KALKULUS Sistem Koordinat [PDF]

Citation preview

BAB II SISTEM KOORDINAT Sistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan letak suatu titik. Ada beberapa macam sistem koordinat: Sistem Koordinat Cartesius, Sistem Koordinat Kutub, Sistem Koordinat Tabung, dan Sistem Koordinat Bola. Pada bagian ini hanya akan dibicarakan Sistem Koordinat Cartesius dan Sistem Koordinat Kutub saja.



2.1



Sistem Koordinat Kartesian Diperhatikan 2 garis lurus, satu mendatar (horizontal) dan yang lain tegak (vertical).



Selanjutnya, garis mendatar ini disebut sumbu-x sedangkan garis yang tegak disebut sumbu-y. Perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal (origin) dan diberi tanda O. Seperti biasanya, titik-titik disebelah kanan O dikaitkan dengan bilangan-bilangan real positif sedangkan titik-titik di sebelah kiri O dengan bilangan-bilangan real negatif. Demikian pula dengan titik-titik di sebelah atas O dan di sebelah bawah O masing-masing dikaitkan dengan bilangan-bilangan real positif dan negatif. Sistem koordinat kartesian dua dimensi digambarkan pada gambar 2.1 di bawah ini : Y 5



P



3



X



Gambar 2.1 Sistem Koordinat Kartesian Dua Dimensi



Letak sebarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan berurutan ( x, y ) . Titik P ( x, y ) mempunyai arti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y masing-masing adalah



y dan x . Apabila x  0 (atau y  0) maka titik P berada di sebelah kiri (atau sebelah bawah) titik asal O dan apabila x  0 (atau y  0) maka titik P terletak di sebelah kanan (atau sebelah atas) titik asal O. Dalam hal ini, x disebut absis titik P sedangkan y disebut ordinat titik P. Jika dilihat dari gambar 2.1 diatas, koordinat P mempunyai jarak pada sumbu X yang disebut absis sebesar 3 dan mempunyai jarak pada sumbu Y yang disebut ordinat sebesar 5. 21 Modul 3 Sistem Bilangan Evi Noviani, M.Si



Oleh ke dua sumbu, bidang datar (bidang koordinat) terbagi menjadi 4 daerah (kwadran), yaitu kwadran I, kwadran II, kwadran III, dan kwadran IV (lihat Gambar 2.2). Kwadran II x  0, y  0



Kwadran I x  0, y  0



Kwadran III x  0, y  0



Kwadran IV x  0, y  0



Gambar 2.2 Sistem Koordinat Kartesius dalam Empat Kwadran



Sedangkan d merupakan jarak dari pusat sumbu koordinat (O) ke titik P. Rumus jarak diturunkan dari rumus phytagoras Jarak antara P & Q Q(x2,y2)



d ( P , Q )  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2 P(x1,y2)



R(x2,y1) ‫ݔ‬ଶ



‫ݔ‬ଵ



Dari Gambar 2.1 jarak antara pusat sumbu koordinat ke titik P adalah d ( P , O )  (3  0 ) 2  (5  0 ) 2  34



2.1.1



Persamaan Lingkaran



Lingkaran adalah titik-titik yang berjarak tetap (jari-jari) dari titik pusat: ( x  h) 2  ( y  k ) 2  r (x,y)



Persamaan Lingkaran dengan pusat (h,k) dan jari-jari r, adalah:



( x  h) 2  ( y, k ) 2  r 2 (h,k)



22 Modul 3 Sistem Bilangan Evi Noviani, M.Si



Contoh: 1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (2,-1) dan melalui (5,3). Jawab: Jari-jari lingkaran r  (5  2 ) 2  (3  ( 1)) 2 



25  5



Persamaan lingkaran



( x  2) 2  ( y  (1)) 2  52 ( x  2) 2  ( y  1) 2  25



2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran



x 2  y 2  2 x  10 y  25  0 Jawab:



