Kelompok 8 MSB Transformasi Laplace Invers [PDF]

Citation preview

Transformasi Laplace Invers



A. Definisi Jika transformasi Laplace suatu fungsi F(t) adalah f(s), yaitu jika L{F (t )}  f ( s) maka F(t) disebut suatu transformasi Laplace Invers dari f(s). Secara simbolis ditulis :



F (t )  L1{ f ( s)}



L1 disebut operator transformasi Laplace invers. Contoh. 1  1  1 2t 2t 1. Karena L    e maka L e   s2 s  2











s  s  1 2. Karena L  2   cos t 3e maka L cos t 3  2 s 3  s  3



1  sinh at   1  sinh at 3. Karena L  2 maka L1    2 2  2 a s  a   a  s a



Ketunggalan Transformasi Laplace Invers Misal N(t) adalah suatu fungsi dan L{N(t)} = 0 maka L{F(t)+N(t)} = L{F(t)} Dengan demikian dapat diperoleh dua fungsi yang berbeda dengan transformasi Laplace yang sama. Contoh



0 untuk t  1 F1 (t )  e 3t dan F2 (t )   3t e untuk t  1 Mengakibatkan L1{F1 (t )}  L1{F2 (t )} 



1 s3



Jika kita menghitung fungsi-fungsi nol, maka terlihat bahwa transformasi Laplace invers tidak tunggal. Akan tetapi apabila kita tidak dapat memperhitungkan fungsi-fungsi nol (yang tidak muncul dalam kasus-kasus fisika) maka ia adalah tunggal. Hasilnya dinyatakan oleh teorema berikut. Teorema Lerch Jika membatasi diri pada fungi-fungsi F(t) yang kontinu secara sebagian-sebagaian dalam setiap selang berhingga 0  t  N dan eksponensial berorde untuk t > N, maka inversi transformasi laplace dari f(s) yaitu L1  f (s)  F (t ) , adalah tunggal. Jika tidak ada pernyataan lainnya, maka kita selalu menganggap ketunggalan di atas.



Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace invers beberapa fungsi sederhana dibawah ini. Nomor



f(s)



L1{ f ( s)}  F (t )



1.



1 s



1



2.



1 s2



t



3.



1 s



tn n!



, n  0,1,2,3,... n 1



4.



1 sa



5.



1 s  a2



e at



sin at a



2



s s  a2



cos at



1 s  a2



sinh at a



s s  a2



cosh at



s2  a2 (s 2  a 2 ) 2



t cos at



(𝑛 − 1)! (𝑠 − 𝑎)𝑛 𝑎 (𝑠 − 𝑏)2 + 𝑎2



𝑡 𝑛−1 𝑒 𝑏𝑡 (𝑛 = 1,2, … )



11.



𝑠−𝑏 (𝑠 − 𝑏)2 + 𝑎2



𝑒 𝑏𝑡 cos 𝑎𝑥



12.



2𝑎3 (𝑠 2 + 𝑎2 )2



𝑒 𝑏𝑡 sin 𝑎𝑡 − 𝑎𝑡 cos 𝑎𝑡



6.



2



7.



2



8.



2



9.



10.



𝑒 𝑏𝑡 sin 𝑎𝑡



B. Sifat-sifat transformasi Laplace Invers Beberapa sifat penting dari transformasi Laplace invers adalah: 1) Sifat Linear



Misal c1 dan c2 adalah sebarang bilangan konstanta, sedangkan f1 ( s) dan f 2 ( s) berturutturut adalah transformasi Laplace dari F1 (t ) dan F2 (t ) , maka:



L1{c1 f1 (t )  c2 f 2 (t )}  L1{c1 f1 (t )}  L1{c2 f 2 (t )}



 L1{c1 f1 (t )}  L1{c2 f 2 (t )}  c1 L1{ f1 (t )}  c2 L1{ f 2 (t )}



 c1 F1 (s)  c2 F2 (s) Contoh  3s  12   1  12  1  3s L1  2 L  2 L  2   s 9  s  9 s  9



1   s  1   3L1  2   12 L  2  s  9 s  9



 3 cos 3t  12



sin 3t 3



2) Sifat translasi atau pergeseran pertama Jika L1{ f ( s)}  F (t ) maka L1{ f (s  a)}  e at F (t ) Contoh



L1{



s }  cos 2t s 4 2



maka



 1  1   1   2t 1 1 L1  2 L  2 L    e cos 2t 2  (s  4   ( s  4s  8   (s  2)  4  3) Sifat translasi atau pergeseran kedua Jika L1{ f ( s)}  F (t ) maka



F (t  a), untuk t  a L1{e as f ( s)}    0, untuk t  a Contoh  1  L1  2   sin t maka  s  1



    3s  sin( t  ), untuk t    e   3 3 L1  2    s  9  0, untuk t     3 4) Sifat pengubahan skala



Jika L1{ f ( s)}  F (t ) maka L1{ f (ks)} 



1 t F  k k



Contoh



3s  1  t   s  1  Karena L1  2   cos t maka diperoleh L    cos  2 ( 3 s )  1  s  1   3  3 5) Transformasi Laplace invers dari turunan-turunan



d n  Jika L1{ f ( s)}  F (t ) maka L1{ f ( n ) ( s)}  L1  f (s)  (1) n t n F (t )  ds  Contoh Karena



L1



 2  L1  2   sin 2t s  4



dan



d  2   4s  2  2 ds  s  4  ( s  4) 2



maka



diperoleh



d  2   4s  1    (1) n t n sin 2t  t sin 2t  2   L  2 2  ds  s  4  ( s  4 )  



