Konsep Dan Pengolahan Probabilitas [PDF]

Citation preview

“ KONSEP DAN PENGOLAHAN PROBABILITAS ”



Disusun Oleh : Shaqila Thurfa (16818650)



Untuk memenuhi tugas makalah statistika yang diberikan oleh Bapak Ambo Sakka selaku dosen statistika 2MA01



UNIVERSITAS GUNADARMA FAKULTAS ILMU KOMUNIKASI JURUSAN ILMU KOMUNIKASI PTA 2019/2020



BAB I PEMBAHASAN



1.1.



PENGERTIAN KEJADIAN Probabilitas adalah angka antara 0 dan 1 yang menyatakan kemungkinan bahwa suatu peristiwa akan terjadi (Weiers,2011). Probabilitas adalah proporsi dari suatu peristiwa yang diamati terjadi dalam jumlah percobaan yang sangat besar. Probabilitas bisa digunakan untuk mengevaluasi ketidakpastian keputusan yang terlibat di dalamnya (Mann,2010). Probabilitas =



banyaknya percobaan dimana peristiwa terjadi jumlah percobaan



Kejadian adalah kumpulan beberapa atau semua titik dari suatu ruang contoh S. Jadi sebuah kejadian dapat mengandung sebagian atau seluruh titik contoh dari suatu percobaan. Jika suatu kejadian tidak mengandung satupun titik contoh, maka kejadian tersebut disebut kejadian kosong. Jika sebuah kejadian mengandung seluruh anggota ruang contoh, maka kejadian itu mempunyai titik contoh sama dengan S.



1.2.



PERMUTASI DAN KOMBINASI Faktorial adalah perkalian suatu bilangan bulat positif dengan semua bilangan bulat positif lain yang kurang dari bilangan bulat tersebut. Lambang faktorial berupa tanda seru (!). Sebagai contoh faktorial dari 7 adalah 7! = 1x2x3x4x5x6x7. Permutasi adalah jumlah urutan yang berbeda dari pengaturan objekobjek. Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian. Misalkan jumlah objek adalah n, maka: urutan pertama dipilih dari n objek, urutan kedua dipilih dari (n – 1) objek, urutan kedua dipilih dari (n – 2) objek, … urutan terakhir dipilih dari 1 objek yang tersisa. Menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objek adalah n(n – 1)(n – 2) … (2)(1) = n!



Rumus Permutasi : Jika r = n, Maka P (n,n) = n! (ingat 0!=1) Contoh Soal :



1. Contoh untuk menghitung banyaknya cara menyusun urutan dua huruf dari huruf-huruf a, b, c adalah sebagai berikut.



2. Sebuah dalam tim olahraga ada 10 orang siswa yang dicalonkan untuk menjadi pemain. Namun hanya 5 orang boleh menjadi pemain utama. Tentukan banyak cara yang bisa dipakai untuk memilih para pemain utama tersebut? Diketahui : Permutasi P (10,5) atau bisa juga 10P5 , n =10 dan r =5 Jawab : 𝑛!



𝑃(10, 5) = (𝑛−𝑟)! =



10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 (10 - 5) ! 5!



= 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 5x4x3x2x1 = 30.240



.



Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan. Misal diketahui suatu himpunan mempunyai anggota sejumlah n, maka pemilihan r buah anggota dinamakan kombinasi r dari n, dan ditulis sebagai C (n,r) dimana r lebih kecil atau sama dengan n. Rumus kombinasi adalah sebagai berikut :



Contoh :



1. Terdapat empat buah cat yaitu cat berwarna biru, merah, hijau dan kuning. Jika dua buah cat dicampur akan menghasilkan warna baru. Berapakah banyaknya warna biru yang mungkin terjadi?



1.3.



PERHITUNGAN KONSEP KLASIK PELUANG ( FREKUENSI RELATIF ) Frekuensi relatif adalah perbandingan antara banyaknya percobaan yang dilakukan dengan banyaknya hasil dari kejadian yang diamati.



