Kalkulus Dasar 1.0 PDF Version [PDF]

Citation preview

KALKULUS DASAR Untuk Sekolah Menengah Atas dan Awal Universitas versi 1.0



𝑏



𝑏



𝑓(𝑥) ≅ 𝑎



𝑎



𝑓(𝑏) 𝑓 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + + 2 2



𝑓 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑓(𝑥) 𝑓 𝑥 = lim Δ𝑥→0 Δ𝑥 ′



𝑏



𝑆=



1+ 𝑎



Paradoks Softbook Publisher



𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥



Sunkar E. Gautama 0



1



KALKULUS DASAR Untuk Sekolah Menengah Atas dan Universitas versi 1.0



Sunkar E. Gautama © Paradoks Softbook Publisher http://paradoks77.blogspot.com For free



2



Judul buku



: Kalkulus Dasar – Untuk Sekolah Menengah Atas dan Universitas



Edisi



: 1.0



Penulis



: Sunkar Eka Gautama



Tahun terbit : 2012



Penerbit online Paradoks Softbook Publisher Kritik, saran, koreksi, dan pertanyaan: http://paradoks77.blogspot.com [email protected]



Open source: Buku ini ditujukan untuk disebarkan secara cuma-cuma demi dunia pendidikan di Indonesia. Tiap orang berhak untuk mencetak atau mengeditnya, bahkan diperbolehkan membuat buku non-komersial baru berdasarkan buku ini dengan mencantumkan judul buku yang menjadi platform, nama pengarang, dan penerbit online Paradoks Softbook Publisher pada sampul buku Anda. Dilarang keras mengomersialkan buku ini tanpa izin penerbit!



1 12



3



Kata Pengantar Tidak terasa buku ke-dua saya yang berjudul Kalkulus Dasar ini kelar juga. Menyelesaikan buku ini di sela-sela kuliah dan kerja ternyata cukup sulit. Namun dilatarbelakangi semangat yang kuat melihat masih cukup minimnya buku-buku kalkulus dasar yang ditulis berbasis konseptual, akhirnya dalam tempo lima bulan buku ini bisa diselesaikan. Penyusunan buku berbasis konseptual ini dipilih karena buku-buku berbasis ikhtisar jarang yang dapat mengantar pembaca mengenal seluk-beluk materi dalam buku, mengapa ini begini dan mengapa itu begitu. Apalagi jika bukunya buku matematika, jelaslah matematika akan tampak bagaikan monster. Atas terselesaikannya buku ini, penulis berterima kasih kepada segenap materi-energi yang berkontribusi dalam pembuatan buku ini, khususnya kepada orangtua penulis, MS Word, Cindy (atas bantuannya mengetikkan beberapa bagian tulisan), serta saudara Aldytia, Ariansyah, Nur Hidayat, dan Akbar yang sudi menemani ngopi dan ngobrol di bawah pohon tatkala penulis jenuh, Alih-alih mengonversi buku ini ke format pdf, berdasarkan ilham yang didapat penulis memutuskan tetap menggunakan format docx sehingga buku ini benar-benar open source, boleh dikopi, disunting, dan dicetak semaunya. Hak cipta adalah bagian tak terpisahkan dari suatu karya, tapi untuk buku saya, hak ciptanya tidak dilindungi undang-undang – semata-mata untuk pendidikan di Indonesia. Karena merupakan edisi perdana, penulis memohon maaf atas kesalahankesalahan teknis maupun non-teknis pada buku ini – tolong tidak hanya dimaklumi, tetapi juga dilaporkan oleh pembaca yang budiman demi kepentingan koreksi buku ini pada revisi selanjutnya. Akhir kalimat, terima kasih telah menggunakan buku ini. Salam hangat.



Makassar, Oktober 2012 Penulis



4



Daftar Isi



Kata Pengantar



4



Daftar Isi



5



Pendahuluan



7



1. Himpunan dan Fungsi



8



1.1.



