![Kumpulan Rumus Matematika SMA [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/kumpulan-rumus-matematika-sma.jpg)
23 0 1002 KB
BAB I. PERPANGKATAN DAN BENTUK AKAR BENTUK AKAR
PERPANGKATAN
Pengertian: an = b ⇔ a =
Pengertian:
a n = a x a x a …..x a
1.
Sifat-sifat:
a x a
2.
am 2. a m : a n = n = a m − n ; a ≠ 0 a 3. (a m ) n = a mn 4. (a.b) = a b
n
n
an ⎛a⎞ 5. ⎜ ⎟ = n ; b ≠ 0 b ⎝b⎠ 6. a = 1, a ≠ 0
3.
n
4.
n
b =
a = b a
5.
n
6.
mn
7.
m n
m
n
a
n
b
= a
ab = a
m
ab
a b
=
b
1. a m . a n = a m + n
n
b
Sifat-sifat:
n faktor
n
n
n
m n
= a
a =
n
a . m mn
b 1 n
= a =
n
a
1
m
an =
mn
a
0
7. a − n =
8. a m / n =
1 ; a≠ 0 an n
am
Persamaan pangkat:
1. a f ( x ) = a g ( x )
⇔ f(x) = g(x)
2. a f ( x ) = a p
⇔ f(x) = p
8. a
x ± b
9. a
b . c
10.
a 2b =
Catatan :
x = (a ± b)
d = ac a2 x
a + a -
b
untuk a >0 dan a ≠ 1 Pertidaksamaan:
a f ( x) > a g ( x)
⇔ 1. f(x) > g(x) untuk a > 1
2. f(x) < g(x) untuk 0 0 dan a ≠ 1
2. log ab = log a + log b fungsi logaritma dapat ditulis sbb: 3.
a
a
a
log ab = log a + log b a 4. log = log a – log b b a 5. a log = a log a - a log b b x log b 6. a log b = x ; x > 0 dan x ≠ 1 log a 7.
8.
a
f:xÆ
a
log x atau y =f(x) = a log x
grafik fungsi logaritma merupakan invers dari grafik eksponennya seperti diperlihatkan pada gambar:
log b n = n . a log b
a
a
log b
= b
9. a log b . b log c = a log c Persamaan : a
log f(x) = a log g(x) maka f(x) = g(x) > 0
Pertidaksamaan : a
Dari gambar grafik fungsi g(x) = 2 log x adalah invers dari fungsi grafik f(x) = 2 x
a
log f(x) > log g(x) (i) f(x) > g(x) untuk a >1 f(x) < g(x) untuk 00
Himpunan Penyelesaiannya = (i) ∩ (ii) ∩ (iii)
www.belajar-matematika.com - 1
apabila fungsi logaritma f(x) = y =
a
log x maka
1. Gambar grafik jika a > 1
2 Gambar grafik jika 0 0 grafik terbuka ke atas
Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat:
1. Jika diketahui titik puncak = ( x p , y p ) gunakan rumus: y = a (x - x p ) 2 + y p 2. Jika diketahui titik potong dengan sumbu x (y = 0) yakni (x 1 ,0) dan (x 2 ,0) Gunakan rumus: y = a (x - x1 ) ( x - x 2 )
b. Apabila a < 0 grafik terbuka ke bawah
3. Jika yang diketahui selain poin 2 dan 3 maka gunakan rumus : y = ax2 + bx + c Dari y = ax2 + bx + c diperoleh :
b 2a 2 b − 4ac 2. Nilai ekstrim y eks = 4a 1. Penyebab ekstrim x = -
Kedudukan Garis r terhadap grafik fungsi kuadrat:
1. D > 0 Berpotongan di dua titik
y eks = y min jika a > 0 y eks = y maks jika a < 0
2. D = 0 Menyinggung grafik (mempunyai satu titik potong)
www.belajar-matematika.com - 2
BAB IV. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT
Cara penyelesaian SPLTV lebih mudah dengan menggunakan metoda gabungan (eliminasi dan substitusi) Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)
Persamaan Linear: 1. Persamaan linear satu variabel : ax + b = 0 dengan a ≠ 0 2. Persamaan linear dua variabel ax + by = c dengan a dan b ≠ 0
y = ax + b y = px 2 + qx + r
Æ bentuk linear Æ bentuk kuadrat
Sistem Persamaan Kuadrat (SPK) Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) a1x + b1y = c1 a2 x + b2 y = c2 dengan a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c 1 , c 2 ∈ R Penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan:
y = ax2 + bx + c y = px 2 + qx + r
Cara penyelesaian SPLKDV dan SPK lebih mudah dengan menggunakan metoda substitusi yaitu mensubtitusi persamaan yang satu ke persamaan yang lainnya.
1. Metoda Grafik a. Menggambar grafik dengan metoda titik potong sumbu b. Bila kedua garis berpotongan pada satu titik didapat sebuah anggota yaitu (x,y) c. Bila kedua garis sejajar (tidak berpotongan maka) maka tidak didapat angota himpunan penyelesaian d. Bila kedua garis berimpit maka didapat himpunan penyelesaian yang tak terhingga 2. Metoda Substitusi Menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan yang lain 3. Metoda Eliminasi Menghilangkan salah satu variabel 4. Metoda Eliminasi – Substitusi Menggabungkan metoda Eliminasi dan Substitusi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) a1x + b1y + c1z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 www.belajar-matematika.com - 1
Pertidaksamaan Kuadrat:
BAB V. PERTIDAKSAMAAN
Langkah-langkah penyelesaiannya:
Pengertian: Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dimana ruas kiri dan kanannya dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan “>” (lebih dari), “ a 2. Jika a >b maka : a. a ± b > b ± c b. ac > bc apabila c >0 c. ac < bc apabila c < 0 d. a 3 > b 3 3. Jika a > b dan b > c ⇔ a > c 4. Jika a > b dan c > d ⇔ a + c > b + d 5. Jika a > b > 0 dan c > d > 0 ⇔ ac > bd 6. Jika a>b>0 maka :
7.
Pertidaksamaan Pecahan:
Penyelesaiannya dengan langkah persamaan kuadrat dengan syarat penyebut ≠ 0 Pertidaksamaan Bentuk Akar:
Langkahnya adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas agar bentuk akarnya hilang Pertidaksamaan Harga/Nilai Mutlak: Pengertian nilai mutlak
x, jika x ≥ 0 |x| = -x jika x < 0
a. a 2 > b 2 1 1 b. < a b
Misal: |10 | = 10 dan | -10 | = - (-10) = 10
a < 0 ⇔ ab 0 ⇔ ab>0: b ≠ 0 b
Sehingga | x | tidak pernah negatif
1. | x | < a ⇒ -a< x < a 2. | x | > a ; a > 0 ⇒ x < -a atau x > a 3. | x | =
x2
Pertidaksamaan Linear :
4. | x | 2 = x 2 Dikerjakan dengan menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan
5. | x | < | y | ⇒ x 2 < y 2 dengan syarat x, y, a ∈ R dan a > 0
www.belajar-matematika.com - 1
BAB VI. LOGIKA MATEMATIKA Konvers, Invers, Kontraposisi : Ingkaran, Disjungsi, Konjungsi, Implikasi, Biimplikasi : Tabel Kebenaran : p B B S S
q B S B S
~p S S B B
~q S B S B
p∨ q B B B S
p∧ q B S S S
p⇒q B S B B
p⇔ q B S S B
Ekuivalen/sama Konvers : Invers : Kontraposisi : Ekuivalensi :
Keterangan : 1. ~ p = ingkaran/negasi dari p ~ q = ingkaran/negasi dari q
q⇒ p ~p ⇒ ~q ~q ⇒ ~p p ⇒ q = ~q ⇒ ~p = ~p ∨ q
2. p ∨ q = Disjungsi Bernilai Benar jika ada salah satu dari p dan q benar atau kedua-duanya benar)
Ingkaran/negasi:
3. p ∧ q = Konjungsi Bernilai salah jika ada yang salah (jika salah satu dari p dan q salah atau kedua-duanya salah)
~(semua p) ⇒ ada/beberapa ~p ~(ada/beberapa p) ⇒ semua ~p
Negasi kalimat berkuantor :
Penarikan Kesimpulan : 4. p ⇒ q = Implikasi Bernilai salah jika p benar dan q salah (jika tidak memenuhi kriteria ini nilainya benar) 5 . p ⇔ q = Biimplikasi Bernilai benar jika p dan q kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah (kedua-duanya mempunyai nilai yang sama) Ingkaran/negasi : Pernyataan p⇒q q⇒p ~p ⇒ ~q ~q ⇒ ~p
Ingkaran/Negasinya p ∧ ~q q ∧ ~p ~p ∧ ~q ~p ∧ q
1. Modus Ponens: p ⇒ q (Benar) p (Benar)
∴ q (Benar) Lihat tabel berikut : p B B S S
q B S B S
Lihat huruf yang berwarna merah: jika p ⇒ q benar, dan p benar maka q benar
atau: ~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q ~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q
~(p ⇒ q) =
p ∧ ~q
p⇒q B S B B
2. Modus Tollens: p ⇒ q (Benar) ~q (Benar) ∴ ~p
(Benar)
www.belajar-matematika.com - 1
Lihat tabel berikut :
p B B S S
q B S B S
p⇒q B S B B
Lihat huruf yang berwarna merah: jika p ⇒ q benar, dan ~q benar maka ~p benar (q adalah S maka ~q adalah B, p adalah S maka ~p adalah B) 3. Sillogisme p ⇒ q (Benar) q ⇒ r (Benar)
∴ p ⇒ r (Benar) Lihat tabel berikut: p B B B B S S S S
q B B S S B B S S
r B S B S B S B S
p⇒ q B B S S B B B B
q⇒ r B S B B B S B B
p⇒ r B S B S B B B B
terlihat dari huruf yang berwarna merah bahwa jika p ⇒ q Benar dan q ⇒ r Benar maka p ⇒ r adalah Benar
www.belajar-matematika.com - 2
BAB VII. TRIGONOMETRI
5. tan (A + B) =
tan A + tan B 1 − tan A. tan B
6. tan (A - B) =
tan A − tan B 1 + tan A. tan B
Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen
Sin α = r
y r
Rumus-rumus Sudut Rangkap :
y Cos α =
x r
Tan α =
y x
α x
1. sin 2A = 2 sin A cosA 2. cos 2A = cos 2 A - sin 2 A 3. tan 2A =
Hubungan Fungsi Trigonometri :
Rumus Jumlah Fungsi :
1. sin 2 α + cos 2 α = 1
2. tan α =
sin α cos α
3. sec α =
1 cos α
2 tan A 1 − (tan A) 2
Perkalian Æ jumlah/selisih
1. 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 2 2 cos A sin B = sin (A+B) – sin (A-B) 3 2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B) 4. -2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B) Jumlah/selisih Æ perkalian
1 4. cosec α = sin α
1. Sin A + sin B = 2 sin
cos α sin α
1 1 (A + B) cos (A –B) 2 2
2. Sin A - sin B = 2 cos
1 1 (A + B) sin (A –B) 2 2
5 . cotan α =
6. tan 2 α + 1 = sec 2 α
3. cos A + cos B = 2 cos
7. cot an 2 α + 1 = cos ec 2 α
1 1 (A + B) cos (A –B) 2 2
4. cos A - cos B = - 2 sin Rumus-rumus Penjumlahan dan Pengurangan :
1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A Sin B 2. sin (A - B) = sin A cos B - cos A Sin B 3. cos (A + B) = cos A cos B – sin A Sin B 4. cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B
www.belajar-matematika.com - 1
1 1 (A + B) sin (A –B) 2 2
Kuadrant III :
Sudut-sudut istimewa :
α
00
30 0
45 0
Sin
0
1
1
Cos
1
1
Tan
0
1
2 2 3
3
2
1
2 1
3
60 0 2
1
2
1
2
90 0 3 1
Sin (180 0 + θ ) = -sin θ Cos (180 0 + θ ) = -cos θ tan (180 0 + θ ) = tan θ
0
2 3
Kuadrant IV :
~
