![Kelompok 10 - Bahan Ajar Sistem Pertidaksamaan 2 Varibel (Linear-Kuadrat, Kuadrat-Kuadrat) [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/kelompok-10-bahan-ajar-sistem-pertidaksamaan-2-varibel-linear-kuadrat-kuadrat-kuadrat.jpg)
4 0 920 KB
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel (Linear-kuadrat, kuadrat-kuadrat)
Buku adalah jendela dunia
Page 1
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Kata Pengantar Segala puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan karunianya sehingga penulis dapat menyelesaikan buku ajar ini yang berjudul ”Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel (Linear-Kuadrat, KuadratKuadrat)”. Buku ini berisi materi-materi SMA kelas X tentang Sistem
Pertidaksamaan
Kuadrat-Kuadrat) kompetensi
Dua
yang sesuai
berdasarkan
Variabel
(Linear-Kuadrat,
standar isi dan standar
kurikulum
terbaru.
Buku
pembelajaran ini dilengkapi dengan ringkasan materi, contoh soal beserta pembahasan, latihan soal dan soal aplikasi. Soalsoal disajikan oleh penulis didalam bhuku pembelajaran ini merupakan kumpulan soal-soal yang diambil dari berbagai sumber seperti internet dan buku-buku mata pelajaran matematika yang mendukung. Penulis mengucapkan terimakasih kepada para dosen dan teman-teman yang telah membantu dalam pengerjaan buku pembelajaran ini.
Buku adalah jendela dunia
Page 2
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
DAFTAR ISI Kata Pengantar ..................................................... 2 Daftar Isi ................................................................. 3 Kata-Kata Motivasi................................................ 4 Kompetensi Inti ...................................................... 5 Kompetensi Dasar .................................................. 6 Indikator Pencapaian Kompetensi ....................... 7 Peta Konsep ............................................................ 8 Tujuan Pembelajaran ............................................ 9 A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua variabel ..... 10 1. Pertidaksamaan Linear Dua variabel ...................................................... 13 2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel .......................................... 14 3. Uji Kompetensi 1 .............................................. 18 B. Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel ..................................................... 22 1. Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel ..................................................... 22 2. Uji Kompetensi 2 .............................................. 27 3. Sistem Pertidaksamaan Buku adalah jendela dunia
Page 3
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Linear-Kuadrat .................................................. 29 4. Uji Kompetensi 3 .............................................. 32 5. Sistem Pertidaksamaan Kuadrat-Kuadrat ................................................ 34 6. Uji Kompetensi 4 .............................................. 45 Daftar Pustaka...................................................... 49
Buku adalah jendela dunia
Page 4
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
SMA/MA Kelas X
KATA-KATA MOTIVASI “Kejarlah ilmu sampai keujung dunia.” ”Pisau jika diasah akan tajam, namun akan berkarat jika tidak pernah digunakan begitu pula dengan ilmu, banyak digunakan akan bermanfaat.” “Be your self.” “Belajarlah dari kelebihan orang lain namun tetap menjadi diri sendiri.” ”Pengalaman adalah guru yang sangat berharga.” “Raihlah dan kejarlah impianmu.” “Kegagalan adalah kesuksesan yang tertunda.” “Talk less do more.” “Cintai lalu lakukan, serta lakukan dengan cinta.
Buku adalah jendela dunia
Page 5
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
SMA/MA Kelas X
KOMPETENSI INTI 1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya 2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (gotongroyong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsive dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia 3. Memahami
dan
menerapkan
pengetahuan
(faktual,
konseptual, dan procedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata. 4. Mengolah, menyaji dan menalar dalam ranah konkret (menggunakan, mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat)
dan
ranah
abstrak
(menulis,
membaca,
menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori. Buku adalah jendela dunia
Page 6
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL KOMPETENSI DASAR
3.2
Menjelaskan
dan
menentukan
penyelesaian
sistem
pertidaksamaan dua variabel (linear-kuadrat, dan kuadratkuadrat). 3.2
Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem pertidaksamaan dua variabel (liniearkuadrat, dan kuadrat-kuadrat).