Himpunan dan Bilangan



8



1.2.



Definisi Fungsi



13



1.3.



Beberapa Jenis Fungsi



17



1.4.



Operasi pada Fungsi



26



2. Limit



29



2.1.



Definisi Limit



29



2.2.



Limit Fungsi Aljabar



33



2.3.



Teorema Limit



44



2.4.



Limit Fungsi Trigonometri



45



2.5.



Kontinyuitas Suatu Fungsi



47



3. Turunan



49



3.1.



Turunan Fungsi di Suatu Titik



49



3.2.



Turunan Fungsi Aljabar



56



3.3.



Turunan Fungsi Trigonometri



60



3.4.



Turunan Fungsi Komposit dan Aturan Rantai



62



3.5.



Turunan Tingkat Tinggi (Orde Tinggi)



65



3.6.



Turunan Fungsi Implisit



69



3.7.



Turunan Fungsi Pangkat Irasional



69



3.8.



Analisis Gradien dan Nilai Ekstrim



70



4. Integral



78



4.1.



Integral sebagai Anti-Turunan



78



4.2.



Notasi Integral



79 5



4.3.



Integral sebagai Luas Daerah di Bawah Kurva



81



4.4.



Beberapa Bentuk Integral



85



4.5.



Metode Substitusi



88



4.6.



Integral Parsial



95



4.7.



Integral Fungsi Rasional



101



4.8.



Integral Tentu



104



5. Turunan Parsial dan Turunan Berarah



115



5.1.



Fungsi n Variabel



115



5.2.



Turunan Parsial



117



5.3.



Aturan Rantai Fungsi Implisit



119



5.4.



Diferensial Total dan Hampiran



123



5.5.



Gradien dan Turunan Berarah



126



6. Aplikasi Turunan dan Integral



129



6.1.



Aplikasi Turunan



129



6.2.



Aplikasi Integral



139



7. Deret Tak Hingga



147



7.1.



Deret Tak Hingga



147



7.2.



Deret Pangkat



153



7.3.



Deret Taylor dan MacLaurin



154



7.4.



Turunan dengan Bantuan Deret



155



8. Pengantar Persamaan Diferensial



157



8.1.



Konsep Persamaan Diferensial



157



8.2.



Persamaan Diferensial Linear Orde Satu



159



8.3.



Persamaan Diferensial Linear Orde Dua



159



Daftar Pustaka



164



6



Pendahuluan Kalkulus diferensial pertama kali dirumuskan oleh Leibniz dan Newton secara terpisah. Sebelumnya, pada abad ke-19, seorang matematikawan Prancis bernama Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857) merumuskan konsep limit yang menjadi dasar dari kalkulus diferensial. Kalkulus diferensial kemudian berkembang menjadi alat yang luar biasa dalam pemecahan problem matematis yang sulit dinalarkan secara aritmatika. Sebagai contoh sederhana, dengan integral kita dapat menghitung volume benda yang merupakan rotasi dari fungsi 𝑓 𝑥 dengan batas tertentu. Dengan kalkulus diferensial sistem-sistem fisis dapat dimodelkan mulai dari momen inersia, gerak benda yang kompleks, atmosfer bintang, hingga struktur jagat raya. Belakangan



ini,



pemodelan



matematis



semakin



rumit



sehingga



penyelesaiannya harus dikerjakan dengan bantuan komputer yang kemudian membuat cabang matematika baru, yakni metode numerik. Baik menggunakan metode analitik maupun numerik, kalkulus merupakan salah satu senjata utamanya. Adapun tujuan yang diharapkan dapat tercapai dengan penyusunan buku ini bagi pembaca antara lain adalah: 



Dengan penyusunan buku berbasis konseptual, diharapkan pembaca mengetahui dan memahami konsep dan definisi limit, turunan, dan integral.







Dapat menyelesaikan persoalan-persoalan matematis ataupun pemodelan yang memerlukan bantuan kalkulus diferensial.