Terdapat sekeping uang logam, kemudian dilemparkan sebanyak 30 kali. Misalkan, hasil yang diperoleh adalah muncul sisi gambar sebanyak 13 kali. Perbandingan banyak kejadian muncul sisi gambar dengan banyak pelemparan adalah 13/30. Nilai inilah yang disebut frekuensi relatif. Contoh Soal Frekuensi Relatif Rino melempar dadu sebanyak 200 kali. Hasilnya adalah muncul muka dadu sebagai berikut. a. Bertitik 1 sebanyak 25 kali. b. Bertitik 3 sebanyak 17 kali. c. Bertitik 6 sebanyak 56 kali. Tentukan frekuensi relatif kejadian munculnya mata dadu bertitik 1, 3, dan 6. Jawab: Banyaknya percobaan adalah 200 a. Kejadian munculnya muka dadu bertitik 1 sebanyak 25 kali.



Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bertitik 1 adalah 0,125. b. Kejadian munculnya muka dadu bertitik 3 sebanyak 17 kali.



Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bertitik 3 adalah 0,085. c. Kejadian munculnya muka dadu bertitik 6 sebanyak 56 kali



Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bertitik 6 adalah 0,28.



1.4.



PENGOLAHAN PROBABILITAS A. Penjumlahan Peluang Aturan Penjumlahan Ada 2 hal yang harus diperhatikan untuk menerapkan aturan penjumlahan ini yaitu : a. Kejadian saling meniadakan Disebut saling meniadakan jika kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. P(A atau B)=P(A)+P(B) Contoh : Sebuah dadu dilemparkan keatas, peristiwanya adalah A = mata dadu 4 B = mata dadu < 3 Tentukan probabilitas Jawab. P(A)=1/6 (mata dadu 4) P(B)=2/6 (mata dadu 1 dan 2) P(A atau B) = P(A) + P(B) = 1/6+2/6 = 3/6 = 0,5 b. Kejadian tidak saling meniadakan Disebut tidak saling meniadakan jika kedua peristiwa atau lebih dapat terjadi pada saat yang bersamaan. P(A atau B)= P(A)+P(B)-P(A dan B)



Contoh : 2 buah dadu dilempar bersamaan A = dadu (4,4) B = dadu < (3,3) Tentukan probabilitas P(A atau B) Jawab P(A) = 1/36 {(4,4)} P(B) = 14/36 {(1,1),(1,2),(1,3),...,(3,2)} P(A dan B) = 0 P(A atau B) = P(A) + P(B) - P(A dan B) = 1/36+14/36-0 = 15/36 = 0,42



B. Kejadian Bebas Dua kejadian dikatakan saling bebas (independen) jika terjadinya kejadian yang satu tidak mempengaruhi kemungkinan terjadinya kejadian yang lain. Contoh: 



Ketika mengambil dua kartu dari satu set kartu permainan (52 kartu), kejadian 'mendapatkan raja (K)' pada kartu pertama dan kejadian 'mendapatkan kartu hitam' pada kartu kedua adalah tidak saling bebas. Peluang pada kartu kedua berubah setelah kartu yang pertama diambil. Kedua kejadian di atas akan menjadi saling bebas jika setelah mengambil kartu yang pertama, kartu tersebut dikembalikan ke set semula (sehingga set kartu itu lengkap kembali, 52 kartu).



Untuk dua kejadian saling bebas, A dan B, peluang untuk keduanya terjadi, P(A∩B), adalah hasil perkalian antara peluang dari masing-masing kejadian. ∩ adalah simbol matematika untuk "dan" atau "irisan". P(A∩B)=P(A)×P(B) Misalnya, ketika melempar koin dua kali, peluang mendapat 'kepala' (K) pada lemparan pertama lalu mendapat 'ekor' (E) pada lemparan kedua adalah P(K∩E)=P(K)×P(E)=0.5×0.5=0.25 C. Probabiltas Dalam memperkirakan probabilitas bahwa suatu kejadian tertentu akan terjadi atau tidak akan terjadi, seperti dalam kasus mengambil satu kartu dari tumpukannya. Disisi lain, dalam kasus memperkirakan probabilitas bahwa



seseorang yang sekarang berusia 25 masih hidup ketika menerima warisan pada usia 30, kita terpaksa melakukannya berdasarkan pengetahuan apa yang telah terjadi didalam situasi yang sama dimasa lampau, jika pengetahuan tersebut ada. Dalam kasus pertama, hasil yang kita peroleh disebut probabilitas matematik atau teoritis; dalam kasus terakhir hasilnya disebut probabilitas statistik atau empiris.