Sin (360 0 - θ ) = -sin θ Cos (360 0 - θ ) = cos θ tan (360 0 - θ ) = -tan θ
Tanda-tanda fungsi pada setiap kuadrant :
Aturan sinus dan cosinus
C II
I
γ
b Sin +
β
α III Tan +
IV
A
c
Cos + aturan sinus
Kuadrant I
Kuadrant II Kuadrant III Kuadrant IV
+ + +
180 0 - α 180 0 + α + +
α
Sin Cos Tan
360 0 - α + -
a b c = = sin β sin γ sin α
Aturan cosinus
1. a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α 2. b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos β
Hubungan nilai perbandingan sudut di semua kuadrant:
Kuadrant I Sin (90 0 - θ ) = cos θ Cos (90 0 - θ ) = sin θ tan (90 0 - θ ) = cotan θ
3. c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos γ
Luas Segitiga
Luas segitiga =
1 ab sin γ 2
=
1 ac sin β 2
=
1 bc sin α 2
Kuadratn II : Sin (180 - θ ) = sin θ Cos (180 0 - θ ) = -cos θ tan (180 0 - θ ) = -tan θ 0
a
Semua +
www.belajar-matematika.com - 2
B
Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub :
Persamaan dan pertidaksamaan Trigonometri 1. Persamaan
P(x,y) Æ koordinat cartesius P(r, α 0 )Æ koordinat kutub
a. sin x = sin α , maka x1 = α + k. 360 0 x 2 = ( 180 0 - α ) + k. 360 0
y
α0 x P (x,y) → P (r, α 0 ) r=
x +y 2
Rumus umum penyelesaian persamaan trigonometri adalah :
b. cos x = cos α , maka x1, 2 = ± α + k. 360 0 c. tan x = tan α , maka x = α + k. 180 0
2
α 0 didapat dari tan α 0 =
y x
Persamaan umum trigonometri adalah :
a cos x + b sin x = c : dimana c = k cos (x - α ) P (r, α 0 ) → P (x,y) x = r cos α 0 ; y = r sin α 0
dengan k =
a2 + b2 :
persamaan lengkapnya:
jadi , p (x,y) = p(r cos α 0 , r sin α 0 )
a cos x + b sin x = k cos (x - α ) = c
Nilai Maksimum dan Minimum
α didapat dari tan α =
1. Jika y = k cos (x + n π ) dengan k > 0 maka a. maksimum jika y = k dimana cos (x + n π ) = 1 sehingga (x + n π )= 0 b. minimum jika y = -k dimana cos (x + n π ) = -1 sehingga (x + n π )= π
b a
Syarat agar persamaan a cos x + b sin x = c mempunyai jawaban adalah : c2 ≤ a2 + b2
2. Jika y = k sin (x + n π ) dengan k > 0 maka a. maksimum jika y = k dimana sin (x + n π ) = 1 sehingga (x + n π )=
π
2 b. minimum jika y = -k dimana sin (x + n π ) = -1 3π sehingga (x + n π )= 2
2. Pertidaksamaan
Pertidaksamaan-pertidaksamaan trigonometri seperti sin ax ≤ c, cos ax ≥ c dan sebagainya dapat diselesaiakan dengan menggunakan langkah-langkah umum pertidaksamaan seperti : - Diagram garis bilangan - Grafik fungsi trigonometri
www.belajar-matematika.com - 3
Fungsi Trigonometri:
1. Fungsi Sinus : f(x) = sin x
. Ciri-ciri grafik fungsi sinus (sinusoida) y = sin x a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1 b. Mempunyai amplitudo Æ ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1 c. Memiliki Periode sebesar 2 π d. Periodisitas fungsi : sin (x + k.2 π ) = sin x, k ∈ bilangan bulat
2. Fungsi Cosinus : f(x) = cos x
Ciri-ciri grafik fungsi cosinus : y = cos x a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1 b. Mempunyai amplitudo Æ ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1 c. Memiliki Periode sebesar 2 π d. Periodisitas fungsi : cos (x + k.2 π ) = cos x, k ∈ bilangan bulat
www.belajar-matematika.com - 4
2. Fungsi Tangen : f(x) = tan x
Ciri-ciri grafik fungsi y = tan x adalah : a. Nilai maksimum = +~ (positif tidak terhinggaa) dan nilai minimum = - ~ (minus tak terhingga) b. Mempunyai perioda sebesar π c. Periodaisitas fungsi tan (x +k. π ) = tan x, k ∈ bilangan bulat
www.belajar-matematika.com - 5
BAB VIII. DIMENSI TIGA 3. Limas Macam-macam Bangun Ruang : 1. Kubus :
1 luas alas x tinggi 3 Luas limas = luas alas + luas bidang sisi tegak Volume Limas =
Kubus ABCD. EFGH di atas mempunyai rusuk-rusuk yang panjangnya a.
4. Kerucut
Panjang diagonal bidang (AH) = a 2 Panjang diagonal ruang (BH) = a 3 Volume Kubus = a 3 Luas Kubus = 6 a 2
2. Balok:
Kerucut di atas mempunyai panjang jari-jari alas r, tinggi t dan panjang garis pelukis s. Balok ABCD.EFGH di atas mempunyai panjang p, lebar l dan tinggi t. Volume Balok = p x l x t Luas Balok = 2 ( p.l + l . t + p. t )
hubungan ketiganya dirumuskan sbb: s2 = r2 + t2 Volume Kerucut =
1 2 π r t 3
Luas Kerucut = π r 2 + π r s
www.belajar-matematika.com - 1
5. Bola 3.Bidang D
C
A
B
Daerah dan Bidang:
Bola di atas mempunyai jari-jari r (diameter =
1 r) 2
4 π r3 3 = 4 π r2
Volume Bola = Luas Bola
Daerah : mempunyai luas tertentu Bidang : mempunyai luas tak terbatas , untuk menggambarkan bidang hanya sebagian saja sebagai perwakilan Daerah ABC ≠ daerah ABCD Bidang ABC = bidang ABCD
Pengertian titik, garis dan bidang
1. Titik Titik tidak mempunyai ukuran yang berarti tidak mempunyai panjang, lebar atau tinggi sehingga titik dikatakan berdimensi nol. Titik ditandai dengan tanda noktah. • A
• B
• A
•
P
Jarak 1. Jarak antara dua titik
2. Garis •
Jarak, Proyeksi dan Sudut
•
Q
• B
Jarak antara titik A dan B = panjang ruas garis AB R
Perbedaan ruas garis dan garis:
Ruas garis PQ mempunyai panjang tertentu yaitu sebesar jarak antara titik P dan titik Q Garis mempunyai panjang tak hingga, garis tidak mungkin digambar secara keseluruhan atau yang dapat igambar hanya sebagian saja (yang tergambar masih bisa diperpanjang. Ruas garis PQ ≠ ruas garis QR garis PQ = garis QR karena bila diperpanjang akan mewakili garis yang sama
2. Jarak antara titik dan garis A •
• B
g
Jarak antara titk A dan garis g = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus garis g)
www.belajar-matematika.com - 2
3. Jarak antara titik dan bidang 6. Jarak antara garis dan bidang yang sejajar
Jarak antara titik A dan bidang α = panjang ruas garis AB ( AB tegak lurus bidang α )
garis g sejajar dengan bidang α jarak antara garis g dengan bidang α = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus bidang α dan garis g)
4. Jarak antara dua garis sejajar
7. Jarak antara dua bidang yang sejajar
garis g sejajar garis h jarak garis g dan garis h = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus garis g dan h) 5. Jarak antara dua garis bersilangan
Bidang α sejajar dengan bidang β Jarak kedua bidang = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus dengan kedua bidang)
Proyeksi :
garis g bersilangan dengan garis h 1. Proyeksi titik pada garis jarak garis g dan h = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus garis g dan h) Æ sama dengan point 3 di atas
Titik B adalah proyeksi titik A pada garis g (AB tegak lurus garis g)
www.belajar-matematika.com - 3
2. Proyeksi titik pada bidang Sudut
1. Sudut antar dua garis yang bersilangan
Titik B adalah proyeksi titi A pada bidang α (AB tegak lurus dengan bidang α ) 3. Proyeksi garis pada bidang
garis g dan h bersilangan g // g’ dan h // h’
a. Garis g menembus bidang α
∠ (g,h) = ∠ (g ' ,h ' ) = ∠ (g, h ' ) = ∠ ( g ' ,h)
2. Sudut antara garis dan bidang
garis BA menembus bidang α di titik A titik B’ adalah proyeksi titik B pada bidang α proyeksi garis BA pada bidang α adalah = ruas garis AB’ b. garis g sejajar dengan bidang α
∠ (BA, bidang α ) = ∠ (BA,AB’)
3. Sudut antara dua bidang
Titik A dan B terletak pada garis g titk A’ dan B’ merupakan proyeksi titik A dan B pada bidang α Ruas garis A’B’ adalah proyeksi garis g pada bidang α
( α , β ) adalah garis potong antara bidang α dan bidang β . AB dan BC tegak lurus ( α , β ) Sudut antara bidang α dan β : ∠ (AB,BC) = ∠ ABC
www.belajar-matematika.com - 4
BAB IX. STATISTIKA
Contoh : hasil ulangan Matematika 5 siswa sbb: 6 8 7 6 9
Pengertian Statistika dan Statistik: Statistika adalah ilmu pengetahuan yang membahas metode-metode ilmiah tentang cara-cara pengumpulan data, pengolahan, penganalisian dan penarikan kesimpulan. Statistik adalah kumpulan data, bilangan ataupun non bilangan yang disusun dalam tabel dan atau diagram yang menggambarkan suatu masalah Statitika secara umum dibagi menjadi dua macam: 1. Statistika Deskriptif: Meliputi kegiatan-kegiatan mengumpulkan dan mengelompokkan data, menyusun dan menyajikan data dalam bentuk tabel atau grafik yang mudah dipahami dan menganalisa tanpa mengambil kesimpulan. 2. Statistika Inferensia atau induktif: Meliputi penganalisian data agar diperoleh kesimpulan secara umum
Angka masing-masing 6, 8, 7, 6, 9 disebut datum, keseluruhan angka-angka disebut data Data Kuantitatif: data dalam bentuk angka atau bilangan Terdiri dari 2 jenis: 1. Data diskrit atau cacahan : data diperoleh dengan cara menghitung atau mencacah misal: data siswa kelas 3 yang tidak lulus UNAS 2. Data Kontinu/ukuran : data diperoleh dengan cara mengukur. misal: data tentang berat siswa kelas 2 IPA
Data kualitatif : data berupa kategori yang menunjukkan keadaan fisik objek yang diamati Terdiri dari 2 jenis: 1. Data nominal: data yang memerlukan subbagian untuk melengkapi deskripsi data. misal: warna kulit : sawo matang, putih, hitam
Populasi dan Sampel: Populasi : keseluruhan objek yang akan diambil datanya/ akan diteliti
2. Data ordinal : data yang memerlukan pemeringkatan/tingkatan untuk melengkapi deskripsi data. misal: Kecepatan siswa dalam merespon pelajaran: cepat, sedang, lambat.
