+4y2+3z2–2x–8y–56 Sehingga, F F  2 x  2,  2(3)  2  4 x x (3,2,4)



Carilah persamaan bidang singgung di permukaan, 4x2+xy+3z2=y2+2xz, yang sejajar bidang, 11x + 8y + 2z = 88 Penyelesaian F(X,y,z)= 4x2+xy+3z2–y2–2xz



F F  8 x  8,  8(2)  8  8 y y (3,2,4) F F  6 z  0,  6(4)  24 z z (3,2,4)



Jadi persamaan bidang singgung permukaan di (3,2,4) adalah, 4(x – 3) + 8(y – 2) + 24(z – 4) = 0, x + 2y + 3z = 31



F  8 x  y  2 x  11 - -  (1) x F  x  2y  8 - -  (2) y F  6z  2x  2 - -  (3) z



Dari ketiga persamaan diperoleh, x0=2, y0=–3,dan z0 = 1. Jadi persamaan bidang singgung adalah, 11(x – 2) + 8(y + 3) + 2(z – 1) = 0, 11x + 8y + 2z = 0



Garis Normal Garis normal permukaan pada permukaan S, F9x,y,z)=c di P(x0,y0,z0) adalah suatu garis yang melalui P(x0,y0,z0) dengan vektor arah garis adalah vektor normal ∇F(x0,y0,z0). Persamaan garis normalnya adalah,



x  x0



F x ( x , y , z ) 0 0 0



Contoh :







y  y0



F y ( x , y , z ) 0 0 0







z  z0



F z ( x , y , z ) 0 0 0



Carilah persamaan garis normal permukaan, x2z+xy2–yz2= 19, dititik (2,3,1) Penyelesaian F(x,y,z)= x2z+xy2–yz2–19, F F F F  2 xz  y 2 ,  13,  2 xy  z 2 ,  11, x x ( 2,3,1) y y ( 2,3,1) F F  x 2  2 yz,  2 Persamaan garis normal z z ( 2,3,1)



x  2 y  3 z 1   13 11 2



Soal Latihan 1) Dua buah permukaan, 3x2 + y2 – z2 = xz – y, dan x2 – 2y2 + z2 = xy + 3z, dimana kedua kurva berpotongan di titik (2,1,3). Carilah persamaan garis simetri yang merupakan perpotongan kedau bidang singgung di titik (2,1,3). 2) Tentukan titik pada permukaan, x2 = 3y2 + 4z2, di mana bidang singgungnya sejajar dengan bidang, 8x – 12y – 8z = 3. Hitunglah pula persamaan bidang singgung dan garis normalnya di titik tersebut. 3) Tentukanlah titik pada permukaan elipsoida, 2x2+ y2+ 3z2–3x–4y = 5z, dimana bidang singgungnya sejajar dengan bidang, 5x + 2y + 7z = 3. Hitunglah pula persamaan bidang singgung dan garis normalnya di titik tersebut. 4) Tentukanlah titik pada permukaan elipsoida, 4x2 + y2 + 2z2 – 3z = 15, dimana bidang singgungnya sejajar dengan bidang, 8x + 6y + 5z = 10. Hitunglah pula persamaan bidang singgung dan garis normalnya di titik tersebut. 5) Tentukanlah titik pada permukaan, y2 = z2x + 3y, dimana bidang singgungnya sejajar dengan bidang, 9x – 9y + 12z = 14. Hitunglah pula persamaan bidang singgung dan garis normalnya di titik tersebut.



MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI Perhatikanlah sketsa grafik fungsi berikut ini x3 y 3 z  f ( x, y )    x 2  y 2  3 x  8y 3 3 Maksimum Titik pelana, bukan ekstrim



Minimum



Pengertian Nilai Ekstrim Fungsi



Maksimum



Andaikan f adalah fungsi dua variabel yang memuat titik (x0,y0) pada daerah asal f. 1) f(x0,y0) dikatakan sebagai nilai maksimum relatif (mutlak) dari f(x,y) pada daerah asal f, jika f(x0,y0) ≥ f(x,y) untuk semua titik (x,y) pada daerah asal f 2) f(x0,y0) dikatakan sebagai nilai minimum relatif (mutlak) dari f(x,y) pada daerah asal f, jika f(x0,y0) ≤ f(x,y) untuk semua titik (x,y) pada daerah asal f 3) f(x0,y0) dikatakan sebagai nilai ektrim relatif (mutlak) dari f(x,y) pada daerah asal f, jika f(x0,y0) adalah nilai maksimum atau nilai minimum relatif (mutlak) f(x,y)



Minimum



Titik Kritis Andaikan f(x,y) fungsi yang didefinisikan pada daerah asal yang memuat titik (x0,y0). Jika f(x0,y0) adalah nilai ekstrim f, maka (x0,y0) harus merupakan titik kritis, yakni salah satu titik dari : i). Titik batas daerah asal fungsi ii). Titik stasioner f iii). Titik singular f , berikut ini.



Titik Stasioner – Uji Turunan Pertama Titik (x0,y0) dikatakan sebagai titik stasioner pada daerah asal fungsi f bilamana,



(i)



f f  f x ( x0 , y 0 )  0, (ii)  fy ( x0 , y 0 )  0 x ( x , y ) y ( x , y ) 0 0 0 0



Uji Nilai Ekstrim – Uji Turunan Kedua Andaikan f adalah fungsi dua variabel dari x dan y sedemikian sehingga f dan turunan-turunan parsial orde kedua kontinu. Andaikan pula bahwa (x0,y0) adalah titik stasioner, (atau fx(x0,y0) = 0 dan fy(x0,y0) = 0) i). f(x0,y0) dikatakan sebagai nilai maksimum relatif (mutlak) f, jika : D(x,y) = fxx(x0,y0).fyy(x0,y0) – [fxy(x0,y0)]2 > 0, dan fxx(x0,y0) < 0 (atau fyy(x0,y0) < 0) ii). f(x0,y0) dikatakan sebagai nilai minimum relatif (mutlak) f, jika : D(x,y) = fxx(x0,y0).fyy(x0,y0) – [fxy(x0,y0)]2 > 0, dan fxx(x0,y0) > 0 (atau fyy(x0,y0) > 0) iii). jika D(x,y) = fxx(x0,y0).fyy(x0,y0) – [fxy(x0,y0)]2 < 0, uji gagal dan f(x0,y0) dikatakan bukan nilai ekstriim dan (x0,y0) disebut dengan titik pelana.



Contoh Tentukanlah jenis dan nilai ekstrim (jika ada) fungsi yang didefinisikan oleh, 1 f ( x, y )  y 4  x 3  2 y 3  6 x 2  4 y 2  9 x 4 Langkah 1. Turunan Parsial Langkah 2. Titik kritis f x  3 x 2  12 x  9



f x  0  3 x 2  12 x  9  0



fy  y 3  6y 2  8y



3( x 2  4 x  3)  0 3( x  1)( x  3)  0 x  1, x  3



f yy  3 y 2  12y  8



fy  0  y 3  6y 2  8y  0



f xx  6 x  12



f xy  f yx  0



y ( y 2  6 y  8)  0 y ( y  2)( y  4)  0 y  0, y  2, y  4



Jadi titik kritisnya adalah : (1,0);(1,2);(1,4);(3,0);(3,2);(3,4)



Uji Nilai Ekstrim Bentuk, D(x,y) = fxx(x0,y0).fyy(x0,y0) – [fxy(x0,y0)]2 = (6x – 12)(3y2 – 12 y + 8) Perhatikan tabel berikut :



