Kuliah 03 - Matriks Dan Vektor [PDF]

Citation preview

MODUL PERKULIAHAN



Metoda Numerik Lanjut Matriks dan Vektor



Direktorat Pasca Sarjana



Program Studi Magister Teknik Sipil



Modul



Kode MK



Disusun Oleh



03



W571700010



Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



Abstract



Kompetensi



Modul ini menjelaskan tentang sifat-sifat matriks dan vektor beserta operasi dan manipulasinya kemudian diikuti dengan penerapannya dalam perumusan masalah dalam rekayasa struktur.



Memahami sifat-sifat matriks dan vektor serta penggunaannya Merumuskan permasalahan rekayasa struktur menggunakan matriks dan vektor



1. Pendahuluan Matriks adalah kumpulan bilangan, simbol atau ekspresi yang ditempatkan berdasarkan baris dan kolom1. Dengan ditampilkan menggunakan matriks, analisis dan perhitungan dapat dilakukan secara lebih terstruktur. Banyaknya kolom dan baris suatu matriks disebut dengan dimensi matriks, sedangkan bilangan, simbol atau ekspresi yang menjadi penyusun matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Matriks umumnya ditulis dalam tanda kurung siku, yaitu: 𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 [𝐴] = 𝐀 = 31 ⋯ 𝑎3𝑛 32 33 ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 𝑎𝑚𝑛 ] [ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 Dalam matriks [𝐴] (kadang-kadang ditulis sebagai 𝐀) di atas, 𝑎𝑖𝑗 (𝑖 = 1, 𝑚; 𝑗 = 1, 𝑛) adalah elemen matriks [𝐴]. Matriks [𝐴] mempunyai 𝑚 buah baris dan 𝑛 buah kolom sehingga disebut mempunyai dimensi 𝑚 × 𝑛. Suatu matriks [𝐵] merupakan transpos (transpose) dari [𝐴], atau [𝐵] = [𝐴]𝑇 jika 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 . Jadi, jika dimensi matriks [𝐴] adalah 𝑚 × 𝑛, maka dimensi matriks [𝐵] adalah 𝑛 × 𝑚. Jika 𝑚 = 1, matriks [𝐴] disebut matriks baris. Sedangkan jika 𝑛 = 1, matriks [𝐴] disebut ̅ . Jadi, transpos dari matriks matriks kolom atau vektor dan umumnya ditulis dengan {𝐴} atau 𝑨 baris menghasilkan matrik kolom (atau vektor), dan sebaliknya. Jika 𝑚 = 𝑛, matriks [𝐴] disebut matriks bujursangkar. Matriks bujursangkar ini, terbagi menjadi beberapa golongan, antara lain: •



Matriks simetris, yaitu jika 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 . Pada matriks simetris, berlaku [𝐴]𝑇 = [𝐴].



•



Matriks diagonal, yaitu jika 𝑎𝑖𝑗 = 0 untuk semua 𝑖 ≠ 𝑗. Matriks diagonal adalah keadaan khusus dari matriks simetris.



•



Matriks tridiagonal, yaitu matriks yang semua elemennya nol, kecuali elemen-elemen pada diagonal dan elemen-elemen pada dua diagonal lainnya yang paling berdekatan dengan diagonal.



•



Matriks identitas, yaitu jika 𝑎𝑖𝑗 = 1 untuk 𝑖 = 𝑗, dan 𝑎𝑖𝑗 = 0 untuk 𝑖 ≠ 𝑗. Matriks identitas adalah keadaan khusus dari matriks diagonal dan biasa ditulis sebagai [𝐼]. Suatu matriks [𝐴] jika dikalikan dengan matriks identitas [𝐼] akan menghasilkan matriks [𝐴] itu sendiri, atau [𝐴][𝐼] = [𝐼][𝐴] = [𝐴]



1



https://id.wikipedia.org/wiki/Matriks_(matematika), dilihat pada 22 Juni 2016 2021



2



Metoda Numerik Lanjut Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



•



Matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol dan biasa ditulis sebagai [0]. Semua matriks yang dikalikan dengan matriks nol, akan menghasilkan matriks nol, atau [𝐴][0] = [0][𝐴] = [0].



•



Matriks invers (kebalikan). Matriks [𝐵] merupakan invers dari matriks [𝐴] jika [𝐴] × [𝐵] = [𝐵] × [𝐴] = [𝐼]. Dalam hal ini, sering ditulis bahwa [𝐵] = [𝐴]−1 dan sebaliknya.



•



Matriks segitiga (triangular matrix), yaitu matriks yang elemen bagian atasnya (atau elemen bagian bawahnya) hingga batas elemen diagonal mempunyai nilai, sedangkan bagian lainnya nol. Jika elemen bagian atasnya yang tidak nol, matriks ini disebut matriks segitiga atas (upper triangular matrix), sedangkan jika elemen bawahnya yang tidak nol, disebut dengan matriks segitiga bawah (lower triangular matrix). Dengan demikian, matriks [𝐴] disebut matriks segitiga atas jika, 𝑎𝑖𝑗 ≠ 0 untuk 𝑖 ≤ 𝑗 { 𝑎𝑖𝑗 = 0 untuk 𝑖 > 𝑗



•



Matriks Jarang (sparse matrix) adalah matriks yang sebagian besar elemennya nol.



•



Matriks Orthogonal adalah matriks yang invers-nya sama dengan transpos-nya, atau [𝐴]−1 = [𝐴]𝑇 atau dapat juga dituliskan sebagai [𝐴]𝑇 [𝐴] = [𝐴][𝐴]𝑇 = [𝐼]



•



Matriks Singular adalah matriks yang mempunyai determinan sama dengan nol (determinan akan dijelaskan kemudian).