Sampel : beberapa/sebagian populasi yang dipilih untuk diteliti
Datum, data, data kuantitatif, data kualitatif
Penyajian Data:
Datum : informasi yang didapat dari pengamatan terhadap objek, dapat berupa angka atau lambang Data : kumpulan dari datum-datum secara keseluruhan
Data yang telah dikumpulkan perlu disusun dan disajikan dalam bentuk yang jelas dan baik agar mudah dipahami untuk keperluan laporan dan atau analisa lebih lanjut. Bentuk tersebut berupa tabel atau diagram.
www.belajar-matematika.com - 1
1. Penyajian data dalam bentuk diagram a. Diagram garis :
Kelas interval: Banyak data dikumpulkan dalam kelompok yang disebut kelas interval 51 – 60 Æ kelas interval pertama
b. Diagram batang
91 – 100 Æ kelas interval kelima
Frekuensi: Bilangan yang menyatakan banyak data pada setiap kelas interval Batas kelas:
c. Diagram lingkaran:
Nilai-nilai ujung pada kelas interval. Ujung atas disebut batas atas Ujung bawah disebut batas bawah 51, 61, 71, 81, 91 disebut batas bawah 60, 70, 80, 90, 100 disebut batas atas Tepi kelas: a. jika ketelitian hingga satuan , maka - tepi bawah kelas = batas bawah kelas – 0,5 - tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,5
Daftar distribusi frekuensi: Penyajian data berukuran besar (n ≥ 30) dapat ilakukan dengan mengggunakan daftar distribusi frekuensi
Nilai ulangan Matematika
Banyak siswa (f)
51 - 60 61 - 70 71 – 80 81 - 90 91 - 100
10 15 10 7 3
b. jika ketelitian hingga satu desimal, maka - tepi bawah kelas = batas bawah kelas – 0,05 - tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,05 a. jika ketelitian hingga dua desimal , maka - tepi bawah kelas = batas bawah kelas – 0,005 - tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,005
Panjang kelas: Panjang kelas= tepi atas – tepi bawah
www.belajar-matematika.com - 2
Histogram dan Poligram Frekuensi: DATA TUNGGAL Histogram: 1. Ukuran Pemusatan : Untuk menyajikan data yang telah disusun dalam distribusi frekuensi menjadi diagram, dibuat 2 sumbu yang saling tegak lurus, sumbu datar untuk kelas interval (tepi bawah dan tepi atas) , sumbu tegak untuk frekuensi
Terdapat nilai statistika yang dapat dimiliki oleh sekumpulan data yang diperoleh yaitu :
a. Rata-rata
Rata-rata =
jumlah seluruh data banyaknya data
Misal x1 , x 2 , x3 , ……, x n adalah sekumpulan data yang telah diurutkan maka: x =
x1 + x 2 + x3 + ... + x n n
atau x =
1 n
n
∑x i =1
i
x dibaca x bar adalah satuan hitung yang biasa disebut dengan rataan atau mean
Poligram Frekuensi: Tiap sisi atas batang yng berdekatan dihubungkan dengan sebuah garis dan sisi terakhir dihubungkan dengan setengah jarak kelas interval pada sumbu mendatar maka akan terbentuk poligram frekuensi.
b. Rataan Sementara
Cara lain untuk menghitung rataan dengan cara menentukan rataan sementara yaitu dengan mengambil titik tengah sembarang kelas interval. Misalnya diketahui data tunggal x1 , x 2 , x3 , ……, x n dan rataan sementara yang ditaksir adalah x s maka rataan data tersebut adalah : x = xs +
∑d
i
n
di = x i - x s x i = nilai interval (nilai data) x s = nilai rataan sementara (nilai tengah interval)
www.belajar-matematika.com - 3
c. Median d. Rataan Tiga
Nilai tengah yang membagi seluruh data menjadi dua bagian yang sama setelah diurutkan - Jika n ganjil maka mediannya adalah nilai data n +1 ke atau median = x n +1 2 2
Rataan Tiga =
1 ( Q1 + 2 Q 2 + Q 3 ) 4
e. Desil
Ukuran yang membagi data menjadi 10 bagian
- Jika n genap maka mediannya adalah rata-rata nilai data n n ke dan nilai data ke +1 atau 2 2 ⎞ 1 ⎛ ⎜ xn + xn ⎟ median = ⎜ +1 ⎟ 2 ⎝ 2 2 ⎠
yang sama besar, didapatkan 9 buah desil yaitu D 1 , D 2 , D 3 , . . ., D 9 Untuk menentukan desil ke-i dapat digunakan rumus : D i = x i ( n +1) 10
d. Modus
D i = desil ke-i n = banyaknya datum (nilai data)
Data yang paling banyak muncul 2. Ukuran Letak:
x i ( n +1) = datum pada urutan ke 10
a. Kuartil
Jika median membagi data menjadi 2 bagian yang sama maka kuartil membagi data menjadi 4 bagian yang sama. Untuk menentukan kuartil dari suatu data yang telah diurutkan dapat dilakukan dengan membaginya menjadi 4 bagian juga dapat menggunakan rumus : Qi = x i ( n +1)
i (n + 1) 10
3. Ukuran Penyebaran : a. Jangkauan Data
Selisih antara nilai data terbesar dengan data yang terkecil J = x maks - x min
4
dimana :
Qi = kuartil ke-i n = banyaknya data
b. Statistik lima serangkai Terdiri dari : - datum(nilai data) terkecil (x min ) - datum terbesar (x max ) - Kuartil pertama (Q 1 ) - Kuartil kedua (Q 2 ) - Kuartil ketiga (Q 3 ) c. Rataan Kuartil
Rataan Kuartil =
b. Jangkauan Antar Kuartil (Hamparan)
Selisih antara Kuartil ketiga dengan kuartil pertama H = Q 3 - Q1 c. Simpangan Kuartil ( Jangkauan semi antar kuartil)
adalah setengah dari hamparan. Qd =
1 1 H = ( Q 3 - Q1) 2 2
1 (Q 1 + Q 3 ) 2
www.belajar-matematika.com - 4
d. Langkah (L)
L=
DATA BERKELOMPOK 1. Ukuran Pemusatan Data
3 ( Q 3 - Q1) 2
a. Rataan hitung: Misalnya diketahui data dalam daftar distribusi frekuensi . Rataan data tersbut adalah :
e. Pagar Dalam
Pagar Dalam = Q 1 - L
k
∑f x =
f. Pagar Luar
i =1
i
.x i
k
∑f i =1
i
Pagar Luar = Q 3 + L k fi
g. Simpangan Rata-Rata (SR)
= banyaknya kelas = frekuensi pada kelas ke-i
k
∑f
Seberapa jauh penyebaran nilai-nilai data terhadap nilai rataan. SR =
1 n
n
∑ i =1
i =1
i
= n = menyatakan banyaknya data
b. Rataan Sementara
xi − x
Misalnya diketahui titik tengah kelas x1 , x 2 , x3 , ……, x n yang masing-masing mempunyai frekuensi f 1 , f 2 , f 3 , …., f k maka rataan datanya adalah:
n = banyaknya data xi = data ke i x = rataan
h. Ragam
Rata-rata kuadrat jarak suatu data dari nilai rataannya S2 =
1 n
∑ (x n
i =1
i
−x
)
(
i
i
= n menyatakan banyaknya data
c. Modus Modus dari suatu data berkelompok adalah:
i. Simpangan Baku/ Standar Deviasi 1 n ∑ xi − x n i =1
1
i
∑f
x = rataan
S2 =
∑ f .d ∑f
x s = rataan sementara di = xi - xs
2
n = banyaknya data xi = data ke i
S=
x = xs +
)
2
⎛ ∆1 M 0 = L + ⎜⎜ ⎝ ∆1 + ∆ 2
⎞ ⎟⎟ c ⎠
M 0 = modus data berkelompok L = tepi bawah kelas modus c = panjang kelas (tepi atas – tepi bawah kelas modus) ∆ 1 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya www.belajar-matematika.com - 5
∆ 2 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya
Contoh:
Nilai ulangan Matematika
Banyak siswa (f)
51 - 60 61 - 70 71 – 80 81 - 90 91 - 100
10 15 8 7 3
⎞ ⎛n ⎜ − fk ⎟ ⎟ c Median = L + ⎜ 2 ⎜ f ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝
L = tepi bawah kelas median n = banyaknya data f k = frekuensi komulatif kelas sebelum median f = frekuensi kelas median c =panjang kelas
2. Ukuran Letak Data a. Kuartil Kuartil data berkelompok dirumuskan sbb:
Letak modus data di atas adalah pada kelas ke 2 (jumlah frekuensi terbesar yaitu 15)
⎛ ⎞ ⎜ i. n ⎟ − f k ⎟ ⎜ 4 Qi = Li + ⎜ ⎟ c f ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
L = tepi bawah = 61 – 0.5 = 60.5 ∆ 1 = 15 – 10 = 5 (10 adalah frekuensi kelas sebelumnya) ∆ 2 = 15 – 8= 7
i Li n fk f c
(8 adalah frekuensi kelas sesudahnya.
c = 70.5 - 60.5 = 10
Sehingga modus dari data berkelompok tersebut bisa didapat dengan memasukkan angka-angka di atas ke dalam rumus. ⎛ ∆1 M 0 = L + ⎜⎜ ⎝ ∆1 + ∆ 2
b. Desil Desil data berkelompok didapat dengan rumus: ⎛ ⎞ ⎜ i. n ⎟ ⎜ 10 − f k ⎟ Di = Li + ⎜ ⎟ c f ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎞ ⎟⎟ c ⎠
⎛ 5 ⎞ = 60.5 + ⎜ ⎟ . 10 ⎝5+7⎠ = 60.5 + 4,167 = 64.667
d. Median Median data berkelompok adalah:
= 1,2,3 = tepi bawah kuartil ke-i = banyaknya data = frekuensi komulatif kelas sebelum kuartil ke-i = frekuensi kelas kuartil ke-i = lebar kelas
i Li n fk
= 1,2,3, …, 9 = tepi bawah kelas interval yang memuat D i = banyaknya data = jumlah frekuensi semua kelas interval sebelum kelas interval yang memuat D i f = frekuensi kelas interval yang memuat D i c = lebar kelas interval www.belajar-matematika.com - 6
3. Ukuran Penyebaran Data a. Jangkauan:
i. Angka Baku (Z) Z=
H = Q 3 - Q1
x−x S
b. Simpangan Kuartil 1 (Q 3 - Q 1 ) 2
Qd = c. Langkah L=
3 ( Q 3 - Q1) 2
d. Pagar dalam Pagar Dalam = Q 1 - L e. Pagar Luar Pagar Luar = Q 3 + L f. Simpangan Rata-rata k
∑f SR =
i =1
i
| xi − x | k
∑f
i
∑ f (x
i
i =1
g. Ragam k
S2 =
i =1
i
−x
)
2
k
∑f i =1
i
h. Koefisien Keragaman (v) S (v) = x 100% x S = Simpangan baku x = Rataan hitung
www.belajar-matematika.com - 7
Terjadinya 2 kemungkinan kejadian yaitu : AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC = 12 kemungkinan
BAB X. PELUANG
AB ≠ BA AC ≠ CA AD ≠ DA
Prinsip/kaidah perkalian: Jika posisi /tempat pertama dapat diisi dengan r 1 cara yang berbeda, tempat kedua denan r 2 cara, dan seterusnya, sehingga langkah ke n ada r n cara maka banyaknya cara untuk mengisi n tempat yang tersedia adalah :
n= 4 ; r =2 Kasus di atas dapat diselesaikan dengan rumus ini : n! 4! = P24 = (n − r )! (4 − 2)!
