Interpolasi [PDF]

Citation preview

INTERPOLASI •



Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui



•



dpl. : cara menentukan harga fungsi f dititik x* ε [x0,xn] dengan menggunakan informasi dari seluruh atau sebagian titik-titik yang diketahui ( x0, x1, …., xn) x



x0



x1



x2



……. xn



f(x f(x0) f(x1) f(x2) ……. f(xn) ) •



•



Teknik umum yang digunakan i.



Membentuk polinomial berderajat ≤ n yg mempunyai harga fungsi di titik-titik yang diketahui à Polinomial Interpolasi



ii.



Masukkan titik yang ingin dicari harga fungsinya ke dalam polinomial interpolasi



Jenis – jenis Interpolasi à à à à



Interpolasi Interpolasi Interpolasi Interpolasi



Linier Kuadrat Lagrange Newton



Interpolasi Linier  Misalkan ada m bilangan : x1, x2, ….,



berkaitan : y1, y2 , …., ym  maka masalahnya : berapa harga x* ε [xk,xk+1] ?



 Ambil ruas garis yang menghubungkan titik (xk,yk) dan (xk+1,yk+1)  Diperoleh persamaan garisnya : y * −yk yk + 1 − yk = x * −xk xk + 1 − xk y * −yk =



x * −xk ( yk + 1 − yk ) xk + 1 − xk



y* = yk +



x * −xk ( yk + 1 − yk ) xk + 1 − xk



 Jadi persamaan garisnya adalah : y* = yk +



x * −xk ( yk + 1 − yk ) xk + 1 − xk



xm dan



bilangan



lain



y* pada



yang



Contoh: Diketahui data sebagai berikut : x -3



-2



-1



0



1



2



3



4



5



6



7



y 9



4



1



0



1



4



9



16 25 36 49



Tentukan harga y pada x = 6,5 ! Jawab : x = 6,5 terletak antara x=6 & x=7 y = yk +



x − xk ( yk + 1 − yk ) xk + 1 − xk



y = 36 +



(6,5 − 6) ( 49 − 36 ) = 42 ,5 ( 7 − 6)



Alternatif 2 : x = 6,5 terletak antara x=1 & x=7 y = yk +



y =1 +



x − xk ( yk + 1 − yk ) xk + 1 − xk



(6,5 −1) (5,5) (49 −1) = 1 + ( 48 ) = 45 (7 −1) (6)



 Bandingkan hasil kedua jawaban tersebut !!  Mana yang mendekati jawaban yang sesungguhnya ..??  Karena hub. x & y adalah y = x2 maka untuk harga x = 6,5 didapat y = (6,5)2 = 42,25 => Kesalahan mutlak (E) : |42,5 – 42,25| = 0,25 Kesalahan mutlak (E), untuk : y = 42,5 à |42,5 – 42,25| = 0,25 = 25 % Sedangkan untuk y = 45 à |45 – 42,25| = 3,25 = 325 % contoh2: Diketahui data sebagai berikut : N



….



2,14



2,15



2,16



N1/



…. 1,46287 1,46629 1,46969



…. ….



2



Tentukan akar dari 2,155 (2,155)1/2 = 1,46629 + (0,005/0,010) (1,46969 – 1,46629) = 1,46629 + 0,00170 (2,155)1/2 = 1,46799



Kesalahan mutlaknya |1,4679918 -1,46799| = 0,0000018 PR: Tentukan akar dari 2,153 dan Kesalahan mutlaknya !



