Kalkulus Yang Dah Bener2 Jadi.. [PDF]

Citation preview

PENGGUNAAN INTEGRAL 1) Maksimum dan minimum Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. kita katakana bahwa : i. f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S; ii. f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S; iii. f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum Teorema A ( Teorema Eksistensi Maks-Min ). Jika f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum. Teorema B ( Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f (c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah satu titik kritis; yakni c berupa salah satu :  Titik ujung dari I ;  Titik Stasioner dari f (f’ (c)= 0) ;  Titik singular dari f (f’ (c) tidak ada) Contoh Soal : 1. Cari titik kritis dari 4x3 – 3x2 + 6x pada [-1, 0]. Jawab: Titik ujung adalah -1 dan 0. untuk mencapai titik stasioner kita harus pecahkan ƒ’(x) = 12x2 + 6x -6 = (12x - 6) (x + 1) Untuk x diperoleh ½ dan 1. tidak terdapat titik singular. Jadi titik kritis adalah -1, 0, ½,1. 2. Cari nilai-nilai maksimum dan minimum dari ƒ(x) = pada 4x3 – 3x2 + 6x [-1, 0]. Jawab : Dalam contoh sebelumnya kita kenali -1 ,0, ½,1. sebagi titik kritis. ƒ (-1) = 5 ƒ ( 0 ) = -6 ƒ (½) = -1 3 4 ƒ (1) = 1 2) Kemonotonan dan kecekungan Pada Bagian penggunaan turunan akan dititik beratkan untuk mengetahui sifat-sifat yang dimiliki suatu kurva antara lain kemonotonan, kecekungan nilai ekstrim.



a. Kemonotonan Grafik fungsi f(x) dikatakan naik pada selang I bila ƒ(x 1 ) > ƒ(x 2 ) untuk x 1 > x 2 ;x 1 ,x 2 ∈ I. sedangkan f(x) dikatakan turun pada selang I bila ƒ(x 1 ) < ƒ(x 2 ) untukx 1 > x 2 ; x 1 ,x 2 ∈ I. fungsi naik atau turun disebut fungsi monoton. Teorema Kemonotonan Andaikan ƒ kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I. 1) Jika ƒ’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari dari I, maka ƒ naik pada I. 2) Jika ƒ’(x) < 0 untuk semua titik dalam x dari dari I, maka ƒ turun pada I. Contoh soal : 1) Jika ƒ(x) = x 4 + 2x 3 + x 2 + 3 Jawab : Kita mulai mencari turunan pertama dari ƒ, ƒ’(x) = 4x 3 + 6x 2 + x Untuk ƒ’(x) = 4x 3 + 6x 2 + x > 0 , maka fungsi naik pada -1< x < -1/2 atau x > 0 dan fungsi turun pada x < -1 atau -1/2 < x < 0 b. Kecekungan Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada selang I bila ƒ’(x) naik pada selang I, sedangkan f(x) dikatakan cekung ke bawah pada selang I bila ƒ’(x) turun pada selang I.Sehingga dapat disimpulkan: (Teorema kecekungan) Andaikan terdiferensial dua kali pada selang terbuka I.  Bila ƒ’’(x) > 0 , x ∈ I , maka f(x) cekung ke atas pada I dan,  Bila ƒ’’(x) < 0 , x ∈ I , maka f(x) cekung ke bawah pada I . Contoh Soal : 1. ƒ(x) = 1+x2 / 1+x tentukan di mana cekung ke atas dan di mana cekung ke bawah ? Jawab : Untuk turunan pertama, ƒ’(x) = x2+2x-1/ (1+x)2 Untuk turunan kedua, ƒ’’(x) = 4/(1+x)3 Cekung ke atas ƒ’’(x) > 0 pada selang x > -1 dan cekung ke bawah pada selang x < -1.



2) f ( x) = 5 x 3 − 3x 5 + 2 o Tentukan selang f cekung ke atas dan f cekung ke bawah o Tentukan semua titik ekstrimnya Jawab : f ( x) = 5 x 3 − 3x 5 + 2 , x ∈ R f ' ( x) = 15 x 2 − 15 x 4



, x∈ R



f " ( x) = 30 x − 60 x 3



, x∈ R



2 = − 60 x( x −



1 ) 2 1 1 2) (x − 2) 2 2



= − 60 x( x +



x1 = 0 x2 = −



1 2 2



f (0) = 2



f (−



;



x< −



1 7 2) = 2 − 2 2 8



---



−



1 2 2



1 2 2



1 2 2



Titik Ekstrim



Titik Ekstrim



+++



x3 =



Titik Ekstrim



+++



0 −



;



