Jenis-Jenis Fungsi [PDF]

  • 0 0 0
  • Suka dengan makalah ini dan mengunduhnya? Anda bisa menerbitkan file PDF Anda sendiri secara online secara gratis dalam beberapa menit saja! Sign Up
File loading please wait...
Citation preview

FUNGSI & GRAFIKNYA Fungsi Secara intuitif, kita pandang y sebagai fungsi dari x jika terdapat aturan dimana nilai y (tunggal) mengkait nilai x.



Contoh: 1. a. y  2 x 2  5



b. y  x 2  9



Definisi: Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimana himpunan semua nilai x disebut daerah asal (domain ) dan himpunan semua nilai y = f(x) disebut daerah hasil (ko-domain) dari fungsi A



B f Notasi: f : A →B



x



y = f(x)



Daerah asal



Daerah hasil



Untuk contoh 1.a. mendefinisikan suatu fungsi. Namakan fungsi itu f. Fungsi f adalah himpunan pasangan terurut (x,y) sehingga x dan y memenuhi: 2



f  {( x, y ) / 2 x  5}



x



0



1



-1



2



-2



y



5



7



7



13



13







10 205



Fungsi f ini memuat pasangan terurut (0,5);(1,7);(-1,7); (2,13);(-2,13);(10,205) Dan f memuat tak berhingga banyak pasangan terurut. 1



Catatan: 1. Himpunan A, B є  2. Fungsi:



y = f(x) , x peubah bebas y peubah tak bebas, bergantung pada x 3. Daerah asal fungsi: Df = A = {x | fungsi f terdefinisi} 4. Daerah hasil fungsi: Wf = {y є B | y = f(x), x є Df } 5. Grafik fungsi: {(x,y) | x є Df , y = f(x)) } y y = f(x) y Wf



x



x



Df



Soal:



Buatlah sketsa grafik fungsi berikut, kemudian tentukan daerah asal dan dan daerah hasilnya. a. y = 2x + 1



b. y = x2 - 1



Ada beberapa penyajian fungsi yaitu a. b. c. d.



Secara verbal : Secara numerik : Secara visual : Secara aljabar :



dengan uraian kata-kata. dengan tabel dengan grafik dengan aturan/rumusan eksplisit 2



Contoh: 1. Secara verbal Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w). Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut. Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan sampai 5 ons. 2. Secara numerik Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut. Berat w (ons)



Biaya B(w) (rupiah)



0 0, D = 0



a > 0, D < 0



Soal : Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut. a. y = x2 + 2x - 1



b. y = -2x2 + 2x - 4



3. Fungsi pangkat Bentuk umum: y = f(x) = xn , Daerah asal: Df =  Grafik: y



0



y=x x



y



0



nє



y



y = x2 x



0



y = x3 x 5



4. Fungsi akar Bentuk Umum: y  f ( x)  n x ,



n  2,3, 4,...



Daerah asal dan daerah hasil: Df = [0,∞), Wf = [0, ∞), jika n genap Df = , Wf = , jika n ganjil y



Grafik:



y



y2 x



y3 x



x



0



0



x



Soal : Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut a. y 



x 1



y  x2  2x  2



b.



5. Fungsi kebalikan 1 y  , Bentuk umum: x



x0



Daerah asal dan daerah hasil: Grafik:



Df =  - {0}, Wf =  - {0}



y y



0



1 x



x



6



6. Fungsi rasional Bentuk umum: Daerah asal:



y



P( x) Q( x) dimana: P, Q adalah polinom



Df =  - { x | Q(x) = 0}



Contoh: Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut x2 x 1 a. y  b. y  2 x 1 x 1



7. Fungsi aljabar Definisi: Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar, yang dimulai dengan polinom. Contoh: a. f ( x) 



x 1 x 1



b. f ( x) 



x 2 x2  1



 ( x  2) 3 x  1



Catatan: Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar.



7



8. Fungsi trigonometri 8.1 Fungsi sinus Bentuk umum: y = f(x) = sin x, x dalam radian Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1] y Grafik: y = sin x



1



-2π



π



0











x



-1



8.2 Fungsi cosinus Bentuk umum: y = f(x) = cos x, x dalam radian Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1] Grafik: y y = cos x



1



π







-2π



0







x



-1



8.3 Fungsi tangen sin x , cos x Daerah asal : Df =  - {π/2 + nπ | n є } Daerah hasil: Wf = 



Bentuk umum: y  f ( x)  tan x 



x dalam radian



8



y



Grafik:



y = tan x 1



-2π



--π



0



π







x



-1



8.4 Fungsi trigonometri lainnya Bentuk umum:



1 , x dalam radian cos x 1 b. y  f ( x)  cosec x  , x dalam radian sin x 1 c. y  f ( x)  cot x  , x dalam radian tan x a. y  f ( x)  sec x 



8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri a. -1≤ sin x ≤ 1



b. -1 ≤ cos x ≤ 1



c. sin x = sin (x + 2π)



d. cos x = cos (x + 2 π)



e. tan x = tan (x + π) 9



9. Fungsi eksponensial Bentuk umum: y = f(x) = ax,



a>0



Daerah asal dan daerah hasil: Df =  , Wf = (0, Grafik:



y



) 



y



y = ax , a > 1



y = ax , 0 < a < 1



1



1 x



0



0



1



x 1



10. Fungsi logaritma Bentuk umum : y = f(x) = loga x,



a>0



Daerah asal dan daerah hasil: Df = (0, Grafik:



), Wf = 



y



y = loga x 1 0



1



x



10



11. Fungsi transenden Definisi: Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar. Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri invers trigonometri, eksponensial dan logaritma. Contoh: Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya.



