Kelompok 4 - Analisis Real - Subbarisan Bab 3.4 [PDF]

Citation preview

Kelompok 4 Analisis Real Nama anggota: 1. Beriel Ilham (1904131) 2. Derry Romeo (1906080) 3. Rifqy Sayidi Raspati (1900360) 4. Rivani Adistia Dewi (1900140) 5. Rizal Padhilah (1900826) 6. Salman Al Ghifary S. (1901343)



3.4.1 Definisi Misal 𝑋 = (𝑥𝑛 ) adalah barisan bilangan real dan misal 𝑛1 < 𝑛2 < ⋯ < 𝑛𝑘 < ⋯ adalah barisan naik dari bilangan asli. Maka barisan 𝑋 ′ = (𝑥𝑛𝑘 ) yang ditulis (𝑥𝑛1 , 𝑥𝑛2 , … , 𝑥𝑛𝑘 , … ) adalah sebuah subbarisan dari 𝑋.



1 1 1



Misal 𝑋 ≔ (1 , 2 , 3 , … ), maka bilangan yang ber-indeks genap menghasilkan subbarisan 1 1 1 1 𝑋′ = ( , , , … , ) 2 4 6 2𝑘 dimana 𝑛1 = 2, 𝑛2 = 4, … , 𝑛𝑘 = 2𝑘, …. 1



Beberapa contoh subbarisan lain yang dapat diperoleh dari barisan 𝑋 = (𝑛) tersebut adalah 1 1 1 1 1 1 1 1 𝑋′ = ( , , , … , ,…),( , , ,…, ,…) 1 3 5 2𝑘 − 1 2! 4! 6! 2𝑘! 1



Barisan-barisan berikut adalah yang bukan subbarisan dari 𝑋 = (𝑛) 1 1 1 1 1 1 1 𝑋 ′ = ( , , , , … ) , ( , 0, , 0, , … ) 2 1 4 3 1 3 5 Sebuah ekor barisan adalah tipe unik dari subbarisan. Faktanya, ekor-m bersesuaian dengan indeks barisan, yaitu 𝑛1 = 𝑚 + 1, 𝑛2 = 𝑚 + 2, … , 𝑛𝑘 = 𝑚 + 𝑘



1



3.4.2 Teorema Jika barisan bilangan real 𝑋 = (𝑥n) konvergen ke suatu bilangan real 𝑥, maka sembarang sub barisan dari 𝑋 konvergen ke 𝑥. Bukti: Diberikan 𝜀 > 0 dan ambil K(𝜀) sedemikian sehingga jika n≥ K(𝜀), sehingga |𝑥𝑛 − 𝑥|< 𝜀. Karena n1 < n2 < n3 < ......< nk k. Oleh karena itu, jika k≥ K(𝜀) kita juga memiliki nk≥ k≥ K(𝜀) sehingga |𝑥𝑛 − 𝑥|< 𝜀. Oleh karena itu sub-barisan (xn) juga konvergen ke x.



3.4.3. Contoh (a) lim(𝑏 𝑛 ) = 0 jika 0 < 𝑏 < 1 JAWAB : Kita telah melihat, pada Contoh 3.1.11 (c), bahwa bila 0 < b < 1 dan bila xn = bn, maka dari Ketaksamaan Bernoulli diperoleh bahwa lim(xn) = 0. Cara lain, kita melihat bahwa karena 0 < b < 1, maka xn+1 = bn+1 < bn = xn dengan demikian (xn) adalah barisan turun. Jelas juga bahwa 0



xn



1, sehingga menurut Teorema Kon-



vergensi Monoton 3.3.2 barisan tersebut konvergen. Misalkan x = lim (xn). Karena (x2n) subbarisan dari (xn) menururt Teorema 3.4.2 maka x = lim (x2n). Di lain pihak, karena x2n = b2n = (bn)2 = (xn)2, menurut Teorema 3.2.3 diperoleh x = lim (x2n) = [lim (xn)]2 = x2 Oleh karena itu kita mesti mempunyai x = 0 atau x = 1. Karena (xn) barisan turun dan terbatas di atas oleh 1, maka haruslah x = 0. 1



