Konsep Probabilitas Kelompok 8 [PDF]

Citation preview

MAKALAH STATISTIK KESEHATAN “Konsep Probabilitas dan Distribusi Probabilitas” Dosen Pembimbing : Catur Puspawati, ST., MKM Endang Uji Wahyuni, SKM., MKM



Disusun Oleh: KELOMPOK 8 1. Alycia Gita Roshi



P2.31.33.1.17.043



2. Indah Permata Sari



P2.31.33.1.17.053



3. Jihan Afifah Fauziyah



P2.31.33.1.17.054



4. Rafli Teguh Imani Putra



P2.31.33.1.17.078



TINGKAT 3 PROGRAM STUDI DIV SANITASI LINGKUNGAN POLITEKNIK KESEHATAN KEMENKES JAKARTA II Jln. Hang Jebat III/F3 Kebayoran Baru Jakarta 12120 Telp. 021.7397641, 7397643 2020



A. Konsep Probabilitas Probabilitas adalah pengukuran peluang suatu peristiwa yang mungkin terjadi secara random atau sembarangan. Artinya bahwa peristiwa tersebut sebelumnya tidak direncanakan atau diketahui terlebih dahulu. karena peristiwa yang sudah direncanakan bukan termasuk peristiwa random. tetapi peristiwa beraturan dan ada kemungkinan pasti terjadi. 1.



Pandangan Klasik / Intuitif Didalam pandangan klasik ini probabilitas atau peluang adalah harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi, diantara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi. Contoh:  Sebuah mata uang logam mempunyai sisi dua (H dan T), kalau mata uang tersebut dilambungkan satu kali, peluang untuk keluar sisi H adalah ½.  Sebuah dadu untuk keluar mata ‘lima’ saat pelemparan dadu tersebut satu kali adalah 1/6 (karena banyaknya permukaan dadu adalah 6). Rumus : Keterangan :



P (E) =



2.



X N



   



P = Probabilitas E = Event (Kejadian) X = Jumlah kejadian yang diinginkan (peristiwa) N= Keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi



Pandangan Empiris / Probabilitas Relatif Dalam pandangan ini probabilitas berdasarkan observasi, pengalaman, atau kejadian (peristiwa) yang telah terjadi. Rumus :



P (E) =



LimX N



Contoh :  Pelemparan 50x coin -> 25x keluar sisi H, maka dikatakan P(H) = 50%  Dari 10.000 hasil produksi, 200 rusak -> P(rusak) = 2% = 0,02 3.



Pandangan Subjektif Didalam pandangan subjektif probabilitas ditentukan oleh pembuat pernyataan Contoh :  Seorang mahasiswa meyakini bahwa kalau ada kesempatan untuk mendapatkan beasiswa berprestasi, yang akan menerima beasiswa adalah dirinya (misalnya diyakininya = 90% = 0,90).  Seorang pembina pramuka menyatakan keyanikannya (95%) bahwa anak asuhnya akan memenangkan perlombaan dalam lomba baris berbaris. Kebenaran dari probabilitas subjektif ini sangat tergantung kepada orang yang menentukannya, tetapi walaupun demikian teori probabilitas dapat membantunya.



B. Konsep Dasar Peluang Untuk membantu melihat dan menilai karakteristik pokok Sekumpulan data, telah dipelajari Bagaimana menyajikan dan meringkas data. tujuan utama mempelajari data tidak hanya untuk meringkas dan menyajikan data, tetapi juga untuk melakukan analisis agar dapat menyerap informasi yang terkandung di dalam sampel data itu dan mengambil kesimpulan terhadap populasi yang merupakan asal usul tempat tersebut. Dasar logika dari proses pengambilan inferensi statistik tentang suatu populasi dengan analisis data sampel adalah probabilitas. sebagai contoh, probabilitas yang rendah menunjukkan kecilnya kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi. Dalam mengambil kesimpulan atau informasi dari Sekumpulan data perlu dilakukan percobaan atau sampel.