Prn =
r1 x r 2 x … x r n
Contoh:
BD ≠ DB CD ≠ DC BC ≠ CB
=
4 x3x 2 x1 = 12 kemungkinan (sama dengan di atas) 2 x1
Nomor pegawai suatu pabrik terdiri atas 3 angka dengan angka pertama tidak nol. Banyaknya nomor pegawai yang genap adalah….
Contoh soal :
jawab:
Di suatu kelas akan dipilih ketua, sekretaris dan bendahara dar orang calon. Banyak cara yang mungkin untuk memilih pengu kelas tsb adalah….
Angka terdiri dari 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Æ 10 angka
jawab:
akan dibuat 3 digit Æ XXX
diketahui calon= n = 6 posisi jabatan = r = 3
digit pertama : tidak ada angka 0, maka angkanya berjumlah 10 – 1 = 9
sebagai gambaran :
digit kedua : angka penuh = 10 digit ketiga : nomor genap Æ 0,2,4,6,8 = 5
misalkan 6 calon tersebut A, B, C, D, E dan F
Maka banyaknya nomor pegawai yang genap adalah: 9 x 10 x 5 = 450 nomor
Kaidah Permutasi dan Kombinasi : 1. Permutasi a. Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda
ABC ≠ ACB ; ABC ≠ CBA ABC orangnya sama tetapi urutan posisi jabatan yang berbeda. ABC ≠ ACB A sama tetapi B dan C berbeda ABC = A ketua, B Sekretaris, C Bendahara ACB = A ketua, B Bendahara, C Sekretaris ini yang dinamakan urutan yang diperhatikan. Gunakan rumus Prn =
Banyaknya cara untuk menyusun r buah unsur dari n buah unsur yang berbeda dengan urutan diperhatikan n! Rumusnya : Prn = n Pr = (n − r )!
P36 =
=
n! (n − r )!
6! (6 − 3)!
6.5.4.3.2.1. = 120 3.2.1.
Misalkan n = A,B,C,D www.belajar-matematika.com - 1
b. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama Banyaknya cara untuk menyusun n buah unsur yang terdiri dari r1 , r2 , r3 , …, rn unsur yang sama adalah Pr1n,r2
=
, rn
n! r1!r2 !...rn !
P 3s = (3-1) ! = 2 ! = 2 kemungkinan
Banyaknya susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf huruf “MATEMATIKA” adalah:
2. Kombinasi :
Banyaknya kemungkinan dengan tidak memperhatikan urutan ada
Jawab : Diketahui jumlah huruf =n = 10 Jumlah huruf yang > 1 Æ M =2 = r1 A= 3 = r2 T = 2 = r3
P2101 ,3, 2 =
=
Misalkan n = A,B,C,D dipilih 2 kejadian : AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC AB = BA BD = DB AC = CA CD = DC AD = DA BC = CB Ke 6 kejadian di atas adalah sama sehingga dihitungnya 1
10! 2!3!2!. 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 151.200 susunan 2.1.3.2.1.2.1
c. Permutasi Siklis
Diketahui n = 4 dan r = 2 C
B = B
B A = A
Kemungkinan 2 : A B C = C
n! r!(n − r )!
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan rumus ini :
Kemungkinan 1: A
Sehingga kemungkinan yang terjadi adalah 12 – 6 = 6 kemungkinan (tidak memperhatikan urutan ada) Rumusnya : C rn = n C r =
Misal : ada 3 orang (A,B,C) duduk melingkar maka posisinya sbb:
B
P ns = (n-1) ! ; n= banyaknya unsur; s = siklis Permutasi siklis untuk 3 orang tsb bisa dicari dengan menggunakan rumus ini. Yaitu:
Contoh soal :
C
Permutasi duduk melingkar seperti ini disebut permutasi siklis, dirumuskan sbb:
C
contoh soal:
C A =A
n! 4! 4! = C 24 = = r!(n − r )! 2!(4 − 2)! 2!2! 4 x3x 2 x1 = = 6 kemungkinan 2 x1x 2 x1
C rn =
B
Dalam suatu acara silaturahmi yang dihadiri 20 orang, setiap orang saling bersalaman. Banyaknya salaman yang terjadi adalah…. jawab:
www.belajar-matematika.com - 2
AB = BA Æ orangnya sama yang melakukan salaman dinamakan tidak memperhatikan urutan ada.
n (A) + n (A’) = n (S) bagi masing-masing dengan n(S) menjadi :
n = 20 ; r = 2
n! Pakai rumus C rn = r!(n − r )! =
n( A) n( A' ) n( S ) + = n( S ) n( S ) n( S )
20! 20! = 2!(20 − 2)! 2!18!
P(A) + P(A’) = 1 maka P(A’) = 1 – P(A) Contoh: Peluang satu kelas lulus UNAS adalah 0.97. Peluang tidak lulus ujian adalah :
20.19 = = 10.19 = 190 2.1
jawab: P(A’) = 1 – P(A) diketahui peluang lulus ujian = P(A) = 0.97 ditanya peluang tidak lulus = P(A’)=…
Peluang suatu kejadian :
Rumus peluang kejadian : P(A) =
Pada diagram Venn di atas :
n( A) n( S )
P(A’) = 1 – 0.97 = 0.03 2. Kejadian Majemuk :
p(A) = peluang kejadian n(A) = banyaknya kemungkinan kejadian A n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample
A. Kejadian saling lepas dan tidak saling lepas a. Kejadian saling lepas
Contoh sederhana: sebuah dadu dilempar, berapa peluang terjadi yang muncuk angka ganjil ? semua angka dadu adalah 6 sehingga n(S) = 6 angka ganjil adalah 1, 3 dan 5 sehingga n(A) = 3 P(A) =
A ∩ B =φ Kejadian A dan B tidak dapat terjadi secara bersamasama.
3 1 = 6 2
Diagram Venn: s
Hukum-hukum Peluang :
1. Kejadian saling komplemen ' Jika A = kejadian bukan A (komplemen A) maka :
A
B
P( A ' ) = 1 – P(A) P (A ∪ B ) = P(A) + P(B)
didapat dari :
Contoh: Dua buah dadu dilempar secara bersama-sama. Peluang munculnya jumlah dadu 5 atau 8 adalah …
s
A’
A www.belajar-matematika.com - 3
jawab:
P (A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B )
buat tabel ruang sample percobaan seperti di bawah:
Contoh soal:
Dadu terdiri dari angka 1 ,2,3,4,5, dan 6
Dari satu set kartu bridge diambil sebuah kartu. Peluang terambilnya kartu berwarna hitam dan As adalah…
1 2
1 (1,1) (2,1)
2 (1,2) (2,2)
3 (1,3) (2,3)
4 (1,4) (2,4)
5 (1,5) (2,5)
6 (1,6) (2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample = 36 Ada dua peluang kemungkinan yang terjadi : 1. jumlah dadu berjumlah 5 kita sebut peluang A berjumlah 4 (warna merah) 2. jumlah dadu berjumlah 8 kita sebut peluang B berjumlah 5 ( warna biru) A dan B merupakan kejadian saling lepas karena munculnya jumlah dadu baerjumlah 5 dan 8 terjadi tidak secara bersamaan, ini ynag disebut dengan kejadian saling lepas. P (A ∪ B ) = P(A) + P(B)
n(S) = 52 (jumlah kartu) A = kejadian terambilnya kartu hitam. Ada dua kartu hitam yaitu sekop dan kriting. masing-masing mempunyai 13 kartu, sehingga n(A) = 2 x 13 = 26 B = kejadian terambilnya kartu as. kartu as pada satu set kartu bridge terdiri dari 4 kartu, sehingga n(B) = 4
Kartu hitam dan kartu as dapat terjadi secara bersamaan jika yang terambil kartu as sekop dan kartu as keriting, sehingga dan B adalah kejadian yang tidak saling lepas sehingga n(A ∩ B) = 2
n( A) 4 n( B ) 5 P(A) = ; P(B) = = = n( S ) 36 n( S ) 36
P (A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B ) n( A) n( B) n( A ∩ B) = + − n( S ) n( S ) n( S )
4 5 9 1 + = = 36 36 36 4
P (A ∪ B ) =
jawab: catatan: kartu bridge terdiri dari 4 macam: kartu sekop, kartu keriting, kartu wajik dan kartu hati masing-masing berjumlah 13. angka 1 s/d 10, Jack, Queen, King dan AS Yang berwarna hitam : sekop dan keriting yang berwarna merah: wajik dan hati
= b. Kejadian tidak saling lepas A∩ B ≠φ
26 4 2 28 7 = + − = 52 52 52 52 13
3. Kejadian saling bebas dan tidak saling bebas
Kejadian A dan B dapat terjadi secara bersama-sama. Diagram Venn:
a . Kejadian saling bebas. Munculnya kejadian A tidak mempengaruhi peluang terjadinya kejadian B. Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas, maka peluang terjadinya kejadian A dan B adalah :
s
A
B
P(A ∩ B ) = P(A) x P(B)
www.belajar-matematika.com - 4
Contoh:
P(B) + P(B’) = 1 P(B’) = 1 – P(B) = 1 – 0.98 = 0.02
Sebuah dadu dan sebuah uang logam (koin) delempar secara bersama-sama. Berapa peluang kejadian munculnya gambar pada koin dan munculnya angka ganjil pada dadu ? jawab: misal A= kejadian munculnya angka pada koin. n( A) 1 P(A) = = n( S ) 2 catatan: koin terdiri dari angka dan gambar maka n(S) = 2 n(A) = gambar = 1 misal B = kejadian munculnya angka ganjil pada dadu P(B) =
n( B ) 3 1 = = n( S ) 6 2
Maka peluang siswa sekolah A lulus dan siswa sekolah B tidak lulus adalah : P(A ∩ B’) = P(A) x P(B’) = 0.99 x 0.02 = 0.0198
b. Kejadian tidak saling bebas (bersyarat) Kejadian A mempengaruhi peluang kejadian B . Jika A dan B adalah dua kejadian tidak saling bebas, maka peluang terjadinya kejadian A dan B adalah : P(A ∩ B ) = P(A) x P(B|A) P(B|A) = peluang terjadinya B setelah terjadinya A
catatan: dadu terdiri dari 6 angka maka n(S) = 6 angka ganjil pada dadu terdiri dari 3 angka (1,3 dan 5) maka n(B) = 3 maka peluang kejadian munculnya gambar pada koin dan munculnya angka ganjil pada dadu :
contoh soal: Sebuah kotak berisi 4 bola hijau dan 6 bola merah. Secara acak diambil 2 bola dari kotak. Peluang kedua bola yang terambil berwarna hijau adalah… jawab: pengambilan bola pertama:
P(A ∩ B ) = P(A) x P(B) 1 1 1 = x = 2 2 4
Banyaknya bola pada pengambilan pertama adalah 4 + 6 = 10, maka n(S) = 10. A adalah kejadian terambilnya bola hijau = 4
contoh kedua:
maka P(A) =
Peluang siswa sekolah A dan sekolah B lulus UNAS berturut-turut adalah 0.99 dan 0.98. Peluang siswa sekolah A lulus dan siswa sekolah B tidak lulus UNAS adalah
n( A) 4 2 = = n( S ) 10 5
pengambilan bola kedua:
jawab:
Banyaknya bola pada pengambilan kedua10-1, maka n(S) = 9. (bola berkurang 1)
P(A) = peluang siswa sekolah A lulus P(B’) = peluang siswa sekolah B tidak lulus
kejadian pertama dan kejadian kedua saling berpengaruh, maka dikatakan kejadian tidak saling bebas.
P(A ∩ B’) = P(A) x P(B’) P(A) = 0.99 P(B) = 0.98
P(B|A) =
n( B | A) n( S )
bola hijau dianggap sudah terambil 1 maka n(B|A) = 3 www.belajar-matematika.com - 5
P(B|A) =
sehingga fH(A) = P(A) x N 1 = x 104 = 26 4
3 1 = 9 3
Maka peluang terambilnya 2 bola hijau adalah : P(A ∩ B ) = P(A) x P(B|A) 2 1 2 = x = 5 3 15 Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan dari kejadian A adalah fH(A) = P(A) x N fH(A) = frekuensi harapan kejadian A P(A) = peluang kejadian A N = banyaknya pecobaan Contoh Soal : Suatu percobaan lempar undi dua mata uang logam sebanyak 104 kali. Frekuensi harapan munculnya sisi dua angka adalah… jawab: ditanya . fH(A) = P(A) x N - diketahui N = 104 - cari P(A) dimana : n( A) P(A) = n( S ) Tabel ruang sample : uang logam terdiri dari angka (A) dan gambar (G)
A G
A (A,A) (G,A)
G (A,G) (G,G)
didapat n(A) = sisi dua angka (warna merah) = 1 n(S) = 4 P(A) =
n( A) 1 = n( S ) 4
www.belajar-matematika.com - 6
BAB XI. LINGKARAN
(x- x 1 ) (x- x 2 ) + (y- y 1 ) (y- y 2 ) = 0 Contoh soal:
Pengertian : Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak konstan/sama terhadap sebuah titik tertentu. Sebuah titik tertentu itu disebut pusat lingkaran dan titiktitik yang berjarak sama itu disebut jari-jari (r).
1. Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari jari 2 adalah …. jawab: ( x – 0) 2 + ( y – 0 ) 2 = r 2 ⇒
x2 + y2 = r2
x2 + y2 = 22 ⇔ x2 + y2 = 4 r 0
A
Persamaan lingkarannya adalah: x2 + y2 = 4 2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (5,2) dan berjari-jari 4 adalah….
Persamaan lingkaran: 1. Berpusat di O(0,0) dan berjari-jari r ( x – 0) 2 + ( y – 0 ) 2 = r 2 ⇒
jawab:
x2 + y2 = r2
Suatu titik A (a,b) dikatakan terletak :
(x – 5) 2 + (y – 2) 2 = 4 2
a. pada lingkaran x 2 + y 2 = r 2 ⇔ a 2 + b 2 = r 2 b. di dalam lingkaran x 2 + y 2 = r 2 ⇔ a 2 + b 2 < r 2 c. di luar lingkaran x 2 + y 2 = r 2 ⇔ a 2 + b 2 > r 2
2. Berpusat di A(a,b) dan berjari-jari r
Diketahui a = 3 dan b = 4
a. Menyinggung sumbu X, maka r = |b| b. Menyinggung sumbu Y, maka r = |a| c. menyinggung garis Ax + By + C, maka
(x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 (x – 3) 2 + (y – 4) 2 = r 2
Aa + Bb + C A +B
Jadi persamaan lingkarannya adalah: x 2 + y 2 - 10x - 4y + 13 = 0
jawab:
jika lingkaran berpusat di (a,b) :
2
⇔ x 2 - 10x + 25 + y 2 - 4y + 4 = 16 ⇔ x 2 + y 2 - 10x - 4y + 25 + 4- 16 = 0 ⇔ x 2 + y 2 - 10x - 4y + 13 = 0
3. Persamaan lingkaran yang berpusat di (3,4) dan melalui titik (6,8) adalah….
(x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2
r=
(x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2
lingkaran melalui titik (5,2), maka titik tersebut berada pada lingkaran. Maukkan titik tersebut ke dalam persamaan lingkaran :
2
3. 2 titik ujung diameternya diketahui (x 1 ,y 1 ) dan (x 2 ,y 2 ), maka persamaannya adalah : www.belajar-matematika.com - 1
⇔ x 2 + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b 2 - r 2 = 0
(x – 3) 2 + (y – 4) 2 = r 2 (6 – 3) 2 + (8 – 4) 2 = r 2 3 2 + (-4) 2 = r 2 9 + 16 = r 2 25 = r 2 r = 25 = 5
persamaan terakhir dapat disempurnakan menjadi persamaan berikut: x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0
1 A 2 1 B = -2b Æ b = - B 2 2 2 2 C = a + b - r Æ r2 = a2 + b2 - C
dengan A = -2a Æ a = -
r diketahui maka persamaan lingkarannya:
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
(x – 3) 2 + (y – 4) 2 = r 2 (x – 3) 2 + (y – 4) 2 = 5 2 x 2 - 6x + 9 + y 2 - 8y + 16 = 25 x 2 + y 2 - 6x - 8y + 9 + 16 = 25 x 2 + y 2 - 6x - 8y + 25 - 25 = 0 x 2 + y 2 - 6x - 8y = 0
Ær=
=
Jadi persamaan lingkarannya adalah: x 2 + y 2 - 6x - 8y = 0
a2 + b2 − C 1 2 1 2 A + B −C 4 4
Persamaan umum lingkaran adalah: Pusat (a,b) dan jari-jari r atau
4. Persamaan lingkaran berpusat di (3,5) dan menyinggung sumbu x adalah….
1 1 A, - B) dan r = 2 2
1 2 1 2 A + B −C 4 4
jawab: diketahui a = 3 dan b= 5 Menyinggung sumbu x maka r = |b| = 5
Pusat (-
(x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2
1. Pusat dan jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + 4x - 6y + 13 = 0 adalah…..
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
contoh soal:
(x – 3) 2 + (y – 5) 2 = 5 2 x 2 - 6x + 9 + y 2 - 10y + 25 = 25 x 2 + y 2 - 6x - 10y + 9 + 25 - 25 = 0 x 2 + y 2 - 6x - 10y + 9 = 0
jawab: Pusat (-
maka persamaan lingkarannya adalah: 2
x + y - 6x - 10y + 9 = 0
Persamaan Umum Lingkaran : Lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r adalah
apabila dijabarkan diperoleh :
⇔ x 2 - 2ax + a 2 + y 2 - 2by + b 2 = r 2
1 2 1 2 A + B −C 4 4
x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 → persamaan umum lingkaran
2
(x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2
1 1 A, - B) dan r = 2 2
x 2 + y 2 + 4x - 6y + 13 = 0 → persamaan lingkaran soal maka diketahui A = 4, B = -6 dan C = 13 sehingga, pusat = (-
1 1 1 1 A, - B) = (- .4, - .-6) = (-2,3) 2 2 2 2
www.belajar-matematika.com - 2
r=
=
=
1 2 1 2 A + B −C 4 4
2. Apabila D=0 Garis g menyinggung lingkaran
1 2 1 .4 + (−6) 2 − 13 4 4
garis g
4 + 9 − 13 = 0
Perpotongan Garis dan Lingkaran:
persamaan umum lingkaran:
3. Apabila D0 garis g memotong lingkaran garis g
substitusi (2) ke (1) : x 2 + (x+p) 2 = 25 ⇔ x 2 + x 2 + 2xp + p 2 = 25 ⇔ 2x 2 + 2xp + p 2 -25 = 0 ….(3) garis akan menyinggung lingkaran apabila diskriminan (D) persamaan (3)= 0 D = b 2 - 4ac = 0 = (2p) 2 - 4.2. (p 2 -25) = 0 4 p 2 - 8 p 2 + 200 = 0
www.belajar-matematika.com - 3
- 4 p 2 + 200 = 0 4 p 2 = 200
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
1. Garis singgung lingkaran melalui sebuah titik yang diketahui pada lingkaran
p 2 = 50 p = 50 = ± 5 2 Garis y = x + p akan menyingung lingkaran apabila p= ± 5 2 Cara 2 : garis Ax + By + C akan menyinggung lingkaran maka r=
A2 + B 2
x . x 1 + y. y 1 +
1 1 A (x + x 1 ) + B ( y + y 1 ) + C =0 2 2
1 1 A dan B ? 2 2 -awal dari persamaan lingkaran adalah Ax dan By - karena ada tambahan menjadi x + x 1 sehinga menjadi 1 2 kali maka A nya menjadi A demikian juga 2 dengan B
persamaan garis y = x + p Æx-y +p=0 A = 1 ; B= -1 dan C = p
5=
b. Persamaan garis singgung melalui titik (x 1 , y 1 ) pada lingkaran (x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 adalah :
c. Persamaan garis singgung melalui titik (x 1 , y 1 ) pada lingkaran x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 adalah:
( x – 0) 2 + ( y – 0 ) 2 = 5 2 a = 0, b= 0 dan r =5
5=
x . x 1 + y. y 1 = r 2
( x- a) ( x 1 -a) + (y-b)(y 1 -b) = r 2
Aa + Bb + C
persamaan lingkaran x 2 + y 2 = 25
r=
a. Persamaan garis singgung melalui titik (x 1 , y 1 ) pada lingkaran x 2 + y 2 = r 2 adalah :
dari mana
Aa + Bb + C A2 + B 2 1.0 + (−1).0 + p 12 + (−1) 2
contoh soal:
;
1. Persamaan garis singgung di titik (3,2) pada lingkaran x 2 + y 2 = 13 adalah…..
p
2
jawab: karena nilai p adalah nilai mutlak maka ada 2 nilai : 5=
−p 2
x . x 1 + y. y 1 = r 2 Æ p = - 5 2 atau 5 =
p
2
maka nilai yang memenuhi adalah: p=
±
5
2
Æp=5 2
. x 1 = 3 ; y 1 = 2 ; r 2 = 13 maka persamaan garis singgungnya adalah : x . 3 + y . 2 = 13 ⇔ 3.x + 2.y = 13