Buku adalah jendela dunia
Page 7
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI Dari kompetensi dasar diatas diharapkan siswa dapat: 3.2.1
Menjelaskan
konsep
dasar
mengenai
pertidaksamaan linear dua variabel 3.2.2
Menentukan langkah-langkah dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel menggunakan grafik.
3.2.3
Menjelaskan konsep dasar mengenai sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
3.2.4
Menentukan langkah-langkah dalam menentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel menggunakan grafik.
3.2.5
Menjelaskan
konsep
dasar
mengenai
pertidaksamaan kuadrat dua variabel. 3.2.6
Menentukan langkah-langkah dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dua variabel menggunakan grafik.
Buku adalah jendela dunia
Page 8
SMA/MA Kelas X
3.2.7
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Menjelaskan konsep dasar mengenai sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel.
3.2.8
Menentukan langkah-langkah dalam menentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel menggunakan grafik.
3.2.9
Menjelaskan konsep dasar mengenai sistem pertidaksamaan linear-kuadrat dua variabel
3.2.10
Menentukan langkah-langkah dalam menentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear-kuadrat dua variabel menggunakan grafik.
4.2.1
Menyelesaikan
masalah
yang
berhubungan
dengan pertidaksaman linear dua variabel dalam kehidupan sehari-hari 4.2.2
Menyelesaikan
masalah
yang
berhubungan
dengan sistem pertidaksaman linear dua variabel dalam kehidupan sehari-hari 4.2.3
Menyelesaikan
masalah
yang
berhubungan
dengan pertidaksaman kuadrat dua variabel dalam kehidupan sehari-hari
Buku adalah jendela dunia
Page 9
SMA/MA Kelas X
4.2.4
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Menyelesaikan dengan
sistem
masalah
yang
pertidaksaman
berhubungan kuadrat
dua
variabel dalam kehidupan sehari-hari 4.2.5
Menyelesaikan
masalah
yang
berhubungan
dengan sistem pertidaksaman linear-kuadrat dua variabel dalam kehidupan sehari-hari
Buku adalah jendela dunia
Page 10
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Peta Konsep Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel DEVINISI Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel BENTUK UMUM Sistem Pertidaksamaan Linear-Kuadrat Dua Variabel
METODE GRAFIK
Sistem Pertidaksamaan Kuadrat-Kuadrat Dua Variabel
Buku adalah jendela dunia
Page 11
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
TUJUAN PEMBELAJARAN Tujuan dari dibuatnya bahan ajar
pembelajaran ini
adalah sebgai berikut: 1. Agar siswa memahami materi sistem pertidaksamaan dua variabel (linear-kuadrat, dan kuadrat-kuadrat). 2. Melatih
para
siswa
untuk
lebih
memahami
dan
mengaplikasikan materi sistem pertidaksamaan dua variabel (linear-kuadrat, dan kuadrat-kuadrat). 3. Memberi cara termudah kepada siswa mengenai materi sistem pertidaksamaan dua variabel (linear-kuadrat, dan kuadrat-kuadrat). 4. Memberi semangat belajar siswa. 5. Memberi gambaran kepada para siswa mengenai materi sistem pertidaksamaan dua variabel (linear-kuadrat, dan kuadrat-kuadrat). 6. Agar para siswa lebih suka dengan ilmu matematika.