1. f ( x)  4 x  1



2. f ( x )  tan 2 x x6 4. f ( x )  x6



3. f ( x)  10 x 5. f ( x)  log10 x 7. f ( x)  2t 5    t 2



x2 6. f ( x )  x  x2 log10 x 8. f ( x)  x10  2 x  x2



12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong (piecewise function) Definisi: Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalah fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal. y



Contoh: x 1. f ( x) | x |   x



x0 x0



y = |x| 1 x -1 0



1 11



x  2. f ( x)   2  x 0 



y



0  x 1 1 x  2



y = f(x)



x2



x 0



1



2



3. Definisikan x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. y 0  x 1 y = f(x) 0 3 1 1  x  2  2 f(x) = x  2 x3 1 2 = 3 3 x  4 x 0



1



2



3



4



Catatan: 1. f(x) = |x| , f disebut fungsi nilai mutlak 2. f(x) = x , f disebut fungsi bilangan bulat terbesar



13. Fungsi genap dan fungsi ganjil Definisi: [Fungsi genap] Jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap. y



f(x)



-x



y = f(x) x



x



Catatan: Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.



12



Definisi: [Fungsi ganjil] Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil. y y = f(x)



f(x)



-x x



x



-f(x)



Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal. Soal: Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau fungsi ganjil atau bukan kedua-duanya.



a. f(x) = 1 - x4 c. f(x) = x2 + cos x



b. f(x) = x + sin x d. f(x) = 2x - x2



14. Fungsi naik dan fungsi turun Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I jika



y



f(x1) < f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I. 2. Fungsi f disebut turun pada selang I jika f(x1) > f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I. y y = f(x)



f(x2)



f(x1)



f(x1)



f(x2) x1



x2



Fungsi f naik



x



y = f(x)



x1



x2



Fungsi f turun



x 13



Soal: Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi turun pada selang I.



I = [0,  ) I = [  , 2]



a. f(x) = x2 b. f(x) = sin x



15. Fungsi Baru dari Fungsi Lama Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara: 1. Transformasi fungsi: pergeseran, peregangan dan pencerminan 2. Operasi aljabar fungsi: penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian 3. Komposisi fungsi



Transformasi fungsi a. Pergeseran (translasi) Misalkan c > 0, diperoleh 4 macam grafik: 1. y = f(x) + c, geser y = f(x) sejauh c satuan ke atas y = f(x) + c



y



y = f(x+c)



y = f(x)



y = f(x-c)



c



c



c c



y = f(x) - c



x



14



2. y = f(x) - c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah 3. y = f(x - c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kanan 4. y = f(x + c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kiri b. Peregangan (dilatasi) Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik:



1. y = cf(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c. 2. y = (1/c)f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c. 3. y = f(cx), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor c. 4. y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara medatar dengan faktor c. y



y y = 2 cos x



2



2



y = cos x 1



y = cos x



y = ½ cos x



1 y = cos 2x



0



π







x



0



-1



-1



-2



-2



π



x







y = cos ½ x



15



c. Pencerminan Untuk memperoleh grafik: 1. y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-x 2. y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-y y



y y = f(x)



y = f(x)



y = f(-x) f(x)



f(x)



x



x



-x



x



x



y = -f(x) -f(x)



Contoh: Gambarkan grafik fungsi berikut dengan menggunakan sifat transformasi fungsi.



1. f(x)= |x-1| 3. f(x)= sin 2x



2. f(x) = x2+2x+1 4. f(x) = 1 - cos x



16



OPERASI FUNGSI ALJABAR Definisi: [Aljabar fungsi] Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan Dg. Fungsi f+g, f-g, fg dan f/g didefinisikan sebagai berikut 1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)



Df+g = Df



2. (f - g)(x) = f(x) - g(x)



Df-g = Df



Dg.



3. (fg)(x) = f(x) g(x)



Dfg = Df



Dg.



4. (f/g)(x) = f(x)/g(x)



Df/g = {Df



Dg.



Dg.} – {x | g(x)= 0}



Contoh: Tentukan f+g, f-g, fg dan f/g beserta daerah asalnya, jika 1. f ( x)  x 2



g ( x)  x



2. f ( x)  1  x



g ( x)  1  x



Komposisi fungsi Definisi: [Komposisi fungsi] Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan Dg. Fungsi komposisi f o g didefinisikan sebagai berikut: (f o g)(x) = f(g(x)) di mana Df o g = {x є Dg | g(x) є Df } 17



Dg a x



g



Wg Df



f



Wf



g(a) g(x)



f(g(x))



f°g



Soal : Tentukan f o g, g o f dan f o f beserta daerah asalnya, jika



1. f ( x)  x 2 1 2. f ( x)  x



g ( x)  x g ( x)  x  1



18