Kapasitas Panas [PDF]

Citation preview

BAB 10 KAPASITAS PANAS DARI ISOLASI ZAT PADAT Pengantar Jika peningkatan suhu suatu zat, dijaga pada volume konstan, adalah T ketika kuantitas DQ panas ditambahkan ke dalam kesinambungan, rasio



Didefinisikan sebagai kapasitas panas pada volume const ant. Dari identitas termodinamika, persamaan (3,85), jika DV dan Dn keduanya nol, DQ = Du = T Ds. Oleh karena itu, persamaan (10.1) dapat ditulis ulang dalam bentuk.



Jika kapasitas panas mengacu pada satuan massa zat, ini disebut kapasitas panas spesifik dan dilambangkan dengan cv. Jika kapasitas panas mengacu pada mol substansi itu disebut kapasitas panas molar dan dilambangkan dengan Cv.m Kapasitas panas yang ditentukan secara eksperimental umumnya kapasitas panas pada tekanan konstan, yang dilambangkan dengan cp. Dengan menggunakan termodinamika kesetimbangan klasik, dapat ditunjukkan bahwa Cp - Cv = KTVα2, Dimana T adalah temperatur absolut, V adalah volumenya, α adalah volum isobarik kubik (volume) dan K adalah modulus bulk isotermal. (Referensi: zemansky [1 (a)].) hubungan ini dapat digunakan untuk memperkirakan Cv dari nilai yang terukur dari Cp. Untuk mengisolasi padatan pada suhu kamar, perbedaan antara Cp dan Cv umumnya beberapa persen. Pada suhu yang sangat rendah, perbedaannya sangat kecil. Percobaan telah menunjukkan bahwa, pada suhu kamar, kapasitas panas pada volume konstan dari banyak padatan kira-kira sama dengan 3Nk, di mana N adalah jumlah total atom dalam padatan dan k adalah konstanta boltzmann. Hasil ini dikenal sebagai hukum dulong dan petit. Sebagai contoh, pada suhu kamar kapasitas panas molar dari elemen umumnya kurang lebih sama dengan 3NAk, yang sama dengan 3R = 24,93 J mol-1 K-1, di mana NA adalah avogadro yang konstan. Percobaan pada suhu rendah telah menunjukkan bahwa Cv cenderung nol karena suhu absolut T cenderung nol. Ini sejalan dengan hukum termodinamika kesetimbangan klasik. [Referensi: Bagian 1.11.]



10.2 Teori Eistein untuk kapasitas panas dari padatan insulasi



Atom-atom dalam kristal dipegang bersama oleh kekuatan menarik dari semua atom lain dalam kristal. Dalam teori Einstein, diasumsikan bahwa atom tertentu berosilasi tentang posisi rata-rata (kisi) dalam potensi yang mantap karena semua atom lain dalam srystal. Ketika sebuah partikel dalam sumur potensial stabil karena semua atom lain dalam kristal. Ketika sebuah partikel dalam sumur potensial yang stabil dipindahkan sejumlah kecil dari posisi ekuilibriunya dan terlepas, partikel akan berosilasi dengan gerakan harmonik sederhana. Persamaan gerak adalah



Dimana r adalah vektor perpindahan dari partikel dari posisi kesetimbangannya. Jika r sama dengan (ix + jy + kz), di mana i, j, dan k adalah vektor satuan dalam arah x, y dan z masingmasing, menggantikan persamaan (10.3), kita memperoleh



Dalam teori Einstein diasumsikan bahwa masing-masing dari 3 N oscillator memiliki frekuensi anguler yang sama ωE, seperti yang ditunjukkan pada gambar 10.1 (a). Akan diasumsikan bahwa sejauh satu osilator harmonik linier terkait, sisa kisi kristal bertindak sebagai reservoir panas dari suhu absolut konstan T. Energi rata-rata ɛ dari masing-masing osilator harmonik adalah pemberi oleh persamaan (4.37) , yang dikembangkan di bagian 4.7 menggunakan distribusi boltzmann. Energi rata-rata dari 3 N oscillator adalah