www.belajar-matematika.com - 4
2. Persamaan garis singgung melalui titik (5,1) pada lingkaran x 2 + y 2 - 4x + 6y -12 = 0 adalah….
2. Garis singgung dengan gradien yang diketahui a. jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran x 2 + y 2 = r 2 maka persamaan garis singgungnya adalah :
jawab: Cara 1: Diketahui x 1 = 5 ; y 1 = 1; A = -4 ; B=6; C = -12 1 1 A (x + x 1 ) + B ( y + y 1 ) + C =0 2 2 1 1 5.x + y + . (-4) (x + 5) + .6 (y+1) – 12 = 0 2 2 5x + y -2x -10 + 3y + 3 – 12 = 0 3x + 4y -19 = 0 x . x 1 + y. y 1 +
Lingkaran adalah berpusat di (0,0) sehingga persamaan garis singgungnya adalah: y – 0 = m (x – 0) ± r 1 + m 2
⇔ y = mx ± r 1 + m 2 b. jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran (x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 , maka persamaan garis singgungnya adalah:
Persamaan garis singgungnya adalah = 3x + 4y -19 = 0
y – b = m( x – a ) ± r 1 + m 2
Cara 2 : x 2 + y 2 - 4x + 6y -12 = 0
Contoh soal :
cari pusat dan r: (x-2) 2 - 4 + (y+3) 2 - 9 – 12 = 0 (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 (x-2) 2 + (y+3) 2 = 25
Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 - 6x + 4y + 8 = 0 dan sejajar garis 4x – 2y + 11 =0 adalah…. Jawab:
atau : 1 1 1 2 1 2 A, - B) dan r = A + B −C 2 2 4 4 A = -4; B = 6 ; C = -12 1 1 Pusat (- .-4, - .6) = (2, -3) Æ a = 2; b = -3 2 2 1 1 (−4) 2 + (6) 2 − (−12) = r= 4 + 9 + 12 4 4 r = 25 ⇒ r 2 = 25
y – b = m( x – a ) ± r 1 + m 2
Pusat (-
persamaan garis singgung: ( x- a) ( x 1 -a) + (y-b)(y 1 -b) = r 2 diketahui a = 2 ; b = -3 ; r 2 = 25 ; x 1 =5; y 1 = 1 ( x- 2) ( 5 - 2) + (y + 3)(1+3) = 25 ( x- 2) .3 + (y + 3)(4) = 25 3x – 6 +4y +12 -25 = 0 3x + 4y -19 = 0
persamaan lingkaran : x 2 + y 2 - 6x + 4y + 8 = 0 A = -6; B= 4 ; C = 8 Pusat (-
1 1 A, - B) dan r = 2 2
Pusat (-
1 1 .-6, - .4 )= (3,-2) Æ a = 3; b=-2 2 2
r= =
1 2 1 2 A + B −C = 4 4
9+ 4−8 =
www.belajar-matematika.com - 5
5
1 2 1 2 A + B −C 4 4
1 1 ( − 6) 2 + ( 4) 2 − 8 4 4
Persamaan garis 4x – 2y + 11 =0
Contoh soal:
11 2 misal garis tersebut adalah a, maka didapat Gradient garis a = m a = 2,
Persamaan garis singgung melalu titik ( 0,5) pada lingkaran x 2 + y 2 = 20 adalah…
Misal gradient garis singgung pada lingkaran = m b Karena sejajar maka m a = m b
titik (0,5) berada di luar lingkaran : karena 0 2 + 5 2 > 20
4x + 11 = 2y ⇔ 2y = 4x+11 ⇔ y = 2x +
jawab:
catatan : m a . m b = -1 Æ tegak lurus
persamaan garis singgung melalui titik (0,5): y = mx +c x 1 = 0; y 1 = 5 y - y1 = m ( x - x1) ; y – 5 = m(x-0) y = mx+5 Æ maka c = 5
y – b = m( x – a ) ± r 1 + m 2 y – (-2) = 2 (x-3) ± 5 1 + 22 y + 2 = 2x – 6 ± 5 . 5 y = 2x – 6 -2 ± 5 y = 2x – 8 ± 5
cari nilai m
maka persamaan garis singgung pada lingkarannya adalah : y = 2x – 8 + 5 = 2x – 3 dan y = 2x – 8 - 5 = 2x – 13
3. Garis singgung melalui sebuah titik yang berada di luar lingkaran.
,
misal: nilai koordinat titik tersebut adalah (x 1 , y 1 ) dan menyinggung lingkaran ( x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 maka persamaan garis singgungnya adalah: y - y1 = m ( x - x1)
y 1 - b = m (x 1 - a) + c ; dimana c = r 1 + m 2 c = r 1 + m 2 ⇔ c 2 = r 2 (1 + m 2 ) 25 = 20 (1+ m 2 ) 25 = 20 + 20m 2 5 = 20m 2 1 m2 = 4 1 m= ± 2 masukkan ke dalam persamaan y = mx+5. jika m=
1 1 Æ y = x + 5 ⇔ 2y = x + 10 ⇔ x – 2y = -10 2 2
nilai m dan c didapat dari : jika m = y 1 - b = m (x 1 - a) + c ; dimana c = r 1 + m 2
1 1 Æ y = - x + 5 ⇔ 2y =- x + 10 ⇔ x + 2y = 10 2 2
r 0
(x 1 , y 1 ) r
www.belajar-matematika.com - 6
BAB XII. SUKU BANYAK Pengertian: f(x) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 +…+ a 2 x 2 +a 1 x + a 0 adalah suku banyak (polinom) dengan : - a n , a n −1 , a n − 2 , ….,a 2 , a 1 , a 0 adalah koefisienkoefisien suku banyak yang merupakan konstanta real dengan a n ≠ 0 - a 0 adalah suku tetap yang merupakan konstanta real - n merupakan pangkat tertinggi dari x
An = an An – 1 = An. h + an – 1 An – 2 = An–1 . h + an – 2 . . .. .. A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0
x=h
a n a n −1
a n−2 - - - a 2
A n .h A n −1 . h
a1
a0
A 3 .h A 2 .h A 1 .h
Menghitung nilai suku banyak: An An – 1
1. Metoda Substitusi :
An – 2
A2
A1
A0
f(h)
Cara penyelesaian contoh metoda substitusi dapat diselesaikan dengan cara Horner sbb:
Nilai suku banyak : f(x) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 +…+ a 2 x 2 +a 1 x + a 0
f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 untuk x = -2 didapat :
untuk x = h adalah : f(h) = a n h n + a n −1 h n −1 + a n − 2 h n − 2 +…+ a 2 h 2 +a 1 h + a 0 contoh: jika f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 nilai suku banyak untuk x = -2 adalah : f(-2) = 4 . (-2) 3 + 2 .(-2) 2 + (-2) – 3 = -32 + 8 - 2 - 3 = - 29
x = -2
4
2
-8 (+) 4
-6
1
-3
12 (+) -26 (+) 13
-29
hasil dari f(-2)
= kalikan dengan x = -2
2. Metoda Horner: didapat f(-2) = -29
Nilai suku banyak : f(x) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 +…+ a 2 x 2 +a 1 x + a 0
Pembagian Suku Banyak: 1. Dengan Pembagian Biasa:
untuk x = h adalah f(h) menggunakan Metoda Horner diperlihatkan sbb:
Sisa pembagian oleh (x – h) terhadap f(x) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 +…+ a 2 x 2 +a 1 x + a 0 adalah P(h) atau f(x) = (x – h) H(h)+ P(h)
www.belajar-matematika.com - 1
Dimana : (x – h) = pembagi H(h) = hasil bagi P(h) = sisa
a. Pembagian suku banyak dengan x - h f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x
Contoh sebelumnya : Suku banyak f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 dengan x = -2 atau (x+2) (1) (2) (3) 4x 2 - 6x +13 3
x +2 4x + 2x + x - 3 (4x . (x+2))Æ 4x 3 + 8 x 2 -
(13 . (x+2))Æ
4
2
1
-8 (+) 4
-6
-3
12 (+) -26 (+) 13
-29
2
Hasil bagi =: 4x 2 - 6x + 13 dengan sisa = -29
2
(-6x . (x+2))Æ
x = -2
- 3 dibagi dengan x+2
b. Pembagian suku banyak dengan ax + b
- 6 x 2 +x - 6 x 2 - 12x 13x – 3 13x +26 - 29
Pembagian suatu suku banyak oleh (ax + b) dinyatakan sebagai berikut : b Diketahui, h = – maka bentuk (x – h) dapat a dinyatakan sebagai :
-
Hasil bagi = H(h) = 4x 2 - 6x +13 Sisa = P(h) = -29
x – h = ( x – (-
Proses pengerjaan: urutan 1 : 4x 3 dibagi dengan x+2 didapat 4x 2 2 : kalikan 4x 2 dengan x+2 didapat 4x 3 +8 x 2 3 : kurangi 4x 3 + 2x 2 dengan 4x 3 +8 x 2 didapat - 6 x 2 kemudian turunkan x sehingga menjadi - 6 x 2 +x 4 : bagi - 6 x 2 dengan x+2 didapat - 6x 5 : kalikan - 6x dengan x +2 didapat - 6 x 2 - 12x 6 : Kurangi - 6 x 2 +x dengan - 6 x 2 -12x didapat 13x kemudian turunkan -3 sehingga menjadi 13x – 3 7 : bagi 13 x dengan x + 2 didapat 13 8 : kalikan 13 dengan x+2 didapat 13x + 26 9 : Kurangi 13x – 3 dengan 13x + 26 didapat – 29
b b )) =(x+ ) a a
Pembagian suku banyak f(x) oleh (x +
b ) memberikan a
hubungan berikut. f(x) = (x + =
b ) H(h) + sisa a
1 (ax + b) H(h) + sisa a
= (ax + b)
H ( h) + sisa a
Contoh : Tentukan hasil bagi dan sisa dari 12x 3 + 4x 2 - 27x – 9 dibagi (2x + 3)
jawab: x=-
didapat hasil bagi = 4x 2 - 6x +13 dengan sisa = -29
3 12 2
4
-27
-9
-18
21
9
12 -14
-6
0
+ 2. Pembagian suku banyak dengan cara Horner
www.belajar-matematika.com - 2
12 x 2 − 14 x − 6 Jadi hasil baginya adalah 2 2 = 6x - 7x - 3 dan sisanya adalah 0
- Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a)=0 , f(b) =0 dan f(c)= 0 maka f(x) habis dibagi (x-a) (x-b) (x –c)
c. Pembagian suku banyak dengan ax 2 + bx + c
- jika f(a) = 0 maka x-a adalah faktor dari f(x)
Dengan cara pembagian biasa:
- jika (x-a) adalah faktor dari f(x) maka x = a adalah akar dari f(x)
contoh: x 3 - x 2 + 4x – 4 dibagi oleh x 2 - 1 (1) (2) x-1
Akar-akar Suku banyak
1. Jika x 1 , x 2 dan x 3 adalah akar-akar persamaan ax 3 + bx 2 + cx +d = 0 maka
x 2 - 1 x 3 - x 2 + 4x – 4 (x . (x 2 -1))Æ x 3 -x -
- x 2 +5x (-1 . (x 2 -1))Æ -x 2 +1 5x – 5 (berderajat lebih kecil dari x 2 - 1, maka perhitungan selesai dan ini merupakan sisa)
x1 + x 2 + x 3 = -
b a
x1 x 2 + x1 x 3 + x 2 x 3 = x1 x 2 x 3
=-
c a
d a
2. Jika x 1 , x 2 , x 3 dan x 4 adalah akar-akar persamaan
Hasil bagi adalah x – 1 dan sisa 5x - 5
ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 maka
Teorema Sisa:
b a
Jika f(x) dibagi g(x) mempunyai hasil h(x) dan sisa s(x) ditulis :
x1 + x 2 + x 3 + x 4 = -
f(x) = g(x) h(x) + s(x)
x1 x 2 + x1 x 3 + x1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 =
c a
x1 x 2 x 3 + x1 x 3 x 4 + x1 x 2 x 4 + x 2 x 3 x 4 = -
d a
f(x) = suku banyak yang dibagi g(x)= pembagi h(x) = hasil bagi s(x) = sisa pembagian Jika f(x) berderajat n dan g(x) berderajat m (m ≤ n) maka derajat h(x) dan s(x) masing-masing sebagai berikut. • derajat h(x) adalah (n – m) • derajat maksimum s(x) adalah (m – 1) - jika h(x) = ax +b maka s(x) = konstan - jika g(x) = ax 2 + bx +c maka s(x) = Ax + B
Apabila suku banyak f(x) : - dibagi (x-a) maka sisanya adalah f (a). b - dibagi (ax-b) maka sisanya adalah f( ) a - habis dibagi (x-a) maka f(a) = 0
x1 x 2 x 3 x 4 =
e a
Akar-akar Rasional dari persamaan suku banyak: Persamaan suku banyak :
a n x n + a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 +…+ a 2 x 2 +a 1 x + a 0 =0 dapat diselesaikan dengan mencari nilai pengganti x yang memenuhi persamaan suku banyak itu. Nilai x tersebut dinamakan penyelesaian atau akar persamaan suku banyak tersebut.