2. Manipulasi Matriks Seperti halnya variabel, matriks dapat dimanipulasi (seperti dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan, dsb) dan di-dekomposisi-kan. Berikut ini beberapa manipulasi matriks. 1. Penjumlahan matriks, [𝐶] = [𝐴] + [𝐵] → 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 Jelas bahwa dimensi matriks yang dijumlahkan ([𝐴] dan [𝐵]) harus sama dan akan menghasilkan matriks baru ([𝐶]) yang dimensinya sama pula. Perlu digarisbawahi bahwa sifat komutatif (pertukaran) dan asosiatif (pengelompokan) tetap berlaku pada penjumlahan matriks. Jadi, [𝐴] + [𝐵] = [𝐵] + [𝐴] ([𝐴] + [𝐵]) + [𝐶] = [𝐴] + ([𝐵] + [𝐶])



2. Perkalian Matriks Matriks [𝐴] hanya dapat dikalikan dengan matriks [𝐵] jika jumlah kolom matriks [𝐴] sama dengan jumlah baris matriks [𝐵]. Hasil perkaliannya adalah matriks [𝐶] yang banyak barisnya



2021



3



Metoda Numerik Lanjut Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



sama dengan jumlah baris matriks [𝐴] dan banyak kolomnya sama dengan jumlah kolom matriks [𝐵]. Dengan kata lain, [𝐴]𝑚×𝑛 × [𝐵]𝑛×𝑝 = [𝐶]𝑚×𝑝 Adapun setiap elemen pada matriks [𝐶] dapat dihitung dengan: 𝑛



𝑐𝑖𝑗 = ∑ 𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗 𝑘=1



Perlu digaris-bawahi bahwa perkalian matriks tidak bersifat komutatif, artinya [𝐴] × [𝐵] ≠ [𝐵] × [𝐴] Selain itu, perlu digaris-bawahi sifat perkalian matriks transpos, yaitu: ([𝐴][𝐵])𝑇 = [𝐵]𝑇 [𝐴]𝑇 ([𝐴][𝐵][𝐶])𝑇 = [𝐶]𝑇 [𝐵]𝑇 [𝐴]𝑇 Penjelasan lebih lanjut tentang algoritma dalam perhitungan perkalian matriks akan diberikan pada bagian berikutnya dari modul ini.



3. Determinan Matriks Suatu matriks bujursangkar [𝐴] dengan dimensi 𝑛 × 𝑛, mempunyai determinan det 𝐴 (atau ditulis juga sebagai det[𝐴] atau |𝐴|). Beberapa sifat determinan:2 det([𝐴]𝑇 ) = det 𝐴 det([𝐴]−1 ) = (det 𝐴)−1 =



1 det 𝐴



det([A] × [B]) = det A × det B Untuk menghitung determinan, dibutuhkan beberapa definisi: 1. Minor elemen aij dari matriks [A] dengan dimensi n × n adalah determinan dari suatu matriks (n − 1) × (n − 1) yang dibentuk dari matriks [A] dengan membuang baris ke-i dan kolom ke-j 2. Kofaktor dari aij (diberi notasi Aij ) adalah suatu bilangan hasil perkalian antara (−1)i+j dengan minor elemen aij . Determinan dari matriks [A] dapat dihitung sebagai n



n



det[A] = ∑ apj Apj = ∑ aqk Aqk j=1



k=1



Contoh 1: 1 det [ 2



2



a11



4 ⏞ × ] = (1) 5



kofaktor a11



a21



kofaktor a21



⏞ (5)



⏞ × = (2)



⏞ (−4)



+ (4) ⏟ ×



(−2) ⏟



a12



kofaktor a12



+ (5) × (1) = −3



Luknanto, D., “Metoda Numerik”, Bahan Kuliah Metoda Numerik, Jurusan Teknik Sipil FT UGM, Yogyakarta, November 2001, bisa diunduh dari luk.staff.ugm.ac.id/numerik/MetodaNumerik.pdf 2021



4



Metoda Numerik Lanjut Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



5 3 −1 det [1 −1 2 ] 2 −3 4 kofaktor a11



kofaktor a13



⏞ −1 2 1 = 5 × (−1)1+1 × | | + 3 × (−1)1+2 | ⏟ −3 4 2



⏞ −1 1 −1 | + (−1) × (−1)1+3 × | | −3 2 −3



kofaktor a12



= 5 × (+1) × (−4 + 6) + 3 × (−1) × (4 − 4) + (−1) × (+1) × (−3 + 2) = 11 Secara numerik, determinan suatu matriks [A]n×n dapat dihitung menggunakan metode kofaktor yang berdasarkan pada kolom pertama, yaitu: n



det[A] = ∑ ai1 Ai1 = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31 + ⋯ + an1 An1 i−1



Jika [A] adalah matriks segitiga atas, maka ai1 = 0 untuk i = 2,3, ⋯ , n sehingga det[A] = a11 A11 = a11 a22 a33 ⋯ ann Jika [A] bukan matriks segitiga atas, maka dapat diupayakan (dengan operasi baris, lihat contoh) agar [A] menjadi matriks segitiga atas, sehingga a11 a12 ⋯ a1n u11 a21 a22 ⋯ a2n 0 det[A] = | ⋮ | = K| ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ an1 an2 ⋯ ann 0



u12 a22 ⋮ 0



⋯ ⋯ ⋱ ⋯



Contoh 2: Hitunglah determinan matriks berikut ini 1 4 2 −1 3 −5 6 1 [A] = [ ] 1 0 4 5 −6 1 9 7 1. a) Kalikan baris 1 dengan (−3) dan tambahkan ke baris 2 b) Kalikan baris 1 dengan (-1) dan tambahkan ke baris 3 c) Kalikan baris 1 dengan (+6) dan tambahkan ke baris 4 diperoleh: 1 0 det[A] = | 0 0