1.5



METODE MENGHITUNG INDEKS HARGA



1.5.1 Indeks Harga Tidak Tertimbang dengan Metode Agregatif Sederhana. Angka indeks yang dimaksud dalam penghitungan indeks harga tidak tertimbang meliputi indeks harga, kuantitas, dan nilai. 1) Angka indeks harga (price = P)



Keterangan: IA= indeks harga yang tidak ditimbang Pn = harga yang dihitung angka indeksnya Po = harga pada tahun dasar Contoh:



Berdasarkan data di atas, maka angka indeks harga tahun 2004 adalah: IA = 1.500/1.300 x 100 = 115,38% Jadi, harga tahun 2004 mengalami kenaikan sebesar 15,38%.



2) Angka indeks kuantitas (quantity = Q)



Keterangan: IA = indeks kuantitas yang tidak ditimbang Qn = kuantitas yang akan dihitung angka indeksnya Qo = kuantitas pada tahun dasar Contoh:



Berdasarkan data di atas, maka angka indeks kuantitas tahun 2004 adalah: IA = 1000/800 x 100 = 125% Jadi, pada tahun 2004 terjadi kenaikan kuantitas sebesar 25%. 3) Angka indeks nilai (value = V)



Keterangan: IA = angka indeks nilai Vn = nilai yang dihitung angka indeksnya Vo = nilai pada tahun dasar Penghitungan angka indeks dengan metode agregatif sederhana mempunyai kebaikan karena bersifat sederhana, sehingga mudah cara menghitungnya. Akan tetapi, metode ini mempunyai kelemahan yaitu apabila terjadi perubahan kuantitas satuan barang, maka angka indeksnya juga akan berubah.



1.5.2 Angka Indeks Tertimbang Penghitungan angka indeks tertimbang dapat dilakukan dengan beberapa metode. 1) Metode agregatif sederhana Angka indeks tertimbang dengan metode agregatif sederhana dapat dihitung dengan rumus seperti di bawah ini.



Keterangan: IA = indeks harga yang ditimbang Pn = nilai yang dihitung angka indeksnya Po = harga pada tahun dasar W = faktor penimbang Contoh penghitungan angka indeks harga dapat kamu lihat pada tabel berikut.



Berdasarkan data di atas, maka angka indeks harga tahun 2004 dapat dihitung dengan cara:



Jadi, pada tahun 2004 terjadi kenaikan harga 10,61%. 2) Metode Laspeyres Angka indeks Laspeyres adalah angka indeks yang ditimbang dengan faktor penimbangnya kuantitas tahun dasar (Qo).



Keterangan: IL = angka indeks Laspeyres Pn = harga tahun yang dihitung angka indeksnya Po = harga pada tahun dasar Qo = kuantitas pada tahun dasar Untuk lebih jelasnya tetang penghitungan angka indeks Laspeyres, perhatikan contoh di bawah ini.



Berdasarkan data di atas, maka indeks Laspeyres dapat dihitung sebagai berikut. IL = 210.000/200.000 x 100 = 105%



Berarti terjadi kenaikan harga sebesar 5% pada tahun 2004. 3) Metode Paasche Angka indeks Paasche adalah angka indeks yang tertimbang dengan faktor penimbang kuantitas tahun n (tahun yang dihitung angka indeksnya) atau Qn.



IP = angka indeks Paasche Pn = harga tahun yang dihitung angka indeksnya Po = harga pada tahun dasar Qn = kuantitas tahun yang dihitung angka indeksnya Berikut adalah contoh penghitungan angka indeks tertimbang dengan metode Paasche.



Berdasarkan data di atas, maka indeks Paasche dapat dihitung sebagai berikut. IP = 242.500/240.000 x 100 = 101,04% Berarti terjadi kenaikan harga sebesar 1,04% pada tahun 2004. Dari Metode Laspeyres dan Metode Paasche terdapat suatu kelemahan sebagai berikut.  Angka



indeks Laspeyres mempunyai kelemahan yaitu hasil penghitungan lebih besar (over estimate), karena pada umumnya harga barang cenderung naik, sehingga kuantitas barang yang diminta mengalami penurunan. Dengan demikian besarnya Qo akan lebih besar daripada Qn.  Angka indeks Paasche mempunyai kelemahan yaitu hasil penghitungan cenderung lebih rendah (under estimate), karena dengan naiknya harga akan menyebabkan permintaan turun, sehingga Qn lebih kecil daripada Qo. Untuk menghilangkan kelemahan tersebut dilakukan dengan cara mengintegrasikan angka indeks tersebut, yaitu dengan menggunakan metode angka indeks Drobisch and Bowley.