( x 2  2 x)  ( y 2  10 y )  25  0 ( x  1) 2  1  ( y  5) 2  0 ( x  1) 2  ( y  5) 2  1 Pusat  (1, 5) jari-jari  1



latihan 1. Tentukan persamaan dua buah lingkaran yang berjari-jari 5 satuan, melalui (0,0), dengan pusatnya terletak pada garis x  y  1 . Jawaban latihan Dik: r  5 melalui latihan (0 , 0) dan pusatnya terletak pada garis x  y 1 Misalkan pusat lingkaran di (h,k)



x y 1 xh



yk



h  k 1 h  1 k



23 Modul 3 Sistem Bilangan Evi Noviani, M.Si



( x  h) 2  ( y  k ) 2  25 ( x  (1  k )) 2  ( y  k ) 2  25 x 2  2 x(1  k )  (1  k ) 2  ( y  k ) 2  25 x 2  2 x  2kx  1  2k  k 2  y 2  2 yk  k 2  25



(0,0)



x 2  y 2  ( 2k  2) x  2ky  2k 2  2k  1  25



.......(i )



Karena melalui (0,0) maka (0,0) harus memenuhi persamaan …(i) 0  0  0  0  2k 2  2k  1  25 2k 2  2k  24  0 k 2  k  12  0 ( k  4)( k  3)  0 k 4



atau



k  3



untuk k  4 ( x  h ) 2  ( y  4) 2  25



melalui (0,0)



h 2  16  25 h 2  25  16 h2  9 h 3



Jadi persamaan lingkarannya: ( x  3) 2  ( y  4) 2  25 , ( x  3) 2  ( y  4) 2  25 Untuk k  3 ( x  h ) 2  ( y  3)  25



Melalui (0,0) , maka: h 2  9  25 h 2  16 h  4



Jadi persamaan lingkarannya ( x  4) 2  ( y  3) 2  25 ( x  4) 2  ( y  3) 2  25



Jadi persamaan lingkaran yang memenuhi adalah ( x  3) 2  ( y  4) 2  25 ( x  4) 2  ( y  3) 2  25 24 Modul 3 Sistem Bilangan Evi Noviani, M.Si



2.1.2



Menentukan Titik Tengah pada Ruas Garis Perhatikan Gambar 2.3 berikut:



Q( x 2 , y 2 ) M



P ( x 1 , y1 ) x1



x2



1 ( x 2  x1 ) 2



Gambar 2.3 Titik Tengah Ruas Garis



Titik tengah dari ruas garis PQ dengan P( x 1, y1 ) dan P ( x2 , y 2 ) adalah 1 1   ( x1  x 2 ) ,  y1  y 2  2 2 



Contoh: Tentukan persamaan lingkaran dengan garis tengah AB dengan A   1, 2 dan B  (3 , 8) .



2.1.3



GARIS LURUS



Kemiringan



garis



yang



melalui



A ( x1 , y1 ) dan



B ( x 2 , y 2 ) adalah



M 



y 2  y1 . x 2  x1



Kemiringan garis ini disebut dengan gradien garis. Persamaan Garis Lurus diperoleh dengan rumus berikut: a. Dengan kemiringan M dan melalui ( x1 , y1 ) adalah y  y1  m ( x  x1 ) Persamaan garis lurus dengan gradien m 



y  y1  m ( x  x1 ) y  y1 



y 2  y1 ( x  x1 ) x 2  x1



y  y1 x  x1  y 2  y1 x 2  x1



y 2  y1 adalah x 2  x1



atau y  y2 



y 2  y1 ( x  x2 ) x 2  x1



y  y2 x  x2  y 2  y1 x 2  x1



b. Yang melalui titik A ( x1 , y1 ) dan B ( x 2 , y 2 ) adalah



y  y1 x  x1  y 2  y1 x 2  x1 25



Modul 3 Sistem Bilangan Evi Noviani, M.Si



Garis-garis sejajar dan tegak lurus misal garis g mempunyai kemiringan ݉ ௚ dan garis ℓ mempunyai kemiringan ݉ ௟. Maka