Buku adalah jendela dunia
Page 12
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
A. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL Ayo Belajar Dan Aktivitas 1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu pertidaksamaan yang di dalamnya memuat dua variabel dan masing-masing variabel itu berderajat satu. Pertidaksamaan linear dua variabel 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≤ 𝑐 atau 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≥ 𝑐 dapat diselesaikan dengan langkah-langkah sebagai berikut. a. Buat grafik garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 1) Tentukan titik potong garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 dengan sumbu X dan sumbu Y. 2) Tarik garis lurus melalui kedua titik tersebut. b. Uji titik Ambil sembarang titik uji P(𝑥1 , 𝑦1 ) yang terletak di luar garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 dan hitunglah nilai 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 , kemudian bandingkan nilai 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 dengan nilai 𝑐. 1) Jika 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 ≤ 𝑐, bagian belahan bidang yang memuat titik P(𝑥1 , 𝑦1 ) ditetapkan sebagai daerah Buku adalah jendela dunia
Page 13
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≤ 𝑐. 2) Jika 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 ≥ 𝑐, bagian belahan bidang yang memuat titik P(𝑥1 , 𝑦1 ) ditetapkan sebagai daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≥ 𝑐. 2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah sistem pertidaksamaan yang terbentuk dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel dengan variabel-variabel yang sama. Contoh:
4𝑥 − 2𝑦 ≤ 5 2𝑥 + 5𝑦 ≥ 1
Daerah atau grafik himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dengan dua variabel merupakan irisan dari
masing-masing
daerah
himpunan
penyelesaian
pertidaksamaan linear yang membentuknya.
Buku adalah jendela dunia
Page 14
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
SMA/MA Kelas X
Ayo Pahami Contoh Soal dan Alternatif Penyelesaian 1. Tentukan
pertidaksamaan
linear
dua
variabel
yang
memenuhi daerah yang diarsir pada gambar berikut! 𝑌 (−2,8)
8
𝑋
(4,0) -2
0
4
𝑔
Alternatif Penyelesaian Garis 𝑔 melalui titik (4,0) dan (−2,8), persamaannya adalah: 𝑥−4 −2−4
=
𝑦−0 8−0
⟺ 8(𝑥 − 4) = −6𝑦 ⟺ 8𝑥 + 6𝑦 = 32 ⟺ 4𝑥 + 3𝑦 = 16
Buku adalah jendela dunia
Page 15
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Ambil titik uji P(0,0) pada daerah yang diarsir, sehingga diperoleh: 4(0) + 3(0) = 0 < 16 Karena garis 𝑔 putus-putus maka titik-titik pada garis 4𝑥 + 3𝑦 = 16 bukan penyelesaian dari pertidaksamaan. Jadi, daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel 4𝑥 + 3𝑦 < 16.
2. Tentukan sistem pertidaksamaan linear
yang daerah
penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir pada gambar berikut! 𝑌 5 4
0
Buku adalah jendela dunia
𝑋 4
6
Page 16
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Alternatif Penyelesaian Daerah yang diarsir di sebelah kanan sumbu 𝑌 dan di atas sumbu 𝑋 berarti 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0. Persamaan garis melalui titik (4,0) dan (0,5) adalah: 𝑥
𝑦
+ 5 = 1 ⟺ 5𝑥 + 4𝑦 = 20 4 Ambil P(0,6) pada daerah penyelesaian sehingga diperoleh:
5(0) + 4(6) = 24 jadi, 5𝑥 + 4𝑦 ≥ 20 . Persamaan garis melalui titik (6,0) dan (0,4) adalah: 𝑥 6
𝑦
+ 4 = 1 ⟺ 4𝑥 + 6𝑦 = 24 ⟺ 2𝑥 + 3𝑦 = 12 Ambil P(0,7) pada daerah penyelesaian sehingga diperoleh:
2(7) + 3(0) = 14 jadi, 2𝑥 + 3𝑦 ≥ 12. Jadi, sistem pertidaksamaan linear dari daerah yang diarsir adalah: 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0; 5𝑥 + 4𝑦 ≥ 20; 2𝑥 + 3𝑦 ≥ 12.
Buku adalah jendela dunia
Page 17
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
SMA/MA Kelas X
Ayo Berlatih
UJI KOMPETENSI 1
Jawablah soal-soal berikut dengan singkat dan tepat! 1. Gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaan berikut! a. 2𝑥 + 7𝑦 < 14 b. 4𝑥 − 𝑦 ≥ 8 Jawab:
2. Tentukan
pertidaksamaan
linear
dua
variabel
yang
memenuhi daerah yang diarsir pada gambar berikut!