Konsep probabilitas berhubungan dengan pengertian eksperimen atau percobaan yang menghasilkan hasil yang tidak pasti. Artinya, eksperimen yang diulang-ulang dalam kondisi yang sama akan menghasilkan hasil yang dapat berbeda-beda. istilah eksperimen yang digunakan di sini tidak terbatas pada eksperimen dalam laboratorium tetapi eksperimen sebagai prosedur yang dijalankan pada kondisi tertentu dimana kondisi itu dapat diulang-ulang sebanyak kali pada kondisi yang sama, dan setelah selesai prosedur itu berbagai hasil dapat diamati. Eksperimen adalah proses pengumpulan data tentang suatu fenomena yang menunjukkan adanya variasi di dalam hasil. Berikut beberapa definisi dan contoh yang sering digunakan dalam proses eksperimen : 1.



Ruang sampel Ruang sampel adalah himpunan yang elemen-elemennya merupakan hasil yang mungkin terjadi dari suatu eksperimen. ruang sampel ditulis dengan lambang s. Jika suatu eksperimen di mana a1, a2, a3, a4, a5..........an. menunjukkan semua hasil yang terjadi, maka ruang sampel dituliskan sebagai berikut S = a1, a2, a3, a4, a5..........an)



2.



Titik sampel Titik sampel adalah semua elemen yang ada di dalam suatu ruangan sampel, yaitu a1, a2, a3, a4, a5..........an.



3.



Peristiwa/kejadian/event Peristiwa adalah himpunan bagian dari suatu ruang sampel. peristiwa ditulis dengan lambang huruf besar A, B, seterusnya dan dituliskan peristiwa yang mungkin muncul dalam hasil. Misalnya hanya a2, a4 sebagai hasil peristiwa, maka dituliskan : A = hasil yang diterima (a2, a4)



Contoh penggunaan Definisi diatas adalah sebagai berikut : 1.



2.



Eksperimen



: pelemparan sebuah dadu



Hasil



: mata dadu yang tampak



Ruang Sampel



: S = ( 1,2,3,4,5,6)



Suatu peristiwa



:







Titik ganjil yang tampak (1,3,5)







Titik genap yang tampak (2,4,6)



Eksperimen



: empat pekerja sama-sama terkena pencemaran (polusi) udara



Hasil



: dicatat apakah jadi sakit S atau tidak sakit T



Ruang Sampel : (SSSS, SSST, SSTS, STSS, TSSS, SSTT, STST, STTS,TSST, TSTS, TTSS, STTT, TSTT, TTST, TTTS, TTTT) S = 2x2x2x2 = 24 = 16 Suatu peristiwa : 



Semua pasien sakit (SSSS)







Ada dua orang yang sakit (SSTT, STST, STTS, TSST, TSTS, TTSS)



Operasi ini dapat digambarkan denga diagram Venn berikut :



B



A



A∪ B



A∪ B A∩B



Ac A



AC



Asas Perhitungan Probabilitas Nilai probabilitas yang dilambangkan dengan ”P” berada antara nilai 0 dan 1. Rumusnya adalah sebagai berikut : 0≤P≥1 Nilai probabilitas selalu menghasilkan nilai yag positif, tidak pernah negatif. P (x/n) → bilangan positif (+) Contoh : Probabilitas (peluang) keluar angka ganjil dalam 1 kali pelemparan sebuah dadu. Jawab : P(



ganjil ) matadadu







3 6=½



Jadi peluang (probabilitas) keluarnya angka ganjil pada pelemparan 1 kali sebuah dadu adalah ½ bilangan positif (+) . 0 ≤ ½ ≥ 1 Asas dalam perhitungan probabilitas memiliki 2 macam perhitungan yaitu : 1.



Hukum Pertambahan Dalam hukum pertambahan terdapat 2 kondisi yang harus diperhatikan yaitu apakah kedua peristiwa tersebut saling meniadakan “atau” dapat terjadi bersama. Kedua kondisi ini disebut sebagai peristiwa mutually exclusive ataupun non mutually exclusive. a.