Contoh Tentukanlah jenis dan nilai ekstrim (jika ada) fungsi didefinisikan oleh,



Langkah 1. Turunan Parsial f x  x 2  3 y 2  4 xy f xx  2 x  4 y



Langkah 2. Titik kritis f x  0  x 2  4 xy  3 y 2  0 ( x  y )( x  3 y )  0,  x  y , x  3 y



f xy  6 y  4 x



f y  0,  6 xy  2 x 2  16 y  48  0



f y  6 xy  2 x 2  16 y  48



xy



f yy  6 x  16 f yx  6 y  4 x



4 y 2  16 y  48  0 4( y  2)( y  6)  0, y  2, y  6 x  3y  16 y  48  0 y 3



Jadi titik kritisnya adalah : (–6,–6);(2,2);(9,3)



Uji Nilai Ekstrim Bentuk, D(x,y) = fxx(x0,y0).fyy(x0,y0) – [fxy(x0,y0)]2 = (2x – 4y)(6x+16) – (6y – 4x)2 Perhatikan tabel berikut :



Ektrim Fungsi n Variabel Misalkan, x*=(x1,x2,..,xn) adalah titik kritis dari fungsi n variabel f(x1,x2,…xn) dimana x* memenuhi persamaan, fx1 = f1 = 0, fx2 = f2 = 0, fx3 = f3 =0,…, fxn = fn = 0. Misalkan, D adalah determinan Hessian orde n yaitu :



f11 f12



f13



...



f21 f22 D  f31 f32 ... ... fn1 fn 2



f23 f33



... f2n ... f3n fij ... ... fnn



... fn 3



f1n



Minor utama determinan Hessiannya adalah : f11 f12 f11 f12 D1  f11; D2  , D3  f21 f22 f21 f22 f31 f32



f13 f23 , dst f33



Fungsi, f(x1,x2,x3,…,xn) dikatakan : ⑴ mencapai maksimum di x*, jika D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, D4 > 0, …. ⑵ Mencapai minimum di x*, jika D1 > 0, D2 < 0, D > 0, D4 > 0, ….. ⑶ Bukan ekstrim di x*, jika yang lainnya



Soal Latihan Carilah nilai ekstrim fungsi dua varibel berikut ini :



1 b a(1 2b) 2 2 (1). f ( x, y )  ( x  y )3  y 3  y  a (x  y ) 3 3 2 1 a b(1 2a) 2 2 (2). f ( x, y )  (y  x)3  x 3  x  b (x  y ) 3 3 2 1 (3). f ( x, y )  x 3  y 3  (y  a)x 2  4axy  7a2y 3 1 1 1 1 1 (4). f ( x, y )  y 4  x 3  (a  b)y 3  (b  2)x 2  aby2  2bx 4 3 3 2 2 1 1 (5). f ( x, y )  x 3  x 2y  xy 2  bx2  by 2  bxy  (b  1)x 3 2 x 3 y 3 (a  4)x 2 (6). f ( x, y )     (a  3)y 2  2(a  2)x  (a  1)(a  5)y 3 3 2 (7).Q 



K 3 L4   (11  b )L3  (10  a )K 2  45( b  1)L2  32(a  2)K 3 4



Soal 8 Sebuah perusahaan monopolis, yang menghadapi dua pasar yakni pasar domestik dan pasar ekspor. Fungsi permintaan masing-masing pasar diberikan oleh : Pasar domestik : P1 = 1.000 – aQ1 + 2Q2 Pasar ekspor : P2 = 1.200 + 3Q1 – aQ2. Fungsi biaya totalnya adalah, TC = 400Q1 + 300Q2 + 2a(Q1 + Q2)2 Soal 9 Misalkan K menyatakan jam kerja mesin, dan L adalah jam kerja tenaga kerja, fungsi produksinya diberikan oleh : Q = K5 + L4 – 25 K4 – 40 L3 + 125 K3 + 400 L2 Berapakah jumlah input K dan L harus digunakan agar output maksimum Soal 10. Misalkan K menyatakan jam kerja mesin, dan L adalah jam kerja tenaga kerja, fungsi produksinya diberikan oleh : Q = KL2(80 ab – aK – bL) Berapakah jumlah input K dan L harus digunakan agar output optimum