Buku adalah jendela dunia
Page 18
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
𝑌
a.
4
0
10
b.
𝑋
𝑌 6
−2
0
𝑋
Jawab:
Buku adalah jendela dunia
Page 19
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
3. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut! a. 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0; 3𝑥 + 4𝑦 ≤ 12; 2𝑥 + 𝑦 ≥ 4 b. 1 ≤ 𝑥 ≤ 5; 𝑦 ≥ 0; 𝑥 + 2𝑦 ≤ 8; 𝑥 − 2𝑦 ≥ −2 Jawab:
4. Seorang petani membutuhkan 15 satuan potassium, 20 satuan nitrogen, dan 24 satuan fosfor agar hasil tanamannya bagus. Sementara itu, di pasaran tersedia dua jenis pupuk untuk keperluan tersebut. Pupuk I mengandung 3 satuan potasium, 1 satuan nitrogen, dan 3 satuan fosfor dalam setiap bungkusnya. Pupuk II mengandung 1 satuan potassium, 5 satuan nitrogen, dan 2 satuan fosfor. Tentukan pertidaksamaan dari keadaan tersebut! Jawab:
Buku adalah jendela dunia
Page 20
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Ayo Cari Tahu PROYEK Rancanglah tiga buah masalah dalam kehidupan sehari-hari yang menerapkan konsep sistem pertidaksamaan linear, kemudian selesaikanlah! Buatlah laporan dan sajikan hasilnya di depan kelas!
Buku adalah jendela dunia
Page 21
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
B. SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT DUA VARIABEL Ayo Belajar Dan Aktivitas
1. Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel Pertidaksamaan
kuadrat
dua
variabel
adalah
pertidaksamaan yang memuat dua variabel dengan derajat tertinggi dua. Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dua pada dasarnya sama dengan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel. Pertidaksamaan kuadrat dua variabel 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑦 2 + 𝑐𝑥𝑦 + 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓 ≤ 0
atau
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑦 2 + 𝑐𝑥𝑦 + 𝑑𝑥 +
𝑒𝑦 + 𝑓 ≥ 0 dapat diselesaikan dengan langkah-langkah sebagai berikut. a. Buat kurva 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑦 2 + 𝑐𝑥𝑦 + 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓 = 0 b. Uji titik Ambil sembarang titik uji P(𝑥1 , 𝑦1 ) yang terletak di luar kurva 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑦 2 + 𝑐𝑥𝑦 + 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦+= 0 dan hitunglah nilai
𝑎𝑥12 + 𝑏𝑦12 + 𝑐𝑥1 𝑦1 + 𝑑𝑥1 + 𝑒𝑦1 + 𝑓,
Buku adalah jendela dunia
kemudian
Page 22
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
SMA/MA Kelas X
bandingkan nilai 𝑎𝑥12 + 𝑏𝑦12 + 𝑐𝑥1 𝑦1 + 𝑑𝑥1 + 𝑒𝑦1 + 𝑓 dengan 0. 1) Jika 𝑎𝑥12 + 𝑏𝑦12 + 𝑐𝑥1 𝑦1 + 𝑑𝑥1 + 𝑒𝑦1 + 𝑓 ≤ 0, bagian belahan bidang yang memuat titik P(𝑥1 , 𝑦1 ) ditetapkan sebagai
daerah
pertidaksamaan
himpunan
penyelesaian
dari