Kejadian mutually exclusive (peristiwa saling terpisah = disjoint) Dua peristiwa dikatakan mutually exclusive apabila satu peristiwa terjadi akan meniadakan peristiwa yang lain untuk terjadi, atau dikatakan peristiwa tersebut saling meniadakan. Contoh :  Permukaan sebuah koin



 Permukaan dadu  Kelahiran anak laki atau perempuan pada seorang ibu dengan kehamilan tunggal Untuk suatu kejadian yang mutually exclusive, peristiwa terjadinya A dan B merupakan gabungan antara peristiwa A dan peristiwa B, dimana tidak terdapat irisan antara peristiwa A dan B (saling asing). Maka probabilitas untuk kondisi seperti ini adalah penggabungan kemungkinan probabilitas keduanya.



A



B



P (A ∪ B) = P (A) + P (B) P (A∩B) = 0



Contoh : 1. Probabilitas untuk keluar mata 2 atau mata 5 pada pelemparan satu kali sebuah dadu adalah… Jawab : P (2 ∪ 5) = P(2) + P(5) 1 1  6 6 2  6 



2. Ada 5 orang kandidat untuk dikirim ke tempat suatu Kejadian Luar Biasa (KLB) diare (sebut saja A B C D E), tetapi yang akan dikirim hanya 1 orang. Probabilitas D atau E yang akan dikirim adalah… Jawab : P (D ∪ E) = P(D) + P(E) 1 1  5 5 2  5 



b. Perisiwa non mutually exclusive (joint) Dua peristiwa atau lebih dapat terjadi bersama – sama (tetapi tidak selalu bersama) Contoh :  Penarikan kartu As dan berlian  Seorang laki – laki dan dokter Untuk peristiwa non mutually exclusive, peristiwa terjadinya A dan B merupakan gabungan antara peristiwa A dan peristiwa B. Akan tetapi, karena ada elemen yang sama dalam peristiwa A dan B, gabungan peristiwa A dan B perlu dikurangi peristiwa dimana A dan B memiliki elemen yang sama. Dengan demikian, probabiliras pada keadaan dimana terdapat elemen yang sama antara peristiwa A dan B probabilitas A atau B adalah probabilitas A ditambah probabilitas B dikurangi probabilitas elemen yang sama dalam peristiwa A dan B.



A



AB



B



P ( A ∪ B ) =P ( A )+ P ( B )−P( A ∩ B) Contoh : Pada penarikan satu kartu dari satu set kartu bridge, peluang akan terambilnya kartu as atau berlian adalah : 4 52







P (as) =







P (berlian) =







13 52 Ada sebuah kartu as dan berlian :



P(as) + P (berlian) – P (as ᴒ berlian ) =



4 13 1 16 + − = 52 52 52 52



Berikut merupakan gambar 3 peristiwa yang terjadi antara peristiwa A, B, dan C, dimana terdapat beberapa elemen yang sama antara A dan B, A dan C, begitu pula dengan B dan C. Antara A, B, dan C juga terdapat elemen yang sama sehingga untuk probabilitas pada ketiga peristiwa ini adalah probabilitas A ditambah probabilitas B ditambah probabilitas C dikurangi probabilitas elemen yang sama antara A dan B dikurangi probabilitas elemen yang sama antara A dan C dikurangi probabilitas elemen yang sama antara B dan C. Dikurangi probabilitas elemen yang sama antara A, B, dan C.



A



B



C



P ( A ∪ B ∪ C ) =P ( A )+ P ( B ) + P ( C )−P ( A ∩ B )−P ( A ∩C )−P (C ∩B )+ P ( A ∩B ∩C ) 2. Hukum Perkalian Dalam hukum perkalian terdapat dua kondisi yang harus diperhatikan apakah kedua peristiwa tersebut saling bebas atau bersyarat. Dengan adanya peristiwa bebas dan peristiwa bersyarat, maka perhitungan probabilitas untuk peristiwa itu adalah hukum perkalian. Hukum perkalian sebenarnya untuk mengetahui probabilitas peristiwa joint (intersect=irisan) antara dua peristiwa. a. Peristiwa Bebas (Independent) Dua peristiwa dikatakan bebas/independent apabila kejadian atau ketidak jadian suatu peristiwa tidak memengaruhi peristiwa lain. Ini perlu dibedakan dengan non mutually exclusive, pada independent suatu kejadian tidak akan memengaruhi kejadian lainnya, sedangkan pada mutually exclusive,dua kejadian tidak dapat muncul bersamaan. Contoh : 1. Sebuah dadu dilambungkan dua kali, peluang keluarnya mata 5 untuk kedua