Kapasitas panas molar Cv, m hampir sama dengan 3NAK = 3R pada suhu tinggi, seperti yang ditunjukkan pada gambar 10.2 Ini adalah hukum dulong dan petit. Ini adalah batasan klasik dari persamaan (10.5). Hasil ini diharapkan, karena menurut teorema ekuipartisi yang dikembangkan di bagian 4.10.4 *, energi rata-rata dari osilator harmonik linier sama dengan



kT, total energi U sama dengan 3NAkT memberikan nilai 3NAk untuk Cv, m dalam batas klasik



Karena T cenderung nol, eksponensial jangka exp (-ɵE / T) cenderung nol jauh lebih cepat daripada peningkatan dalam istilah (-ɵE / T)



2



, sehingga Cv cenderung nol secara



eksponensial seperti yang ditunjukkan pada Gambar 10.2. Dalam ekspresi untuk Cv yang diberikan oleh persamaan (10.5), satu-satunya yang tidak diketahui adalah suhu Einstein ɵE, sesuai dengan nilai yang tidak diketahui dari frekuensi penggambaran Einstein ωE



10.3 DEBYE TEORI UNTUK KAPASITAS PANAS PADA ZAT PADAT Dalam teori einsteins kapasitas panas, diasumsikan bahwa semua atom terombangambing dengan gerakan harmonik simpel dalam sumur potensial stabil dengan frekuensi anguler yang sama ωE, seperti yang ditunjukkan pada gambar 10.1 (a). Dalam prakteknya, jika salah satu atom dalam kristal aa tergeser, ini mempengaruhi gaya pemulih yang bekerja pada atom lain di sekitarnya, sehingga gerakan kolektif atom dalam bentuk padat dapat menjadi penting seperti, misalnya, dalam gelombang suara. dalam yang solid. Dalam teori debyes, padatan diperlakukan sebagai medium elastis continious. (dalam prakteknya, zat padat memiliki struktur atom yang dapat menyebabkan efek yang penting).



Sesuai dengan persamaan (A6.14) dari lampiran 6, jumlah solusi gelombang berdiri (mode normal) untuk gelombang elastis dalam solid continious, yang memiliki frekuensi pengukur dalam rentang ω hingga (ω + d ω), adalah



Dimana CL dan CT adalah kecepatan gelombang elastis (bunyi) longitudinal dan transversal dalam padatan, dan V adalah volume padatan. Debye mengasumsikan persamaan itu (10.9). karenanya, menurut teori Debyes



Mengganti dari persamaan (10,9) ke dalam persamaan (10.10) dan mengintegrasikan, kita memiliki



Menata ulang, kita memiliki



Persamaan (10.11) mengungkapkan Debye memotong frekuensi sudut 𝜔𝐷



dalam hal



kecepatan elastis (suara) gelombang longitudinal dan melintang di padatan. Menggantikan dari V(l/𝑐𝐿 3+ 2/cT3) dari persamaan (10.11) ke dalam persamaan (10,9) kita memperoleh



Variasi D (𝜔), jumlah mode yang normal per unit rentang frekuensi sudut. Dengan 𝜔 ditunjukkan pada Gambar 10.1 (b). Menurut persamaan (10.12), D (𝜔) sebanding dengan 𝜔2 sampai ke Debye memotong frekuensi sudut 𝜔D. Dalam teori Debye, masing-masing mode normal (berdiri solusi gelombang), diperlakukan sebagai osilator harmonik linear independen dalam kesetimbangan termal dengan sisa kristal, yang bertindak sebagai reservoir panas suhu konstan T mutlak untuk setiap mode normal. Menurut persamaan (4.37) energi rata-rata osilator harmonik dari frekuensi sudut alam 𝜔 adalah