1. Garis g dan l saling sejajar: g // 







2. Garis g dan l saling tegak lurus: g  



mg  m 



m g . m   1



Latihan: Tentukan nilai k sehingga garis 4 x  ky  5 a. melalui titik (2,1) b. sejajar sumbu y c. sejajar garis 6 x  9 y 10 d. mempunyai perpotongan x dan perpotongan y yang sama. e. Tegak lurus garis 9  2  2 ( x  1) Jawab : a. ݇ = −3



b. kemiringan



ky  5  4 x 5 4 y  x k k k 0



6 10 y  x 9 9



c. 6 x  9 y  10 kemiringan garisnya



2 3



Agar sejajar dengan 6 x  9 y  10 maka 



4 2  k 3



k



 12  6 2



d. Misalkan garis tersebut memotong sumbu x di (a,0) dan memotong sumbu y di (0, a )



x  a,



y0



 4a  0  5 5 a 4



x  0, y  a 0  ka  5 5 4 k   5.  4 a 5 26



Modul 3 Sistem Bilangan Evi Noviani, M.Si



e. 2x  4



m  2







mg . m   1 1 mg   2



4 1  k 2 k 8



2.2 Sistem Koordinat Kutub (Polar) Pada sistem koordinat Cartesius, letak titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan ( x, y ) , dengan x dan y masing-masing menyatakan jarak berarah ke sumbu-y dan ke sumbu-x.



Pada sistem koordinat kutub, letak sebarang titik P pada bidang dinyatakan dengan pasangan bilangan real r ,  , dengan r menyatakan jarak titik P ke titik O (disebut kutub) sedangkan  adalah sudut antara sinar yang memancar dari titik O melewati titik P dengan sumbu-x positif (disebut sumbu kutub) (lihat Gambar 2.4). P(r , ) r O



 Gambar 2.4 Sistem Koordinat Kutub



Berbeda dengan sistem koordinat Cartesius, dalam koordinat kutub letak suatu titik dapat dinyatakan dalam tak hingga banyak koordinat. Sebagai contoh, letak titik P(3,  3) dapat digambarkan dengan cara terlebih dulu melukiskan sinar yang memancar dari titik asal O dengan sudut sebesar



 radian terhadap sumbu mendatar arah positif. Kemudian titik P 3



terletak pada sinar tadi dan berjarak 3 satuan dari titik asal O (lihat Gambar 1.2.4 (a)). Titik P dapat pula dinyatakan dalam koordinat 3,  3  2k  , dengan k bilangan bulat (lihat Gambar 1.2.4 (b)). Mudah ditunjukkan pula bahwa koordinat  3, 4 3 pun juga menggambarkan titik P (lihat Gambar 1.2.4 (c)). Pada koordinat yang terakhir, jarak bertanda negatif. Hal ini dikarenakan titik P terletak pada bayangan sinar OP  . 27 Modul 3 Sistem Bilangan Evi Noviani, M.Si



P(3,  3)



P(3,  3  2k ) 3



3



 3  2k



 3 (a)



(b)



P(3, 4 3) 3



4 3 O 3



P (c)



Gambar 2.5 Berbagai pernyataan koordinat kutub untuk suatu titik.



Secara umum, jika r ,  menyatakan koordinat kutub suatu titik maka koordinat titik tersebut dapat pula dinyatakan sebagai berikut:



r ,  2k 



atau



 r ,  (2k  1) 



dengan k bilangan bulat.



Kutub mempunyai koordinat (0, ) dengan  sebarang bilangan.



2.3 Hubungan Antara Sistem Koordinat Cartesius dan Sistem Koordinat Kutub Suatu titik P berkoordinat ( x, y ) dalam sistem koordinat Cartesius dan (r , ) dalam sistem koordinat kutub. Apabila kutub dan titik asal diimpitkan, demikian pula sumbu kutub dan sumbu-x positif juga diimpitkan, maka kedudukan titik dapat digambarkan sebagai berikut: 28 Modul 3 Sistem Bilangan Evi Noviani, M.Si



y



P ( x, y )  ( r ,  ) r 



O



y



x



x



Gambar 2.6 Titik dalam Koordinat Kartesius dan Kutub



Dari rumus segitiga diperoleh hubungan sebagai berikut: x  r cos 



(1.1)



y  r sin 



atau:  y  x   arcsin    arccos  r r



r  x2  y2



(1.2)



Contoh 1.



Nyatakan ke dalam system koordinat Cartesius.



 2  a. A 4,   3 



  b. B  5,  4 



5   c. C   3,  6  



Penyelesaian: Dengan menggunakan persamaan (1.1): a.



x  4 cos







2  2 3







y  4 sin



2 2 3. 3



Jadi, A  2,2 3 .



b.



x  5 cos



 5  2 4 2



y  5 sin



 5  2. 4 2



5  5  Jadi, dalam system koordinat Cartesius B  2 , 2. 2  2 



29 Modul 3 Sistem Bilangan Evi Noviani, M.Si



 5 x  3 cos   6



c.