Teorema Faktor:
www.belajar-matematika.com - 3
Jika f(x) adalah suku banyak maka (x-h) merupakan faktor dari f(x) jika h adalah akar dari persamaan suku banyak f(x) = 0 . Akar-akar persamaan suku banyak f(0) dapat dicari dengan menggunakan urutan langkah-langkah sbb:
1. Menentukan akar-akar yang mungkin dari f(x) =0, yaitu
f(2) = 16 – 60 – 20 + 24 = -40 Æ x= 2 bukan akar ambil nilai x = -2 f(-2) = 16 - 60 + 20 + 24 = 0 Æ x = -2 adalah akar persamaan didapat dua nilai yaitu x = 1 dan x = -2 kalikan dua nilai sbb:
m , n
(x-1)(x+2) = x 2 + x - 2
dimana: m = factor bulat positif dari a 0 n = factor bulat dari a 0
Bagi persamaan dengan nilai tsb : x 2 -x -12
2. Akar-akar yang sebenarnya harus memenuhi f (
m )=0 n
x 2 +x- 2
x 4 - 15x 2 - 10x + 24 x 4 + x 3 -2x 2 -
Contoh:
- x 3 -13x 2 -10x -x 3 -x 2 + 2 x -
f(x) = x 4 - 15x 2 - 10x + 24 = 0 maka
-12x 2 -12x + 24 -12x 2 -12x + 24
a n = 1 dan a 0 = 24 m = faktor bulat positif dari a 0 = 24, yaitu 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 n = faktor bulat dari a 0 yaitu , -1, 1, -2,2, -3,3, -6,6, -8,8 -12, 12, -24,24
0 ( sisa 0 ) sehingga hasil akhirnya didapat :
m akar yang mungkin adalah( ) : 1,-1,2,-2,3,-3,4,-4, 6,-6 n ,8,-8
f(x)= (x-1)(x+2)( x 2 -x -12) = 0 atau
substitusikan akar yang mungkin ke dalam persamaan m apakah f( ) = 0 ? n
didapat akar-akar persamaan :
(x-1)(x+2) (x -4 ) (x +3) = 0
x = 1 ; x = -2 ; x= -3 dan x = 4
Karena soal berderajat 4 maka cari minimal 2 nilai akar terlebih dahulu: ambil nilai x=1 : f(1) = 1 – 15 – 10 + 24 = 0 Æ x = 1 adalah akar persamaan ambil nilai x = 2 www.belajar-matematika.com - 4
-
BAB XIII. FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
C. Fungsi Invers : f
A. Definisi : x
y
Relasi dari A ke B disebut fungsi apabila setiap elemen himpunan A dipasangkan hanya satu kali pada elemen himpunan B y= f(x) ; artinya y merupakan fungsi x
f
−1
f(x) = y ⇔ f
A = daerah asal (Domain) B = daerah jelajah (Kodomain)
−1
(y) = x
Catatan:
A
B
A
a b c
x y z
a b c
B x y z
Jika y = f(x) dan x = g(y), maka g merupakan invers dari f dan f invers dari g. Invers dari f(x) ditulis f −1 (x) D. Hubungan komposisi dan Invers : Jika gof(x) = h(x), maka :
Fungsi
Fungsi
A
B
A
a b c
x y z
a b c
B x y z
a. h −1 (x) = ( gof ) −1 (x) = ( f −1 o g −1 )(x) = f −1 ( g −1 (x)) b. ( fog ) −1 (x) = ( g −1 o f −1 )(x) = g −1 ( f −1 (x)) c. g (x) = h o f −1 (x) d. f(x) = g −1 o h(x) E. Rumus-rumus tambahan :
Bukan Fungsi
Bukan Fungsi
B. Komposisi Fungsi : f A x
1. ( f ± g ) (x) = f (x) ± g (x) 2. ( f x g ) (x) = f(x) x g(x)
g B g(x)
f ( x) ⎛f⎞ 3. ⎜ ⎟ (x) = , dengan g (x) ≠ 0 g ( x) ⎝x⎠
C g(f(x))
4. f n (x) = {f(x)} n
x−b n ) a 1
5. f(x) = a x n + b Æ
gof Jika fungsi f: A Æ B dilanjutkan fungsi g: B Æ C maka dapat dinyatakan dengan (g o f) : A Æ C Rumus : (i) (fog)(x) = f(g(x)) (ii) (gof)(x) = g(f(x))
6. f(x) =
7. f(x) =
n
f
ax + b Æ f
ax + b Æ f cx + d
www.belajar-matematika.com - 1
−1
−1
−1
(x) = (
(x) =
(x) =
xn − b a
a − dx + b ; x≠ cx − a c
BAB XIV. LIMIT FUNGSI
2. Bentuk tak tentu
a. membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi penyebut
Pengertian : Jika hasil substitusi langsung adalah tertentu, maka hasil tersebut adalah hasil akhir, tetapi jika hasilnya tak tentu maka gunakan teorema limit. Limit Fungsi Aljabar 1. Bentuk tak tentu
~ dapat diselesaikan dengan rumus : ~
0 dapat diselesaikan dengan 2 cara : 0
Contoh :
x 3 − Lim Lim x−3 x2 x = x →~ x 2 x →~ x 2 + x − 12 x 12 + 2 − 2 2 x x x
Lim = x →~
a. Memfaktorkan : Lim ( x − a ) f ( x) F ( x) = x → a G ( x) x → a ( x − a) g ( x)
Lim
= Contoh : Lim 2 x 2 − 2 Lim = x → 1 x −1 x →1 Lim 2( x − 1)( x + 1) = x →1 ( x − 1)
1 3 − x x 1 12 1+ − 2 x x
0−0 =0 1+ 0 − 0
Bentuk soal tersebut adalah seperti berikut: Lim ax m + bx m −1 + ...
2( x 2 − 1) ( x − 1)
x →~ px n + qx n −1 + ... a Jika m = 0 hasilnya p Jika m > n hasilnya ~ Jika m< n hasilnya 0
Lim 2( x + 1) x →1 1 2(1 + 1) = = 4 1
=
maka dapat langsung dijawab dengan x−3 = 0 Æ karena pangkat pembilang x →~ x + x − 12 < pangkat penyebut Lim
b. L’Hospital pembilang dan penyebut didifferensialkan
2
F ' ( x) F(x) = x→a x → a G ' ( x) Lim
Lim
Lim f ( x) , Jika f(x) atau g(x) merupakan x → a g ( x) bentuk akar, maka f(x) atau g(x) dikalikan dengan sekawan f(x) atau sekawan g(x).
3. Untuk Contoh : Penyelesaian di atas dapat juga diselesaikan dengan cara L’Hospital Lim 2 x 2 − 2 Lim = x → 1 x −1 x →1
4x 4.1 = =1 1 1
(turunan 2 x 2 − 2 adalah 4x ; turunan x-1 adalah 1 )
Rumus lain:
(
)
Lim b− p ; ax 2 + bx + c − ax 2 + px + q = x →~ 2 a berlaku jika konstanta kuadratnya sama (nilai a sama)
www.belajar-matematika.com - 1
Contoh:
Lim x →~
(x
2
)
− 2 x + 5 − x 2 + 2 x + 11 =
Diketahui : a = 1, b = -2 , p =2
b− p 2 a
=
−2−2 2 1
=
5.
Lim sin k ( x − a) =k x→a x−a
6.
Lim tan k ( x − a) =k x→a x−a
−4 = -2 2
Fungsi Irasional:
Jika menemui pembilang atau penyebut mengandung bentuk x - y maka bentuk tersebut disubstitusikan.
Contoh :
1
x− y
=
=
1
x− y
x+ y x+ y
x+ y x− y
Limit Fungsi Trigonometri :
1.
Lim sin ax Lim Lim sin ax a ax = = = x → 0 bx x → 0 sin bx x → 0 sin bx b
2.
Lim tan ax Lim Lim tan ax ax a = = = x→0 x → 0 tan bx x → 0 tan bx bx b
3.
Lim
Lim tan ax sin ax a = = x → 0 tan bx x → 0 sin bx b
4.
Lim Lim 2 sin 2 ax 1 − cos 2ax = = x→0 x→0 x2 x2
=
Lim 2 sin ax sin ax = 2 . a.a= 2a 2 x→0 x x
catatan: cos 2ax = cos 2 ax - sin 2 ax cos 2 ax + sin 2 ax = 1 cos 2ax = 1 - sin 2 ax - sin 2 ax = 1 - 2 sin 2 ax www.belajar-matematika.com - 2
17. y = cot x → y ' = - cosec 2 x 18. y = sec x → y ' = sec x tan x
BAB XV DIFERENSIAL (Turunan)
19. y = cosec x → y ' = - cosec x cotan x Jika y = f(x), maka turunan pertamanya dinotasikan dy dengan y’ = = f ' (x) dx Lim dy f ( x + h) − f ( x ) dengan = h→0 dx h
Penggunaan Turunan : 1. Garis singgung
Rumus-Rumus Diferensial:
1. y = k
→ y'= 0
2. y = k x n
→ y ' = k. n x n −1
3. y = sin x
→ y ' = cos x
4. y = cos x
→ y ' = - sin x
persamaan garis singgungya adalah y –b = m (x –a) dimana m = f ' (x)
5. y = u ± v → y ' = u ' ± v ' 6. y = u. v 7. y =
apabila terdapat dua persamaan garis y= m 1 x + c 1 dan y= m 2 x + c 2 dikatakan - sejajar apabila m 1 = m 2 - tegak lurus apabila m 1 . m 2 = -1
→ y =u v+v u '
u v
'
→ y' =
'
u ' v − v' u v2
2. Fungsi naik/turun
8. y = k [f(x)] n → y ' = k . n [f(x)] n −1 . [f’(x)]
diketahui y = f(x); - jika f ' (x) < 0 maka f(x) turun - jika f ' (x) >0 maka f(x) naik
9. y = sin f(x) → y ' = f ' (x). cos f(x) 10. y = cos f(x) → y ' = - f ' (x). sin f(x) 11. y = sin f(x) → y = n sin '
n
n −1
'
f(x). cos f(x) . f (x)
12. y = cos n f(x) → y ' = - n cos n −1 f(x). sin f(x) . f ' (x) 13. y = a
f ( x)
14. y = e f ( x )
→ y =a '
f ( x)
. ln a . f’(x)
→ y ' = e f ( x ) . f ' (x)
f ' ( x) 15. y = ln f(x) → y ' = f ( x)
16. y = tan x
→ y ' = sec 2 x =
1 cos 2 x
3. Menentukan titik stasioner diketahui y = f (x). Bila f ' (a) = 0 maka (a, f(a) ) adalah titik stasioner
- (a, f(a) ) titik minimum jika f '' (a) > 0 - (a, f(a) ) titik maksimum jika f '' (a) < 0 - (a, f(a) ) titik belok jika f '' (a) = 0 3. Menentukan Kecepatan dan percepatan S = S(t) → jarak yang ditempuh S merupakan fungsi waktu (t), maka - kecepatan v = S ' (t) - percepatan a = S '' (t) www.belajar-matematika.com - 1
BAB XVI. INTEGRAL
10. ∫ cos n (ax+b)sin(ax+b) dx = 11. ∫ 2 sin ax cos bx dx = ∫ sin
A. Integral Tak Tentu
k x n +1 + c ; n ≠ -1 n +1 1 2. ∫ (ax + b) n dx = (ax+b) n+1 + c ; a ≠ 0 dan n ≠ -1 a (n + 1) 1 3. ∫ dx = ln|x| + c x 4. ∫ ( f ( x)dx ± g ( x)dx) = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx 1. ∫ k x n dx =
sin x dx + c
d sin x cos x dx 4. ∫ ctgx dx = ∫ dx = ∫ dx = ln |sin x| + c sin x sin x
1 cos (ax+b) + c a 1 6. ∫ cos(ax + b) dx = sin (ax+b) + c a
∫ sin(ax + b) dx = -
8. ∫ ctg (ax + b) dx =
1 ln|cos(ax+b)| + c a
1 ln|sin(ax+b)| + c a
9. ∫ sin n (ax+b) cos(ax+b) dx =
14. ∫ c sec 2 x dx = - ctg x + c 1 15. ∫ c sec 2 (ax+b)dx = - ctg (ax+b)+ c a
3. Rumus-rumus Integral yang lain
d − cos x sin x 3. ∫ tan x dx = ∫ dx = ∫ dx dx = - ln |cos x| + c cos x cos x
7. ∫ tan(ax + b) dx = -
1 tan (ax+b)+ c a
17. ∫ c tan x csecx dx = -csec x + c
1. ∫ sin x dx = - cos x dx + c
5.