Total energi rata-rata padat



Menggantikan



untuk e dari persamaan (10.13) dan untuk D (𝜔) dari persamaan (10.12) dan



mengintegrasikan, kita memperoleh



Istilah pertama di sisi kanan persamaan (10.15) adalah independen dari suhu. Menggunakan persamaan (10.2) kita menemukan bahwa kapasitas panas pada volume konstan adalah



Diferensial di bawah tanda intergral sehubungan dengan T, kita memiliki



Memberi



yang seperti itu Memberi



dimana



adalah suhu Debye. Mengganti dalam persamaan (10.16), kita memperoleh



Integral tertentu dalam persamaan (10.19) adalah fungsi dari batas atas xD: Integral tidak terpisahkan yang harus dievaluasi secara numerik. Hal ini biasanya dilambangkan dengan baik F(xD) F(𝜃D/T). Nilai numerik yang diberikan oleh Zemansky [l (b)]. Kita mempunyai



atau



Variasi dari molar kapasitas panas CVM dengan (T / 𝜃D), diprediksi oleh persamaan (10.20), ditunjukkan pada Gambar 10.3 (a). Hasil eksperimen untuk tembaga juga ditampilkan. Nilai yang sesuai dari D = 308K untuk tembaga ditentukan dari cocok dari data ke persamaan (10.20). Atas beberapa derajat Kelvin perjanjian cukup baik untuk tembaga. Pada suhu tinggi x = 𝜃D / T sangat banyak kurang dari satu. Sehingga er ~ (1 + x). Oleh karena itu sebagai T cenderung tak terhinggaType equation here.



Oleh karena itu pada suhu tinggi, untuk mol atom, persamaan (10.20) menjadi



seperti yang ditunjukkan pada Gambar 10.3 (a). Ini adalah Dulong dan hukum Petit. Hasil ini diharapkan karena, menurut persamaan (10.10), untuk mol atom ada 3NA osilator harmonik independen, yang masing-masing memiliki energi kT dalam batas klasik, sehingga U sama dengan 3NAkT dan CVM harus sama dengan 3R pada suhu tinggi. Pada suhu yang sangat rendah. batas atas dalam persamaan menjadi sangat besar. Nilai dari variabel ini juga



di equantion (10,19) sangat besar di sekitar batas atas xD.



Pada suhu yang sangat rendah. ketika x >> 1 dan e' >> 1, kita memiliki



Ketika x >> 1, e -x istilah mendominasi (



) , yang menjadi sangat kecil. Oleh karena itu pada



suhu yang sangat rendah. Integran dalam persamaan (10.19) sangat kecil dekat batas atas xD, dimana sebagai xD itu sendiri sangat besar. Tidak ada kesalahan besar diperkenalkan pada suhu yang sangat rendah, jika batas xD atas di



Gambar 10.3- variasi (a) Suhu kapasitas panas molar yang solid sesuai dengan model Debye. kapasitas panas yang diamati dari tembaga dibandingkan dengan prediksi untuk suhu Debye (JD = 308K. (Di bawah SK, elektron bebas membuat kontribusi yang signifikan untuk kapasitas panas dari tembaga). (b) Data kapasitas panas eksperimental untuk argon padat di bawah 2K diplot terhadap T3. hubungan linear kapal menegaskan hukum Debye T3 dalam rentang suhu ini. ((a) dan (b) direproduksi dengan izin dari Mekanika statistik dan Sifat Materi oleh ESR Gopal dan Mekanika Pengantar statistik oleh RE Turner dan DS Betts masing-masing.)



terpisahkan dalam persamaan (10.19) diganti dengan tak terhingga. Integral tertentu kemudian sejumlah yang nilainya numerik



. (Referensi:. Zemansky [l (c)]) Oleh karena itu pada suhu



yang sangat rendah kapasitas panas molar, yang diberikan oleh persamaan (10.19), menjadi



Ini adalah hukum De bye T3. Hal ini berlaku secara eksperimental untuk isolasi padat pada suhu T