4 −17 −4 25



2 −1 0 4 | 2 6 21 1



2. Bagi baris kedua dengan (−17) diperoleh 1 0 det[A] = (−17) × | 0 0



4 2 −1 1 0 − 4⁄17 | −4 2 6 25 21 1



3. a) Kalikan baris 2 dengan (+4) dan tambahkan ke baris 3 b) Kalikan baris 2 dengan (-25) dan tambahkan ke baris 4 diperoleh 2021



5



Metoda Numerik Lanjut Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



u1n u2n | ⋮ unn



1 0 det[A] = (−17) × | 0 0



4 2 −1 1 0 − 4⁄17 | 0 2 86⁄17 0 21 117⁄17



4. Bagi baris 4 dengan (+2) diperoleh 1 0 det[A] = (−17) × (+2) × | 0 0



4 1 0 0



2 0 1 21



−1 − 4⁄17 | 86⁄34 117⁄17



5. Kalikan baris 3 dengan (-21) dan tambahkan ke baris 4, diperoleh 1 0 det[A] = (−17) × (+2) × | 0 0



4 1 0 0



2 −1 0 − 4⁄17 | 1 86⁄34 0 −786⁄17



Determinan matriks [A] = det[A] = (−17) × (+2) × (1) × (1) × (1) × (−786⁄17) = 1572



4. Diferensial dan Integral Sebuah matriks dapat di-diferensialkan atau diintegrasikan dengan men-diferensial-kan atau meng-integrasi-kan elemen-elemennya3 Contoh 3: x2 3 sin x −x [A] = [3 sin x −x 4 (cos x) 2



−x 4 2x 3 cos x −4x 3 d[A] 2 (cos x) ] ⟹ = [3 cos x −1 −2 cos x sin x] dx 3 7x 3 −4x −2 cos x sin x 21x 2



x L 1− L L [B] = { x } ⇒ ∫[B][B]T dx = [2 6 1 0 L



1 ] 2



5. Matriks Partisi Matriks dapat dibagi-bagi atau di-partisi menjadi sejumlah matriks yang lebih kecil yang disebut dengan sub-matriks. Operasi matriks (seperti penjumlahan atau perkalian) dapat dilakukan terhadap matriks partisi dengan mengganggap sub-matriks-nya sebagai elemen dari matriks partisi.



3



https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0ahUKEwj_6KC_qe3NAhUST o8KHUBoBpAQFggcMAA&url=http%3A%2F%2Fwww.pucmmsti.edu.do%2Fwebsise%2Festudiante%2Fmat erias%2F201220131%2FST-IC%2520-424-T001%2FAnalisis%2520Matricial%2C%25201de%25203.pdf&usg=AFQjCNH8vyxteH6NWbJ_AztLLZOYXZfi hA&sig2=sYrfgxHYWUD69dufkd4IbQ&cad=rja 2021



6



Metoda Numerik Lanjut Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



Contoh 4: +2 [−5 [B] = [ +8 [+1



−4 −1 [B ] {B12 } +7] {+3} = [ 11 ] ] −9 +6 [B21 ] {B22 } 2×2 +3] {+8} 4×3



+9 −6 [C ] [ ] [C] = [ +4 +2 ] = { 11 } [C 21 ] 2×1 [−3 +1] 3×2 +2 −20 +3 −1 5 −21 [B11 ][C11 ] + {B12 }[C21 ] [−17 +44] + [ −9 +3] −26 47 ] [B][C] = { ={ =[ } } 18 −60 [B21 ][C11 ] + {B22 }[C21 ] 2×1 +36 −66 −18 +6 [+21 0] + [−24 +8] 2×1 −3 8 4×2 6. Matriks Invers Seperti telah disebutkan, invers dari matriks bujursangkar [A] adalah kebalikannya (disebut dengan matriks [A]−1 ), sehingga [A][A]−1 = [A]−1 [A] = [I]. Jika matriks [A] adalah matriks simetris, maka inversnya (matriks [A]−1) juga simetris. Untuk matriks berdimensi 2 × 2, invers-nya dapat secara langsung dihitung, yaitu: 1 d −b [A] = [a b] ⟹ [A]−1 = [ ] c d ad − bc −c a Dalam hal ini, (ad − bc) disebut dengan determinan, dan tidak boleh sama dengan nol. Seperti telah disebutkan sebelumnya, jika (ad − bc) = 0, maka matriks [A] tidak mempunyai invers dan disebut dengan matriks singular. Untuk matriks bujursangkar [A]n×n dengan n > 2, invers-nya dapat dilakukan dengan membentuk matriks gabungan [G] yang menyatukan matriks [A]n×n dengan matriks identitas [I]n×n sehingga matriks gabungan [G] berukuran (n × 2n). Selanjutnya dilakukan operasi baris (lihat contoh) terhadap matriks G tersebut sehingga matriks [A] berubah menjadi matriks identitas [I] sedangkan matriks identitas [I] berubah menjadi matriks [A]−1 . Contoh 5: Hitung invers dari matriks simetris berikut. 13 −6 6 [A] = [−6 12 −1] 6 −1 9 Matriks gabungan dibentuk dengan menyatukan matriks [A] dengan matriks identitas [I], yaitu: 13 −6 6 1 0 0 [G] = ⟨[A]|[I]⟩ = ⟨−6 12 −1|0 1 0⟩ 6 −1 9 0 0 1 1. Bagi baris 1 dengan G11 = 13, diperoleh 1 −0,4615 0,4615 0,07692 0 0 [G] = ⟨[A]|[I]⟩ = ⟨−6 1 0⟩ 12 −1 | 0 0 0 1 6 −1 9 2021