𝑎𝑥12 + 𝑏𝑦12 + 𝑐𝑥1 𝑦1 + 𝑑𝑥1 + 𝑒𝑦1 +
𝑓 ≤ 0. 2) Jika 𝑎𝑥12 + 𝑏𝑦12 + 𝑐𝑥1 𝑦1 + 𝑑𝑥1 + 𝑒𝑦1 + 𝑓 ≥ 0, bagian belahan bidang yang memuat titik P(𝑥1 , 𝑦1 ) ditetapkan sebagai
daerah
pertidaksamaan
himpunan
penyelesaian
dari
𝑎𝑥12 + 𝑏𝑦12 + 𝑐𝑥1 𝑦1 + 𝑑𝑥1 + 𝑒𝑦1 +
𝑓 ≥ 0. Ayo Pahami Masalah dan Alternatif Penyelesaian 1. Tentukan
daerah
himpunan
penyelesaian
dari
pertidaksamaan 𝑦 ≥ 𝑥 2 + 3𝑥 − 4! Alternatif Penyelesaian a. Menggambar grafik 𝑦 = 𝑥 2 + 3𝑥 − 4 1) 𝑦 = 𝑥 2 + 3𝑥 − 4 mempunyai nilai 𝑎 = 1 sehingga grafik terbuka ke atas. Buku adalah jendela dunia
Page 23
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
SMA/MA Kelas X
2) Menentukan titik potong grafik dengan sumbu 𝑋 → 𝑦=0 𝑥 2 + 3𝑥 − 4 = 0 ⇔ (𝑥 + 4)(𝑥 − 1) = 0 ⇔ 𝑥 = −4 atau 𝑥 = 1 Jadi, titik potong dengan sumbu X adalah (−4,0) dan (1,0). 3) Menentukan titik potong grafik dengan sumbu 𝑌 → 𝑥=0 𝑦 = 02 + 3(0) − 4 = −4 Jadi, titik potong dengan sumbu 𝑌 adalah (0, −4). 4) Menentukan koordinat titik puncak 𝑦 = 𝑥 2 + 3𝑥 − 4, 𝑎 = 1, 𝑏 = 3, 𝑐 = −4 𝑥= 𝑦=
−𝑏 2𝑎
−3
3
1
= 2(1) = − 2 = −1 2
−𝐷 4𝑎
=− =−
32 −4(1)(−4) 4(1) 9+16 4
=−
25 4
1
= −6 4 1
1
Jadi, koordinat titik puncaknya adalah (−1 2 , −6 4).
Buku adalah jendela dunia
Page 24
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
b. Uji titik Ambil titik uji P(0,0) diperoleh: 0 ≥ 02 + 3(0) − 4 ⇔ 0 ≥ −4 Jadi, daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan 𝑦 = 𝑥 2 + 3𝑥 − 4 adalah belahan bidang yang memuat titik P(0,0).
Buku adalah jendela dunia
Page 25
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Buku adalah jendela dunia
Page 26
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Ayo Berlatih UJI KOMPETENSI 2 Gambarlah grafik himpunan penyelesaiannya! 1. 𝑦 ≤ 𝑥 2 + 𝑥 − 6 Jawab:
2. 𝑦 > 𝑥 2 − 12𝑥 + 20 Jawab:
Buku adalah jendela dunia
Page 27
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
3. 2𝑥 2 − 11𝑥 − 𝑦 ≥ 12 Jawab:
4. 3𝑥 2 − 𝑥 + 𝑦 < 4 Jawab:
Buku adalah jendela dunia
Page 28
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Ayo Belajar Dan Aktivitas 2. Sistem Pertidaksamaan Linear-Kuadrat Sistem pertidaksamaan linear-kuadrat adalah sistem pertidaksamaan yang terbentuk dari dua atau lebih pertidaksamaan. Bentuk umum sistem pertidaksamaan linear-kuadrat adalah: 𝑦 ∗ 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑦 ∗ 𝑝𝑥 + 𝑞 dengan (*) adalah tanda pertidaksamaan. Ayo Pahami Contoh Soal dan Alternatif Penyelesaian Gambarlah
grafik
himpunan
penyelesaian
dari
sistem
pertidaksamaan linear-kuadrat berikut! 𝑦 ≤ −𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑦 ≤ −𝑥 + 2
Buku adalah jendela dunia
Page 29
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Alternatif Penyelesaian a. 𝑦 = −𝑥 2 + 𝑥 + 6 merupakan parabola dengan 𝑎 = −1, 𝑏 = 1,
dan
𝑐 = 6.
