Kuliah 2 (Metode Iterasi Titik Tetap) [PDF]

Citation preview

SOLUSI PERSAMAAN NON LINEAR Dian Kartika Sari, S.Si., M.Pd



I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



Solusi Persamaan Non Linear Persamaan Tidak Linier Untuk polinomial berderajat dua atau lebih, fungsi logaritma, fungsi eksponen, fungsi trigonometri, atau fungsi-fungsi transenden lainnya sangat jarang diperoleh hasilnya (solusinya) secara analitis. Contoh : f(x) = x3 + 4x2 + x - 6 = 0 f(x) = x5 + 2x4 +3x3 +4x2 -3x-1 = 0 f(x) = ex -3x = 0 f(x) = 3x + sin x – ex = 0 dan sebagainya I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



Solusi Persamaan Non Linear Beberapa metode untuk mencari akar-akar suatu persamaan. • Penyelesaian persamaan linier mx + c = 0 dimana m dan c adalah konstanta, dapat dihitung dengan : mx + c = 0 c x=-



m



• Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c =0 dapat dihitung dengan menggunakan rumus ABC.



x12 I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



− b  b 2 − 4ac = 2a P U R W O K E R T O



Solusi Persamaan Non Linear Akar sebuah persamaaan f(x)=0 merupakan I. Nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) =0 II. Titik potong antara kurva f(x) dengan sumbu x Contoh 1 : f ( x) = x 2 − 2 x + 1 ( x − 1) 2 = 0 x1,2 = 1



I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



Solusi Persamaan Non Linear Metode numerik memberikan cara-cara untuk menyelesaikan bentuk persamaan tersebut secara perkiraan sampai diperoleh hasil yang mendekati penyelesaian eksak. Penyelesaian numerik dilakukan dengan perkiraan yang berurutan (iterasi). Dengan melakukan sejumlah iterasi yang dianggap cukup akhirnya di dapat hasil perkiraan yang mendekati hasil eksak (hasil yang benar) dengan toleransi kesalahan yang diijinkan.



I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



Solusi Persamaan Non Linear 1. Metode Tertutup (metode tabel, metode biseksi, metode regula falsi)



▪ Mencari akar pada range [a,b] tertentu ▪ Dalam range [a,b] dipastikan terdapat satu akar ▪ Hasil selalu konvergen, tetapi relatif lambat dalam mencari akar. 2. Metode Terbuka (metode iterasi titik tetap, metode Newton Raphson, metode secant)



▪ Diperlukan tebakan awal. ▪ 𝑥𝑛 dipakai untuk menghitung 𝑥𝑛+1 ▪ Hasil dapat konvergen atau divergen. I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



METODE ITERASI TITIK TETAP I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



Metode Iterasi Titik Tetap Misal diberikan persamaan f(x) = 0............ (i) Transformasikan secara aljabar persamaan (i) ke bentuk: x = g(x)............(ii) Nilai awal (𝑥0 ) ditentukan kira-kira dipersekitaran akar dari f(x) untuk melakukan perhitungan 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … Iterasi secara umum: 𝑥𝑛+1 = 𝑔 𝑥𝑛 ....(iii) Proses iterasi (iii) dikatakan konvergen untuk suatu nilai awal 𝑥0 jika barisan konvergen 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



Teorema Kekonvergenan Misalkan x = s penyelesian dari x = g(x) dan g mempunyai turunan yang kontinu dalam interval T yang memuat s. Jika | g’(x) | < 1 didalam T, proses iterasi yang diberikan dalam persamaan (iii) konvergen untuk sembarang 𝑥0 ∈ 𝑇.



Syarat Konvergensi Pada range T = [s-h, s+h] dengan s titik tetap, berlaku a. Jika 0 < g’(x) < 1 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑇 , maka iterasi konvergen monoton b. Jika -1 < g’(x) < 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑇 , maka iterasi konvergen berosilasi c. Jika g’(x) > 1 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑇 , maka iterasi divergen monoton d. Jika g’(x) < -1 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑇 , maka iterasi divergen berosilasi . I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



Prosedur Iterasi 1.



Susunlah persamaan 𝑓 𝑥 = 0, menjadi bentuk 𝑥 = 𝑔(𝑥)



2.