(b) lim (𝑐 2 ) = 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑐 > 1 JAWAB : Limit ini telah diperoleh dalam contoh 3.1.11 (d) untuk c > 0, dengan pemikiran argumen yang banyak diakal-akali. Di sini kita melihat pendekatan lain untuk kasus c > 1. Perhatikan bahwa jika zn = c1/n, maka zn > 1 dan zn+1 < zn untuk semua n N. 2



Jadi dengan menggunakan Teorema Konvergensi Monoton, z = lim (Zn) ada. Menurut teorema 3.4.2, berlaku z = lim (Z2n). Di lain pihak, karena 1



1 1



1



𝑧2𝑛 = 𝑐 2 = (𝑐 2 )2 = 𝑧𝑛 2 dan Teorema 3.2.10,maka 1



1



𝑧 = lim (𝑧2𝑛 ) = (lim (𝑧𝑛 ))2 = 𝑧 2 Karena itu z2 = z yang menghasilkan z = 0 atau z = 1. Karena zn > 1 untuk semua n∈N, maka haruslah z = 1. Untuk kasus 0 < c < 1, kita tinggalkan sebagai latihan. Kegunaan subbarisan membuatnya mudah untuk menyajikan uji divergensi suatu baris.



3.4.4 Teorema Misalkan 𝑋 = (𝑥𝑛 ) suatu barisan bilangan real. Pernyataan berikut ekuivalen: (i) Barisan 𝑋 = (𝑥𝑛 ) tidak konvergen ke 𝑥 ∈ ℝ. (ii) Terdapat suatu 𝜀0 > 0 sehingga untuk sebarang 𝑘 ∈ ℕ terdapat 𝑛𝑘 ∈ ℕ sehingga 𝑛𝑘 ≥ 𝑘 dan |𝑥𝑛𝑘 − 𝑥| ≥ 𝜀0 . (iii) Terdapat suatu 𝜀0 > 0 dan sub barisan 𝑋′ = (𝑥𝑛𝑘 ) dari 𝑋 sehingga |𝑥𝑛𝑘 − 𝑥| ≥ 𝜀0 untuk setiap 𝑘 ∈ ℕ. Bukti: (i) ⇒ (ii) Jika (𝑥𝑛 ) tidak konvergen ke 𝑥 maka untuk suatu 𝜀0 > 0 tidak mungkin untuk ditemukan 𝑘 ∈ ℕ sedemikian sehingga untuk setiap 𝑛 ≥ 𝑘, 𝑥𝑛 memenuhi |𝑥𝑛 − 𝑥| < 𝜀0 . Dengan kata lain, untuk setiap 𝑘 ∈ ℕ terdapat bilangan asli 𝑛𝑘 ≥ 𝑘 sedemikian sehingga |𝑥𝑛𝑘 − 𝑥| ≥ 𝜀0 . (ii) ⇒ (iii) Ambil 𝜀0 yang memenuhi sifat (ii) dan ambil 𝑛1 ∈ ℕ sehingga 𝑛1 ≥ 1 dan |𝑥𝑛1 − 𝑥| ≥ 𝜀0 . Selanjutnya ambil 𝑛2 ∈ ℕ sehingga 𝑛2 > 𝑛1 dan |𝑥𝑛2 − 𝑥| ≥ 𝜀0 kemudian ambil 𝑛3 ∈ ℕ sehingga 𝑛3 > 𝑛2 dan |𝑥𝑛3 − 𝑥| ≥ 𝜀0 dan seterusnya, maka akan diperoleh sub barisan 𝑋′ = (𝑥𝑛𝑘 ) dari 𝑋 sedemikian hingga |𝑥𝑛𝑘 − 𝑥| ≥ 𝜀0 .



