Linear Splines [PDF]

Citation preview

SPLINES AND PIECEWISE INTERPOLATION LINEAR SPLINES QUADRATIC SPLINES CUBIC SPLINES



• Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai interpolasi titik-titik data (x0; y0) sampai (xn; yn) menggunakan suatu polinomial berderajat n. Namun terdapat kasus dimana fungsi-fungsi ini memberikan hasil yang salah. Pendekatan alternatifnya adalah menerapkan polinomial-polinomial berderajat lebih rendah pada sebagian titik data. Polinomial penghubung tersebut dinamakan fungsi-fungsi spline.



LINEAR SPLINES



• 1. 2. 3.



Suatu fungsi f (x) dinamakan suatu spline berderajat k jika Domain dari S adalah suatu interval [a; b]. S; S0; :::; S(k-1)kontinu pada [a; b]. Terdapat titik-titik xi sedemikian sehingga a = x0 < x1 < ::: < xn = b dan juga S adalah suatu polinomial berderajat k pada setiap [xi; xi+1]. Dengan kata lain, spline adalah potongan-potongan fungsi polinomial dengan turunan- turunan memenuhi kendala-kendala kekontinuan tertentu. Ketika k = 1, spline dinamakan spline linear. Ketika k = 2, spline dinamakan spline kuadratik. Ketika k = 3, spline dinamakan spline kubik.



•• Kita   mencoba mencari suatu fungsi spline linear S (x) sedemikian sehingga S (xi) = yi untuk 0 i n. Diambil dimana setiap Si (x) adalah linear.



• Diperhatikan fungsi linear Si (x). Garis ini melalui titik (xi; yi) dan (xi+1; yi+1), sehingga kemiringan dari Si (x) yaitu



• Kita dapat juga mengatakan bahwa garis tersebut melalui titik (xi; yi) dan (x; S (x)) untuk sembarang x 2 [xi; xi+1], sehingga



• yang memberikan



Table Lookup Table Lookup berguna untuk menunjukkan perulangan interpolasi dari sebuah tabel yang variabelnya independent dan dependent. Berikut merupakan contoh dari Table lookup : • Here is a MATLAB session illustrating how the binary search function can be applied to calculate the air density at 350 °C based on the data from Table 17.1. The sequential search would be similar.



by linear interpolation: function yi = TableLookBin(x, y, xx) n = length(x); if xx < x(1) | xx > x(n) error('Interpolation outside range') end % binary search iL = 1; iU = n; while (1) if iU - iL > clear >> T = [-40 0 20 50 100 150 200 250 300 400 500]; >> density = [1.52 1.29 1.2 1.09 . 946 .935 .746 .675 .616... .525 .457]; >> TableLookBin(T,density,350)



QUADRATIC SPLINES • Tidak seperti spline linear, spline kuadratik tidak dide…nisikan sepenuhnya oleh nilai- nilai di xi. Berikut ini kita perhatikan alasannya. Spline kuadratik dide…nisikan oleh Si (x) = aix2 + bix + ci Jadi terdapat 3n parameter untuk mende…nisikan S (x). • Diperhatikan titik-titik data:



• Syarat-syarat untuk menentukan 3n parameter dijelaskan seperti berikut ini. • Setiap subinterval [xi; xi+1], untuk i = 0; 1; 2; :::; n - 1, memberikan dua persamaan berkaitan dengan Si (x), yaitu Si (xi) = yi dan Si (xi+1) = yi+1 • Syarat pada kontinuitas dari S0 (x) memberikan suatu persamaan tunggal untuk setiap titik dalam xi, i = 1; 2; :::; n-1, yaitu



Jadi dari sini dipunyai n-1 persamaan. Sekarang totalnya terdapat 3n - 1 persamaan, tetapi karena terdapat 3n parameter yang tidak diketahui maka sistem kekurangan ketentuan. • Pilihan-pilihan yang mungkin untuk melengkapi kekurangan ketentuan yaitu



• Sekarang dimisalkan zi = S‘i (xi). Karena Si (xi) = yi, S‘i (xi). = zi, dan S‘ii (xi+1) = zi+1, maka kita dapat mendefenisikan



• Selanjutnya, dengan pengambilan x = xi+1 diperoleh



• Jadi, kita dapat menentukan zi+1 dari zi



Spline Interpolation in Matlab Assume we want to interpolate the data (1,20), (3,17), (5,23), (7,19) using splines, and then evaluate the interpolated function at x=2, 4, 6. In Matlab, we first define the data vectors: >> x=[1 3 5 7];y=[20 17 23 19];xi=[2 4 6]; (1) Linear Splines: The interpolated y-data are found by executing >> yi=interp1(x,y,xi) yi = 18.50000000000000 20.00000000000000 21.00000000000000



(2) Cubic Splines: Here the interpolated data are found by executing >> yi=interp1(x,y,xi,'spline') yi = 16.18750000000000 20.06250000000000 23.43750000000000 • We can also generate a large array of interpolated data points for plotting the interpolation function (don't forget the semicolon) >> xp=linspace(1,7,100);yp=interp1(x,y,xp,'spline'); and plot function and data (using a script): plot(xp,yp,'k',x,y,'ko',xi,yi,'kv') xlabel('x-values'),ylabel('y-values'), legend('interpolated graph','given data','interpolated data') axis([1 7 15 24])



Spline Kubik



• Diketahui suatu fungsi f (x) yang dibatasi oleh interval a dan b, dan memiliki sejumlah titik data a = x0 < x1 < x2 < ::: < xn = b. Interpolasi spline kubik S (x) adalah suatu potongan fungsi polinomial berderajat tiga (kubik) yang menghubungkan dua titik yang bersebelahan, dengan ketentuan, untuk i = 0; 1; :::; n-1: (S0) Potongan fungsi pada subinterval [xi; xi+1], i = 0; 1; :::; n – 1



• (S1) Pada setiap titik data x = xi, i = 0; 1; :::; n: S (xi) = f (xi) • (S2) Nilai-nilai fungsi harus sama pada titik-titik dalam: Si (xi+1) = Si+1 (xi+1) ; i = 0; 1; :::; n - 2: • (S3) Turunan-turunan pertama pada titik dalam harus sama: • (S4) Turunan-turunan kedua pada titik dalam harus sama: • (S5) Salah satu syarat batas di antara dua syarat batas x0 dan xn berikut ini harus dipenuhi: