19 0 2 MB
Kestabilan Analisa Respon Sistem
1
Definisi Kestabilan
Total respon output sistem :
Definisi kestabilan (berdasar natural response):
c(t ) c forced (t ) cnatural (t )
Sistem stabil jika natural response mendekati nol saat waktu mendekati tak hingga Sistem tidak stabil jika natural response mendekati tak hingga saat waktu mendekati tak hingga Sistem marginally stable jika natural response tetap/konstan atau berosilasi teratur
Definisi kestabilan (berdasar total respon):
Sistem stabil jika setiap input yang dibatasi menghasilkan output yang terbatas juga. Sistem tidak stabil jika setiap input yang dibatasi 2mengahasilkan output yang tidak terbatas
Apakah Sistem Ini Stabil?
Suatu sistem dengan pole di sebelah kiri bidang s ( e menghasilkan :
at
)
Respon eksponensial yang meluruh (decay), atau Respon sinusoidal yang teredam Berarti natural response mendekati nol saat waktu mendekati tak hingga sistem stabil
Sistem yang stabil hanya mempunyai poles sistem close loop di sebelah kiri bidang s Sistem yang tidak stabil mempunyai poles sistem close loop di sebelah kanan bidang s dan atau mempunyai lebih dari 1 poles di sumbu imajiner Sistem yang marginally stable mempunyai 1 pole di sumbu imajiner dan poles di sebelah kiri 3
Apakah Sistem Ini Stabil?
4
Apakah Sistem Ini Stabil?
5
Kriteria Kestabilan Routh
Transfer function dari suatu sistem loop tertutup berbentuk : C (s) b0 s m b1s m1 ... bm1s bm B(s) n n 1 R(s) a0 s a1s ... an1s an A(s)
Hal pertama memfaktorkan A(s)
Pemfaktoran polinomial dengan orde lebih dari 2 cukup sulit, sehingga digunakan
A(s) : persamaan karakteristik
Kriteria Kestabilan Routh
Kriteria kestabilan Routh memberi informasi ada tidaknya akar positif pada persamaan karakterisitik bukan nilai akar tersebut 6
Prosedur Kriteria Kestabilan Routh 1.
Tulis persamaan karakteristik sistem dalam bentuk polinomial s:
a0 s n a1s n1 ... an1s an 0 2.
3.
7
Semua koefisien persamaan karakteristik harus positif. Jika tidak, sistem tidak stabil. Jika semua koefisien positif, susun koefisien polinomial dalam baris dan kolom dengan pola:
Prosedur Kriteria Kestabilan Routh sn s n1 s n2 s n 3 s n4 . . . s2 s1 s0
a0 a1 b1 c1 d1 . . . e1 f1 g1 8
a2 a3 b2 c2 d2 . . . e2
a4 a5 b3 c3 d3
a6 a7 b4 c4 d4
. . . . .
a a a a b1 1 2 0 3 a1
c1
b1a3 a1b2 b1
a a a a b2 1 4 0 5 a1
c2
b1a5 a1b3 b1
a1a6 a0 a7 a1
c3
b3
d1
c1b2 b1c2 c1
d2
c1b3 b1c3 c1
b1a7 a1b4 b1
Prosedur Kriteria Kestabilan Routh
Proses ini diteruskan sampai baris ke-n secara lengkap. Susunan lengkap dari koefisien berbentuk segitiga. Syarat perlu dan syarat cukup agar sistem stabil (memenuhi kriteria kestabilan Routh)
9
Koefisien persamaan karakteristik semua positif (jika semua negatif maka masing – masing ruas dikalikan minus 1 sehingga hasilnya positif) Semua suku kolom pertama pada tabel Routh mempunyai tanda positif. • Jika ada nilai nol lihat pada bagian “kondisi khusus”
Contoh
Contoh 4-3 Terapkan kriteria kestabilan Routh untuk :
a0 s 3 a1s 2 a2 s a3 0
Dengan semua koefisien positif. Susunan koefisien menjadi
s3 s2 s1 s0
a0 a1 a1a2 a0 a3 a1 a3
a2 a3
Syarat agar semua akar mempunyai bagian real negatif diberikan : 10
a1a2 > a0 a3
Contoh
Contoh 4-4 Perhatikan polinomial berikut : s 4 2s 3 3s 2 4s 5 0
Ikuti prosedur untuk membuat susunan koefisien. s4 s3 s2 s1 s0
1 2
3 5 4 0
1 5 6 5
s4 s3 s2 s1 s0
1 2 1 1 3 5
3 5 4 0 2 0 5
Baris ke dua dibagi dengan 2
Pada kolom 1, terjadi dua kali perubahan tanda. Ini berarti ada dua akar11positif dan sistem tidak stabil.