7



Metoda Numerik Lanjut Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



2. a) Kalikan baris 1 dengan −G21 = +6 lalu tambahkan ke baris 2 b) Kalikan baris 1 dengan −G31 = −6 lalu tambahkan ke baris 3 diperoleh 1 −0,4615 0,4615 0,07692 0 [G] = ⟨[A]|[I]⟩ = ⟨0 9,231 1,769 | 0,4615 1 0 1,769 6,231 −0,4615 0



0 0⟩ 1



3. Bagi baris 2 dengan G22 = 9,231, diperoleh 0 0 1 −0,4615 0,4615 0,07692 [G] = ⟨[A]|[I]⟩ = ⟨0 1 0,1916| 0,04999 0,1083 0⟩ 0 1 0 1,769 6,231 −0,4615 4. a) Kalikan baris 2 dengan −G12 = +0.4615 lalu tambahkan ke baris 1 b) Kalikan baris 2 dengan −G32 = −1,769 lalu tambahkan ke baris 3 diperoleh 1 0 0,5499 0,09999 0,04998 0 [G] = ⟨[A]|[I]⟩ = ⟨0 1 0,1916| 0,04999 0,1083 0⟩ 0 0 5,892 −0,5499 −0,1916 1 5. Bagi baris 3 dengan G33 = 5,892, diperoleh 1 0 [G] = ⟨[A]|[I]⟩ = ⟨0 1 0 0



0,04998 0 0,5499 0,09999 0,1083 0 ⟩ 0,1916| 0,04999 −0,09333 −0,03252 0,1697 1



6. a) Kalikan baris 3 dengan −G13 = −0,5499 lalu tambahkan ke baris 1 b) Kalikan baris 3 dengan −G23 = −0,1916 lalu tambahkan ke baris 2 diperoleh: 1 [G] = ⟨[A]|[I]⟩ = ⟨0 0



0,06787 −0,09333 0 0 0,1513 0,1145 −0,03252⟩ 1 0| 0,06787 0,1697 0 1 −0,09333 −0,03252



Jadi invers dari matriks [A] adalah [A]



−1



0,1513 0,06787 −0,09333 = [ 0,06787 0,1145 −0,03252] −0,09333 −0,03252 0,1697



3. Vektor Seperti telah disebutkan sebelumnya, vektor adalah matriks dengan kolom tunggal dan vektor A diberi lambang dengan {A} atau ⃗A. Dalam fisika, vektor adalah kuantitas yang memiliki besar dan arah. Yang termasuk dalam besaran vektor antara lain, gaya, kecepatan, percepatan, perpindahan, momen, momentum dan sebagainya. Sebagai perbandingan, skalar adalah kuantitas yang hanya memiliki besaran saja, tapi tidak memiliki arah. Yang termasuk skalar adalah jarak, energi, massa, suhu, waktu, volume dan sebagainya. Sedangkan tensor adalah bentuk umum dari skalar dan vektor. Selain memiliki besaran dan arah, tensor juga



2021



8



Metoda Numerik Lanjut Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



memberikan petunjuk di mana tempatnya bekerja. Yang termasuk tensor adalah tegangan dan regangan.



Kembali ke masalah vektor. Operasi dasar yang terkait dengan vektor antara lain:



1. Penjumlahan Seperti halnya pada matriks, penjumlahan vektor akan menghasilkan vektor lain yang elemenelemennya merupakan penjumlahan dari elemen-elemen vektor yang dijumlahkan. Jika {Z} = {X} + {Y}, maka zi = xi + yi 2. Perkalian Titik (dot product atau inner product atau scalar product) Perkalian titik dari dua vektor menghasilkan sebuah besaran skalar. Jika c merupakan hasil perkalian titik dari vektor {X} dengan vektor {Y}, maka c merupakan penjumlahan dari perkalian masing-masing elemen vektor {X} dan vektor {Y}, atau n T {Y},



Jika c = {X}



maka c = ∑ xi yi i



Dengan demikian, algoritma untuk mendapatkan perkalian titik adalah,



10



C = 0.0 DO 10 I=1,N C = C + X(I) * Y(I) CONTINUE



Jelas bahwa perkalian titik dari dua vektor berukuran n memerlukan n buah perkalian dan n buah penjumlahan. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa operasi pada perkalian titik adalah operasi “O(n)”, artinya banyaknya operasi bertambah secara linear terhadap ukuran matriks. Algoritma yang baik adalah algoritma yang dapat memperkecil O(n).



3. Perkalian Luar (Outer Product) Perkalian luar adalah perkalian antara matriks kolom (vektor) dengan matriks baris menghasilkan matriks segiempat biasa4. Bentuk umum perkalian luar adalah: [A] = [A] + {X}{Y}T



Golub, G.H., Van Loan, C.F., “Matrix Computations”, 4th edition, The Johns Hopkins University Press, 2013. Bisa diunduh dari tautan berikut: https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjpj Pr02uzNAhVEjJQKHUqrAFkQFggjMAA&url=http%3A%2F%2Fweb.mit.edu%2Fehliu%2FPublic%2Fsclark %2FGolub%2520G.H.%2C%2520Van%2520Loan%2520C.F.%2520Matrix%2520Computations.pdf&usg=AFQjCNHxBKCVK1pJ8R9BQZngZjYEbPMUA&sig2=nkc79sI_Z0Khdm3rZTg8vA 4



2021



9



Metoda Numerik Lanjut Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



Dalam hal ini, tanda sama dengan (=) berarti menyamakan (assign) dari operasi yang ada di sebelah kanannya ke sebelah kiri.