3



(iii) ⇒ (i) Asumsikan 𝑋 = (𝑥𝑛 ) mempunyai sub barisan 𝑋′ = (𝑥𝑛𝑘 ) yang memenuhi sifat (iii). Maka 𝑋 tidak konvergen ke 𝑥, karena jika 𝑋 konvergen ke 𝑥 maka berdasar Teorema 3.4.2 sub barisan 𝑋′ juga akan konvergen ke 𝑥. Hal ini tidak mungkin, sebab 𝑋′ = (𝑥𝑛𝑘 ) tidak berada pada persekitaran-𝜀0 𝑥.



3.4.5 Kriteria Divergensi Jika barisan 𝑋 = (𝑥𝑛 ) suatu barisan bilangan real yang memenuhi salah satu sifat berikut, maka X divergen (i)



X memiliki 2 subbarisan konvergen yaitu 𝑋′ = (𝑥𝑛𝑘 ) dan 𝑋′′ = (𝑥𝑟𝑘 ) yang limitnya tidak sama



(ii)



X tidak terbatas



3.4.6 Contoh (a) Barisan 𝑋 := ((−1)𝑛 ) divergen. Andaikan 𝑋 := ((−1)𝑛 ) konvergen ke x, maka berdasarka teorema subbarisannya juga konvergen ke x. Subbarisan 𝑋′ := ((−1)2𝑛 ) = (1, 1, … ) konnvergen ke 1. Subbarisan 𝑋′ := ((−1)2𝑛−1 ) = (−1, − 1, … ) konvergen ke −1. Karena nilai-nilai limit dari subbarisannya tidak sama, maka berdasarkan teorema 3.4.5(i) barisan 𝑋 := ((−1)𝑛 ) divergen.



1



1



(b) Barisan (1, 2 , 3, 4 , … ) divergen. Misal barisan 𝑌 := (𝑦𝑛 ), dimana terdapat 𝑦𝑛 = 𝑛 jika 𝑛 ganjil dan 𝑦𝑛 = Dapat dilihat bahwa 𝑌 tidak terbatas. 1



1



Berdasarkan teorema 3.4.5(i) barisan (1, 2 , 3, 4 , … ) divergen.



4



1 𝑛



jika n genap.



(c) Barisan 𝑆 := (sin 𝑛) divergen. Akan ditunjukkan barisan 𝑆 divergen dengan menemukan subbarisan dari 𝑆 yang mempunyai nilai limit berbeda atau tidak mempunyai limit. Untuk 𝑥 ∈ Ι1 =



𝜋 5𝜋 6



,



6



1



maka sin 𝑥 > 2. Karena Panjang Ι1 =



𝜋 5𝜋 6



,



6



𝜋



−6=



4𝜋 6



=



2𝜋 6



> 2,



maka pada interval tersebut terdapaat paling sedikit 2 bilangan asli, sehingga tetapkan 𝑛1 merupakan bilangan asli yang pertama. 1



𝜋



Untuk setiap 𝑘 ∈ Ν dengan sin 𝑥 > 2, untuk 𝑥 ∈ Ι𝑘 , Ι𝑘 = (6 + 2𝜋(𝑘 − 1),



5𝜋 6



+ 2𝜋(𝑘 −



1)). Karena panjang Ι𝑘 lebih besar dari 2, maka terdapat paling sedikit dua bilangan asli yang terletak pada interval tersebut, tetapkan n𝑘 sebagai salah satu titik itu. Dengan demikian terdapat subbarisan barisan 𝑆′ := (sin n𝑘 ) dari 𝑆 yang semua nilainya terletak pada 1



interval [2 , 1]. 7𝜋



Hal yang sama jika 𝑘 ∈ Ν dan interval J𝑘 = ( 6 + 2𝜋(𝑘 − 1),



11𝜋 6



+ 2𝜋(𝑘 − 1)). Untuk



1



semua 𝑥 ∈ J𝑘 maka nilai sin 𝑥 < 2, dan panjang J𝑘 > 2. Ambil m𝑘 sebagai bilangan asli pertama yang terletak pada interval J𝑘 . Maka akan terdapat subbarisan 𝑆′′:= (sin m𝑘 ) dari S 1



yang semua nilainya terletakn pada interval [−1, − 2]. Ambil sembarang 𝑐 ∈ 𝑅, maka paling sedikit satu diantara dua subbarisan 𝑆′ dan 𝑆′′ akan 1



terletak di luar persekitaran 2 dari 𝑐. Oleh karena itu 𝑐 bukan titik limit dari 𝑆. Karena 𝑐 ∈ 𝑅 adalah sembarang bilangan, maka dapat disimpulkan bahwa barisan 𝑆 ∶= (sin 𝑛) divergen.