Memiliki modal yang cukup mengenai dasar matematis kalkulus untuk mempelajari ilmu matematika dan ilmu alam pada tingkat lanjut.







Dapat menyelesaikan problem sehari-hari dengan lebih baik menggunakan analogi kalkulus diferensial.



7



Himpunan dan Fungsi



Bab 1



1. HIMPUNAN DAN BILANGAN Sebelum membahas lebih jauh mengenai fungsi, ada baiknya kita mempelajari atau menyegarkan kembali ingatan kita mengenai himpunan dan bilangan. Mengapa hal ini penting? Yang pertama, fungsi terlibat dengan himpunan. Fungsi tidak lain adalah aturan pemetaan dari satu himpunan ke himpunan yang lain. Yang kedua, buku ini adalah buku matematika, jadi jelas saja isi dari himpunan-himpunan yang akan dibahas adalah bilangan. Jika Anda mendapati himpunan yang dibahas dalam buku ini berisikan binatang, jangan khawatir, Anda tidak sedang membaca buku zoologi, ini cuma sekadar pengantar ke pemahaman matematisnya.



1.1. Definisi Himpunan Dalam pengertian umum, himpunan tidak lain adalah kumpulan objek-objek tertentu yang memiliki setidaknya satu kesamaan, yakni syarat yang diperlukan untuk bisa dimasukkan dalam himpunan tadi. Misalkan kambing,



sapi,



dan



kerbau



dapat



dikategorikan



sebagai



hewan



memamahbiak sebab mereka memenuhi syarat untuk bisa dimasukkan dalam



kelompok



hewan



memamahbiak



karena:



mereka



memang



memamahbiak. Hal terpenting dalam himpunan ialah tidak boleh ada dua benda yang sama dimasukkan dua kali. Semua objek-objek dalam himpunan haruslah berbeda karena jika tidak akan terjadi penggelembungan suara. Namun dalam lain kasus, kita tidak perlu mempunyai syarat yang jelas ataukah kita tidak perlu menjelaskan syarat suatu himpunan. Kita katakan saja himpunan A berisikan tomat, tempe, daging sapi, dan es campur. Kita cukup mendeklarasikan elemen-elemen suatu himpunan tanpa 8



menjelaskan syaratnya (meskipun ada syarat dibaliknya, misal barangbarang yang ada di kulkas rumah saya). Oke, dalam matematika himpunan disimbolkan dengan huruf kapital semisal A, B, C, dan lain-lain. Objek-objek dalam himpunan (elemenelemennya) disimbolkan dengan huruf kecil. Untuk memerikan suatu himpunan, elemen-elemennya dapat dituliskan dalam tanda kurung kurawal. 𝐴 = {1,2,3,4,5} 𝐵 = {1,3,5,7, … } Atau kita dapat menuliskan deskripsi (syarat) elemen dari suatu himpunan. 𝐴 = {𝑥|1 ≤ 𝑥 ≤ 5; 𝑥 ∈ ℤ} 𝐵 = {𝑥|𝑥 = 2𝑛 − 1; 𝑛 ∈ ℕ} Simbol ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, dan ℂ masing-masing menyatakan bilangan asli (1,2,3,…),



bilangan



bulat/integer



(…,-1,0,1,2,…),



bilangan



rasional



𝑎



ℚ = {𝑥|𝑥 = 𝑏 ; 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑏 ≠ 0}, bilangan riil (rasional dan irasional), dan bilangan kompleks (bilangan riil dan imajiner), sedangkan simbol ∈ dibaca “elemen dari”. Himpunan juga dapat digambarkan dalam skema berupa area tertutup yang merepresentasikan himpunan dan di dalamnya terdapat elemen-elemen dari himpunan yang dimaksud. Selain mendefinisikan elemen dari suatu himpunan, biasanya terdapat hubungan antara dua atau lebih himpunan. Hubungan-hubungan yang mungkin antara lain ialah: 1. Irisan/intersection (∩) Misalkan himpunan A berisikan hewan-hewan yang dapat terbang sebagai berikut A = {merpati, elang, lalat, kelelawar} dan himpunan B berisikan mamalia sebagai berikut B = {anjing, kuda, paus, kelelawar}. Perhatikan bahwa kelelawar (atau kalelawar ya?) merupakan elemen dari himpunan A dan B, dengan kata lain himpunan A dan B beririskan di