4) Metode Drobisch and Bowley Angka indeks tertimbang dengan Metode Drobisch and Bowley dapat dirumuskan sebagai berikut.



Keterangan: D = angka indeks Drobisch IL = angka indeks Laspeyres IP = angka indeks Paasche Contoh soal: Berdasarkan penghitungan angka indeks Laspeyres dan Paasche, pada soal di atas dapat dihitung besarnya indeks Drobisch sebagai berikut.



Berarti terdapat kenaikan harga 3,02% pada tahun 2004. 5) Metode Irving Fisher Penghitungan angka indeks dengan Metode Irving Fisher merupakan angka indeks yang ideal. Irving Fisher menghitung indeks kompromi dengan cara mencari rata-rata ukur dari indeks Laspeyres dan indeks Paasche.



Berdasarkan penghitungan angka indeks Laspeyres dan Paasche, maka dapat dihitung besarnya indeks Irving Fisher sebagai berikut. Berarti terdapat kenaikan harga 3,00% pada tahun 2004.



6) Metode Marshal Edgewarth Menurut metode ini, angka indeks ditimbang dihitung dengan cara menggabungkan kuantitas tahun dasar dan kuantitas tahun n, kemudian mengalikannya dengan harga pada tahun dasar atau harga pada tahun n. Angka indeks Marshal Edgewarth dapat dirumuskan sebagai berikut.



Untuk lebih jelasnya, perhatikan data pada tabel di bawah ini agar kamu dapat mencari angka indeks Marshal Edgewarth.



Berdasarkan data di atas, maka angka indeks Marshal Edgewarth dapat dihitung sebagai berikut.



7) Angka Indeks Rantai Angka indeks rantai adalah penghitungan angka indeks dengan menggunakan tahun sebelumnya sebagai tahun dasar. Misalnya menghitung angka indeks tahun 2000 dengan tahun dasar 1999, angka indeks tahun 2001 dengan tahun dasar 2000, dan angka indeks tahun 2002 dengan tahun dasarnya 2001.



Indeks rantai dapat dihitung sebagai - Indeks tahun 2000 = 500/500 × 100 = - Indeks tahun 2001 = 600/500 × 100 = - Indeks tahun 2002 = 700/600 × 100 = - Indeks tahun 2003 = 800/700 × 100 = - Indeks tahun 2004 = 900/800 × 100 = 112,50



berikut. 100,00 120,00 116,67 114,29



1.6 Koefisien Korelasi, Korelasi Peringkat (Rank), Koefisien Determinasi 1.6.1 Koefisien Korelasi Koefisien Korelasi dinyatakan r merupakan alat kedua yang digunakan untuk menjelaskan hubungan antara variabel X dan Y. Koefiesien korelasi dirumuskan sebagai akar dari koefisien determinasi. Kedua analisa ini biasanya dipakai bersama-sama. Koefisien korelasi dilambangkan dengan r dan koefisien determinasi dilambangkan dengan r2. Harga r bergerak antara –1 dan +1 dengan tanda negatif menyatakan adanya korelasi tak langsung atau korelasi negatif dan tanda positif menyatakan adanya korelasi langsung atau korelasi positif. r=0 menyatakan tidak ada hubungan linier antara variabel X dan Y.



