12 0 127 KB
A. KETIDAKPASTIAN PADA SUATU FUNGSI 1.
Ketidakpastian pada fungsi satu variabel Perhatikan , misal y sebagai fungsi dari x: y = f(x), x (variabel bebas) adalah besaran yang diukur, dan y (variabel terikat) adalah besaran yang dicari (B. Darmawan Djonoputro, 1977:20-21).
dan Perlu diingat disini, apabila ∆x bersifat bagian skala terkecil, begitu pulalah interpretasi ∆y, dan apabila ∆x berupa simpangan baku, ∆y juga bersifat demikian. Berikut adalah beberapa contoh fungsi satu variabel yang sering kita jumpai dalam praktikum fisika. a) y ax n , n bilangan bulat (fungsi pangkat) atau pecahan dy nax n 1 dx
∆y =
n.ax n 1 x
b) y = log x;
∆y =
dy 1 dx x ln 10
1 x x ln 10
c) y = ex;
dan
y 1 x y ln x x
dy ex dx
∆y = ex∆x dan
d) y = sin x;
y x n y x
dan
y x y
dy cos x dx
y cos x x
dan
y ctgx x y
Dalam menghitung ∆y, sudah barang tentu ∆x harus dinyatakan dalam radian.
Contoh soal: Diameter suatu kawat silinder diperoleh d = (2,00 ± 0,05) mm. Berapakah ketidakpastian pada penempangnya? Penyelesaian: d Penampang A = 2
A 2
2
3,1428... mm2
d xA d
0,05
= 2 x 2,00 x 3,1428… = 0,16 mm2 (dibulatkan mengingat ketelitian menjadi 0,2) (B. Darmawan Djonoputro, 1977:21-22).
2.
Ketidakpastian pada fungsi dua variabel Perhatikan z = z (x,y), di mana x = x x dan y = y y adalah hasil pengukuran langsung (merupakan variabel bebas), dan z adalah besaran yang dicari (merupakan variabel tidak bebas). ∆x dan ∆y adalah ketidakpastian pada x dan y, maka z juga akan mempunyai ketidakpastian tertentu ∆z. Ada tiga kasus dalam fungsi dua variabel antara lain: a) ∆x dan ∆y ditentukan nilai skala terkecil (pengukuran tunggal) z = z (x,y), maka: z z ( x , y ) dan z x
z
y
z x y
y x
Contoh: Pengukuran sebuah luas benda dengan panjang 100 mm dan lebar 50 mm. dengan nst sebesar 1 mm. Maka pengukuran luasnya adalah Diketahui: p = (100,1 ± 0,5) mm
l = (50,2± 0,5) mm Berapakah luas menurut pengukuran ini dan berapa ketidakpastiannya? A = 5025,02 mm2 = 5,03 x 103 mm 2 A P
A
A l
P l
l p
=l.P+p.l = 50,2 . 0,5 + 100,1 . 0,5 = 25, 1 + 50, 05 = 75, 15 mm 2 = 0,07515 x 103 mm2 = 0,08 x 103 mm2 A x A A (5,03 0,08)10 3 mm 2
b) ∆x dan ∆y berupa simpangan baku (pengukuran berulang) z = z (x, y) Sekarang x dan y dimisalkan dapat diukur N kali, hingga menghasilkan contoh xi, yi dengan i = 1,2, …..N. Dari sini dapat ditemukan x x dan y y . Seperti biasa, kita tentukan z z ( x , y )
∆z dapat dihitung dengan persamaan : ∆z =
z x
2
z x 2 y x
2
y 2 y
Contoh: Pengukuran sebuah luas benda x = panjang dan y = lebar yang dilakukan selama 5 kali pengulangan dengan nst 1 mm.
No
xx
X
(x x)2
1
5
-0,3
0,09
2
5,5
0,2
0,04
3
5,3
0
0
4
5,4
0,1
0,01
5
5,1
-0,2
0,04
5,3
0,18
(x x)
2
n(n 1)
0,18 20 0,07 mm
x x x x (5,30 0,07) mm
No
y
( y y) 2
y y
1
2,5
-0,4
0,16
2
2,9
0
0
3
2,8
0,1
0,01
4
3,0
0,1
0,01
5
3,2
0,3
0,09
2,9
0,27
y
( y y)
2
n( n 1)
0,27 20 y 0,01mm y
y y y y ( 2,90 0,01) mm A P.l A 5,3 X 2,9 A 15,37 A 1,5 X 101 mm 2
A
z x
2
x
z x 2 y
2
y 2 y
A
l 2 xp p 2 xl 2
2,9 2 x 0,07 2 5,3 2 x 0,012
8,41x 4,9.10 3 28,09 x1.10 4 A
0,041209 2,809.10 3
0,02.101 mm 2
A A A (1,50 0,02)101 mm 2
c) ∆x dan ∆y berlainan sifat Apabila pada fungsi z = z(x,y), besaran x diukur secara berulang hingga hukum statistika dapat dipakai padanya, maka ∆x berupa simpangan baku nilai rata-rata x. Besaran y karena sesuatu hal hanya diukur sekali saja, hingga ∆y adalah ½ nst, maka kedua ketidakpastian ini mempunyai makna statistika yang berlainan. ∆x memiliki tingkat kepercayaan 68%, sedangkan ∆y memiliki tingkat kepercayaan 100%. Bagaimanakah memadu jenis ketidakpastian yang berlainan tingkat kepercayaannyaitu?.
Sebagai
jalan
keluar
menyamakan tingkat kepercayaan y dan x. z = z z z z( x, y)
sering
diambil
kebijaksanaan
Jika diambil tingkat kepercayaan 68% maka: z x
A
2
z x y y
2
2
2 / 3y 2
x
Contoh: 0,07 mm x 5,3mm y 2,5 y 1 x1 0,5 2 A X xY A 5,3 x 2,5 A 1,3.10 2 mm 2
z x
A
2
z x y y
2
2
2 / 3y 2
2 Y 3
x 2
y 2 . 2 X
A
2 2,5 2.0,07 2 5,3 0,5 3
0,030625 252,81
2
15,9 1,6 x10 2 mm 2 A A A (1,3 1,6)10 2 mm 2
Jika diambil tingkat kepercayaan 100% maka: z x
A
y
z y
x
z y
x
x 3 / 2x
xy
Contoh: z x
A
y
x 3 / 2x
3 XY 2 3 A 2,5. 0,07 5,3.0,5 2 A 0,05.10 2 Y .
A A A A (1,30 0,05).10 2 mm 2
xy
(B. Darmawan Djonoputro, 1977:23-28).