9



kelelawar, dinotasikan: kelelawar = 𝐴 ∩ 𝐵 (dibaca: kelelawar sama dengan A iris B). 2. Gabungan/union (∪) Misalkan siswa-siswi SMA Putus Harapan (sebut himpunan A) terbagi menjadi dua jurusan, yakni IPA (himpunan B) dan IPS (himpunan C). Artinya bila himpunan B digabung dengan himpunan C akan menjadi himpunan A, dinotasikan: 𝐴 = 𝐵 ∪ 𝐶 (dibaca: A sama dengan B gabung C). 3. Himpunan bagian/subset (⊂) dan himpunan induk/superset (⊃) Berkaitan dengan poin nomor 2, bagaimanakah jika SMA Putus Harapan terbagi menjadi tiga jurusan yakni IPA, IPS, dan bahasa (sebut himpunan D)? Tidak benar jika kita menuliskan 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 karena A juga berisikan D, yang benar adalah 𝐵 ∪ 𝐶 ∪ 𝐷 = 𝐴 . Tetapi benar juga jika kita mengatakan B adalah himpunan bagian (subset) dari A, dinotasikan: 𝐵 ⊂ 𝐴 (dibaca: B subset dari A). Ataukah dengan bahasa yang sedikit berbeda kita dapat mengatakan A adalah himpunan induk (superset) dari B, dinotasikan: 𝐴 ⊃ 𝐵 (dibaca: A superset dari B).



1.2. Bilangan Riil (Real Number) Dari penjelasan sebelumnya tentang himpunan, dapat kita tuliskan ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ. Sebelum bilangan riil dikonsepkan, orang dulunya 𝑎



mengira semua panjang dapat dinyatakan dalam bilangan rasional, 𝑥 = 𝑏 dengan 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ , 𝑏 ≠ 0 .



Tetapi



setelah



Pythagoras



mengemukakan



teoremanya, diketahui bahwa panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan sisi-sisi yang berpenyiku sama dengan 1 ialah 2, yang mana tidak dapat dinyatakan dalam bentuk rasional. Bilangan-bilangan yang tidak dapat dibawa dalam bentuk rasional selanjutnya dinamakan bilangan irasional. Ciri-ciri bilangan irasional ialah bila dituliskan dalam bentuk desimal menghasilkan bilangan dengan angka di belakang koma tak hingga panjangnya dan tidak memiliki suatu pola berulang yang tetap. Misalkan 10



bilangan 𝜋 = 3,14159265358979323846264 … memiliki tak hingga angka di belakang koma yang susunannya tidak memiliki pola. Tetapi bilangan 0.69230769230769230769… bukanlah bilangan irasional meskipun angka di belakang komanya tak hingga panjangnya karena susunannya memiliki pola berulang. Terbukti, 0.69230769230769230769… dalam bentuk pecahan yakni



9



dapat diubah ke



.



13



Bilangan riil (ℝ) merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan riil didefinisikan sebagai semua [titik] bilangan yang berada sepanjang garis datar (misal sumbu X).