kalinya adalah 1 1 1 Jawab : P(5 ∩5)= × = 6 6 36 2. Sebuah dadu dan sebuah koin dilambungkan bersama – sama, peluang keluarnya hasil lambung berupasisi H pada koindansisi 3 pada dadu adalah Jawab: P(H )= P ( 3 )=



1 2



1 6



1 1 1 P( H ∩3)= × = 2 6 12



b. Peristiwa Tidak Bebas (Conditional Probability = Peristiwa Bersyarat) Dua peristiwa dikatakan bersyarat apabila kejadian atau ketidak jadian suatu peristiwa akan berpengaruh terhadap peristiwa lainnya. Misalnya, dua buah kartu ditarik dari set kartu bridge dan tarikan kedua tanpa memasukkan kembali kartu pertama. Maka probabilitas kartu kedua sudah tergantung pada kartu pertama yang ditarik. Simbol untuk peristiwa bersyarat : P ( B| A ) → probabilitas B pada kondisi A Probabilitas bersyarat tidak terdapat pada peristiwa •



P ( A )=P ( A|B )



•



P( B)=( B|A ) P( A ∩ B)=P( A)× P ( B| A )



Contoh : Dua kartu ditarik dari satu set kartu bridge, peluang untuk yang tertarik keduanya kartu as adalah… Jawab: •



Peluang as I adalah



4 4 → P (As I) = 52 52



•



Peluang As II dengan syarat As I sudah tertarik adalah



3 3 → P ( As II| As I )= 51 51 •



P ( As I ∩ As II )=P ( As I ) × P ( As II| As I )



=



4 3 × 52 51



=



1 221



Joint Probabilitas Dan Marginal Probabilitas Dalam keadaan sehari – hari dua variable yang elemennya joint (kejadian joint, patungan, irisan, interaksi) biasa disusun didalam tabel yang disebut table kontingensi (tabel silang). Pada keadaan seperti ini akan terdapat probabilitas joint dan probabilitas marginal



Tabel 1 Jumlah Pengunjung Puskesmas “PQR” menurut Jenis Kelamin dan Umur



Umur



Wanita



Laki - Laki



Jumlah



¿ 30 ta h un



60



50



110



¿ 30 ta h un



80



10



90



Jumlah



140



60



200



•



Probabilitas pengunjung wanita adalah 140/200 = 0,7 (probabilitas marginal)



•



Probabilitas



pengunjung



berumur¿ 30 tahun



adalah



110/200



=



0,55



(probabilitas marginal) •



Probabilitas seorang pengunjung wanita dan berumur¿ 30 tahunadalah 60/200 = 0,3 (joint probabilitas = interaksi).



Tabel 2 Jumlah Pengunjung Puskesmas “PQR” menurut Jenis Kelamin dan Umur



Kelamin



Nilai – nilai dari joint probabilitas dan marginal probabilitas setelah dihitung berdasarkan pengamatan pada tabel :



•



Joint probabilitas (Tabel 2) adalah nilai – nilai yang terdapat didalam sel table seperti 0,3; 0,25; 0,4 dan 0,05. Nilai 0,3 menggambarkan probabilitas terdapatnya wanita yang berumur dibawah 30 tahun. Nilai 0,25 menunjukkan probabilitas terdapatnya pria yang berumur dibawah 30 tahun. Nilai 0,4 merupakan probabilitas terdapatnya wanita yang berumur diatas 30 tahun. Nilai 0,05 menunjukkan probabilitas terdapatnya pria yang berumur diatas 30 tahun.