Keadaan khusus K.K.Routh 0 di kolom pertama
Bila salah satu suku kolom pertama dalam suatu baris adalah nol, maka suku nol ini diganti dengan bilangan positif ε yang sangat kecil. Contoh : s3 + 2s2 + s + 2 = 0 Susunan koefisiennya : s3 1 1
s2 2 2 s1 0 s0 2
j
Bila tanda koefisiennya sama, berarti terdapat pasangan akar imajiner 12 pada sistem. Pada persamaan di atas ada akar di
Keadaan khusus K.K.Routh 0 di kolom pertama
Bila tanda koefisien (ε) berlawanan, berarti ada akar positif persamaan karakteristik. Contoh : s3 – 3 s + 2 = (s – 1)2 (s + 2) = 0 Susunan koefisiennya adalah s3 1 -3 berubah tanda
s2
0≈ε
berubah tanda
s1
-3 – (2/ ε)
2
s0 2 Terdapat dua perubahan tanda koefisien di kolom pertama, berarti ada dua akar positif di pers. karakteristik. Sesuai dengan persamaan awalnya sistem tidak stabil 13
Keadaan khusus K.K.Routh 0 di seluruh suku baris
Jika semua koefisien pada suatu baris adalah nol maka koefisien itu menunjukkan akar – akar besaran yang sama tapi letaknya berlawanan Penyelesaian : menggantinya dengan turunan suku banyak pembantu P(s) P(s) berasal dari suku pada baris sebelumnya Contoh : s5 + 2s4 + 24s3 + 48s2 – 25s – 50 = 0 Susunan koefisiennya adalah s5 1 24 -25 s4 2 48 -50 Suku banyak pembantu P(s) s3 0 0 14
Keadaan khusus 0 di seluruh suku baris Susunan koefisiennya adalah s5 1 24 -25 s4 2 48 -50 s3 0 0
Suku banyak pembantu P(s)
P(s) = 2s4 + 48s2 – 500 dP(s)/ds = 8s3 + 96s Sehingga susunan koefisiennya: s5 1 24 -25 s4 2 48 -50 s3 8 96 Koefisien dari dP(s)/ds s2 24 -50 s1 112,7 0 s0 -50 15 perubahan tanda, berarti ada satu akar positif. Sistem tidak Ada satu stabil.
Aplikasi K.K.Routh untuk analisa sistem Kontrol
Tinjau sistem berikut
R(s) + -
Fungsi alih loop tertutup C ( s) K 2 R(s) s(s s 1)(s 2) K
Susunan koefisien
____K______ s(s2+s+1)(s+2)
C(s)
Persamaan karakteristik
s 4 3s 3 3s 2 2s K 0 s4 s3 s2 s1 s0
1 3 7 3 9 7
2 K K
3 2 K
K 0
Untuk kestabilan, K harus positif dan semua koefisien pada kolom pertama harus positif. Oleh karena itu, 16 14/9 > K > 0
17
18
Rs es
ia Ra ea
La
B em
t,q J
19
dq(t) dq(t) em ( t ) K Km dt dt dia (t) es (t) (R s R a ) ia (t) L a em ( t ) dt 2
d q(t)
dq(t) J B t(t) 2 dt dt t(t) K m ia (t) 20
Em (s) K m s (s) E s (s ) E m ( s ) Ia (s) Rs Ra La s (s)
(s) 2
Js B s t(s) K m Ia (s)
21
Es
G1(s)
Em
Ia
Km
t
G2(s)
Km s
1 G1 (s) s La Rs Ra 1 G2 (s) J s2 B s 22
Es
T(s)
(s) K m G1 (s) G2 (s) T(s) 2 Es (s) 1 s K m G1 (s) G2 (s) Km 3 2 2 s JLa s ( BLa JRsa ) s( BRsa K m ) Rsa Rs Ra 23
Jika nilai La sangat kecil
Km T ( s) 2 2 s J Rsa s( BRsa K m ) Rsa Rs Ra
24
TEMPAT KEDUDUKAN AKAR
Root Locus
Pendahuluan Tempat Kedudukan Akar (TKA) Metode menetukan kestabilan sistem. TKA adalah penggambaran posisi-posisi akar-akar sistem pada bidang-s dengan parameter dari 0 hingga tak hingga. Parameter tersebut pada umumnya adalah nilai gain K pada sistem umpan tertutup
TKA memberikan penjelasan secara grafis kestabilan sistem serta kondisi-kondisi lainnya.