Daerah
penyelesaian
sistem
pertidaksamaannya sebagai berikut.
b. 𝑦 = −𝑥 + 2 merupakan garis lurus yang memotong sumbu 𝑋 di (2,0) dan memotong sumbu 𝑌 di (0,2).
Buku adalah jendela dunia
Page 30
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Grafik himpunan penyelesaiannya merupakan irisan dari grafik-grafik
himpunan
penyelesaian
pertidaksamaan-
pertidaksamaan yang membentuk sistem pertidaksamaan linear-kuadrat dua variabel tersebut.
𝑦 ≤ −𝑥 2 + 𝑥 + 6; 𝑦 ≤ −𝑥 + 2
Buku adalah jendela dunia
Page 31
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Ayo Berlatih
UJI KOMPETENSI 3 Gambarlah grafik himpunan penyelesaiannya! 1.
𝑦 ≤ 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 𝑦 ≥𝑥−4 Jawab:
2.
𝑦 ≥ −𝑥 2 + 4𝑥 + 5 𝑦 − 2𝑥 + 3 Jawab:
Buku adalah jendela dunia
Page 32
SMA/MA Kelas X
3.
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
𝑦 ≥ 𝑥 2 + 4𝑥 − 12 𝑦 ≤𝑥+5 Jawab:
4.
𝑦 ≥ −𝑥 2 − 2𝑥 + 3 𝑦 ≥𝑥+5 Jawab:
Buku adalah jendela dunia
Page 33
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Ayo Belajar Dan Aktivitas 3. Sistem Pertidaksamaan Kuadrat-Kuadrat Agar lebih mudah memahami tentang sistem pertidaksamaan kuadrat-kuadrat dua variabel, perhatikan masalah berikut! Ayo Pahami
Masalah dan Alternatif Penyelesaian Dio akan melemparkan bola dan menginginkan ketinggian bolanya paling tidak mencapai 8t-t2. Indra akan melempar bola 2 detik setelah Dio dan menginginkan ketinggian bolanya paling tidak mencapai 10t-t2 (t dalam detik). Pada detik keberapa bola Dio dan bola Indra akan berada pada ketinggian yang sama? Berapa ketinggiannya? Alternatif Penyelesaian Untuk menjawab masalah diatas dibuat model matematika terlebih dahulu, misalnya ℎ1 = Ketinggian bola Dio ℎ2 = Ketinggian bola Indra Buku adalah jendela dunia
Page 34
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Menentukan pertidaksamaan untuk ketinggian masing-asing bola. ℎ1 ≤ 8𝑡 − 𝑡2 Bola indra dilempar 2 detik setelah bola Dio,maka: ℎ2 ≤ 10(𝑡 − 2) − (𝑡 − 2)2 ↔ ℎ2 ≤ 10𝑡 − 20 − (𝑡2 – 4𝑡 + 4) ↔ ℎ2 ≤ 10𝑡 − 20 − 𝑡2 + 4𝑡 – 4 ↔ ℎ2 ≤ − 𝑡2 + 14𝑡 – 24 Ketinggian tidak boleh nol, maka ℎ1 ≥ 0 dan ℎ2 ≥ 0 Sistem pertidaksamaan yang menyatakan ketinggian dari kedua bola pada waktu (t) yang bersamaan adalah: {
ℎ₁ ≤ −𝑡 2 + 8𝑡 h₂ ≤ −t² + 4t − 24
Dengan ℎ1 ≥ 0 dan ℎ2 ≥ 0 Langkah selanjutnya adalah menggambar grafik ℎ1 = −𝑡2 + 8𝑡, kemudian menggambar grafik Buku adalah jendela dunia
Page 35
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
ℎ2 = −𝑡2 + 14𝑡 – 24 a.