Tabel 3 Jumlah Pengunjung Puskesmas “PQR” menurut Jenis Kelamin dan Umur Umur



Wanita



Laki - Laki



Jumlah



¿ 30 ta h un



 



 



0,55



¿ 30 ta h un



 



 



0,45



Jumlah



0,7



0,3



1



Nilai – nilai dari joint probabilitas dan marginal probabilitas setelah dihitung berdasarkan pengamatan pada tabel : •



Joint probabilitas (Tabel 2) adalah nilai – nilai yang terdapat didalam sel table seperti 0,3; 0,25; 0,4 dan 0,05. Nilai 0,3 menggambarkan probabilitas terdapatnya wanita yang berumur dibawah 30 tahun. Nilai 0,25 menunjukkan



probabilitas terdapatnya pria yang berumur dibawah 30 tahun. Nilai 0,4 merupakan probabilitas terdapatnya wanita yang berumur diatas 30 tahun. Nilai 0,05 menunjukkan probabilitas terdapatnya pria yang berumur diatas 30 tahun. •



Marginal probabilitas (Tabel 3) adalah nilai – nilai yang terdapat pada jumlah per kolom dan baris seperti 0,7; 0,3; 0,55 dan 0,45. Nilai 0,7 menggambarkan probabilitas pengunjung wanita. Nilai 0,3 menunjukkan probabilitas pengunjung pria. Nilai 0,55 merupakan probabilitas pengunjung berumur dibawah 30 tahun. Nilai 0,45 menunjukkan probabilitas pengunjung berumur diatas 30 tahun.



Probabilitas Bersyarat Bukan Probabilitas Joint Peluang seorang pengunjung adalah wanit adengan syarat berumur¿ 30 tahunadalah …



=



•



P ( W |Berumur maka digunakan distribusi Poisson. Distribusi Poisson digunakan untuk menentukan peluang suatu kejadian yang jarang terjadi, tetapi mengenai populasi yang luas atau area yang luas dan juga berhubungan dengan waktu.



Penyelesaian dalam distribusi Poisson dilakukan dengan dua cara yaitu : a. Rumus untuk menentukan probabilitas x pada sampel :



  Keterangan : •



X = banyaknyaa keberhasilan dalam sampel (1,2,3,.....n)



•



µ/ λ = (n.p) Rata-rata berhasil



e = bilangan natural = 2,71818 b. Menggunakan tabel distribusi Poisson Contoh soal : 1. Diketahui probabilitas untuk terjadi shock pada saat imunisasi dengan vaksinasi meningitis adalah 0,0005. Kalau di suatu kota jumlah orang yang dilakukan vaksinasi sebanyak 4000 orang. Hitunglah peluang tepat tiga orang akan terjadi shock!



 



   



b. Menggunakan tabel Distribusi Poisson P ( x ; µ) = P ( 3 ; 2.0)



  X



3



0, 1804



2. Rata-rata seorang sekertaris baru melakukan lima kesalahan ketik per halaman. Berapa peluang bahwa pada halaman berikut ia membuat : a. Tidak ada kesalahan (x=0) b. Tidak lebih dari 3 kesalahan (x ≤ 3) c. Lebih dari 3 kesalahan ( x > 3)



 



Menggunakan tabel Poisson : P ( x ; µ) = P ( 0 ; 5,0 ) µ



x



5,0



0



0,0067



Menggunakan tabel Poisson : P ( x ; µ)



 



P (0 ; 5,0) , P(1 ; 5,0) , P(2 ; 5,0) , P(3 ; 5,0) µ



x



5, 0



0



0, 0067



1



0, 0337



2



0, 0842



3



0, 1404



P (0 ; 5,0) + P (1 ; 5,0) + P (2 ; 5,0) + P (3 ; 5,0) = 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 + 0,1404 = 0,2650 = 26,5%



 



•



Menggunakan tabel Poisson (x>3)