Bilangan Kompleks Suatu bilangan komlpeks A=+ j dapat digambarkan dalam bidang-s sebagai berikut Dengan
j
s j
M = √(2+2)
M
q = tan-1 (/)
q
ROOT LOCUS • ROOT = akar-akar • LOCUS = tempat kedudukan • ROOT LOCUS – Tempat kedudukan akar-akar persamaan karakteristik dari sebuah sistem pengendalian proses – Digunakan untuk menentukan stabilitas sistem tersebut: selalu stabil atau ada batas kestabilannya?
Dua Cara Penggambaran ROOT LOCUS • Cara 1: Mencari akar-akar persamaan karakteristik pada tiap inkremen harga Kc (controller gain) • Cara 2: Didasarkan pada pengalaman – Mencari harga pole dan zero – Menentukan harga breakaway point, center of gravity, asimtot – Mencari harga u (titik potong dengan sumbu imajiner, menggunakan substitusi langsung)
Contoh 1 • Perhatikan diagram blok di bawah ini R(s)
2 (3s 1)(s 1)
Kc
C(s)
0.5
• Persamaan Karakteristiknya: atau 1 + OLTF = 0
Kc 1 0 (3s 1)(s 1)
30
Rumus Penentuan Akar 3s2 + 4s + (1 + Kc) = 0 4 16 12(1 K c ) 2 1 r1 , r2 1 3K c 6 3 3
31
Gambar Root Locus Kc 0
AKAR -1; -1/3
1 5 10
-2/3 ± (2)/3 -2/3 ± (14)/3
20 50
-2/3 ± (59)/3 -2/3 ± (149)/3
-2/3 ± (29)/3
Sistem SELALU STABIL karena akar-akarnya selalu berada di sebelah KIRI
X -1
-2/3
-
IMAJINER
X -1/3
REAL
Contoh 2 2 (3s 1)(s 1)
R(s)
Kc
C(s)
0,5 0,5s 1
Persamaan karakteristik:
Kc 1 0 (3s 1)(s 1)0,5s 1 33
Persamaan Karakteristik Kc 1 0 (3s 1)(s 1)0.5s 1 Kc (3s 1)(s 1)0.5s 1 0 (3s 1)(s 1)0.5s 1 (3s 1)(s 1)0.5s 1 (3s 1)(s 1)0.5s 1 K c 0 (3s 1)(s 1)0.5s 1 (3s 1)(s 1)0.5s 1 K c 0 1.5s 3 5s 2 4.5s 1 K c 0
Gambar Root Locus Kc
IMAJINER
AKAR
0
-1; -1/3; -2
1
-2.271; -0.53±0.55i
5
-2.77; -0.281±1.168i
14
-3.3; ± 1.732i
20
-3.586; 0.126±1.97i
30
-3.92; 0.29±2.279i
X -2
Sistem ADA BATAS KESTABILAN karena akar-akarnya ada yang berada di sebelah KANAN
X -1
X -1/3
REAL
-
Cara 2 • Persamaan karakteristik: 1
Kc 0 (3s 1)(s 1)0,5s 1
• pole: -1/3, -1, -2; n (jumlah pole) = 3 • zero: tidak ada; m (jumlah zero) = 0
Tentukan Letak Pole/Zero IMAJINER
n–m= 3–0= ganjil tempat kedudukan akar
X -2
X -1
X -1/3
REAL
Tentukan Letak Pole/Zero IMAJINER
n–m= 2– 0 = genap BUKAN tempat kedudukan akar
X -2
X -1
X -1/3
REAL
Tentukan Letak Pole/Zero IMAJINER
n–m= 1– 0 = ganjil tempat kedudukan akar
X -2
X -1
X -1/3
REAL
Tentukan Letak Pole/Zero IMAJINER
X -2
X -1
X -1/3
REAL
Di Antara Tempat Kedudukan 2 Pole Ada BREAKAWAY POINT m
n 1 1 i 1 s zi j 1 s p j