13. ∫ sec 2 (ax+b)dx =
16. ∫ tan x secx dx = sec x + c
2. Rumus Integral Fungsi Trigonometri
∫ cos x dx =
( a + b) ( a − b) x dx + ∫ sin x dx 2 2
12. ∫ sec 2 x dx = tan x + c
1. Rumus Integral Fungsi Aljabar
2.
1 cos n+1 (ax+b) +c a(n + 1)
1 sin n+1 (ax+b) +c a(n + 1)
1 2 x 1 a arc sin ( ) + x a 2 − x 2 + c 2 a 2 x x ( x = a sin θ ; sin θ = ; θ = arc sin ( ) ) a a 1 1 2. ∫ a 2 + x 2 dx = a 2 ln |x + a 2 + x 2 | + x a 2 + x 2 +c 2 2 1.
∫
a 2 − x 2 dx =
3.
∫
x 2 − a 2 dx = -
4.
∫
5.
∫
6.
∫
1 2 a ln |x + x 2 − a 2 | 2 1 + x x2 − a2 + c 2
dx a2 − x2 dx a +x 2
2
dx
x = arc sin ( ) + c a = ln |x +
a2 + x2 | + c
= ln |x +
x2 − a2 | + c
x −a 1 dx x+a ln | 7. ∫ 2 = | +c 2 a −x 2a x−a 2
2
www.belajar-matematika.com - 1
∫a
8.
2
dx 1 x = arc tan| | + c 2 a +x a
a. Jika f(x) > 0 (Kurva di atas sumbu x)
4. Integral Parsial
∫ u dv = uv - ∫ v du Didapat dari : y = u.v dimana u = g(x) dan v = h(x) y’ = u’ v + u v’ = v u’ + u v’
b
L=
∫ f ( x) dx a
dy du dv = v. +u. dx dx dx
b. Jika f(x) < 0 (Kurva di bawah sumbu x)
(dikalikan dx)
dy = v du + u dv d (u.v) = v du + u dv
∫ d (u.v) = ∫ v du + ∫ u dv u.v = ∫ v du + ∫ u dv
∫ u dv
b
= uv - ∫ v du
L = - ∫ f ( x) dx = a
a
∫ f ( x) dx b
B. Integral Tertentu b
∫ f ( x) dx = F(x) | a
c. Jika f(x) > 0 dan f(x) < 0 (Kurva sebagian berada di bawah sumbu x dan sebagian lainnya berada di atas sumbu x)
b
= F(b) – F(a)
a
1. Luas Daerah Antara Kurva dan Sumbu- sumbu Koordinat
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x dan garis-garis x = a dan x = b serta x =g(y), sumbu y dan garis-garis y = a dan y = b dapat dibedakan sbb c
L = - ∫ f ( x) dx + a
a
=
∫ c
b
∫ f ( x) dx c
b
f ( x) dx +
∫ f ( x) dx c
www.belajar-matematika.com - 2
d. jika g(y) > 0 (kurva berada di sebelah kanan sumbu y)
i b
L=
∫ g ( y) dy
c
L = - ∫ g ( y ) dy +
a
a
e. jika g(y) < 0 (kurva berada di sebelah kiri sumbu y) =
b
∫ g ( y) dy c
a
b
c
c
∫ g ( y) dy + ∫ g ( y) dy
2. Luas Daerah Antara Dua Kurva
a. Di atas sumbu x
b
L = - ∫ g ( y ) dy = a
a
∫ g ( y) dy b
f. jika g(y) < 0 dan g(y) > 0 (kurva sebagian berada di sebelah kiri sumbu y dan sebagian lainnya berada sebelah kanan sumbu y)
L=
b
b
b
a
a
a
∫ y2 dx - ∫ y1 dx = ∫ ( y 2 − y1) dx
www.belajar-matematika.com - 3
b. Di bawah sumbu x
b
L = - ∫ y2 dx a
b
b
b
a
a
a
{ - ∫ y1 dx } = ∫ y1 dx - ∫ y2 dx
b
= ∫ ( y1 − y 2) dx a
c. Di sebelah kanan sumbu y
L=
b
b
b
a
a
a
∫ x2 dy - ∫ x1 dy = ∫ ( x2 − x1) dy
3. Volume Benda Putar
a. Diputar terhadap sumbu x maka, V= π
b
∫y
2
dx
a
b. Diputar terhadap sumbu y maka, V= π
b
∫ x dy 2
a
www.belajar-matematika.com - 4
BAB XVII. PROGRAM LINEAR Pengertian Program Linear :
Bukti :
x y + = 1 ⇔ ax + by = a.b b a
Gunakan persamaan 2 di atas :
Program Linear adalah bagian ilmu matematika terapan yang digunakan untuk memecahkan masalah optimasi (pemaksimalan atau peminimalan suatu tujuan) yang dapat digunakan untuk mencari keuntungan maksimum seperti dalam bidang perdagangan, penjualan dsb
y − y1 x − x1 = y 2 − y1 x 2 − x1
Persamaan garis melalui (b,0) Æ (x 1 , y 1 ) dan (0, a) Æ (x 2 , y 2 )
Daerah Penyelesaian:. Dalam penyelesaian persoalan program linear adalah pemahaman dalam pembuatan grafik pertidaksamaan linear yaitu penentuan daerah himpunan penyelesaian dari suatu system pertidaksamaan linear. Yang perlu diingat dalam pembuatan grafik pertidaksamaan linear ini yaitu mengenai persamaan garis. 1. Persamaan garis melalui suatu titik (x 1 , y 1 ) dengan gradien m adalah:
p
y x−b = a −b ⇔ - by = a(x-b)
⇔
⇔ - by = ax – ab ⇔ ab = ax + by ⇔ ax + by = ab Æ terbukti
4. Dua gradien sama apabila dua garis saling sejajar.
•
(y - y 1 ) = m (x - x 1 )
y−0 x−b = a−0 0−b
(x 1 , y 1 )
2. Persamaan garis melalui titik (x 1 , y 1 ) dan (x 2 , y 2 ) adalah: y − y1 x − x1 = y 2 − y1 x 2 − x1
m1 = m 2 h1 h2
• • (x 1 , y 1 )
(x 2 , y 2 )
5. Hasil perkalian dua gradien adalah – 1 apabila dua garis saling tegak lurus m 1 . m 2 = -1
p 3. Persamaan garis lurus yang memotong sumbu x (y=0) di titik (b,0) dan memotong sumbu y (x=0) di titik (0, a) adalah: x y + = 1 ⇔ ax + by = a.b b a
h1
y (0,a)
h2
ax + by = a.b
(b,0)
x www.belajar-matematika.com - 1
Menentukan Sistem Pertidaksamaan Linear:
Contoh: Tentukan persamaan garis dari gambar di bawah ini :
Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dapat dilakukan dengan menggunakan metoda grafik dan uji titik. Langkah-langkahnya ( ax + by ≥ c) yaitu : 1. Gambar garis ax + by = c 2. Lakukan uji titik dengan menentukan titik sembarang (x,y) yang terletak di luar garis ax + by= c, kemudian substitusikan ke dalam persamaan ax + by ≥ c. a. Jika benar, maka himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c b. Jika salah, titik tersebut bukan himpunan penyelesaiannya
garis h1 melalui (3,0) dan (0,2) ; garis h1 ⊥ h2 dan melalui (1,0). persamaan garis h1 (gunakan rumus
x y + =1 ) b a
x y + = 1 |x 6| 3 2 persamaan garis h1 ⇒ 2x + 3y = 6
Tanpa melakukan uji titik himpunan penyelesaian pertidaksamaan dapat dilihat dari gambar berikut dimana garis membagi bidang menjadi 2 bagian : untuk a >0 dan b>0 y
3y = -2x + 6 2 y=- x+6 3
ax + by ≥ ab (0,a) ax + by ≤ ab
persamaan garis h2 : h1 ⊥ h2 sehingga m 1 . m 2 = -1 2 3 m 1 = - maka m 2 = 3 2 melalui (1,0) (y - y 1 ) = m 2 (x - x 1 ) 3 y–0= (x–1) 2 3 y = (x–1) 2 2y = 3x – 3 persamaan garis h2 adalah 3x-2y = 3
x (b,0) ax + by =c untuk a > 0 dan b 0
x=2 titik potong dengan sb y jika x = 0Æ 2y = 8 y= 4 didapat koordinat (2,0) dan (0,4)
-ax + by ≥ -ab (b,0) x -ax + by ≤ -ab
(0,-a)
4 4x+2y=8 2
titik potong 2x+3y=6
y Untuk a < 0 dan b 1 atau ' r −1 ' n ''
Sn ' =
1. Bila |r| < 1 atau -1 < r < 1
a[1 − (r ' ) n ' ] = ; r'< 1 1− r'
S∞ =
'
Sn
'
a 1− r
; dinamakan konvergen (mempunyai nilai)
2. Bila |r| > 1 S ∞ = ∞ ; dinamakan divergen (tidak mempunyai nilai)
Contoh soal sisipan: Diantara bilangan 48 dan 768 disisipkan 3 buah bilangan sehingga terbentuk barisan geometri. Tentukan rasio dan jumlah barisan setelah sisipan.
Contoh deret tah hingga:
1 1 1 + + +... 2 8 32 Berapakan jumlah deret tsb?
1. Diketahui deret geometri :
jawab: www.belajar-matematika.com - 4
Induksi Matematika:
1 1 1 Diketahui : a = ; r= 8 = 1 2 4 2
Induksi matematika adalah suatu cara pembuktian suatu pernyataan umum mengenai deret yang berlaku untuk setiap bilangan asli.
1 memenuhi syarat |r| < 1 atau -1 < r < 1, maka 4 konvergen. r=
1
S∞=
a 2 = 1− r 1− 1
1. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = 1 2. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = k 3. Buktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n = k+1
1
=
4
2 = 4 = 2 3 6 3 4
contoh induksi matematika:
2. Apabila suatu deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 10 dengan suku pertamanya adalah 5. Berapa rasio dan jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut ?
diketahui S ∞ = 10 ; a = 5 karena S ∞ = 10 maka deret tak hingga ini adalah konvergen. a S∞ = 1− r 5 5 10 = ; 1-r = 1− r 10
1 1 1 ; r=1- = 2 2 2
Jadi rasionya: r =
1. Buktikan 2 + 4 + 6 + …+2n = n (1+n) langkah 1 :
jawab:
1–r=
Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika adalah:
1 2
untuk n = 1 masukkan nilai n =1 2n = n (1+n) 2.1 = 1 (1+1) 2 = 2 Æ terbukti langkah 2 : untuk n = k misalkan rumus berlaku untuk n = k maka rumus menjadi 2 + 4 + 6 + …+2k = k (1+k) langkah 3 :
jumlah 5 suku pertamanya:
untuk n = k+1 berdasarkan langkah 2
Karena r