Metode Lagrange Andaikan dicari nilai ekstrim fungsi, f(x,y,z) dengan kendala, g(x,y,z) = c. Langkah pertama. metode Lagrange adalah membentuk fungsi baru dengan memasukkan variabel baru, λ, yang disebut dengan faktor pengali Lagrange. Fungsi baru tersebut adalah,



F(x,y,z,λ) = f(x,y,z) + λg(x,y,z) Langkah kedua, metode Lagrange adalah menentukan titik ktiris dari fungsi F. Titik kritis diperoleh dengan cara menyelesaikan secara simulkan dari, F F (i).  Fx ( x, y , z,  )  0 (ii).  Fy ( x, y , z,  )  0 x y F F (iii).  Fz ( x, y , z,  )  0 (iv).  F ( x, y , z,  )  g ( x, y , z )  0 z  Langkah ketiga, menentukan nilai ekstrim terkendala. Bila (x0,y0,z0,λ0) titik kritis F(x,y,z,λ), maka (x0,y0,z0) juga titik kritis dari f(x,y,z) dengan kendala g(x,y,z). Jadi nilai ektrim f(x,y,z) dengan kendala g(x,y,z) adalah f(x0,y0,z0).



Contoh Carilah nilai minimum relatif dari, f(x,y,z) = 2x2 + y2 + 3z2 pada bidang, x + 3y + 2z = 65 Jawab Langkah 1. Fungsi Lagrange, g(x,y,z)=65 – x – 3y – 2z F(x,y,z,)=f(x,y,z)+g(x,y,z) = 2x2 + y2 + 3z2+(65 – x – 3y – 2z) Langkah 2. Titik kritis : 1 3 (1) Fx  4 x    0  x   (2) Fy  2y  3  0  y   4 2 1 (3) Fz  6z  2  0  z   ( 4) F  65  x  3 y  2z  0  x  3 y  2z  65 3 Jika (1) (2) (3) ke (4) diperoleh : Langkah 3. Nilai ekstrim bersyarat Jadi titik kritis F adalah (3,18,4,12), dan 1 3  1  nilai ekstrim minimum f dengan kendala   3    2    65 g adalah, 4 2  3  65   65    12 12



f(3,18,4) = 2(3)2 + (18)2 + 3(4)2 = 390



Contoh Tentukanlah nilai ekstrim dari, f(x,y,z) = 4x + 5y + 4z, pada elips merupakan perpotongan silinder lingkaran tegak, (x–2)2 + (y – 4)2 = 100, dan bidang, 2x + 3y = 4z. Jawab Langkah 1 Fungsi Lagrange g(x,y,z) = 100 – (x – 2)2 – (y – 4)2 ; h(x,y,z) = 4z – 2x – 3y F(x,y,z) = f(x,y,z) + g(x,y,z) + h(,y,z) = 4x + 5y + 4z + [100 – (x–2)2–(y–4)2 ]+(4z – 2x – 3y) Langkah 2. Titik kritis 4  2 (1) Fx  4  2 ( x  2)  2  0  x2 2 5  3 (2) Fy  5  2 ( y  4)  3   0  y4 2 (3) Fz  4  4   0    1 ( 4) F  100  ( x  2)2  ( y  4)2  0  ( x  2)2  ( y  4)2  100 (5) F  4z  2 x  3 y  0



 2 x  3 y  4z



Jika, =–1, ke (1) dan (2) diperoleh hasil, 6 3  , 2  8 4 (7). y  4   2 



Untuk, = –1/2, diperoleh: x – 2 = –6, atau x = –4 y – 4 = –8, atau y = –4, dan 4z=2(–4)+4(–4)=–6, atau z=–6



(6). x  2 



Jika (6) dan (7) ke (4) diperoleh : 2 2 3  4       100   1 1 2      4 2



Untuk, =1/2, diperoleh: x – 2 = 6, atau x = 8 y – 4 = 8, atau y = 12, dan 4z=2(8)+4(12)=64, atau z=16



Sehingga titik kritisnya adalah (–4,–4,–6,–1/2,–1) Jadi nilai ekstrim bersyaratnya adalah : ⑴ f(8,12,16)= = 4(8)+ 5(12)+4(16) ⑵ f(–4,–4,–6)=



