Makalah Turunan Parsial Keterdiferensialan Dan Turunan Total [PDF]

Citation preview

MAKALAH Kalkulus Lanjut 2 Tentang Turunan Parsial



Dosen pembimbing: Nurbaeti M,pd Nama: Gufran NPM: 16.3.02.0039



JURUSAN MIPA PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) BIMA TAHUN AKADEMIK 2019/2020



BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Kalkulus lanjut merupakan mata kuliah lanjutan dari kalkulus I yang telah dipelajapada semester sebelumnya. Proses perkuliahan di kampus sangatlah minim, karena waktu yang tidak cukup, sehingga mahasiswa sangat dituntut untuk memiliki keterampilan di dalam mempelajari sendiri semua materi yang dipelajari. Dengan demikian mahasiswa sangat dituntut aktif dalam perkuliahan maupun dituntut aktif mencari bahan materi yang dipelajari. Makalah ini merupakan salah satu syarat di dalam mengikuti atau melakukan diskusi diskusi dalam perkuliahan. Sehingga pemahaman terhadap bahan kuliah bisa kebih menjadi maksimal. insyaAllah.



B. Rumusan Masalah 1. Apa itu Turunan Persial? 2. Apakah kegunaan dan lambang dari Turunan Persial? 3. Apa itu keterdeferensialan? 4. Apa itu turunan total?



C. Tujuan 1. Menjelaskan pengertian, kegunaan dan lambang turunan persial; 2. Menjelaskan penyelesaian turunan parsial fungsi implisit; 3. Menjelaskan penyelesaian diferensial total. 4. Menjelaskan penyelesain turunan total. D. Manfaat 1. Mahasiswa dapat apa itu turunan persial serta memahami penyelesaian turunan dengan aturan rantai baik itu dua variabel maupun banyak variabel; 2. Mahasiswa dapat memahami penyelesaian turunan parsial fungsi implisit dua variabel atau lebih; 3. Mahasiswa dapat memahami penyelesaian diferensian total dua variabel atau lebih. 4. Mahasiswa dapat memahami penyelesaian turunan total 5. Dapat menambah wawasan tentang pembelajaran turunanan persial, kegunaannya serta lambangnya. 6. Sebagai sumber pembelajaran bagi seluruh kalangan yang membutuhkan makalah ini.



BAB II PEMBAHASAN



A. Definisi, kegunaan, dan lambang turunan Persial a. Definisi Turunan Persial Dalam matematika, turunan parsial sebuah fungsi matematika peubah banyak adalah turunannya terhadap salah satu peubah (variabel) dengan peubah lainnya dipertahankan (konstan). Ini dibedakan dengan turunan total, yang membolehkan semua variabelnya untuk berubah. Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah x dan y. 1. Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut



f x ( x, y )  lim



h 0



f ( x  h, y )  f ( x, y ) h



2. Turunan parsial pertama dari f terhadap y (x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut



f y ( x, y )  lim



h 0



f ( x, y  h )  f ( x, y ) h



Contoh: Tentukan fx dan fy f ( x, y)  x y2  4 xy 2 Jawab : fx(x,y) = 3 x y + 4 y 3



2



Fungsi dua peubah atau lebih Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum



ditulis dalam bentuk



F(x,y,z) = 0. Contoh: 1. z = 2x + y



x2  2y4



2. z = ln 3. z = 1 – 2



1 2 sin x  sin y



4. xy + xz – yz = 0 5. xy - e x sin y = 0 6. ln x 2  y 2  arctan 7. arc tan



y =0 x



y - 2z = 0 x



Pada contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit adalah pada contoh 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan tetapi tidak semua bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit. Untuk menggambar fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z seperti gambar berikut:



Z



X Y Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu: 1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah. 2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah 3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus. Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial. Definisi Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan



F ( x  x, y )  F ( x, y ) Z = Lim x  0 x x



dan



F ( x, y  y )  F ( x, y ) Z = Lim y y  0 y



Asalkan limitnya ada.