3.4.7 Teorema Subbarisan Monoton Jika 𝑋 = (𝑥𝑛 ) suatu barisan bilangan real maka terdapat sub barisan dari 𝑋 yang monoton. Bukti: Untuk membuktikan teorema ini, kita sepakati bahwa suku ke m dari 𝑋 yaitu 𝑥𝑚 adalah “puncak” jika 𝑥𝑚 ≥ 𝑥𝑛 ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∋ 𝑛 ≥ 𝑚. (Artinya 𝑥𝑚 selalu lebih besar nilainya dari semua suku yang mengikutinya. 5



Akan dibagi dua kasus yaitu 𝑋 mempunyai tak hingga banyak puncak dan 𝑋 mempunyai berhingga banyak puncak. (1) 𝑋 mempunyai tak hingga banyak puncak. Dalam kasus ini, kita akan menuliskan semua puncak yang naik berurutan yaitu 𝑥𝑚1 , 𝑥𝑚2 , . . . , 𝑥𝑚𝑘 , . . .. Karena setiap suku adalah puncak, maka: 𝑥𝑚1 ≥ 𝑥𝑚2 ≥ ⋯ ≥ 𝑥𝑚𝑘 ≥ ⋯. Oleh karena itu, sub barisan (𝑥𝑚𝑘 ) dari puncak-puncak tersebut adalah sub barisan yang menurun dari 𝑋. (2) 𝑋 mempunyai berhingga banyak puncak (bisa juga 0). Kita misalkan puncak-puncak tersebut adalah: 𝑥𝑚1 , 𝑥𝑚2 , . . . , 𝑥𝑚𝑟 . Misalkan 𝑠1 = 𝑚𝑟 + 1 menjadi indeks pertama dari puncak terakhir. Karena 𝑥𝑠1 bukan puncak, ∀ 𝑠2 > 𝑠1 ∋ 𝑥𝑠1 < 𝑥𝑠2 . 𝑥𝑠2 bukan puncak, ∀ 𝑠3 > 𝑠2 ∋ 𝑥𝑠2 < 𝑥𝑠3 . Dengan melanjutkan proses di atas, maka akan diperoleh sub barisan (𝑥𝑠𝑘 ) dari 𝑋 dengan 𝑥𝑠1 ≤ 𝑥𝑠2 ≤ ⋯ ≤ 𝑥𝑠𝑘 ≤ ⋯ ; merupakan sub barisan yang menaik.



3.4.8 Teorema Bolzano-Wierstrass Barisan bilangan real terbatas mempunyai subbarisan (barisan bagian) yang konvergen. Pembuktian pertama. Berdasarkan teorema subbarisan monoton jika terdapat 𝑋 = (𝑥𝑛 ) merupakan barisan terbatas, maka terdapat subbarisan 𝑋′ = (𝑥𝑛𝑘 ) yang monoton. Karena subbarisan juga terbatas, maka berdasarkan teorema konvergensi monton 3.3.2, subbarisan konvergen. Pembuktian kedua. Karena 𝑋 = (𝑥𝑛 ) merupakan barisan terbatas, maka himpunan dari suku-suku barisan X, yaitu {𝑥𝑛 | 𝑛 ∈ ℕ} juga terbatas. Andaikan {𝑥𝑛 | 𝑛 ∈ ℕ} termuat dalam interval Ι1 = [𝑎, 𝑏]. Ambil 𝑛1 = 1. 1. Bagi Ι1 ke dalam 2 subinterval, yaitu Ι1 ′ dan Ι1 ′′.