1.3. Selang (Interval) Ada tak hingga banyaknya bilangan riil, dan seringkali kita hanya ingin meninjau bilangan-bilangan riil dalam selang tertentu saja. Suatu selang biasanya dapat dinyatakan dalam ketaksamaan, semisal 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 yang berarti nilai-nilai x berada di antara a dan b. Selang seperti ini disebut selang terbuka, dan biasa dinotasikan juga sebagai (𝑎, 𝑏). Adapun selang semacam 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 berarti nilai-nilai x dari a hingga b. Selang seperti ini disebut selang tertutup yang biasa juga dinotasikan sebagai [𝑎, 𝑏]. Jadi dalam selang tertutup batasnya juga dimasukkan dalam himpunan, sedangkan dalam selang terbuka tidak. Semua elemen yang mungkin dalam bilangan real dapat dinotasikan sebagai −∞ < 𝑥 < ∞ atau (−∞, ∞). Beberapa contoh selang yang mungkin ialah [𝑎, 𝑏), (𝑎, 𝑏], (−∞, 𝑏), (𝑎, ∞), (−∞, 𝑏], dan [𝑎, ∞). Cobalah Anda terjemahkan maksudnya.



1.4. Koordinat Kartesius Dalam menggambarkan letak/koordinat



suatu titik biasanya



digunakan suatu sistem koordinat. Mengingat nilai input dan hasil output fungsi dapat dianggap sebagai koordinat, maka titik itu juga dapat digambarkan dalam sistem koordinat. Salah satu yang paling umum digunakan ialah koordinat kartesius. Dalam koordinat kartesius terdapat 11



sumbu-sumbu orientasi arah berupa garis riil yang lurus dan saling tegak lurus (ortogonal) satu sama lain. Jika kita menggambarkan letak titik dalam dua dimensi, maka hanya diperlukan dua sumbu (misal X dan Y) untuk menunjukkan arah atas, bawah, kiri, dan kanan. Begitu pula bila ingin menggambarkan letak titik dalam tiga dimensi, diperlukan tiga sumbu orientasi (misal X, Y, dan Z). Jika terdapat suatu titik A dalam koordinat kartesian dua dimensi, proyeksi titik A ke sumbu X disebut sebagai nilai komponen x dari titik A dan proyeksi titik A ke sumbu Y disebut sebagai nilai komponen y dari titik A sehingga dapat dituliskan letak titik A sebagai 𝐴 𝑥𝐴 , 𝑦𝐴 . Untuk pemetaan suatu fungsi, dengan meletakkan nilai-nilai input pada satu sumbu (misalkan sumbu X) nilai-nilai output diletakkan pada sumbu lainnya (sumbu Y), maka lokasi pasangan nilai (input-output) dapat diperoleh dengan menghubungkan komponen x (input) dan komponen y (output)-nya. Y 6 5 4 3 2 1



Y



A = (4,3)



y = f(x) X



-6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5 6 -2 -3 -4 B = (-2,-5) -5 -6



X 0



Gambar 1.1. Letak titik A = (4,3) dan B = (-2,-5) digambarkan dalam koordinat kartesius 2D (kiri) dan fungsi f(x) yang direpsentasikan sebagai kumpulan titik-titik digambarkan dalam koordinat kartesiuas (kanan).



12



2. DEFINISI FUNGSI Pernahkah Anda masuk ke kebun binatang atau wahana hiburan? Biasanya tiket masuknya bervariasi: orang dewasa Rp 100.000,00, di bawah 12 tahun Rp 50.000.00, dan balita gratis. Yeah, ini adalah salah satu bentuk fungsi! Mungkin Anda juga pernah mendengar rumus kesetaraan massa-energi dari Einstein, 𝐸 = 𝑚𝑐 2 , persamaan itu juga merupakan fungsi. Lalu apa bedanya fungsi dan persamaan? Mari temukan penjelasannya di bawah ini.