Contoh 6: 1 {2} [4 3



1 4 5 4 T 5] = {2} { } = [ 8 10] 5 3 12 15



4. Perkalian Matriks dengan Vektor Dalam rekayasa, bentuk yang paling sering muncul dalam perkalian matriks dengan vektor adalah bentuk {Y} = [A]{X} + {Y} Sekali lagi, dalam hal ini, tanda = bukan berarti kesamaan matematis (mathematical equality), tapi penyamaan (assignment), yaitu pemutakhiran (updating) terhadap nilai sebelumnya dari vektor {y}. Bentuk seperti ini disebut dengan “gaxpy” yang sebenarnya berarti “penggaliban (generalized) skalar ax ditambah (plus) y”. Untuk diketahui, gaxpy adalah bentuk umum dari saxpy (scalar ax plus y) yaitu {y} = a{x} + {y}. Untuk masalah gaxpy, tiap elemen vektor {y} dapat dihitung berdasarkan n



yi = yi + ∑ aij xj



i = 1, m



j=1



Jadi, algoritma gaxpy dapat ditulis dengan dua cara yaitu yang berdasarkan baris (roworiented) dan yang berdasarkan kolom (column-oriented) Gaxpy berdasarkan baris (row-oriented Gaxpy) Y(i) = 0.0 DO 10 I=1,M DO 20 J=1,N Y(I) = Y(I) + A(I,J) * X(J) CONTINUE CONTINUE



20 10



Dari algoritma di atas terlihat bahwa banyaknya perhitungan yang harus dilakukan adalah O(mn). Alternatif lain dari algoritma di atas juga dapat diperoleh dengan menanggap matriks [A] sebagai kumpulan dari kolom-kolom Contoh 7:



2021



10



Metoda Numerik Lanjut Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



algoritma alternatif



1 [3 5



⏞ 1 1×7+2×8 2 2 23 7 = = 7 × + 8 × = ] { } [ ] { } { } { 3×7+4×8 4 3 4 53} 8 ⏟5 × 7 + 6 × 8 6 5 6 83 algoritma biasa



Gaxpy berdasarkan kolom (column-oriented Gaxpy)



20 10



Y(i) = 0.0 DO 10 J=1,N DO 20 I=1,M Y(I) = Y(I) + A(I,J) * X(J) CONTINUE CONTINUE



4. Perkalian Matriks dengan Matriks Untuk mempelajari berbagai cara perhitungan perkalian matriks dengan matriks, tinjau contoh berikut:



Contoh 8: Kita akan menghitung perkalian dua matriks [



1 2 5 ][ 3 4 7



6 ] 8



1. Cara Biasa: dilakukan perkalian titik terhadap setiap elemen matriks 1 [ 3



2 5 6 1∙5+2∙7 ][ ]=[ 4 7 8 3∙5+4∙7



1∙6+2∙8 19 22 ]=[ ] 3∙6+4∙8 43 50



2. Cara Saxpy: perkalian dilakukan sebagai kombinasi linier (linear combination) dari kolomkolom matriks sebelah kiri 1 2 5 [ ][ 3 4 7



6 + 16 1 2 1 2 5 + 14 19 6 ] = [5 { } + 7 { } 6 { } + 8 { }] = [{ } { }] = [ 18 + 32 3 4 3 4 15 + 28 43 8



22 ] 50



3. Cara Perkalian Luar (Outer Product): hasil perkalian adalah jumlah dari perkalian luar [



1 2 5 6 1 5 T 2 7 T 14 16 19 22 5 6 ][ ] = { }{ } + { }{ } = [ ]+[ ]=[ ] 3 4 7 8 3 6 4 8 28 32 43 50 15 18



Meskipun berbagai cara tersebut hasilnya sama, namun kinerja (performance)-nya dapat sangat berbeda karena ketika dalam proses perhitungan menggunakan komputer, terdapat perbedaan dalam lalu lintas memori. Efisiensi dari suatu algoritma matriks tergantung dari beberapa faktor Seperti yang telah disinggung di atas, perkalian matriks-dengan matriks secara umum dapat dirumuskan sebagai [𝐴]𝑚×𝑛 × [𝐵]𝑛×𝑝 = [𝐶]𝑚×𝑝



2021



11



Metoda Numerik Lanjut Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



𝑛



𝑐𝑖𝑗 = ∑ 𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗 𝑘=1



Sehingga algoritma yang dapat digunakan untuk cara biasa dapat dilihat pada contoh program berikut: PROGRAM PERKALIAN_MATRIKS_BIASA INTEGER A(2,2), B(2,2), C(2,2) DATA A/1,3,2,4/, B/5,7,6,8/ N = 2 ! SEKEDAR MEMASTIKAN KEBENARAN DATA PRINT *, A PRINT *, B ! PANGGIL SUBROUTINE YANG DIPERLUKAN PRINT *, "PANGGIL SUBROUTINE CARA BIASA" CALL KALMAT (A,B,C,N) PRINT *, "SETELAH DIPANGGIL" PRINT *, C END



10



SUBROUTINE KALMAT (A,B,C,N) INTEGER A(N,N), B(N,N), C(N,N), N PRINT *,"DI DALAM SUBROUTINE KALMAT" DO 10 I=1,N DO 10 J=1,N C(I,J) = 0 DO 10 K=1,N C(I,J)=C(I,J)+A(I,K)*B(K,J) CONTINUE RETURN END



5. Pemodelan Matriks Batang Bidang



pada



Rangka



Rangka Batang Bidang (plane truss) adalah rangka batang dua dimensi dari batang-batang lurus dan prismatis (berpenampang sama di sepanjang batang) yang ujung-ujungnya berhubungan melalui sendi tanpa gesekan (frictionless). Rangka batang ini dibebani dalam bidang yang sama pada ujung-ujung sendi tersebut. Pada bagian ini, akan dipelajari analisis rangka batang bidang yang didasarkan pada metoda matriks kekakuan (matrix stiffness method). Metoda analisis ini berlaku umum karena bisa diterapkan juga pada struktur statis tertentu (statically determinate structures) maupun struktur statis tak-tentu (statically indeterminate structures).