Tentukan kekonvergenan 𝑔(𝑥)



3.



Bentuk menjadi prosedur iterasi 𝑥𝑛+1 = 𝑔 𝑥𝑛



4.



Tentukan nilai awal 𝑥𝑜



5.



Hitung nilai 𝑥1 , 𝑥2 , … dengan menggunakan prosedur iterasi no 3.



6.



Kondisi iterasi berhenti apabila 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 < 𝜀



I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



CONTOH Tentukan pendekatan semua nilai akar-akar 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 dengan 𝑥0 = 4 menggunakan 7 angka signifikan dan 𝜀 = 0,05



I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



Penyelesaian Terdapat beberapa kemungkinan prosedur iterasi yang dapat dibentuk, yaitu: a. 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0 Substitusikan nilai awal 𝑥0 = 4 ke 𝑔′(𝑥) sehingga diperoleh 𝑔′(𝑥) = 2 1 ⟺ 𝑥 = 2𝑥 + 3 = 0,3015113. Karena 0 < 𝑔′(𝑥) < 1 , maka iterasi konvergen 2(4)+3 ⟺ 𝑥 = (2𝑥 + 3) monoton. Karena iterasi konvergen monoton maka 𝑔(𝑥) dapat Dalam (2𝑥 +untuk 3). Prosedur iterasinya metode adalahiterasi titik tetap. 𝒈 𝒙 = hal 𝟐𝒙 +ini, 𝟑 𝑔 (𝑥 ) = digunakan prosedur penghitungan 𝟏



Prosedur iterasinya adalah 𝑥𝑛+1 = 2𝑥𝑛 + 3 𝒙 = 𝑥𝒈′ = 2𝑥 + 3. Ambil terkaan awal 𝑥 = 4. 𝑟+1 0 𝟐𝒙𝑟+ 𝟑



I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



Penyelesaian Iterasi 1: 𝑥1 = 2𝑥0 + 3 =



2 4 + 3 = 3,316625



𝑥1 − 𝑥0 = 3,316625 − 4 = 0,6833750 0,683375 > 𝜀



(Iterasi dilanjutkan)



Iterasi 3: 𝑥3 = 2𝑥2 + 3 =



Iterasi 2: 𝑥2 = 2𝑥1 + 3 =



2 3,316625 + 3 = 3,103748



𝑥2 − 𝑥1 = 3,103748 − 3,316625 = 0,2128770 0,2128770 > 𝜀 (Iterasi dilanjutkan) Iterasi 4:



2 3,103748 + 3 = 3,034385



𝑥3 − 𝑥2 = 3,034385 − 3,103748 = 0,069363 0,0693630 > 𝜀 (Iterasi dilanjutkan)



𝑥4 =



2𝑥3 + 3 =



2 3,034385 + 3 = 3,011440



𝑥4 − 𝑥3 = 3,011440 − 3,034385 = 0,0229450 0,0229450 < 𝜀 (Iterasi selesai)



Jadi pendekatan nilai akar 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 dengan nilai awal 𝑥0 = 4 adalah 𝑥 ≈ 3,011440 I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



Penyelesaian b. 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0 𝑥 2 − 2𝑥 = 3 𝑥 𝑥−2 =3 3 𝑥= 𝑥−2



𝑔 𝑥 =



3 𝑥−2



𝑔′ 𝑥 = −



I N S T I T U T



3 (𝑥−2)2



T E K N O L O G I



Substitusikan nilai tebakan awal 𝑥0 = 4 ke 𝑔′(𝑥) sehingga diperoleh 3 𝑔′ 𝑥 = − 2 = −0,75. Karena −1 < 𝑔′(𝑥) < 0 , maka iterasi 4−2



konvergen berosilasi. Karena iterasi konvergen berosilasi maka 𝑔(𝑥) dapat digunakan untuk prosedur penghitungan metode iterasi titik 3 tetap. Prosedur iterasinya adalah 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −2



T E L K O M



P U R W O K E R T O



Penyelesaian Iterasi 1:



Iterasi 2:



3 3 𝑥1 = = = 1,5 𝑥0 − 2 4 − 2 𝑥1 − 𝑥0 = 1,5 − 4 = 2,5



𝑥2 =



2,5 > 𝜀 (Iterasi dilanjutkan)