Contoh : Tentukan turunan parsial pertama dari a. z =



x2  y2



Jawab



Z F ( x  x, y )  F ( x, y ) = Lim x  0 x x



z z dan dan didefinisikan oleh x y



= Lim



( x  x) 2  y 2  x 2  y 2 x



= Lim



( x  x) 2  y 2  x 2  y 2 . x



x  0



x  0



= Lim



x  0



= Lim



x  0



2 xx  x 2 x ( x  x) 2  y 2  x 2  y 2



2 x  x ( x  x) 2  y 2  x 2  y 2



x  0



=



( x  x) 2  y 2  x 2  y 2



( x  x) 2  y 2  ( x 2  y 2 ) x



= Lim



=



( x  x) 2  y 2  x 2  y 2



2x 2 x2  y2



x x2  y2



F ( x, y  y )  F ( x, y ) Z = Lim y y  0 y



= Lim



( x 2  ( y  y)2  x 2  y 2 y



= Lim



( x 2  ( y  y)2  x 2  y 2 . y



x  0



x  0



= Lim



x  0



= Lim



x  0



( x  x) 2  y 2  ( x 2  y 2 ) x



2 xx  x 2 x ( x  x) 2  y 2  x 2  y 2



( x 2  ( y  x) 2  x 2  y 2 ( x2  ( y 2  x2  y 2



2 x  x



= Lim



( x  x) 2  y 2  x 2  y 2



x  0



=



2y 2 x2  y2



y



=



x  y2 2



b. z = Sin (x+y) Jawab



F ( x  x, y )  F ( x, y ) Z = Lim x  0 x x



= Lim



x  0



sin( x  x  y )  sin ( x  y ) x



1 1 2 cos ( x  x  y  x  y ) sin ( x  x  y  x  y ) 2 2 = Lim x  0 x x x ) sin 2 2 x



cos( x  y  = 2 Lim



x  0



sin x x 2 = 2 Lim cos (x+y+ ) Lim x 0 2 x0 x = 2 Lim cos (x+y+ x 0



sin x 1 x 2. ) Lim  x  0 2 x / 2 2



= 2 cos (x+y)(1)(1/2)



= cos (x+y)



F ( x, y  y)  F ( x, y) Z = Lim y y x  0



= Lim



x  0



sin( x  y  y )  sin ( x  y ) y



1 1 2 cos ( x  y  y  x  y) sin ( x  y  y  x  y) 2 2 = Lim x  0 y



x x ) sin 2 2 x



cos( x  y  = 2 Lim



x  0



sin x x 2 = 2 Lim cos (x+y+ ) Lim x 0  x  0 2 x = 2 Lim cos (x+ x 0



sin x 1 x 2. ) Lim  x  0 2 x / 2 2



= 2 cos (x+y)(1)(1/2)



= cos (x+y)



Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat dilakukan dengan menggunakan metode sederhana sebagai berikut. Andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan



z sama artinya x



dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan



z sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x y



dianggap konstant lalu diturunkan.



Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan



W W W , dan yang secara , z x y



berturut didefinisikan oleh:



W F ( x  x, y, z )  F ( x, y, z )  Lim x xo x



W F ( x, y  y, z )  F ( x, y, z )  Lim  y  o y y W F ( x, y, z  z )  F ( x, y, z )  Lim z o z z Asalkan limitnya ada. Contoh:



 y  x



1. Ditentukan F(x,y,z) = xyz + 2 tan 



Untuk latihan para pembaca tentukan turunan persial fungsi-fungsi di bawah ini:



Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n, untuk n  2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi. Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya.



Jadi andaikan z = F(x,y) maka:



2 z 2 z 2 z 2 z Turunan parsial tingkat dua adalah , , , dan x 2 y 2 xy yx Demikian pula, jika W = F(x,y,z)



 2W  2W  2W  2W  2W  2W  2W  2W  2W Turunan parsial tingkat dua adalah , , , , , , , , x 2 y 2 z 2 xy xz yz yx zx zy Demikian seterusnya. Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus m n , dimana m banyaknya variabel dan n menunjukkan turunan ke-n Contoh



Tentukan



1. z =



2 z 2 z dan dari fungsi berikut: x 2 y 2



xy x y



Jawab Dari z =



z y( x  y)  xy(1) xy , diperoleh  x y x ( x  y)2 =



 y2 ( x  y) 2



z x( x  y )  xy(1)  y ( x  y) 2



=



Sehingga



Dan



x2 ( x  y) 2



 2 z   z     x 2 x  x  =



   y2    x  ( x  y) 2 



=



0( x  y) 2  ( y 2 )( 2)( x  y)(1) ( x  y) 4



=



2 xy2  2 y 3 ( x  y) 4



  x2  2 z   = y 2 y  ( x  y) 2  =



0( x  y) 2  x 2 (2)( x  y)(1)  2 x 3  yx 2 = ( x  y)4 ( x  y) 4



2. z =



x y  2 2 y x



3. z = sin 3x cos 4y b. Kegunaan Turunan Persial Turunan parsial berguna dalam bidang kalkulus vektor dan geometri diferensial. Turunan parsial sebuah fungsi f terhadap variabel x dituliskan oleh berbagai sumber rujukan sebagai