2021



12



Metoda Numerik Lanjut Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



5.1. Sistem Koordinat Lokal dan Global Dalam metoda matriks kekakuan, berlaku dua sistem koordinat untuk menentukan struktur, pembebanannya dan hubungan antara beban dengan perpindahan (displacement). Kedua sistem koordinat itu adalah sistem koordinat global (atau sistem koordinat struktur) dan sistem koordinat lokal (dalam hal ini sistem koordinat batang). Koordinat



global



(umumnya



berupa



Cartesian)



digunakan



untuk menggambarkan



keseluruhan geometri struktur dan hubungan beban-perpindahan di semua bagiannya. Umumnya, koordinat global ini berupa koordinat Cartesian XYZ dan struktur terletak pada bidang XY. Sedangkan sistem koordinat lokal digunakan untuk memberikan gambaran besarnya beban dan perpindahan dalam arah searah atau tegak lurus sumbu batang. Gambar di bawah ini menunjukkan contoh kedua sistem koordinat tersebut terhadap struktur rangka yang terdiri atas 6 batang5



(a) Struktur Rangka Batang Bidang sebenarnya



(b) Model analitis yang menunjukkan Sistem Koordinat Global dan Lokal



Gambar 1: Contoh Rangka Batang Bidang



5



Diambil dari https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0ahUKEwj_6KC_qe3NAhUST o8KHUBoBpAQFggcMAA&url=http%3A%2F%2Fwww.pucmmsti.edu.do%2Fwebsise%2Festudiante%2Fmat erias%2F201220131%2FST-IC%2520-424-T001%2FAnalisis%2520Matricial%2C%25201de%25203.pdf&usg=AFQjCNH8vyxteH6NWbJ_AztLLZOYXZfi hA&sig2=sYrfgxHYWUD69dufkd4IbQ&cad=rja 2021



13



Metoda Numerik Lanjut Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



5.2. Derajat Kebebasan Secara umum, derajat kebebasan (degree of freedom, DOF) dari suatu struktur adalah banyaknya perpindahan (dapat berupa lendutan / pergeseran / translations atau perputaran / rotations) bebas (independent) dari titik kumpul (joints) yang diperlukan untuk dapat menggambarkan perubahan bentuk (deformed shape) dari struktur akibat pembebanan. Karena sendi pada titik kumpul bersifat tanpa gesekan, tidak ada momen dan putaran sudut. Jadi untuk masalah rangka batang, yang perlu dihitung adalah besarnya perpindahan titik kumpul saja. Dengan demikian, keseluruhan rangka batang pada gambar di atas mempunyai 5 derajat kebebasan, yaitu 1 di titik kumpul 2 dan masing-masing 2 pada titik kumpul 3 dan 4, seperti terlihat pada gambar di bawah ini.



Gambar 2: Derajat kebebasan dan koordinat peletakan Ke-lima perpindahan titik kumpul tersebut, dapat dikumpulkan dalam suatu vektor {d}, yaitu: {d} = {d1 2021



14



Metoda Numerik Lanjut Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



d2



d3



d4



d5 }T



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



Banyaknya baris pada vektor {d} sama dengan besarnya derajat kebebasan, sedangkan banyaknya derajat kebebasan dapat dihitung sebagai, NDOF = NC × N − NR dengan: NDOF = banyaknya derajat kebebasan NC



= banyaknya derajat kebebasan pada setiap titik kumpul. Untuk rangka batang bidang, NC = 2, yaitu perpindahan searah dengan sumbu-X dan searah dengan sumbu-Y



N



= banyaknya titik kumpul



NR



= jumlah total reaksi perletakan, yaitu 2 untuk perletakan sendi dan 1 untuk perletakan rol.



Jadi untuk rangka batang di atas, banyaknya derajat kebebasan NDOF = 4 × 2 − 3 = 5. Dengan demikian, perubahan bentuk struktur (deformed structure) setelah pembebanan dalam arah yang positif adalah seperti pada Gambar 3.



5.3. Penomoran Derajat Kebebasan dan Koordinat Perletakan Derajat kebebasan diberi nomor dimulai dari titik kumpul dengan nomor yang terkecil yang mempunyai derajat kebebasan dan terus dilanjutkan hingga titik kumpul dengan nomor terbesar. Umumnya pada setiap titik kumpul, derajat kebebasan arah X didahulukan, lalu diikuti oleh arah Y.