Sehingga titik kritisnya adalah (8,12,16,1/2,–1)



Contoh : Carilah nilai ekstrim dari, f(x,y,z) = xy2z2, dengan kendala, x + 2y + 2z = 30, dan x – 3y – 3z = 5. Penyelesaian Langkah 1. Fungsi Lagrange. g(x,y,z) = 30 – x – 2y – 2z, h(x,y,z) = 10 – x + 3y + 3z Fungsi pembantu Lagrange, F(x,y,z,λ,β) = f(x,y,z) + λg(x,y,z) + βh(x,y,z) = xy2z2 + λ(30 – x – 2y – 2z) + β(10 – x + 3y + 3z) Langkah 2. Titik kritis



(1) Fx  y 2 z 2      0



 x 2y 2    



(2) Fy  2 xyz 2  2  3   0  2 xyz 2  2  3  (3) Fz  2 xy 2 z  2  3   0  2 xy 2 z  2  3  ( 4) F  30  x  2y  2z  0  x  2y  2z  30 (5) F  10  x  3 y  3z  0  x  3 y  3z  10 Dar1 (4) dan (42) diperoleh hasil, 3x + 6y + 6z = 90 5x = 110, x=22 2x – 6y – 6z = 20



Soa1 Sebuah fungsi produksi Cobb Douglass dengan tiga variable input x, y, z diberikan oleh persamaan : Q = 100 x0,(a+2) y0,(b+1) z0,(a+b) Diketahui harga input untuk x adalah 2(a+2), harga input untuk y adalah 4(b+1) dan harga input untuk z adalah 8(a+b). Jika total anggaran belanja modal input adalah 64.000 tentukanlah jumlah input yang harus digunakan agar outputnya optimum (catatan gunakan metode lagrange) Soal 2. Tentukanlah nilai ekstrim dari : f(x,y,z) = 2ax + 2by + bz, dengan kendala : 4(y – a)2 + (z – a)2 = 24 a2 dan, ax = 3by + bz.



Soal 3. Diberikan fungsi produksi Cobb-Dauglas dengan tiga variable input K (modal), L (tenaga kerja), dan M (energi), dimana output produksinya adalah : Q  10K 0,a L0,b M 0,4 Biaya per unit masing-masing variable input adalah $ 2a untuk modal, $ b/2 untuk tenaga kerja, dan $ 32 untuk energi. Anggaran yang tersedia adalah $ (a + b + 4) ribu. Tentukanlah kombinasi variable input yang memaksimalkan output produksi. Soal 4 Fungsi produksi suatu perusahaan dengan dua variable input yakni tenaga kerja (L), dan modal (K) diberikan oleh :



Q(K , L )  4K 2  aKL  aL2 Berdasarkan data masa lalu, harga input tenaga kerja, = 4a, dan harga input modal, = 80, jika anggaran yang tersedia untuk produksi per minggunya adalah 10.000. Tentukanlah kombinasi jumlah tenaga kerja dan modal yang harus digunakan agar supaya outputnya optimal.



5) Dengan metode Lagrange, carilah volume kotak terbesar yang dapat dibuat di dalam elipsoida, 9x2 + 4y2 + 36z2 = 144, jika sisi-sisnya sejajar dengan sumbu koordinat. 6) Sebuah kotak kayu tanpa tutup mempunyai luas permukaan 216 m3. Tentukan ukuran kotak agar volumenya maksimum 7) Carilah jarak terpanjang dan terpendek dari pusat ke kurva perpotongan x2 = 4yz, dan x2 + 2y2 + 2z2 = 72, 8) Carilah jarak terpanjang dan terpendek dari pusat ke kurva perpotongan y2 = 8xz, dan x2 + 2y2 + z2 = 60, 9) Sebuah kotak kayu dengan tutup mempunyai luas permukaan 512 m3. Tentukan ukuran kotak agar volumenya maksimum