c. Lambang turunan parsial Lambang bilangan persial ∂ adalah huruf bundar, diturunkan namun berbeda dengan huruf Yunani delta, dan dibedakan dengan notasi turunan total d (dan dari huruf ð) B. Differensial Total dan Turunan Total Diferensial total dua variabel Misalkan z= f(x,y), dengan f suatu fungsi yang terdeferensial, dan andaikan dx dan dy disebut diferensial dari x dan y. diferensial dari peubah tak bebas dz disebut juga diferensial total dari f dan ditulis df(x,y), maka dapat didefenisikan sebagai berikut:



Contoh: 1). Misalkan z = x2y2 + x3 +y3x maka tentukanlah diferensial totalnya. Jawab



= (2xy2 + 3x2 + y3 ) dx + (2x2y +3y2x)dy



2). Tentukan diferensial total untuk z= e- ½ (x + Y) Jawab:



= ( - ½ e – ½ (x + y ))dx + (-1/2 e-1/2( x + y ))dy



2. Diferensia total tiga variabel Misalkan fungsi w = f(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah, maka diferensia total dari f dinyatakan dalam bentuk



Contoh: 1). Carilah diferensial total dari w= 2x2 y + y2 x z +xz2 Jawab:



= (4xy +y2z +z2)dx + (2x2 + 2yxz) dy + (y2x + 2 xz) dz 2). Suatu balok mempunyai panjang 20 cm dengan kesalahan pengukuran 0,01 cm , lebar 15 cm dengan kesalahan pengukuran 0,02 cm dan tinggi 10 cm dengan kesalahan pengukuran 0,01 cm. tentukanlah nilai pendekatan kesalahan pengukuran terbesar dari volume balok serta tentukan kesalahan relatifnya dalam persentase!



Jawab: Misalkan panjang balok = x, lebar = y, dan tinggi = z, maka volume balok = x y z. nilai kesalahan sesungguhnya adalah ∆𝑉 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑉 sebagai nilai pendekatan untuk ∆𝑉. Jadi



Diketahui ∆𝑥 =0,01 ,∆𝑦=0,02 𝑑𝑎𝑛 ∆𝑧=0,01 jadi kesalahan pengukuran pada panjang balok dx = 0,01 lebar dy= 0,02 dan tinggi =0,01. Jadi



Jadi ∆𝑉 ≅8,5 𝑐𝑚3 artinya kesalahan terbesar yang mungkin terjadi pada pengukuran volume balok adalah 8,5 cm3. Kemudian diketahui:



Jadi kesalahan relative dari pengukuran volume balok adalah



3. Diferensial total n variable Jika z = f( x1 , x2,…. xn ) maka



Jika



f(x1 , x2,…. xn ) = c maka df = 0, catatan x1 , x2,…. xn bukan merupakan variabel independent Misal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y, maka diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-turut dinotasikan dengan



z F ( x, y )  ------------- (1) dan x x



z F ( x, y) ------------- (2)  y y Dari (1) dan (2) diperoleh:



dz 



F ( x, y ) F ( x, y ) dx dan dz  dy x y



Jumlah diferensialnya diperoleh: dz =



F ( x, y ) F ( x, y ) dx + dy x y



Bentuk di atas disebut diferensial total. Contoh.



x 2  y 2 dengan x = panjang sisi yang pendek, y = panjang sisi yang panjang



1. Jika r =



Differensial total dr =



r r dx  dy x y



dimana dr  r , dx  x , dx  y didapat



r 



=



r r x  y x y 2x 2 x2  y2



x 



2y 2 x2  y2



y



20 5  5      152  202  8  152  202  16  15



=



=



15 5 20 5  25 8 25 16



=



1 cm 8



2. Suatu tempat berbentuk silinder (tabung) dengan jari-jari alasnya 15 cm dan tingginya 20 cm. Karena pemuaian, tinggi slinder bertambah 0,5 cm/det dan tingginya berkurang 1 cm/det. Hitunglah perubahan yang terjadi terhadap volume dan luas permukaan silinder. Jawab. Misal jari-jari tabung r, tinggi h dan volume I, maka I = r 2 h I = I(r,h) Diketahui r = 15 cm, h = 20,



r h  0,5cm / det ,  1cm / det t t



Dengan definisi turunan total I = I(r,h) dengan r dan h bergantung pada waktu t, maka diperoleh



dI I dr I dh   dt r dt h dt = 2 rh



dr dh  r 2 dt dt



Turunan Parsial Fungsi Implisit Turunan Fungsi Implisit 2 Peubah Fungsi implisit dua peubah secara umum dinyatakan dengan F(x,y) = 0.