6) Transformasi Laplace invers dari antiturunan-antiturunan   F (t ) Jika L1{ f ( s)}  F (t ) maka L1  f (u )du   t s 



Contoh



 1  1 1  1 1  1 1 t Karena L1   L      e maka  3s( s  1)  3  s s  1 3 3  1  1 diperoleh L1    du    0 3u 3(u  1) 



1  1  e t  3  t



 ` 



7) Sifat perkalian dengan s n Jika L1{ f ( s)}  F (t ) maka L1{sf (s)}  F ' (t ) Dengan demikian perkalian dengan s berakibat menurunkan F(t) Jika f(t)  0 , sehingga



L1{sf (s)  F (0)}  F ' (t )  L1{sf (s)}  F ' (t )  F (0) (t ) dengan  (t ) adalah fungsi delta Dirac atau fungsi impuls satuan. Contoh  5  arena L1  2   sin 5t dan sin 5t  0 maka  s  25 



 5s  d L1  2   (sin 5t )  5 cos 5t  s  25  dt



8) Sifat pembagian dengan s



 f ( s)  Jika maka L1     F (u )du  s  0 t



Jadi pembagian dengan s berakibat mengakibatkan integral F(t) dari 0 sampai dengan t. Contoh  2  Karena L1  2   sin 2t maka diperoleh s  4   t 2 1 1  L1  2    sin 2u du   cos 2u   cos 2t  1 2 0 2  s( s  4)  0 t



9) Sifat konvolusi Jika L1{ f ( s)}  F (t ) dan L1{g ( s)}  G(t ) maka t



L { f ( s) g ( s)}   F (u )G(t  u)du  F * G 1



0



F*G disebut konvolusi atau faltung dari F dan G, dan teoremanya dinamakan teorema konvolusi atau sifat konvolusi. Contoh  1  1  1   4t 2t Karena L1    e dan L  e s  2 s  4    



  t  4 u 2 ( t u ) 1 maka diperoleh L  du  e 2t  e 4t   e e ( s  4 )( s  2 )   0 1



C. Metode Transformasi Laplace Invers Menentukan transfomasi Laplace dapat dilakukan dengan beberapa cara, sehingga dalam transformasi Laplace invers terdapat beberapa metode yang dapat digunakan, antara lain: 1) Metode pecahan parsial Setiap fungsi rasional



P( s ) , dengan P(s) dan Q(s) fungsi pangkat banyak (polinom) dan Q( s )



derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Selanjutnya



P( s ) dapat ditulis jumlah dari fungsi Q( s )



rasional yang mempunyai bentuk A As  B atau dan seterusnya, r  1,2,3,.... r 2 (as  b) (as  bs  c) r



Dengan memperoleh transformasi Laplace invers tiap pecahan parcial maka dapat



 P( s )  ditentukan L1    Q( s )  Konstanta A, B, C, …… dapat diperoleh dengan menyelesaikan pecahan-pecahan dan menyamakan pangkat yang sama dari kedua ruas persamaan yang diperoleh atau dengan menggunakan metode khusus. Contoh  3s  16  1. Tentukan L1  2  s  s  6



Jawab



3s  16   3s  16  1  L1  2 L   s  s  6  ( s  2)( s  3) 



3s  16 A B   ( s  2)( s  3) s  2 s  3







A( s  3)  B( s  2) s2  s  6







( A  B) s  (2 B  3 A) s2  s  6



atau A+B = 3 dan 2B-3A = 16 atau 2(3-A)–3A=16 sehingga didapat A = -2 dan B = 5



 3s  16  5  1   2 L1   L    s  2 s  3  ( s  2)( s  3)   2  1  5   L1   L   s  4  s  3  2e 4t  5e 3t



  s 1 2. Tentukan L1   2  ( s  3)( s  2s  2)  Jawab   s 1 Bs  C  1  A L1   2 L   2  ( s  3)( s  2s  2)   s  3 ( s  2s  2)  A Bs  C A( s 2  2s  2)  ( Bs  C )( s  3)   s  3 s 2  2s  2 ( s  3)( s 2  2s  2)



` Sehingga



As 2  2 As  2 A  Bs 2  (3B  C ) s  3C ( s  3)( s 2  2s  2)



   ( A  B) s 2  (2 A  3B  C ) s  (2 A  3C )  s 1    2 ( s  3)( s 2  2s  2)  ( s  3)( s  2s  2)    Diperoleh A+B = 0, 2A+3B+C=1, 2A+3C=-1 1 4 4 Atau A =  , B = , dan C = 5 5 5 4 1   4  s    s 1 1  5  5 5   L Akhirnya diperoleh L1     2 2  ( s  3)( s  2s  2)   s  3 ( s  2s  2)    4 1   4  s   5    4 L1  1   4  ( s  1)  L1  5  25      5  s  3  5  ( s  1) 2  1  s  3 ( s  2s  2)    4 4   e 3t  e t cos t 5 5 2) Metode Deret Jika f(s) mempunyai statu uraian dari kebalikan pangkat dari s yang diberikan oleh



ao a1 a2 a3     ... s s2 s3 s4 Maka dibawah persyaratan-persyaratan yang sesuai kita dapat menginversi suku demi f ( s) 



suku untuk memperoleh



F (t )  ao  a1t 



a 2 t 2 a3 t   ... 2! 3!



Contoh



  1s  e  Tentukan L1    s    Jawab   1s  1 1 e  1  1   3  ...    1   2 3! s   s  s  s 2! s   1 1 1 1    ... =  2  3 4 2! s 3! s s s    12 s  1 1 1 e   1  1   ... Sehingga L1  L   2  3 4 2! s 3! s s s   s   



 1 t 



t2 t3  + ... 12 2 2 12 2 2 32