 3 3   2



 5 y  3 sin    6



 3  .  2



3 3 Jadi, C  2 ,  .█ 2 2



Apabila x  0 maka persamaan (1.2) dapat dinyatakan sebagai: r 2  x2  y2



(1.3)



 y   arctan , x  0  x



Hati-hati apabila menggunakan persamaan (1.3), karena   arctan



y akan memberikan 2 x



nilai  yang berbeda, 0    2 . Untuk menentukan nilai  yang benar perlu diperhatikan letak titik P, apakah di kwadran I atau II, ataukah dikwadran II atau IV. Apabila dipilih nilai



 yang lain, maka r   x 2  y 2 .



Contoh 2.



Nyatakan ke dalam sistem koordinat kutub:



a. P4,4



b. Q (4,4)



Penyelesaian: Dari persamaan (1.3), diperoleh: a.



r   4 2  (4) 2  4 2



  arctan



4 3 7  atau 4 4 4



Selanjutnya, karena letak titik P di kwadran IV, maka:



r  4 2 dengan  



7 , atau 4



r  4 2 dengan  



3 . 4



7  3    Jadi, P 4 2 ,  atau P  4 2 ,  . 4  4   



b.



r   (4) 2  4 2  4 2



  arctan



 4 3 7  atau 4 4 4



Selanjutnya, karena letak titik Q di kwadran II, maka: 30 Modul 3 Sistem Bilangan Evi Noviani, M.Si



r  4 2 dengan  



3 , atau 4



r  4 2 dengan  



7 . 4



3  7   Jadi, Q 4 2 ,  atau Q  4 2 , 4  4  



  .█ 



Contoh 3. Nyatakan persamaan r  2a sin  ke dalam sistem koordinat Cartesius. Penyelesaian: Jika ke dua ruas persamaan di atas dikalikan dengan r maka diperoleh: r 2  2a ( r sin  )



Selanjutnya, karena r 2  x 2  y 2 dan r sin   y maka:



x 2  y 2  2ay  x 2  y 2  2ay  0, yaitu persamaan lingkaran dengan pusat (0, a) dan jari-jari a .█



Contoh 4. Nyatakan x 2  4 y 2  16 ke dalam system koordinat kutub. Penyelesaian: Dengan substitusi x  r cos  dan y  r sin  maka diperoleh: r 2 cos 2   4r 2 sin 2   16  r 2 (1  3 sin 2  )  16. █



31 Modul 3 Sistem Bilangan Evi Noviani, M.Si



Latihan Untuk soal 1 – 8, nyatakan masing-masing dengan dua koordinat yang lain, satu dengan r  0 dan yang lain dengan r  0 .



1. 6,  3 5.







2 , 5 2







2.  3, 2 5



3. 5,  4



4. 5, 7 4 



6.  7, 5 6



7. 6, 7 3



8. 4, 6 7 



Untuk soal 9 – 16, nyatakan dalam sistem koordinat Cartesius. 9. 6, 2 3 13.







2 , 5 2







10.  4,  8



11. 5,  4



12. 6, 7 4



14.  7, 5 6



15. 6, 7 3



16. 4, 7 8



Untuk soal 17 – 23, ubahlah ke dalam sistem koordinat kutub. 17.  3,3



18. 2,2 



21. 0,11



22. 3 3 ,3







 23. 



19.  2,2 3











20.



2 3, 6 3







 3,1



Untuk soal 24 – 29, nyatakan masing-masing persamaan ke dalam sistem koordinat Cartesius. 24. r  3 cos 



25. r 2  1  sin 



27. r  4



28.  



7 4



26. r 



4 1  cos



29. r 2  



Nyatakan persamaan pada soal 30 – 32 ke dalam sistem koordinat kutub. 30. x  y  0



31. y 2  1  4 x



32. xy  1



33. Tunjukkan bahwa jarak titik P (r , ) dan Q ( R,  ) adalah:



d  r 2  R 2  2rR cos(   )



32 Modul 3 Sistem Bilangan Evi Noviani, M.Si