2.1. Pemetaan Pemetaan ialah proses menghubungkan suatu input terhadap outputnya berdasarkan relasi/syarat/aturan. Jadi hal yang penting dalam pemetaan adalah input, relasi, dan output. Biasanya kita telah memilki nilainilai input yang jelas, juga telah memiliki relasi yang telah ditentukan. Dengan memasukkan nilai-nilai input ke dalam mesin pemroses (relasi), maka keluar nilai outputnya. Dengan begitu kita dapat menghubungkan nilai-nilai input dengan nilai output yang dihasilkannya, inilah pemetaan! Himpunan dari nilai-nilai input itu disebut daerah asal (domain), sedangkan himpunan dari nilai-nilai output disebut daerah hasil (codomain). Pemetaan dapat digambarkan melalui diagram yang mudah dimengerti, mudah digambarkan di atas kertas, tetapi cukup menjengkelkan jika harus digambarkan dengan MS Word. Misalkan pemetaan hewanhewan (sebagai input) terhadap makanannya (sebagai output). Jadi relasinya adalah “memakan”.



13



memakan



A



B



kuda •



• kelinci



macan tutul •



• rumput



kambing •



• kril



paus biru •



• ikan mas



ikan gabus •



• mi instan .rasa soto



kucing hutan •



Gambar 1.2. Diagram panah yang menggambarkan pemetaan dari A ke B.



Pada diagram di atas terlihat beberapa elemen dari daerah asal terpetakan lebih dari satu nilai di daerah hasil (contohnya kucing hutan terpetakan di kelinci dan ikan mas). Begitu pula beberapa elemen dari daerah asal terpetakan pada nilai yang sama di daerah hasil (misalkan macan tutul dan kucing hutan sama-sama terpetakan di kelinci). Ada pula pemetaan di mana tiap elemen dari daerah asal tepat terpetakan pada satu elemen di daerah hasil, menghasilkan pasangan-pasangan domaincodomain. Pemetaan semacam ini disebut pemetaan satu-satu.



2.2. Definisi Fungsi Telah dijelaskan bahwa komponen-komponen utama pemetaan adalah input (domain), proses (relasi), dan output (codomain). Jika relasinya berbentuk sedemikian rupa sehingga satu nilai input hanya memiliki satu nilai output, maka relasi itu disebut fungsi (relasi adalah hipernim dari fungsi). Meskipun demikian, tetap masih ada kerancuan mengenai definisi ini jika diterapkan untuk bilangan. Untuk lebih jelas, perhatikan gambar di bawah ini.



14



• • • •



• • • •



• • • •



• • • •



a



b Gambar 1.3.



• • • •



• • • •



• • • •



c



• • • •



d



Macam-macam kemungkinan diagram panah.



Pada gambar di atas, diagram a dan c merupakan pemetaan fungsi, karena tiap elemen dari daerah asal hanya terpetakan satu kali. Pada diagram b ada satu titik dari daerah asal yang tidak terpetakan (nol kali) dan pada diagram d ada satu titik yang terpetakan dua kali, sehingga relasinya bukanlah fungsi. Mungkin Anda telah paham tentang syarat fungsi. Berikut beberapa contoh mana yang fungsi dan mana yang bukan fungsi. Cobalah Anda temukan mengapa mereka disebut fungsi atau bukan fungsi. Contoh fungsi: 1. 𝑦 = 𝑥 + 1 2. 𝑦 = 2𝑥 2 + 3𝑥 − 1 3. If round(x/2) – (x/2) = 0; genap else; ganjil Contoh yang bukan fungsi 1. 𝑦 = 25 − 𝑥 2 𝑥



2. 𝑦 = 0 3. Yang guru ke kelompok A, pengusaha ke kelompok B Sampai sejauh ini fungsi-fungsi yang dibahas hanyalah fungsi satu variabel, atau dengan bahasa sehari-hari hanya ada satu faktor yang menjadi



syarat pemetaan. Untuk sementara hal ini dianggap cukup.



Meskipun demikian, fungsi banyak variabel tetap akan dibahas pada bab 5.



15



2.3. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Perhatikan grafik fungsi sin 𝑥, cos 𝑥, 𝑥 2 , dan 𝑥 3 di bawah ini.