Korelasi negatif sempurna



Korelasi negatif sedang



negatif kuat -1,0



Tidak ada korelasi



negatif lemah -0,5



Korelasi Negatif



Korelasi positif sedang



positif lemah



0,0



korelasi positif sempurna



positif kuat



0,5 Korelasi Positif



Korelasi negatif Korelasi negatif Tidak ada Korelasi positif korelasi positif sempurna sedang korelasi sedang sempurna negatif kuat negatif lemah positif lemah positif kuat -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 Korelasi Negatif Korelasi Positif Koefisien korelasi pearson atau Product Moment Coefficient of Correlation adalah nilai yang menunjukan keeratan hubungan linier dua variabel dengan skala data interval atau rasio. Rumus yang digunakan adalah Berikut contoh kasus daei Koefisien korelasi Perhitungan koefisien korelasi berdasarkan rumus regresi (dalam jutaan rupiah) Biaya Iklan (X) Keuntungan (Y) X2 XY Y1 (Y-Y1) (Y-Y1)2 (Y-Ῡ) (Y- Ῡ)2 5 31 25 155 30 +1 1 +1 1 11 40 121 440 42 -2 4 +10 100 4 30 16 120 28 +2 4 0 0 5 34 25 170 30 +4 16 +4 16 3 25 9 75 26 +1 1 -5 25 2 20 4 40 24 -4 16 -10 100 ∑Y=180 ∑=42 ∑=242 ∑X = 30 X = 30/6 = 5Y = 180/6 = 30 ∑Y = Na + b ∑ X ....... ∑XY = a∑X + b∑X2 ........ Persamaan regresi: Yi = 20+2X R= √1 − ∑(Y−Y∑(Y−Y)2 1)2 = √1 − 242 42 =√1 − 0,17 =√0,89 = 0,91



1,0



1.7 Korelasi berdasarkan Ranking (Rank Correlation) Metode perhitungan koefisien korelasi berdasarkan ranking ini dikenalkan oleh Profesor Charles Spearman. Metode ini dapat digunakan untuk menghitung koefisien korelasi yang variabel nilai datanya tidak diketahui, melainkan hanya urutan nilai atau rankingnya yang diketahui. Koefisen korelasi ini mengukur kedekatan hubungan antara dua variabel ordinal. Koefisien korelasi ini dinamakan koefisien korelasi pangkat atau koefisien korelasi Spearman, yang disimbolkan dengan r. Pasangan data hasil pengamatan (Xi , Yi) kita susun menurut urutan besar nilainya dalam tiap variabel. Kemudian kita bentuk selisih atau beda peringkat Xi dan peringkat Yi yang data aslinya berpasangan. Beda ini disimbolkan dengan bi, maka koefisien korelasi peringkat r dihitung dengan rumus : 180 = 6a + 30b x5 1000 = 30a + 200b x1 900 = 30a + 150b 1000 = 30a + 200b 100 = 50b 2r = 1 - 6 ∑ b i(nn Berikut contoh kasusnya Data berikut menunjukkan data penjualan Televisi (X) dan Video Recorder (Y). X Y 115 130 134 132 120 128 130 130 124 127 128 125 Perhitungannya: Televisi (X) Video Recorder (Y) Ranking YI D D2 115 130 6 2,5 3,5 12,25 134 132 1 1 0 0 120 128 5 4 1 1 130 130 2 2,5 -0,5 0,25 124 127 4 5 -1 1 128 125 3 6 -3 9 ∑=23,50 R=1- − 6(23,50) 6(36−1) = 1 − 141 210 = 210 69 = 0,33 1.8 Koefisien Determinasi0020 Koefisien determinasi adalah suatu alat utama untuk mengetahu sejauh mana tingkat hubungan antara variabel X dan Y. Koefisien determenasi ini dapat ditentukan berdasarkan hubungan antara dua macam variasi, yaitu: a) Variasi variabel Y terhadap garis regresi (Y’) b) Variabel variasi Y terhadap rata-ratanya (Y) Koefisien determinasi merupakan ukuran untuk mengetahui kesesuaian atau ketepatan antara nilai dugaan dengan data sampel. Koefisien determinasi didefinisikan sebagai berikut. Koefisien determinasi adalah bagian dari keragaman total variabel tak bebas Y (variabel yang dipengaruhi atau dependent) yang dapat diterangkan atau diperhitungkan oleh keragaman variabel bebas X (variabel yang mempengaruhi, independent). Jadi koefisien determinasi adalah kemampuan variabel X mempengaruhi variabel Y. Semakin besar koefisien determinasi menunjukkan semakin baik