6



Bagi {𝑛 ∈ ℕ| 𝑛 > n1 } ke dalam 2 bagian, yaitu: A1 = {𝑛 ∈ ℕ| 𝑛 > n1 , x𝑛 ∈ Ι1 ′ } dan B1 = {𝑛 ∈ ℕ| 𝑛 > n1 , x𝑛 ∈ Ι1 ′′ }. Jika A1 tak hingga, maka pilih Ι2 = Ι1′ dan n2 merupakan bilangan asli terkecil dalam A1. Jika A1 terhingga berarti tak terthingga, maka pilih Ι2 = Ι1′′ dan n2 merupakan bilangan asli terkecil dalam B1. 2. Bagi Ι2 ke dalam 2 subinterval, yaitu Ι2 ′ dan Ι2 ′′. Bagi {𝑛 ∈ ℕ| 𝑛 > n2 } ke dalam 2 bagian, yaitu: A2 = {𝑛 ∈ ℕ| 𝑛 > n2 , x𝑛 ∈ Ι2 ′ } dan B2 = {𝑛 ∈ ℕ| 𝑛 > n2 , x𝑛 ∈ Ι2 ′′ }. Jika A2 tak hingga, maka pilih Ι3 = Ι2′ dan n2 merupakan bilangan asli terkecil dalam A2. Jika A2 terhingga berarti tak terthingga, maka pilih Ι3 = Ι2′′ dan n2 merupakan bilangan asli terkecil dalam B2 . Apabila proses diatas dilanjutkan maka akan diperoleh interval bersarang 𝐼1 ⊇ 𝐼2 ⊇ … ⊇ 𝐼𝑘 ⊇ ⋯ dan subbarisan (𝑥𝑛𝑘 ) dari 𝑋 dimana 𝑥𝑛𝑘 ∈ 𝐼𝑘 ∀ 𝑘 ∈ ℕ. Karena panjang 𝐼𝑘 =



(𝑏−𝑎) 2𝑘−1



, maka terdapat satu titik persekutuan, yaitu: 𝜉 ∈ 𝐼 𝑘 ∀ 𝑘 ∈ ℕ.



𝑥𝑛𝑘 dan 𝜉 terletak pada 𝐼𝑘 , sehingga diperoleh |𝑥𝑛𝑘 − 𝜉| ≤ Karena nilai



(𝑏−𝑎) 2𝑘−1



cukup kecil, maka tetapkan:



(𝑏−𝑎) 2𝑘−1



(𝑏−𝑎) 2𝑘−1



.



= 𝜀. Akibatnya |𝑥𝑛𝑘 − 𝜉| ≤ 𝜀. Dapat



disimpulkan bahwa (𝑥𝑛𝑘 ) konvergen ke 𝜉. Dari teorema tersebut tampak bahwa suatu barisan terbatas dapat mempunyai sub barisan konvergen ke suatu nilai limit yang berbeda. Contoh: Barisan 𝑋 := ((−1)𝑛 ) mempunyai sub barisan yang konvergen 1 dan sub barisan yang konvergen ke −1, dan memiliki sub barisan yang divergen. Jika 𝑋 adalah barisan bilangan real dan 𝑋′ merupakan sub barisan dari X, maka 𝑋′ merupakan barisan bilangan real. 𝑋′ mempunyai sub barisan 𝑋′′ yang juga merupakan barisan dari 𝑋.



7



3.4.9 Toerema 𝑋 merupakan barisan bilangan real yang terbatas, dan 𝑥 ∈ 𝑅 memenuhi sifat setiap sub barisan dari 𝑋 konvergen ke 𝑥, maka barisan 𝑋 konvergen ke 𝑥.