Gambar 1.4. Fungsi genap dan fungsi ganjil.



Jika diperhatikan dengan baik, pada fungsi sin 𝑥 dan 𝑥 3 berlaku 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)



(1.1)



Jika memenuhi definisi dari persamaan 1.1, fungsi tersebut dikategorikan sebagai fungsi ganjil. Sekerang coba perhatikan fungsi cos 𝑥 dan 𝑥 2 , diperoleh 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥)



(1.2)



Jika memenuhi definisi dari persamaan 1.2, fungsi tersebut dikategorikan sebagai fungsi genap. Pada fungsi genap jelas terlihat sumbu Y berlaku sebagai cermin, atau kurva di daerah 𝑋 − merupakan pencerminan dari kurva di daerah 𝑋 +. Dari definisi ini, buktikanlah pemangkatan dengan bilangan genap dari semua fungsi riil merupakan fungsi genap, sedangkan pemangkatan dengan bilangan ganjil tidak merubah kelas fungsinya.



16



3. BEBERAPA JENIS FUNGSI Kita telah cukup banyak membahas mengenai fungsi. Berikutnya akan diberikan beberapa jenis fungsi yang sering muncul dalam keseharian dan ujian Anda.



3.1. Fungsi Polinom Fungsi polinom ialah fungsi yang berbentuk 𝑓 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 Dengan n bilangan bulat non-negatif dan 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 adalah tetapan riil. Jika 𝑎𝑛 ≠ 0, dikatakan derajat atau orde polinom tersebut adalah n. Jika n = 0, maka fungsi tersebut menjadi 𝑓 𝑥 = 𝑎0 untuk semua nilai x. Fungsi seperti itu disebut fungsi konstan.



3.2. Fungsi Rasional Fungsi rasional ialah fungsi yang berbentuk pembagian dua fungsi polinom, yaitu: 𝑓 𝑥 =



𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑥 𝑛



Dengan syarat penyebutnya tidak sama dengan nol untuk semua nilai x (syarat perlu pembilang ≠ 0).



3.3. Fungsi Irasional Fungsi irasional adalah fungsi yang memuat tanda penarikan akar. 3



Contohnya 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 3 − 2𝑥 .



3.4. Fungsi Nilai Mutlak Nilai mutlak didefinisikan sebagai 𝑥 = 𝑥; bila 𝑥 ≥ 0 𝑥 = −𝑥; bila 𝑥 < 0



17



Misalnya 7 = 7, 0 = 0, dan −7 = −(−7) = 7. Dari definisi di atas terlihat bahwa untuk setiap bilangan riil 𝑥 berlaku 𝑥 ≥ 0. Salah satu cara mudah untuk membayangkan nilai mutlak ialah jarak (suatu skalar, tidak memilki arah). 𝑥 adalah jarak x dari titik (0,0), begitu pula 𝑥 − 𝑎 ialah jarak antara x dengan a. Dari definisi nilai mutlak ini, didapati pula sifat nilai mutlak dalam suatu ketaksamaan yakni 𝑥 < 𝑎; berarti – 𝑎 < 𝑥 < 𝑎



(1.3.a)



𝑥 > 𝑎; berarti 𝑥 < −𝑎 atau 𝑥 > 𝑎



(1.3.b)



Berikut ini ialah sifat-sifat nilai mutlak dalam operasi aljabar 1. 2. 3.



𝑎𝑏 = 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏



=



𝑎 𝑏



𝑎+𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏



Contoh: 1. Selesaikanlah ketaksamaan 𝑥 − 7 < 2! Jawab: Mengingat sifat nilai mutlak pada pers. 1.3.a, dapat diperluas menjadi 𝑓(𝑥) < 𝑎; berarti – 𝑎 < 𝑓 𝑥 < 𝑎, sehingga −2 < 𝑥 − 7 < 2 Tambahkan masing-masing ruas dengan 7, diperoleh 5