1 2< x< 0 2



--1 2 2



x>



1 2 2



f(



1 7 2) = 2 + 2 2 8



i.



f cekung ke atas : 1   2 − n,− 2  



1   ; 0, 2 2  



f cekung ke bawah :  1  2 , 0 −  2 



1  ;  2 , n 2 



Karena f”(x) ada di x ∈ R dan disekitar x = −



ii.



perubahan



kecekungan,



1 2 2



,



maka



x= 0 , titik



x=



1 2 ada 2 ekstrimnya



7 7  1  1  2 , 2− 2  ; ( 0 , 2) ;  2 ,2+ 2 − 8 8  2  2  3) Maksimum dan minimum lokal Untuk fungsi ƒ yang kontinu pada selang I, perubahan kemonotonan disekitar titik c pada I akan menghasilkan nilai terbesar atau terkecil dari fungsi f di sekitar c. nilai terbesar dan nilai kecil tersebut dikenal dengan nilai ekstrim local dari fungsi tersebut. Ekstrim lokal dari suatu fungsi dapat juga ditentukan dengan turunan ke dua yang cara menentukannya dikenal sebagai teorema uji turunan ke dua untuk ekstrim. Definisi formal dari maksimum local dan minimum lokal Andaikan S, daerah asal ƒ, memuat titik c. kita kan bahwa:  ƒ(c) nilai maksimum lokal ƒ jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga ƒ(c) adalah nilai maksimum ƒ pada (a,b) ∩ S;  ƒ(c) nilai Minimum lokal ƒ jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga ƒ(c) adalah nilai minimum ƒ pada (a,b) ∩ S;  ƒ(c) nilai ekstrim lokal ƒ jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal. a. Uji turunan pertama untuk menentukan ekstrim lokal Dari selang kemonotonan suatu fungsi kontinu dapat di tentukan lokasi ekstrim lokalnya berdasarkan perubahan kemonotonan fungsinya perubahan kemonotonan di sekitar titik kritis (titik ujung, titik stasioner, dan titik singular)dari fungsinya dapat ditentukan dengan perubahan tanda dari turunan pertamanya disekitar titik kritis tersebut. Di sekitar titik kritis perubahan dari



monoton naik ke monoton turun menghasilkan maksimum lokal dan perubahan sebaliknya menghasilkan minimum lokal. ( Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal ). Andaikan ƒ kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.  Jika ƒ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan ƒ’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka ƒ(c) adalah nilai maksimum lokal ƒ.  Jika ƒ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan ƒ’(x) > 0 untuk semua x dalam (c,b), maka ƒ(c) adalah nilai minimum lokal ƒ.  Jika ƒ’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka ƒ(c) bukan nilai ekstrim lokal ƒ. b. Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal Ekstrim lokal dari suatu fungsi dapat juga ditentukan dengan memeriksa tanda turunan kedua dititik kritisnya. ( uji kedua untuk ekstrim lokal ). Andaikan ƒ’ dan ƒ’’ ada pada setiap titik pada selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan ƒ’(c) = 0.  Jika ƒ’’(c) < 0 , ƒ(c) adalah nilai maksimum lokal ƒ.  Jika ƒ’’(c) > 0 , ƒ(c) adalah nilai minimum lokal ƒ.



Contoh soal : 1) Cari nilai ekstrim lokal dari Fungsi ƒ(x) = x2 – 4x + 1 pada ( -∞,∞ ). Jawab : Fungsi polinom ƒ kontinu di mana-mana dan turunannya, ƒ(x) = 2x – 4, ada untuk semua x jadi satu-satunya titik kritis untuk ƒ adalah penyelesaian tunggal dari ƒ’(x) = 0, yakni x = 2. Karena ƒ’(x) = 2( x -2) < 0 untuk x < 2, ƒ turun pada (-∞, 2] dan karena 2( x -2) > 0 untuk x > 2, ƒ naik pada [2, ∞). Karena itu menurut uji turunan pertama, ƒ(2) = -3 adalah nilai minimum lokal ƒ. Karena 2 adalah satu-satunya bilangan kritis, tidak terdapat nilai ekstrim lain. 4) Lebih banyak masalah maks-min Contoh soal : 1. untuk memproduksi x pasang sandal perhari diperlukan biaya (6x2 - 15x +10) 1 ribu rupiah. Harga jual x untuk sepasang sandal sebesar (- x3 +10x2 +5x + 20x) 3 Keuntungan laksimum perhari akan didapat jika sandal yang diproduksi perhari adalah?