1 1 1 0 s 1/ 3 s 1 s 2 s 1s 2 s 1 / 3s 2 s 1 / 3s 1 0 s 1 / 3s 1s 2 s 2 3s 2 s 2 2 13 s 23 s 2 1 13 s 13 0 3s 2 6 23 s 3 0
s1 1.5954 s2 0.6268
DI LUAR TEMPAT KEDUDUKAN YANG DIPAKAI
Letak Breakwaway Point IMAJINER
X -2
X -1
X -0.6 -1/3
REAL
Penentuan Center of Gravity dan Sudut Asimtot n
CG
m
p z j 1
j
i 1
nm
i
13 1 2 3 13 1.1 30 3
1800 (3600 )k nm 1800 (3600 )0 0 60o 30 1800 (3600 )1 1 180o 30 1800 (3600 )2 2 300o 30
Center of Gravity dan Sudut IMAJINER Asimtot
180o 60o
X -2
X -1.1-1 300o
X -0.6 -1/3
REAL
Titik Potong dengan Sumbu Imajiner 1.5s 5s 4.5s 1 K c 0 Substitusi dengan s i u 3
2
1.5(iu )3 5(iu ) 2 4.5(iu ) 1 Kc 0 1.5iu 5u 4.5(iu ) 1 Kc 0 3
1.5iu 4.5iu 0 3
iu 1.5u 4.5 0 2
u 0 dan u 2 3
2
5u 1 K c 0 5(3) 1 K c 0 K c 14 2
u 1.7
TITIK POTONGNYA
Titik Potong dengan Sumbu Imajiner IMAJINER 1.7
X -2
X -1.1-1
X -0.6 -1/3
REAL
-1.7
Hasil ROOT LOCUS IMAJINER
X -2
X -1.1-1
X -0.6 -1/3
REAL
TERIMA KASIH
Tugas R(s)
K
G(s)
C(s)
H(s)
1 G( s) s( s 1)(s 2)(s 5) H ( s) ( s 3) 49
Kontroler PID Pengendalian Sistem
Pendahuluan
Urutan cerita : 1. 2. 3.
Pemodelan sistem Analisa sistem Pengendalian sistem
Contoh : motor DC 1. 2. 3.
Pemodelan mendapatkan transfer function dan blok sistem motor DC Analisa memberikan inputan sinyal uji pada motor, menganalisa respon yang dihasilkan Pengendalian mengendalikan motor agar memberikan hasil yang sesuai
Pendahuluan
Dari analisa respon sistem yang telah kita lakukan, bagaimana respon sistem (c(t)) yang kita inginkan? Sesuai
Jika tidak sesuai? Salah
dengan input/r(t) (misal : unit step)
satu caranya dengan menambahkan kontroler
Fungsi kontroler : Mengendalikan
sistem dengan memanipulasi sinyal error, sehingga respon sistem (output) sama dengan yang kita inginkan (input)
Kontroler dalam Diagram Blok Error detector (comparator)
Error Signal
Set Point
r(t)
+
-
Controller
e(t)
Controller Output Signal
Energy or fuel
Actuator
u(t) Manipulated variable
Feedback Signal
Manufacturing Process
c(t)
Measurement Devices
Measured variable
Controlled variable
Disturbances
Definisi kontroler
Controller “Otak”
dari sistem. Ia menerima error / e(t) sebagai input Lalu menghasilkan sinyal kontrol / u(t) U(t) menyebabkan controlled variable / c(t) menjadi sama dengan set point / r(t)
Respon Sistem
Analisa respon sistem : Kestabilan Respon transient (karakteristik Error steady state