Contoh 1. xy + yz + xz = 0



x   0  y



2. exy – sin 



3. x2 + y2 + z2 – 25 = 0



Untuk menentukan turunan parsialnya dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah differensial total. Karena f(x,y) = 0, maka df(x,y) = d(0) Atau



f ( x, y ) f ( x, y ) dx  dy = 0 x y







f ( x, y ) f ( x, y ) dy  0 x y dx







f ( x, y ) dy f ( x, y )  y dx x



f ( x, y ) dy    x f ( x, y ) dx y Carilah



dy dari dx



b. f(x,y) = xy-ex sin y = 0 (FUNGSI IMPLISIT 2 PEUBAH X DAN Y)



akan dicari



dy , menurut definisi turunan total dx



f ( x, y ) dy x = f ( x, y ) dx y



y  e x sin y =  x  e x cos y  y  = 0 (FUNGSI IMPLISIT 2 PEUBAH X DAN Y) x



3. ln(x 2  y 2 ) - arc tan 



f ( x, y ) dy x =  f ( x, y ) dx y 2x  y x2  y2 =  2y  x x2  y2



=



2x  y x  2y



Turunan Fungsi Implisit 3 Peubah Fungsi Implisit 3 peubah secara umum dinyatakan dalam bentuk f(x,y,z) =0 Contoh: Contoh 1. xy + yz + xz = 0



x   0  y



2. exyz – zsin 



3. x2 + y2 + z2 – 25 = 0



Fungsi Implisit 4 Peubah BU dinyatakan dengan



 F ( x, y , u , v )  0  G ( x, y, u, v)  0 Atau ditulis dalam bentuk F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v) = 0 dengan x,y variable berpasangan dan u,v variabel berpasangan dan F(x,y,u,v) = 0 serta G(x,y,u,v) = 0 tidak dapat berdiri sendiri. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.



Contoh 2   x  y  2uv  0 2 2 2 2   x  xy  y  u  v  0



1. 



Atau ditulis dengan x+y 2 + 2uv = 0, x 2  xy  y 2  u 2  v 2  0 2  2u  v  x  xy  0 2  u  2v  xy  y  0



2. 



u 2  v 2  2 x  3 y  0



3. 



uv  x  y  0



dan seterusnya.



Turunan Parsial dilakukan dengan menggunakan metode substitusi. Dalam F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v)= 0, u,v variabel sejenis, x,y variabel sejenis sehingga tidak dapat ditentukan



x y u v , , , dan . y x v u



Sehingga turunan parsialnya adalah



x v dan seterusnya. , u y



Untuk menentukan turunan parsial 4 peubah, langkah ditempuh adalah menurunkan fungsi terhadap peubah yang dimaksud. Contoh: 1. Tentukan



u x dari dan x u



x+y2 +2uv = 0 dan x2-xy+y2+u2+v2 = 0 didapat



u   x   y   v   2 y   2 u  v   0 ----- 1 x   x   x   x



1



 1  0  2u



v v u u  2v  1  0 atau 2u  2v x x x x



x  y u v  x   y  2v  0 ---- 2    x  y   2 y  2u x  x x x  x   x



2x 



 2x-0-y+0+2u



u v u v  2v  0 atau 2u  2v  y  2 x x x x x



Setelah di eliminasi



v didapat x



u  v  u ( y  2 x)  x 2(v 2  u 2 ) =



v  u ( y  2 x) 2(u 2  v 2 )



x+y2 +2uv = 0 dan x2-xy+y2+u2+v2 = 0 didapat diturunkan terhadap



1



v x  0) (yang tidak boleh u u



x y  2y  2v  0 atau u u



1



2x



x y  2y  2v -----  (1) u u



x  y x  y u x  y   2y  2u  0  0 atau u  u u  u u



 (2 x  y )



x y  (2 y  x)  2u -------  (2) u u



Berdasarkan persamaan (1) dan (2), dengan metode eliminasi diperoleh 1



x y  2y  2v u u



................................... . (2y-x)