Bukti : Anggap M > 0 merupakan batas dari X, maka|𝑥𝑛| ≤ 𝑀 , ∀ n ∈ N Andaikan X tidak konvergen ke x, maka menurut Teorema 3.4.4 ∃ε0 > 0 dan sub barisan X′ = (𝑥nk) dari X sedemikian hingga |𝑥𝑛𝑘 − 𝑥| ≥ 𝜀 0 , ∀ k ∈ ℕ. Karena 𝑋′ sub barisan dari 𝑋, maka M juga merupakan batas dari 𝑋′. Dengan menggunakan teorema maka dapat disimpulkan bahwa 𝑋′ juga mempunyai sub barisan yang konvergen. Misalkan X′′ merupakan sub barisan dari 𝑋′. 𝑋′′ merupakan sub barisan dari 𝑋′, sedangkan X′ sub barisan dari X, maka 𝑋′ mempunyai sub-barisan konvergen dari 𝑋’’. Jadi, menurut hipotesis dapat disimpulkan bahwa X′′ konvergen ke x. Dengan kata lain pada akhirnya sukusuku pada barisan X′′ terletak pada persekitaran-𝜀 0 dari x. Hal tersebut kontradiksi dengan |𝑥𝑛𝑘 − 𝑥| ≥ 𝜀 0 , ∀ 𝑘 ∈ ℕ. Akibatnya, X konvergen ke x.



Limit Superior dan Limit Inferior 3.4.10 Definition Misalkan 𝑋 = (𝑥𝑛 ) adalah sebuah barisan yang terbatas dari bilangan real. (a) Limit Superior dari (𝑥𝑛 ) adalah infimum dari himpunan V untuk 𝑣 ∈ 𝑅 sedemikian sehingga 𝑣 < 𝑥𝑛 untuk dikebanyakan bilangan terbatas 𝑛 ∈ 𝑁. Ini dilambangkan dengan : ̅̅̅̅ (𝑥𝑛 ) lim sup(𝑥𝑛 ) atau lim 𝑠𝑢𝑝 𝑋 atau lim (b) Limit Inferior dari (𝑥𝑛 ) adalah supremum dari himpunan 𝑤 ∈ 𝑅 sedemikian sehingga 𝑥𝑚 < 𝑤, untuk dikebanyakan bilangan terbatas 𝑚 ∈ 𝑁. Ini dilambangkan dengan : lim inf(𝑥𝑛 ) atau lim 𝑖𝑛𝑓 𝑋 atau lim (𝑥𝑛 ) Untuk konsep limit superior , tunjukan bahwa pendekatan yang berbeda adalah sama. 8



3.4.11 Teorema Jika (𝑥𝑛 ) adalah barisan bilangan real terbatas, maka pernyataan-pernyataan berikut untuk bilangan real 𝑥 ∗ ekuivalen (a) 𝑥 ∗ = lim sup(𝑥𝑛 ) (b) Jika 𝜀 > 0, terdapat banyak bilangan terbatas dari 𝑛 ∈ ℕ sehingga 𝑥 ∗ + 𝜀 < 𝑥𝑛 , tetapi sebuah bilangn tak terbatas dari 𝑛 ∈ ℕ sehingga 𝑥 ∗ − 𝜀 < 𝑥𝑛 (c) Jika 𝑢𝑚 = sup{𝑥𝑛 |𝑛 ≥ 𝑚}, maka 𝑥 ∗ = inf{𝑢𝑚 |𝑚 ∈ ℕ} = lim (𝑢𝑚 ) (d) Jika S adalah himpunan limit subbarisan (𝑥𝑛 ), maka 𝑥 ∗ = sup 𝑆 Bukti: (𝑎) ⇒ (𝑏) Jika 𝜀 > 0, maka fakta bahwa 𝑥 ∗ adalah infimum menyebabkan terdapat v pada V sehingga 𝑥 ∗ ≤ 𝑣 < 𝑥 ∗ + 𝜀. Oleh karena itu, 𝑥 ∗ anggota V, jadi terdapat banyak bilangan terbatas dari 𝑛 ∈ ℕ sehingga 𝑥 ∗ + 𝜀 ≤ 𝑥𝑛 . Di sisi lain, 𝑥 ∗ − 𝜀 bukan anggota V, jadi terdapat sebuah bilangan tak terbatas dari 𝑛 ∈ ℕ sehingga 𝑥 ∗ − 𝜀 < 𝑥𝑛 (𝑏) ⇒ (𝑐) Jika 𝜀 > 0, maka untuk setiap m kita punya 𝑢𝑚 < 𝑥 + 𝜀. Oleh karena itu, inf{𝑢𝑚 |𝑚 ∈ ℕ} ≤ 𝑥 ∗ + 𝜀. Karena ada bilangan tak terbatas dari 𝑛 ∈ ℕ sehingga 𝑥 ∗ − 𝜀 < 𝑥𝑛 , maka 𝑥 ∗ − 𝜀 < 𝑢𝑚 untuk setiap 𝑚 ∈ ℕ dan karena itu 𝑥 ∗ − 𝜀 ≤ 𝑖𝑛𝑓{𝑢𝑚 |𝑚 ∈ ℕ}. Karena 𝜀 > 0 tidak ditentukan, dapat disimpulkan bahwa 𝑥 ∗ = inf{𝑢𝑚 |𝑚 ∈ ℕ}. Selain itu, karena barisan 𝑢𝑚 monoton turun, kita punya inf(𝑢𝑚 ) = lim (𝑢𝑚 ) (𝑐) ⇒ (𝑑) Andaikan X′ = (𝑥nk) adalah subbarisan konvergen dari X = (𝑥n). Karena 𝑛𝑘 ≥ 𝑘, kita punya 𝑥𝑛𝑘 < 𝑢𝑘 dan karena itu lim X’ ≤ 𝑢𝑘 = 𝑥 ∗ . Sebaliknya, terdapat 𝑛1 sehingga 𝑢1 − 1 ≤ 𝑥𝑛1 ≤ 𝑢1 . Secara induktif pilih 𝑛𝑘+1 > 𝑛𝑘 sehingga 𝑢𝑘 −