sistem)
Respon yang diinginkan (set point), misal unit step. Spesifikasi : Unit step
Stabil Karakteristik respon transient : Mp : 0 % (sekecil mungkin) Tr, tp, ts : 0 (sekecil mungkin) Error steady state : 0 (tidak ada
1
t
error steady state
Kontroler Proporsional (P)
Persamaan matematis :
u(t) = KP . e(t) dimana KP : konstanta proporsional dalam Laplace
U(s)/E(s) = KP Diagram Blok E(s)
+
U(s) KP
Dikenal juga sebagai : gain/penguatan
Kontroler Proporsional (P)
Pengaruh pada sistem : Menambah atau mengurangi kestabilan Dapat memperbaiki respon transien khususnya
+
: rise
time, settling time Mengurangi (bukan menghilangkan) Error steady state
Catatan : untuk menghilangkan Ess, dibutuhkan KP besar, yang akan membuat sistem lebih tidak stabil
Kontroler Proporsional memberi pengaruh langsung (sebanding) pada error Semakin
besar error, semakin besar sinyal kendali yang dihasilkan kontroler Grafik (di Ogata)
+ +
Aplikasi kontroler Proporsional 1
Dari K. Ogata halaman 311,
K = 1.2 ,
stabil
plant stabil jika : 14/9 > K > 0
K = 1.6 , tidak stabil
Aplikasi kontroler Proporsional 2 • Contoh 2
Tanpa Kontroler, respon lambat
Dengan kontroler P, respon cepat
Kontroler Integral (I)
Persamaan matematis :
t
u (t ) K i e(t )dt 0
dimana Ki : konstanta integral dalam Laplace
U ( s) Ki E ( s) s
Diagram Blok E(s)
+
U(s) Ki / s
-
Kontroler Integral (I)
Pengaruh pada sistem : Menghilangkan
Error Steady State Respon lebih lambat (dibanding P) Dapat menimbulkan ketidakstabilan (karena menambah orde sistem)
Perubahan sinyal kontrol sebanding dengan perubahan error Semakin
besar error, semakin cepat sinyal kontrol bertambah/berubah Grafik (lihat Ogata)
+ -
Aplikasi kontroler Integral
Respon sistem tanpa kontroler
Aplikasi kontroler Integral Dengan kontroler P, KP = 2
Dengan kontroler PI Kp = 2 , Ki = 1 Dengan kontroler I, Ki = 1
Aplikasi kontroler Integral • Perhitungan dari contoh tersebut : • Jika transfer function kontroler I =
• Jika transfer function plant =
GC ( s )
1 GP ( s ) 2s 1 • Maka transfer function open loop = • Transfer function error = • TF Error steady state =
G( s)
1 s
1 2s 2 s
E ( s) 1 R( s ) 1 G ( s ) H ( s )
Ess lim sE ( s) s 0
E ( s) 2s 2 s 2 R( s ) 2 s s 1 2s 2 s 1 E ( s) 2 2s s 1 s
2s 2 s 1 Ess lim s 2 0 s 0 2 s s 1 s • Terbukti bahwa penggunaan kontroler I menghilangkan error steady state!