Interpolasi Kuadrat  Banyak kasus, penggunaan interpolasi linier tidak memuaskan karena fungsi yang diinterpolasi berbeda cukup besar dari fungsi linier  Untuk itu digunakan polinomial lain yg berderajat dua (interpolasi kuadrat) atau lebih mendekati fungsinya  Caranya : -



Pilih 3 titik & buat polinomial berderajat dua melalui ke - 3 titik tsb., shg dpt dicari harga fgs. pada x = x*



-



Pemilihan ke-3 ttk tsb., dapat : -



xk-1 < xk < xk+1 atau



-



xk-1 < x* < xk < xk+1



Persamaan umum Polinomial kuadrat : P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 …..(*) 3 titik (xk-1,yk-1), (xk,yk) & (xk+1,yk+1) dilalui fgs. P(x) berarti: yk-1 = a0 + a1 xk-1 + a2 xk-12 yk = a 0 + a 1 xk + a 2 xk 2



…………………………. (**)



yk+1 = a0 + a1 xk+1+ a2 xk+12 => Akan diperoleh dari 3 pers. yaitu a0, a1 dan a2 kemudian subst. ke (*) & diperoleh pers. kuadrat, shg dapat dicari nilai fgs. untuk x = x* yaitu P(x*) = a0 + a1 x* + a2 x*2 => Sistim pers. non homogen (**) memp. solusi dan solusinya unik (tunggal)



Interpolasi Lagrange  Interpolasi Lagrange adalah salah satu formula untuk interpolasi berselang tidak sama selain formula interpolasi Newton umum & metoda Aitken. Walaupun demikian dapat digunakan pula untuk interpolasi berselang sama.  Misalkan fgs. y(x) kontinu & diferensiabel sampai turunan (n+1) dalam



interval buka (a,b). Diberikan (n+1) titik (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) dengan nilai x tidak perlu berjarak sama dengan yang lainnya, dan akan dicari suatu polinom berderajat n. Untuk pemakaian praktis, formula interpolasi Lagrange dapat dinyatakan sbb. : Jika y(x) : nilai yang diinterpolasi; x : nilai yg berkorespondensi dg y(x)



x0, x1, …., xn : nilai x dan y0, y1, …., yn : nilai y y ( x) =



( x − x1)( x − x 2 )...( x − xn ) y0 + ( x 0 − x1)( x 0 − x 2 )...( x 0 − xn )



( x −x 0 )( x −x 2 )...( x −xn ) y1 + ( x1 −x 0 )( x1 −x 2 )...( x1 −xn )



. . ( x − x 0 )( x − x1)...( x − xn − 1) yn ( xn − x 0 )( xn − x1)...( xn − xn − 1)



Contoh: Nilai



yg. berkorespondensi dengan y = 10log x adalah :



Carilah



10



log 301



? menghitung y(x) =



10



Untuk log 301 dimana x = 301, maka nilai diatas menjadi



Dengan rumus Interpolasi Lagrange y (x) =



(301 − 304)(301 − 305)(301 − 307) (301 − 300)(301 − 305)(301 − 307) 2,4771+ 2,4829 + (300 − 304)(300 − 305)(300 − 307) (304 − 300)(304 − 305)(304 − 307) (301 − 300)(301 − 304)(301 − 307) (301 − 300)(301 − 304)(301 − 305) 2,4843 + 2,4871 (305 − 300)(305 − 304)(305 − 307) (307 − 301)(307 − 304)(307 − 305)



= 1,2739 + 4,9658 − 4,4717 + 0,7106 y ( x ) = 2,4786



Contoh2 Bila y1 = 4, y3 = 12, y4 = 19 dan yx = 7, carilah x ? Karena yg ditanyakan nilai x dengan nilai y diketahui, maka digunakan interpolasi invers atau kebalikan yg analog dg interpolasi Lagrange. x=



(7 −12 )( 7 −19 ) (7 −4)( 7 −19 ) (7 −4)( 7 −12 ) (1) + (3) + ( 4) ( 4 −12 )( 4 −19 ) (12 −4)(12 −19 ) (19 −4)(19 −12 )



x=



1 27 4 + − = 1,86 2 14 7



Nilai sebenarnya dari x adalah 2, karena nilai-nilai atau data diatas adalah hasil dari polinom y(x) = x2 + 3.



Adapun untuk membentuk polinom derajat 2 dengan diketahui 3 titik, dapat menggunakan cara yang sebelumnya pernah dibahas dalam hal mencari persamaan umum polinomial kuadrat.