Latihan 1 Matematika Diskrit [PDF]

Citation preview

Soal Latihan 1 1. Jika n buah koin dilempar bersama, berapa banyak hasil yang mungkin muncul? Jawab: Banyaknya hasil yang mungkin muncul 1 buah koin dilempar adalah 2 = 21 Banyaknya hasil yang mungkin muncul 2 buah koin dilempar adalah 4 = 22 Banyaknya hasil yang mungkin muncul 3 buah koin dilempar adalah 8 = 23 Jadi, banyaknya hasil yang mungkin muncul n buah koin dilempar adalah 2𝑛 2. Jika n buah dadu dilempar, berapakah banyaknya hasil yang mungkin muncul? Banyaknya hasil yang mungkin muncul 1 buah dadu dilempar adalah 6 = 61 Banyaknya hasil yang mungkin muncul 1 buah dadu dilempar adalah 6 × 6 = 36 = 62 Banyaknya hasil yang mungkin muncul 1 buah dadu dilempar adalah 6 × 6 × 6 = 216 = 63 Banyaknya hasil yang mungkin muncul n buah dadu dilempar adalah 6𝑛 3. Jika m koin dan n dadu dilempar bersamaan, berapakah banyaknya hasil yang mungkin muncul? Banyaknya hasil yang mungkin muncul 1 buah koin dan 1 buah dadu dilempar adalah 2 × 6 = 12 → 21 × 61 Banyaknya hasil yang mungkin muncul 2 buah koin dan 2 buah dadu dilempar adalah 22 × 62 Banyaknya hasil yang mungkin muncul 3 buah koin dan 3 buah dadu dilempar adalah 23 × 63 Banyaknya hasil yang mungkin muncul n buah koin dan n buah dadu dilempar adalah 2𝑛 × 6𝑛 4. Sebuah Tim yang terdiri dari Ketua, Wakil Ketua, Sekretaris, dan Bendahara dipilih dari 25 mahasiswa. Berapakah banyak Tim yang mungkin terbentuk? 5. Sebuah plat nomor mobil terdiri dari sebuah huruf, diikuti lima angka, dan diakhiri tiga huruf. Ada berapakah plat nomor mobil yang dapat dibentuk? Jika disyaratkan tidka boleh ada huruf yang sama dan tidak ada angka yang sama, berapakah plat nomor yang bisa dibentuk?



6. Barisan binair adalah barisan yang terdiri dari angka “0” dan angka “1”; barisan ternair adalah barisan yang terdiri dari angka-angka “0”, “1”, dan “2”. Panjang barisan adalah banyaknya angka dalam barisan tersebut. Jika panjang barisan tersebut n, maka barisan tersebut barisan n-angka. Ada berapakah barisan n-angka? Ada berapakah barisan ternair n-angka? 7. Dari sekelompok ornag yang terdiri dari 10 pria dan 5 wanita dibentuk sebuah Tim beranggotakan 3 orang. Ada berapa Tim yang mungkin, sedemikian hingga terdapat tepat dua pria dalam Tim tersebut? Ada berapa Tim yang mungkin sedemikian hingga terdapat wanita dalam Tim tersebut? 8. Dalam sebuah keranjang terdapat 20 apel merah dan 10 apel hijau. Berapakah peluang dari 15 apel yang diambil secara acak (tanpa pengembalian) terdapat paling sedikit 7 apel hijau? 9. Ada berapakah barisan binair dengan panjang kurang dari 6?; kurang dari atau sama dengan n? D C



B



A 10. Ada berapakah matriks m x n yag entri-entrinya 0 atau 1? 11. Ada berapakah fungsi yang mungkin dari himpunan X= {x1, x2, …, xn} ke himpunan Y = {y1, y2, …, ym}? ada berapa fungsi dari Y ke X? 12. Diberikan himpuan A = {a1, a2, …, an}. (i) Gunakanlah aturan perkalian untuk menentukan banyak himpunan bagian A. (ii) Berapakah banyak himpunan bagian A yang anggotanya sebanyak k dengan 0 ≤ k ≤ n ? (iii) Berapakah nilai ∑𝑛𝑘=0 𝐶(𝑛, 𝑘) ? 13. Ada berapa barisan binair 10-angka yang memuat tepat lima angka “1”?



14. Misalkan S adalah sebuah barisan n elemen sedemikian hingga dari n elemen tersebut terdapat: n1 elemen tipe-1 identuk, n2 tipe-2 identik, …, nk elemen tipe-k identic. Tunjukkan bahwa barisan S yang demikian adalah 𝑛



𝑛!



1 !𝑛2 !…𝑛𝑘 !



.



15. Jika huruf-huruf dalam kata “MATEMATIKA” dipermutasikan, ada berapa permutasi yang mungkin? 16. Jika X adalah himpunan x elemen, tunjukkan bahawa banyak cara mengambil n elemen, pengulangan diperkenankan, adalah C(n+k-1, k-1) = C(n+k-1, n). 17. Misalkan terdapat tiga kotak berbeda (merah, biru, hijau) dan setiap kotak berisi minimal 10 bola. (i) Ada berapa cara berbeda memilih 10 bola? (ii) Ada berapa cara memilih 10 bola, sedemikian hingga dari setiap kotak terpilih minimal satu bola? 18. Ada berapa cara membagikan 10 buku matematika yang identic kepada tiga orang mahasiswa Andre, Rino, dan Johan? 19. Pada kisi-kisi berikut, kita diperkenankan bergerak ke kanan atau keatas saja, (i) Ada berapa lintasan dari A ke D? (ii) Ada berapa lintasan dari A ke D lewat B? (iii) Ada berapa lintasan dari A ke D lewat B dan C? 20. Sebanyak 300 objek dilabel 1,2,3,…300. Jika sebanyak 151 objek dipilih, tunjukkan bahwa terdapat dua obyek berlabel berurutan. 𝑛



21. Misalkan f adalah sebuah fungsi dari X ke Y dengan |X|= n dan |Y|= m. jika [𝑚] = k, tunjukkan terdapat paling sedikit k anggota X, katakan x1, x2, …, xk sedemikian hingga f(x10 =f(x2)= … = f(xk). 22. Professor Andre menerima gaji setiap Jumat. Tunjukkan bawa dalam satu bulan tertentu dia menerima gaji tiga kali. 23. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan positif n, terdapat bilangan kelipatan n yang angka-angkanya hanya angka “0” dan “1”.