Kontroler Derivatif (D)
Pengaruh pada sistem : Memberikan
berosilasi
efek redaman pada sistem yang
sehingga bisa memperbesar pemberian nilai Kp
Memperbaiki
respon transien, karena memberikan aksi saat ada perubahan error D hanya berubah saat ada perubahan error, sehingga saat ada error statis D tidak beraksi
+
Sehingga D tidak boleh digunakan sendiri
Besarnya sinyal kontrol sebanding dengan perubahan error (e) Semakin
cepat error berubah, semakin besar aksi kontrol yang ditimbulkan Grafik (lihat Ogata)
+
-
Aplikasi kontroler Derivatif
Dengan kontroler P saja, respon berosilasi
Dengan kontroler PD, Kp=1, Kd = 3
Aplikasi kontroler Derivatif • Perhitungan dari contoh tersebut : Dengan kontroler P Kp = 1 TF open loop
TF close loop Persamaan karakteristik
Dengan kontroler PD Kp = 1, Kd=1
1 G( s) 2 s C ( s) 1 2 R( s ) s 1
s 1 G( s) 2 s C ( s) s 1 2 R( s ) s s 1
s2 1 0
s2 s 1 0
Akar persamaannya imajiner, responnya berosilasi terus menerus
Akar persamaannya real negatif, respon saat tak hingga = 0
Kontroler PID
Kombinasi beberapa jenis kontroler diperbolehkan
PI, PD, PID
Keuntungan kontroler PID:
Menggabungkan kelebihan kontroler P, I, dan D
P : memperbaiki respon transien I : menghilangkan error steady state D : memberikan efek redaman
• Kontroler PID Seri t 1 de(t ) u (t ) K p e(t ) e(t )dt Td Ti 0 dt 1 U ( s) K p E ( s) E ( s) Td sE ( s) Ti s K U ( s) K p E ( s) i E ( s) K d sE ( s) s
• Kontroler PID Paralel t
1 de(t ) u (t ) K p e(t ) e(t )dt Td Ti 0 dt 1 E ( s) Td sE ( s) Ti s K U ( s) K p E ( s) i E ( s) K d sE ( s) s U ( s) K p E ( s)
Kontroler PID praktis (rangkaian)
Tuning kontroler PID
Permasalahan terbesar dalam desain kontroler PID Tuning
: menentukan nilai Ki, Kp, dan Kd
Metode – metode tuning dilakukan berdasar Model
matematika plant/sistem Jika model tidak diketahui, dilakukan eksperimen terhadap sistem
Cara tuning kontroler PID yang paling populer : Ziegler-Nichols
metode 1 dan 2 Metode tuning Ziegler-Nichols dilakukan dengan eksperimen (asumsi model belum diketahui) Metode ini bertujuan untuk pencapaian maximum overshoot (MO) : 25 % terhadap masukan step
Metode tuning Ziegler-Nichols 1
Dilakukan berdasar eksperimen, dengan memberikan input step pada sistem, dan mengamati hasilnya Sistem harus mempunyai step response (respons terhadap step) berbentuk kurva S Sistem tidak mempunyai integrator (1/s) Sistem tidak mempunyai pasangan pole kompleks dominan (misal : j dan –j, 2j dan -2j)
Muncul dari persamaan karakteristik s2+1, s2+4 Respon sistem berosilasi
Metode tuning Ziegler-Nichols 1
Metode tuning Ziegler-Nichols 1
Prosedur praktis Berikan input step pada sistem 2. Dapatkan kurva respons berbentuk S 3. Tentukan nilai L dan T 4. Masukkan ke tabel berikut untuk mendapatkan nilai Kp, Ti, dan Td 1.
Tipe alat kontrol
KP
Ti
Td
P
T/L
~
0
PI
0.9 T/L
L/0.3
0
PID
1.2 T/L
2L
0.5L
Metode tuning Ziegler-Nichols 2
Metode ini berguna untuk sistem yang mungkin mempunyai step response berosilasi terus menerus dengan teratur Sistem
dengan integrator (1/s)
Metode dilakukan dengan eksperimen Dengan
meberikan kontroler P pada suatu sistem close loop dengan plant terpasang Gambar …
Lalu nilai Kp ditambahkan sampai sistem berosilasi terus menerus dengan teratur Nilai Kp Periode
saat itu disebut penguatan kritis (Kcr) saat itu disebut periode kritis (Pcr)
Metode tuning Ziegler-Nichols 2
Metode tuning Ziegler-Nichols 2 Prosedur praktis
1. 2. 3. 4.
Buat suatu sistem loop tertutup dengan kontroler P dan plant di dalamnya Tambahkan nilai Kp sampai sistem berosilasi berkesinambungan Dapatkan responnya, tentukan nilai Kcr dan Pcr Tentukan nilai Kp, Ti, dan Td berdasar tabel berikut
Tipe alat kontrol
KP
Ti
Td
P
0.5 Kcr
~
0
PI
0.45 Kcr
1/1.2 Pcr
0
PID
0.6 Kcr
0.5 Pcr
0.125 Pcr
TERIMA KASIH 77