Menggambar grafik ℎ1 = −𝑡2 + 8𝑡 ℎ1 = −𝑡2 + 8𝑡 merupakan parabola yang mempunyai nilai 𝑎 = −1 , 𝑏 = 8 dan 𝑐 = 0. 1) 𝑎 = −1 , maka parabola terbuka kebawah. 2) Titik potong dengan sumbu t. ℎ = 0 ↔ −𝑡2 + 8𝑡 = 0 ↔ 𝑡 (−𝑡 + 8) = 0 ↔ 𝑡 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑡 = 8. Jadi , titik potong grafik ℎ1 = −𝑡2 + 8 dengan sumu t adalah (0,0) dan (8,0). 𝑏
𝐷
3) Koordinat titik puncak (− 2𝑎 , − 4𝑎) = (4,16) 4) Uji titik untuk menentukan daerah pertidaksamaan. Ambil sembarang titik dibawah kurva, misalkan (1,0). Subtitusikan pada pertidaksamaan ℎ1 ≤ −𝑡2 + 8𝑡 diperoleh 0 < 7. Jadi daerah pertidaksamaan ℎ1 ≤ −𝑡2 + 8𝑡 berada dibawah kurva ℎ1 = −𝑡2 + 8𝑡. Karena ℎ1 ≥ 0 , maka diperoleh daerah penyelesaian seperti diatas.
Buku adalah jendela dunia
Page 36
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
b. Menggambar grafik ℎ2 = −𝑡2 + 14𝑡 – 24 ℎ2 = −𝑡2 + 14𝑡 – 24
merupakan
parabola
yang
mempunyai nilai 𝑎 = −1 , 𝑏 = 14 dan 𝑐 = −24. 𝑎 = −1, maka parabola terbuka ke bawah. Titik potong dengan sumbu t. ℎ = 0 ↔ − 𝑡2 + 14𝑡 – 24 = 0 ↔ 𝑡2 − 14𝑡 + 24 = 0 ↔ (𝑡 – 2) (𝑡 – 12) = 0 ↔ 𝑡 = 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑡 = 12. Buku adalah jendela dunia
Page 37
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Jadi, titik potong dengan sumbu t adalah (2,0) dan (12,0). 𝑏
𝐷
Koordinat titik puncak (− 2𝑎 , − 4𝑎) = (7,25) Uji titik untuk menentukan daerah pertidaksamaan. Ambil sembarang titik dibawah kurva, misalkan (5,0). Subtitusikan pada pertidaksamaan ℎ2 ≤ −𝑡2 + 14𝑡 – 24 diperoleh 0 < 21. Jadi, daerah pertidaksamaan
ℎ2 ≤ −𝑡2 + 14𝑡 – 24 berada dibawah
kurva ℎ2 = −𝑡2 + 14𝑡 – 24. Karena ℎ2 ≥ 0, maka diperoleh daerah penyelesaian seperti dibawah.
Buku adalah jendela dunia
Page 38
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Langkah selanjutnya adalah menggabungkan kedua kuadrat grafik dalam satu sistem koordinat cartesius seperti gambar dibawah. Diperoleh
daerah
himpunan
penyelesaian
dari
sistem
pertidaksamaan tersebut yang merupakan irisan dari masingmasing daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat yang membentuknya.