2021



15



Metoda Numerik Lanjut Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



Gambar 3: Perubahan Bentuk Struktur dan Penomoran derajat kebebasan Untuk koordinat perletakan, bisa digambarkan dengan panah dan garis miring (↛) untuk membedakannya dengan panah biasa yang telah digunakan untuk derajat kebebasan. Penomoran koordinat perletakan dilakukan setelah derajat kebebasan, artinya nomor koordinat perletakan dimulai dari NDOF + 1 (lihat gambar di bawah)



2021



16



Metoda Numerik Lanjut Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



Gambar 4: Penomoran koordinat perletakan



5.4. Vektor Beban pada Titik Kumpul Beban luar yang bekerja pada titik kumpul rangka batang, dinyatakan dengan komponen gaya dalam arah X dan arah Y dari koordinat global, positif jika searah dengan positif dari sumbu X dan Y. Dengan demikian, beban miring pada titik kumpul 3 (lihat Gambar 1(a)) harus diuraikan dalam komponen-komponen yang searah dengan sumbu X (150 cos 30° = 129,9k) dan sumbu



2021



17



Metoda Numerik Lanjut Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



Y (150 sin 30° = 75k). Jadi beban-beban pada titik kumpul dari seluruh rangka batang dapat secara bersama ditulis sebagai: {P} = {P1



P2



P3



P4



P5 }T = {0 129,9 −75 0 −75}T



Vektor {P} disebut dengan vektor beban pada titik kumpul dari rangka batang.Perlu digaris bawahi bahwa banyaknya baris pada vektor {P} sama dengan banyaknya derajat kebebasan.



5.5. Vektor Reaksi Perletakan Suatu perletakan menahan perpindahan dari suatu titik kumpul dalam arah tertentu sehingga menimbulkan reaksi perletakan pada titik kumpul itu dalam arah yang sesuai dengan arah yang ditahannya. Dalam kasus di atas, keseluruhan reaksi perletakan dapat dikumpulkan dalam satu vektor reaksi perletakan yaitu, {R} = {R 6



R7



R 8 }T



Banyaknya baris pada vektor reaksi perletakan sama banyaknya dengan banyaknya reaksi perletakan NR.



5.6. Hubungan Kekakuan Batang dalam Sistem Koordinat Lokal Dalam metoda kekakuan, perpindahan titik kumpul {d} pada suatu struktur karena beban luar {P}, ditentukan dengan menyelesaikan sistem persamaan simultan yang dinyatakan dalam bentuk, [K]{d} = {P} Matriks [K] disebut dengan matriks kekakuan stuktur. Untuk keseluruhan struktur, matriks ini dibentuk dengan merangkai matriks kekakuan dari tiap batang. Matriks kekakuan untuk suatu batang memberikan hubungan antara gaya yang bekerja di ujung-ujung batang dengan perpindahan yang terjadi di ujung-ujung tersebut. Sebagai contoh, lihat rangka batang pada Gambar 5(a). Suatu rangka batang akan berubah bentuk (deform) ketika dibebani. Selain itu, timbul pula gaya-gaya dalam pada batang-batang tersebut untuk “melawan” beban luar. Posisi awal dan bentuk setelah dibebani dari rangka batang tersebut ditunjukkan pada Gambar 5(b). Dalam hal ini L, E dan A masing-masing adalah panjang, modulus elastisitas dan penampang batang m. Agar dapat sepenuhnya menentukan perpindahan setiap titik pada batang m, perlu diketahui perpindahan ujung-ujung batang dalam arah x dan arah y. Jadi, batang m mempunyai 4 perpindahan pada ujungnya, yaitu {u} = {u1 itu, timbul pula gaya-gaya dalam {Q} = {Q1



Q2



Q3



u2



u3



u4 }T. Selain



Q 4 }T yang searah dan tegak lurus



batang. Perlu digaris-bawahi bahwa perpindahan dan gaya-gaya dalam ini seluruhnya dalam sistem koordinat lokal dari batang m.



2021



18



Metoda Numerik Lanjut Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



(a) Struktur Rangka Batang



(b) Perpindahan {u} dan Gaya-gaya Dalam {Q} pada Batang m Harus selalu diingat bahwa yang ingin kita ketahui adalah hubungan antara perpindahan {u} dengan gaya-gaya dalam {Q}. Hubungan tersebut dapat terlihat nyata jika dilakukan pemisahan terhadap pengaruh dari masing-masing gaya-gaya dalam Q i terhadap perpindahan {u} dari keseluruhan batang m, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 5(c) sampai dengan Gambar 5(f). Diagram pada Gambar 5(b) sebenarnya adalah gabungan atau jumlah dari diagram-diagram pada Gambar 5(c) sampai Gambar 5(f) tersebut.



2021



19



Metoda Numerik Lanjut Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



Gambar 5: Penyusunan matriks kekakuan batang dalam koordinat lokal Dari Gambar 5(c) – 5(f) tersebut terlihat bahwa {Q} = [k]{u} Dalam hal ini, matriks [k] adalah matriks kekakuan suatu batang dalam sistem koordinat lokal, yaitu,



2021



20



Metoda Numerik Lanjut Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



k11 k 21 [k] = [ k 31 k 41



k12 k 22 k 32 k 42



k13 k 23 k 33 k 43



k14 k 24 ] k 34 k 44



Masing-masing elemen dari matriks [k] yaitu k ij disebut sebagai koefisien kekakuan dari batang m. Setiap elemen k ij merupakan besarnya gaya dalam (baik yang searah atau tegak lurus batang, sesuai dengan urutannya masing-masing) yang bekerja pada titik i yang mengakibatkan perpindahan satu satuan pada titik j (uj = 1) sedangkan besarnya perpindahan pada titik lainnya sama dengan nol. Besarnya gaya dalam ini dapat diperoleh dengan menerapkan persamaan keseimbangan dan kompatibilitas yang berdasarkan pada mekanika bahan. Dengan demikian, gaya-gaya dalam yang diperoleh dengan mengambil satu satuan perpindahan sebenarnya merupakan koefisien kekakuan dari suatu batang. Seperti kita ketahui, suatu batang yang mempunyai panjang L, modulus elastisitas E dan luas penampang A, jika dibebani sebesar P dalam arah sumbu batang, akan bertambah panjang (juga dalam arah sumbu batang) sebesar ΔL, yaitu: ΔL =