3 3 = = −6 𝑥1 − 2 1,5 − 2 𝑥2 − 𝑥1 = −6 − 1,5 = 7,5 7,5 > 𝜀 (Iterasi dilanjutkan)



Iterasi 3:



Iterasi 4:



𝑥3 =



𝑥4 =



3 3 = = −0,375 𝑥2 − 2 −6 − 2 𝑥3 − 𝑥2 = −0,375 − (−6) = 5,625



5,625 > 𝜀 (Iterasi dilanjutkan) I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



3 3 = = −1,263158 𝑥3 − 2 −0,375 − 2 𝑥4 − 𝑥3 = −1,263158 − (−0,375) = 0,888158 0,888158 > 𝜀 (Iterasi dilanjutkan)



P U R W O K E R T O



Penyelesaian Iterasi 5:



3 3 𝑥5 = = = −0,9193550 𝑥4 − 2 −1,263158 − 2 𝑥5 − 𝑥4 = 0,343803



0,343803 > 𝜀 (Iterasi dilanjutkan)



Iterasi 6:



3 3 𝑥6 = = = −1,027624 𝑥5 − 2 −0,9193550 − 2 𝑥6 − 𝑥5 = 0,108269 0,108269 > 𝜀 (Iterasi dilanjutkan)



Iterasi 7:



3 3 = = −0,9908760 𝑥6 − 2 −1,027624 − 2 𝑥7 − 𝑥6 = 0,036748



𝑥7 =



Jadi pendekatan nilai akar 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 dengan nilai awal 𝑥0 = 4 adalah 𝑥 ≈ −0,9908760



0,036748 < 𝜀 (Iterasi selesai) I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



Penyelesaian c. 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0 𝑥 2 − 3 = 2𝑥 𝑥=



𝑥 2 −3 2 𝑥 2 −3 = 2



𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 = 𝑥



I N S T I T U T



Substitusikan nilai tebakan awal 𝑥0 = 4 ke 𝑔′(𝑥) sehingga diperoleh 𝑔′ 𝑥 = 4. Karena 𝑔′ 𝑥 > 1 , maka iterasi divergen sehingga 𝑔(𝑥) tidak dapat digunakan untuk prosedur penghitungan metode iterasi titik tetap.



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



Penyelesaian Iterasi 1: 𝑥02 − 3 42 − 3 𝑥1 = = = 6,5 2 2 𝑥1 − 𝑥0 = 6,5 − 4 = 2,5



2,5 > 𝜀 (Iterasi dilanjutkan)



Iterasi 2: 𝑥12 − 3 6,52 − 3 𝑥2 = = = 19,625 2 2 𝑥2 − 𝑥1 = 19,625 − 6,5 = 13,125 13,125 > 𝜀 (Iterasi dilanjutkan)



Iterasi 3: 𝑥22 − 3 19,6252 − 3 𝑥3 = = = 191,0703 2 2 𝑥3 − 𝑥2 = 191,0703 − 19,625 = 171,4451313 171,4451313 > 𝜀 (Iterasi dilanjutkan)



I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



Penyelesaian Jadi pendekatan nilai akar 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3, 𝑥 ≈ 3,011440 dan 𝑥 ≈ −0,9908760



𝑥 ≈ −0,9908760



I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



𝑥 ≈ 3,011440



PENGGUNAAN MAPLE 13 I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



• Buka Maple 13 • Klik file > New > Worsheet Mode atau klik icon



I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



Penyelesaian 1 Menyelesaikan contoh 1 menggunakan prosedur iterasi pertama



I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



Penyelesaian 1



I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



Penyelesaian 2 Menyelesaikan contoh 1 menggunakan prosedur iterasi kedua



I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



Penyelesaian 2 Menyelesaikan contoh 1 menggunakan prosedur iterasi ketiga



I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



LATIHAN Carilah akar-akar persamaan berikut menggunakan metode iterasi titik tetap dengan



1. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 1



I N S T I T U T



T E K N O L O G I



T E L K O M



P U R W O K E R T O



TERIMA KASIH I N S T I T U T T E K N O L O G I T E L K O M P U R W O K E R T O