 (2 x  y )



x y  (2 y  x)  2u …………. (2y) u u



Didapat



 (2y-x) 1



x y  2 y (2 y  x)  2v(2 y  x) u u



 (2 x  y )2 y



x y  (2 y  x)2 y  2u (2 y ) u u



--------------------------------------------------------------- [(2y-x)-(2x-y)(2y)]



x = -2v(2y-x)+2u(2y) u



Diperoleh



x  4vy  2vx  4uy  u (2 y  x)  (4 xy  2 y 2 ) = 



4vy  2vx  4uy (2 y  x  4 xy  2 y 2 )



2. Cari turunan parsial pertama dari



dan



dari persamaan



, dan



1)



Mencari



Persamaan 1)



….(1)



Persamaan 2)



.... (2)



dikali dikali



Maka,



2)



Mencari



Persamaan 1)



….(1)



Persamaan 2)



…(2)



dikali dikali



Maka,



Jadi,



, dan



Turunan Fungsi Implisit 6 peubah. Bentuk Umumnya



F (u, v, w, x, y, z )  0  G(u, v, w, x, y, z )  0 H (u, v, w, x, y, z )  0  u,v,dan w variable sejenis x,y, dan z variable sejenis



Contoh:



u  x  y  z  2 2 2 v  x  y  z w  x 3  y 3  z 3  Atau



u  x  y  z  0  2 2 2 v  x  y  z  0 w  x 3  y 3  z 3  0 



Akan dicari



x u



Dari persamaan di atas, diperoleh 1-



x y z   0 u u u



0 – 2x Soal-soal. 1. Carilah



v x dan dari fungsi y x



F(x,y,u,v) = … = 0 dan F(x,y,u,v) = … = 0



F ( x, y, u, v)  ...  0  G ( x, y, u, v)  ...  0 F ( x, y, u, v)  ...  0 3.  G ( x, y, u, v)  ...  0 F ( x, y, u, v)  ...  0 4.  G ( x, y, u, v)  ...  0 2.



5. 6. 7. 8. 9. 10.



F ( x, y, u, v)  ...  0  G ( x, y, u, v)  ...  0 F ( x, y, u, v)  ...  0  G ( x, y, u, v)  ...  0 F ( x, y, u, v)  ...  0  G ( x, y, u, v)  ...  0 F ( x, y, u, v)  ...  0  G ( x, y, u, v)  ...  0 F ( x, y, u, v)  ...  0  G ( x, y, u, v)  ...  0 F ( x, y, u, v)  ...  0  G ( x, y, u, v)  ...  0



BAB III LATIHAN SOAL A. Turunan Persial a. Carilah turunan persial pertamanya 1. z = ln



x y



2. z = 36 – x2 – y2 3. z = 3 -



1 sin( x  y)



4. z = xy2 – 2x2 + 3y3



y x



5. z = arc tan



6. F(x,y,z) = xy – yz + xz 7. F(x,y,z) =



3



x2  y 2  z 2



8. F(x,y,z) = sin (xy) – 2e xy



 xy    z 



9. F(x,y,z) = arc sin  2. Tentukan fx dan fy



3 1. f ( x, y)  x cos( x  y)  y sin 2 xy



y



2.



f ( x, y)   ecost dt x



3 3. f ( x, y)  x cos( x  y)  y sin( 2 xy)



3. Tentukan fx, fy dan fz 1.



f ( x, y, z )  xy  y 2 z  3xz



2.



f ( x, y, z )  x cos( y  z )  2 xy



 y  x



4. Ditentukan F(x,y,z) = xyz + 2 tan  Carilah turunan parsial pertamanya. Dengan metode sederhana didapat



a.



F ( x, y, z )  yz + x



= yz -



b.



2 yx 2 x 2 (1  y 2 )



F ( x, y, z )  xz + y



= xz -



c.



2  y   y 2  x2  1 2 x



2 1   y2  x  1 2 x



2x2 x(1  y 2 )



F ( x, y, z )  xy z



Tentukan fxx, fyy ,fxy, fyx 1. f(x,y) = x cos(xy) + xy ex+y 2. f(x,y) = ln(x2 + 2 xy + y3 3. f(x,y) = tan-1(y2/x) 4. f(x,y) =ln(x2+2xy+y2)