PL EA ⇔P= ΔL EA L



Karena permasalahan yang dibahas adalah rangka batang, tidak ada perpindahan dalam arah tegak lurus sumbu batang. Dalam Gambar 5(b), hal ini menunjukkan bahwa u2 = u4 = 0 ⟹ Q 2 = Q 4 = 0 Dengan demikian, jika u1 = 1 dan u3 = 0 (lihat Gambar 5(c)), maka EA EA u = = k11 L 1 L EA EA Q3 = − u1 = − = k 31 L L Q1 =



Q 2 = k 21 = Q 4 = k 41 = 0 Sedangkan, jika u1 = 0 dan u3 = 1 (lihat Gambar 5(e)), maka EA EA u3 = − = k13 L L EA EA Q3 = u3 = = k 33 L L



Q1 = −



Q 2 = k 23 = Q 4 = k 43 = 0 Sehingga, diperoleh matriks kekakuan batang m seperti di bawah ini yang merupakan matriks simetris (k ij = k ji ). Perlu dicatat bahwa semua matriks kekakuan dari struktur yang linier elastis merupakan matriks simetris. 1 EA 0 [k] = [ L −1 0



2021



21



Metoda Numerik Lanjut Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



0 −1 0 0 0 0] 0 1 0 0 0 0



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



Tugas 1. Buatlah algoritma dalam rangka membuat program komputer untuk menghitung determinan matriks. Gunakan matriks pada Contoh 2 untuk menguji kebenaran program yang dibuat. 2. Susun juga program komputer untuk menghitung invers dari suatu matriks. Gunakan matriks pada Contoh 5. 3. Lihat Gambar 1. Hitung matriks kekakuan dari masing-masing batang.



Rujukan Anonim, konsep buku tentang penyelesaian masalah struktur dengan cara matriks. Dapat diunduh dari https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0ahUKE wj_6KC_qe3NAhUSTo8KHUBoBpAQFggcMAA&url=http%3A%2F%2Fwww.pucmmsti. edu.do%2Fwebsise%2Festudiante%2Fmaterias%2F201220131%2FST-IC%2520424-T001%2FAnalisis%2520Matricial%2C%25201de%25203.pdf&usg=AFQjCNH8vyxteH6 NWbJ_AztLLZOYXZfihA&sig2=sYrfgxHYWUD69dufkd4IbQ&cad=rja Golub, G.H., Van Loan, C.F., “Matrix Computations”, 4th edition, The Johns Hopkins University Press, 2013. Bisa diunduh dari tautan berikut: https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact =8&ved=0ahUKEwjpjPr02uzNAhVEjJQKHUqrAFkQFggjMAA&url=http%3A%2F%2Fw eb.mit.edu%2Fehliu%2FPublic%2Fsclark%2FGolub%2520G.H.%2C%2520Van%2520 Loan%2520C.F.%2520Matrix%2520Computations.pdf&usg=AFQjCNHxBKCVK1pJ8R9BQZngZjYEbP MU-A&sig2=nkc79sI_Z0Khdm3rZTg8vA Luknanto, D., “Metoda Numerik”, Bahan Kuliah Metoda Numerik, Jurusan Teknik Sipil FT UGM, Yogyakarta, November 2001, bisa diunduh dari luk.staff.ugm.ac.id/numerik/MetodaNumerik.pdf Wang, Chu Kia, “Pengantar Analisis Struktur dengan Cara Matriks” (diterjemahkan oleh Ismoyo),



Prentice-Hall,



1973,



bisa



diunduh



https://darmadi18.files.wordpress.com/2010/09/pengantar-analisis-strukturmatriks.pdf



Lampiran:



Tautan-tautan (Links) yang Bermanfaat



1. Netlib -- http://www.netlib.org/



2021



22



Metoda Numerik Lanjut Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



dari



Netlib merupakan tempat penyimpanan berbagai perangkat lunak untuk perhitungan ilmiah dalam jumlah yang sangat besar. Di Netlib, terdapat program komputer (terutama dalam bahasa pemrograman FORTRAN) terhadap berbagai masalah rekayasa dan matematika. Netlib ini dikembangkan sebelum paket perangkat lunak menjadi komoditas yang dapat diperjual-belikan seperti sekarang, karena itu perangkat lunak pada Netlib umumnya milik umum (public domain).6



2. Matrix Market -- http://math.nist.gov/MatrixMarket/ Matrix Market adalah tempat penyimpanan matriks-matriks yang dapat digunakan untuk menguji algoritma pemrograman yang kita kembangkan sendiri.



3. Matlab Central -- http://www.mathworks.com/matlabcentral/ Berisi demo penggunaan perangkat lunak MATLAB



4. Kumpulan Matriks Jarang -- http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/matrices/ Berisi ribuan contoh matriks jarang dalam berbagai format yang tersimpan pada University of Florida



5. ARPACK -- http://www.caam.rice.edu/software/ARPACK/ Kumpulan subrutin dalam bahasa pemrograman FORTRAN untuk menyelesaikan masalahmasalah nilai eigen.



6. FORTRAN Compiler --- http://www.cse.yorku.ca/~roumani/fortran/ftn.htm



6



https://en.wikipedia.org/wiki/Netlib 2021



23



Metoda Numerik Lanjut Ir. Pariatmono Sukamdo, MSc, DIC, PhD



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id