1 < 𝑥𝑛𝑘+1 ≤ 𝑢𝑘 𝑘+1



Karena lim (𝑢𝑘 ) = 𝑥 ∗ , maka 𝑥 ∗ = lim (𝑥𝑛𝑘 ), dan 𝑥 ∗ ∈ 𝑆 (𝑑) ⇒ (𝑎) Misalkan w=sup S. Jika 𝜀 > 0, maka ada banyak bilangan terbatas n dengan 𝑤 + 𝜀 < 𝑥𝑛 . Oleh karena itu 𝑤 + 𝜀 terdapat pada V dan lim sup (𝑥𝑛 ) ≤ 𝑤 + 𝜀. Di sisi lain, terdapat subbarisan (𝑥𝑛 ) yang konvergen ke bilangan yang lebih besar dari 𝑤 − 𝜀, jadi 𝑤 − 𝜀 tidak termuat dalam V, dan karena itu 𝑤 − 𝜀 ≤ lim sup(𝑥𝑛 ). Karena 𝜀 > 0 tidak ditentukan, dapat disimpulkan bahwa w = lim sup(𝑥𝑛 ).



9



3.4.12 Teorema Sebuah barisan terbatas (𝑥𝑛 ) adalah konvergen jika dan hanya jika lim(sup(𝑥𝑛 )) = lim (inf(𝑥𝑛 ))



Bukti. 𝑋 = (𝑥𝑛 ) terbatas, maka menurut Teorema Kelengkapan, terdapat supremum dan infimum. Misal 𝑦𝑛 = sup(𝑥𝑛 ) dan 𝑧𝑛 = inf (𝑥𝑛 ), maka dapat ditulis 𝑧𝑛 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝑦𝑛 ... (1) 𝑋 = (𝑥𝑛 ) konvergen, misal konvergen ke 𝑥, maka untuk setiap 𝜖 > 0, terdapat 𝑁 ∈ ℕ sedemikian sehingga 𝑥 − 𝜀 < 𝑥𝑛 < 𝑥 + 𝜀 untuk setiap 𝑛 > 𝑁 ...(2) Dari (1) dan (2) diperoleh 𝑥 − 𝜀 ≤ 𝑧𝑛 ≤ 𝑦𝑛 ≤ 𝑥 + 𝜀



untuk setiap 𝑛 > 𝑁



Diperoleh lim(𝑧𝑛 ) = lim(𝑦𝑛 ) = 𝑥 atau lim(inf (𝑥𝑛 )) = lim(sup (𝑥𝑛 )) = 𝑥.



10