P (x,µ) -> x = 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 µ=5 P = 0,1755 + 0,1755 + 0,1462 + 0,1044 + 0,0653 + 0,0363 + 0,0181 + 0,0082 + 0,0034 + 0,0013 + 0,0005 + 0,0002 = 0,735 = 73,5 %



3. Distribusi Normal Distribusi Probabilitas normal merupakan salah satu distribusi yang paling penting dalam statistika, yang menggambarkan dengan cukup baik gejala yang muncul di alam, industri, perdagangan, dan sebagainya. a. Distribusi Normal Umum Distribusi normal umum adalah distribusi dari variabel acak kontinue. Kadang-kadang Distribusi normal disebut juga sebagai distribusi Gauss. Distribusi ini paling penting dan paling banyak digunakan dibidang statistika. Rumus eksponensial untuk distribusi normal −1 x− µ



2



1 2 ( σ ) n (x, µ, σ) = e √2 πσ 2 untuk nilai x = ≈< x σ2



(Kurva normal µ = µ dan σ > σ ) 1 2 1 2



Dari gambar di atas terlukis dua kurva normal dengan rataan sama tetapi simpangan baku yang berbeda. Terlihat kedua kurva mempunyai titik baku yang berbeda. Terlihat kedua kurva mempunyai titik tengah yang sama pada sumbu datar, tetapi kurva yang memiliki simpangan baku lebih besar tampak lebih rendah dan lebar.



2. Bentuk kurva normal µ1 < µ2 dan σ1 = σ2



(kurva normal μ1< μ2danσ 1 = σ 2) Dari gambar di atas terlukis dua kurva normal dengan simpangan baku sama tetapi rataan yang berbeda. Terlihat kedua kirva sama persis, tetapi titik tengahnya terletak di tempat yang berbeda sepanjang sumbu datar. 3. Bentuk kurva normal µ1 < µ2 dan σ1 < σ2



(kurva normal µ1 < µ2 dan σ1 < σ2) Dari gambar di atas terlukis dua kurva baik rataan maupun simpangan baku berbeda. Terlihat jelas kedua kurva mempunyai titik tengah yang



berbeda di sepanjang sumbu datar bentuknya mencerminkan dua nilai σ yang berlainan. Dapat disimpulkan bahwa Semakin besar nilai σ, maka semakin ladai bentuk dari kurva, dan semakin keciil nilai σ, maka semakin lancip bentuk dari kurva. b. Distribusi Normal Standar Distribusi Normal Standar adalah Distribusi normal dengan mean µ = 0 dan standar deviasi σ = 1. Untuk dapat menentukan probabilitas di dalam kurva normal umum (untuk suatu sampel yang cukup besar, terutama untuk gejala alam seperti berat badan dan tinggi badan), nilai yang akan dicari ditransformasikan dahulu ke nilai x menjadi nilai z. Rumus: Z=



X−µ σ



Keterangan : • Z = Luas distribusi normal • X = data pengukuran • Σ = Simpangan baku



• µ = rata-rata



(kurva distribusi normal standar) Contoh soal : Dari penelitian terhadap 150 unit accu yang diketahui umur rata-rata accu selama 3 tahun dan simpangan baku = 0,5 tahun. Hitunglah peluang umur accu :



a. Umur accu > 4,2 tahun b. Umur accu < 2,2 tahun c. Umur accu antara 2,7 tahun 3,7 tahun Jawab : a. Umur accu > 4,2 tahun Untuk mencari P ( x > 4,2 ), kita perlu menghitung luas bawah kurva normal disebelah kanan dengan x = > 4,2 tahun. Rumus : Z=



X−µ 4,2−3 = = 2,4 σ 0,5



Tabel Distribusi Normal •



P (x > 4,2) = P ( Z > 2,4) lihat pada tabel distribusi normal (2,4) = 1 – (Z < 2,4) = 1 – 0,9918 = 0,0082 = 0,82%



•



Sehingga peluang umur accu di atas 4,2 tahun sebesar 0,82%



(Kurva normal x > 4,2 tahun) b. Umur accu