kemampuan X mempengaruhi Y. { )X(n )X( }{ )Y(n )Y( } r 2 =



[ YXn ii ∑ 2- ∑ 2 i i ∑ - ∑ ∑ - )X( ∑ )Y( ∑ ] 2 22 i i i



i Berikut ini contoh kasus yang dapat dipahami Contoh hubungan sempurna antara variabel X dan Y X Y Regresi (YI) (Y-YI) (Y-Y1)2 (Y- Ῡ) (Y- Ῡ)2 1 2 2 0 0 -4 16 2 4 4 0 0 -2 4 3 6 6 0 0 0 0 4 8 8 0 0 +2 4 5 10 10 0 0 +4 16 ∑Y=30 ∑(Y-YI)2 = 0 ∑(Y-Y)2 = 40 Y=30/5 = 6 r2 = 1 - 40 0= 1 - 0 = 1 Koefisien determinasi = 1, menunjukkan hubungan sempurna Jika koefisien determinasi = 0, menunjukkan tidak adanya hubungan.



BAB II PENUTUP



2.1.



Kesimpulan Teori adalah seperangkat konsep/konstruk, defenisi dan proposisi yang berusaha menjelaskan hubungan sistimatis suatu fenomena, dengan cara memerinci hubungan sebab-akibat yang terjadi. Ada dua tipologi umum teori, diantaranya adalah teori umum, yaitu pernyataan yang sebenarnya bersifat universal. Ia berlaku bagi semua waktu, tempat dan semua keadaan serta semua permasalahan kelas yang dinyatakannya. Dan kedua ialah teori khusus, yaitu teori yang berkaitan dengan sejumlah fakta-fakta particular tertentu. Ia berusaha menjelaskan fakta-fakta itu dalam hubungannya antara yang satu dengan yang lainnya.



2.2.



Saran Penulis menyadari bahwa makalah diatas banyak sekali kesalahan dan jauh dari kata sempurna, kedepannya penulis akan lebih fokus dan detail dalam menjelaskan tentang makalah di atas dengan sumber-sumber yang lebih banyak dan temtunya dapat dipertanggungjawabkan. Maka dari itu penulis mengharapkan kritik dan saran mengenai pembahasan dari makalah dalam kesimpulan di atas. Semoga makalah yang penulis susun ini bisa menjadi manfaat bagi pembelajaran. Baik itu secara langsung maupun tidak langsung.



DAFTAR PUSTAKA



Algifari. 1994. Statistika Ekonomi. Yogyakarta: STIE YKPN. Berpendidikan. 2016. Pengertian Peluang Suatu Kejadian, Frekuensi Relatif, Rumus dan Contoh Soal Peluang Probabilitas. https://www.berpendidikan.com/2016/09/pengertian-peluang-suatu-kejadianfrekuensi-relatif-rums-dan-contoh-soal-peluang-probabilitas.html. Diakses pada 3 Januari 2020. Boedijoewono, Noegroho. 2016. Pengantar Statistika Ekonomi & Bisnis Jilid 1 (Deskriptif). Yogyakarta: UPP STIM YKPN. Dinus. Bab 4 Analisis Korelasi. Di dinus.ac.id › repository › docs › ajar › Bab4_Analisis_Korelasi (Diakses pada : 17 Oktober 2019) Frank Ayres Jr., Philip A. Schmidt, (2007). Schaum Series – Matematika Universitas (Edisi terjemahan). Jakarta:Penebit Erlangga, Media. Kustituanto, Bambang. 1984. Statistik: Analisa Runtut Waktu dan Regresi - Korelasi. Yogyakarta: BPFE Yogyakarta & LMP2M AMP YKPN. Partner matematika. 2018. Permutasi dan Kombinasi serta Contoh dan Penerapannya.https://www.partnermatematika.com/2018/01/permutasi-dankombinasi-serta-contoh.html. Diakses pada 3 Januari 2020. Sholikhudin Arif. 2013. Cara Menghitung Indeks Harga Dengan Berbagai Metode. Di http://sholikhudin-arif.blogspot.com/2013/03/cara-menghitungindeks-harga-dengan.html (Diakses pada : 16 Oktober 2019) Teknosains. 2014. Pembahasan dan Contoh Soal Permutasi. http://teknosains.com/i/matematika-pembahasan-dan-contoh-soal-permutasi. Diakses pada 3 Januari 2020