Buku adalah jendela dunia
Page 39
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Buku adalah jendela dunia
Page 40
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
SMA/MA Kelas X
Ayo Lakukan Coba Sendiri Andi bermain katapel dan menginginkan ketinggian bidikannya paling tidak mencapai −𝑡 2 + 6𝑡 − 8. Dani juga bermain katapel dan menginginkan ketinggian bidikannya paling tidak mencapai −𝑡 2 + 9𝑡 − 18 (𝑡 dalam detik). Pada detik keberapa bidikan katapel Andi dan Dani akan brada pada ketinggian yang sama? Jawab:
Sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel adalah sistem pertidaksamaan
yang
terbentuk
dari
dua
atau
lebih
pertidaksamaan kuadrat dua variabel dengan variabel-variabel yang sama, misalnya: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 𝑦 ≥ 𝑥2 + 𝑥 − 2 Daerah atau grafik himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel merupakan irisan dari
Buku adalah jendela dunia
Page 41
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
SMA/MA Kelas X
masing-masing daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat yang membentuknya. Ayo Pahami
Contoh Soal dan Alternatif Penyelesaian Gambarlah
grafik
himpunan
penyelesaian
dari
sistem
pertidaksamaan kuadrat dua variabel berikut! 𝑦 ≥ 𝑥 2 + 𝑥 − 12 𝑦 ≤ −𝑥 2 + 4𝑥 + 12 Alternatif Penyelesaian Pertama
digambarkan
penyelesaian
dari
masing-masing
grafik
himpunan
pertidaksamaan-pertidaksamaan
yang
membentuk sistem pertidaksamaan tersebut. a. 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑥 − 12 merupakan parabola dengan 𝑎 = −1, 𝑏 = 1,
dan
𝑐 = −12.
Daerah
penyelesaian
sistem
pertidaksamaannya sebagai berikut.
Buku adalah jendela dunia
Page 42
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
𝑦 = 𝑥 2 + 𝑥 − 12 b. 𝑦 = −𝑥 2 + 4𝑥 + 12 merupakan parabola dengan 𝑎 = −1, 𝑏 = 4, dan 𝑐 = 12. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaannya sebagai berikut.
Buku adalah jendela dunia
Page 43
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Grafik himpunan penyelesaiannya merupakan irisan dari grfaik-grafik
himpunan
penyelesaian
pertidaksamaan-
pertidaksamaan yang membentuk sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel tersebut.
𝑦 ≥ 𝑥 2 + 𝑥 − 12, 𝑦 ≤ −𝑥 2 + 4𝑥 + 12
Buku adalah jendela dunia
Page 44
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Ayo Berlatih UJI KOMPETENSI 4 Gambralah grafik himpunan penyelesaiannya! 1.
𝑦 ≥ 𝑥 2 − 2𝑥 − 15 𝑦 ≥ 𝑥 2 + 𝑥 − 20 Jawab:
2.
𝑦 ≥ 𝑥 2 − 4𝑥 − 12 𝑦 ≤ 𝑥 2 − 𝑥 − 20 Jawab:
Buku adalah jendela dunia
Page 45
SMA/MA Kelas X
3.
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
𝑦 ≤ 𝑥 2 − 8𝑥 + 15 𝑦 ≤ −𝑥 2 + 4𝑥 + 12 Jawab:
4.
𝑦 ≤ 𝑥 2 + 3𝑥 − 10 𝑦 ≥ 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 Jawab:
Buku adalah jendela dunia
Page 46
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Ayo Berlatih Berpikir Lebih Tinggi Gambarlah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut! 𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑦 + 5 ≤ 0 𝑥 2 + 𝑦 2 − 16 ≤ 0 Jawab :
Buku adalah jendela dunia
Page 47
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL
Ayo Cari Tahu PROYEK Rancanglah
masalah
dalam
bidang
transportasi
yang
menerapkan konsep sistem pertidaksamaan kuadrat, kemudian tentukan daerah penyelesaiannya! Buatlah laporan dan sajikan di depan kelas!
Buku adalah jendela dunia
Page 48
SMA/MA Kelas X
SISTEM PERTIDAKSAMAAN DUA VARIABEL DAFTAR PUSTAKA
Sharma, S.N. 2013. Jelajah Matematika 1a SMA Kelas X (Edisi Pertama). Jakarta: Yudhistira. Sukino. 2007. Matematika untuk Kelas X Jilid 1A. Jakarta: Erlangga. Tampomas, Husein. 2002. SeribuPena Matematika SMA Jilid 1. Jakarta: Erlangga. Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika untuk Kelas X Jilid 1. Jakarta: Erlangga.
Buku adalah jendela dunia
Page 49