Jawab: Biaya produksi = (6x2 + 15x +10) ribu rupiah 1 Penjualan = (- x3 +10x2 +5x + 30x) 3 y = keuntungan = penjualan - biaya produksi 1 = (- x3 +10x2 +5x + 20x) - (6x2 - 15x +10) 3 1 3 = - x +4x2 + 20x +10 3 Keuntungan maksimum diperoleh pada saat y’ = 0 ⇒ -x2 + 8x +20 ⇒ (-x – 2) (x – 10) x = -2 x = 10 Perlu di ingat, bahwa banyak sandal yang diproduksi merupakan bilangan bulat positif. Jadi keuntungan maksimum akan diperoleh jika sandal diproduksi 10 pasang.



5) Penerapan ekonomik Setiap bidang ilmu mempunyai bahasanya sendiri salah satunya untuk ekonomi, yang mempunyai kosakata yang dikembangkan sangat khususdi dalam kosa kata tersebut kita akan menemukan bahwa banyak masalah ekonomi yang sebenarnya merupakan masalah kalkulus. Contoh soal: 1. andai C(x) = 800 + 3,15x + 30 3 x rupiah. Cari biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marjinal dan hitung mereka bilamana x = 900 Jawab: Biaya rata-rata :



C ( x) 800 + 3,15x + 30 3 x = ( x) x 1 3 = 800 + 3,15(900) + 30 (900) 900 800 + 2835 + 30 = 900 = 12,07



Biaya Marginal :



dC 30 − 2 3 = 3,15 + x dx 3 30 = 3,15 + (900) − 2 3 = 3,15



3



Pada x = 900, ini masing-masing mempunyai nilai-nilai 12,07 dan 3,15 ini berarti bahwa rata-rata biaya tiap satuan adalah Rp. 10.863 untuk memproduksi 900 satuan yang pertama, untuk memproduksi satu satuan tambahan di atas 900 hanya memerlukan biaya Rp. 2835. 6) Limit di ketakhinggaan, Limit tak terhingga Definisi (Limit bila x → ∞ ). Andaikan f terdefinisi pada [c, ∞) untuk suatu bilangan c. Kita katakan bahwa lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat x→∞



bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga x > M ⇒



f (x ) − L < ε



Definisi (Limit bila x → −∞). Andaikan f terdefinisi pada (−∞, c] untuk suatu bilangan c. Kita katakan bahwa lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat suatu x→−∞



bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga x < M ⇒ f (x) − L < ε Definisi (Limit-limit tak-terhingga). Kita katakan bahwa lim f(x) = ∞ jika untuk tiap bilangan positif M, berpadanan suatu δ > 0 sedemikian sehingga 0 < x − c < δ ⇒ f(x) > M Contoh Soal: 1) Cari lim 3x2-4x +6 / 2x2+x-10 x→−∞



Jawab : lim



3x 2 − 4 x + 6 x2



x→−∞



2 x 2 + x − 10 x2



6 3x 2 4 x - 2+ 2 2 x x x



= lim x→−∞



x 10 2x 2 + 2- 2 2 x x x = =



3-0+0 / 2+0-0 3/2



7) Penggambaran grafik canggih Contoh soal : 1. sketsakan grafik f(x) = 4x2-4x3/ 4 Jawab: Dengan menetapkan f(x) = 0, kita temukan perpotongan sumbu x adalah 0 dan ¾. f’(x)= 4x2-4x3/ 4 = 16x3-12x2(2) / 4 = 32x3-24x2 / 4 = 8x(4x2-3x) / 4 4x2 = 3x x =¾,0 Jadi titik kritis adalah 0 dan ¾ . f(0) = 0 , maksimum lokal f(3/4) = -27/64 ,minimum lokal f’’(x) = 96x2 -48x / 16 = 48x(2x-1) /16 x=½,0 (0,0) (1/2, 0) 8) Teorema nilai rata-rata Misalkan f memenuhi syarat : a) Kontinu pada selang tertutup (a, b) b) Mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b) Maka terdapat suatu c ∈ (a , b) sehingga f ' (c) =



f (b) − f (a ) b− a



(Teorema ini menjamin adanya titik pada f yang garis singgung // dengan ruas garis yang menghubungkan titik (a, f(a)) dengan (b, f(b)). Skema : f’(c)



(b, f (b))



f (c) f (b) f (a) a



c



b



b–a Gambar 1.1 Skema Teorema Nilai Rata-rata.



Contoh soal : 1. Cari nilai c yang mungkin oleh teorema nilai rata-rata untuk ƒ(x) = 4 x pada [0,4]. Jawab: ƒ’(x) = 4.



2 1 −1 x 2 = 2 x



dan f ' (c) =



4− 0 8− 0 f (b) − f (a ) = = =2 b− a 4− 0 4− 0



jadi, kita harus menselesaikan 2 c



=2



c = 1