LK 1 Modul 5 Bilangan [PDF]

Citation preview

LK 1: Lembar Kerja Belajar Mandiri Judul Modul Judul Kegiatan Belajar (KB)



No 1



Butir Refleksi Daftar peta konsep (istilah dan definisi) di modul ini



BILANGAN 1. Keterbagian, Faktor Bilangan Prima, Kelipatan Bilangan 2. Kongruensi Module 3. Notasi Sigma, Barisan dan Deret 4. Induksi Matematika Respon/Jawaban 1. Keterbagian, Faktor Bilangan Prima, Kelipatan Bilangan a. Keterbagian Definisi: Bilangan bulat a membagi habis bilangan bulat b (ditulis a|b ) apabila terdapat bilangan bulat k sehigga b=ak . Jika a tidak membagi habis b maka dituliskan a ∤ b. Teorema:  Jika a|b dan b|c maka a|c  Jika a|b dan a|(b+c ) maka a|c  Jika p|q maka p|qr untuk semua



r ∈Z



 Jika p|q dan p|r maka p|q+r b. Bilangan Prima Definisi: Bilangan bulat p>1 disebut bilangan prima jika mempunyai faktor positif hanya 1 dan p. Bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 dan bukan bilangan prima disebut bilangan komposit (tersusun). Teorema:  Jika sisa pembagian b oleh a relatif prima dengan a maka b relatif prima dengan a.  Setiap bilangan positif yang lebih besar dari 1 dapat dibagi oleh suatu bilangan prima  Setiap bilangan bulat n>1 merupakan bilangan prima atau n dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan-bilangan prima tertentu.  Jika n suatu bilangan komposit maka n memiliki faktor k dengan



10 sedemikian hingga 𝑝≡𝑞(𝑚𝑜𝑑 𝑚), maka: (1) 𝑝+𝑟≡𝑞+𝑟(𝑚𝑜𝑑 𝑚) (2) 𝑝–𝑟≡𝑞–𝑟(𝑚𝑜𝑑 𝑚) (3) 𝑝𝑟≡𝑞𝑟(𝑚𝑜𝑑 𝑚)  Jika 𝑎≡𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) dan 𝑐≡𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) maka (1) 𝑎+𝑐≡𝑏+𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) (2) 𝑎−𝑐≡𝑏−𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) (3) 𝑎𝑐≡𝑏𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)  Jika 𝑎≡𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) dan 𝑐≡𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) maka 𝑎𝑥+𝑐𝑦≡𝑏𝑥+𝑑𝑦 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)  Jika 𝑝≡𝑝𝑞(𝑚𝑜𝑑 𝑚) maka 𝑝𝑟≡𝑞𝑟 (𝑚𝑜𝑑 𝑚𝑟).  Jika 𝑎≡𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) maka 𝑎𝑛≡𝑏𝑛 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) untuk 𝑛 bilangan bulat positif.  Misalkan 𝑓 suatu polinom dengan koefisien bilangan bulat, yaitu



f (x)=d 0 x n +d 1 x n−1 +d 2 xn −2 + ⋯+d n−1 x +d n Dengan d 0 , d 1 , … , d n masingmasing bilangan bulat.  Jika 𝑎 suatu solusi 𝑓(𝑥)≡0(𝑚𝑜𝑑 𝑚) dan 𝑎≡𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) maka 𝑏 juga solusi 𝑓(𝑥) itu.  Jika 𝑑|𝑚 dan 𝑎≡𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚) maka 𝑎≡𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑑)



 Misalkan (𝑎,𝑚)=𝑑 𝑎𝑥=𝑎𝑦 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) jika dan hanya jika



x ≡ y (mod



m ) d



 Misalkan (𝑎,𝑚)=1. 𝑎𝑥≡𝑎𝑦 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) jika dan hanya jika 𝑥≡𝑦 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)  Jika 𝑎𝑥≡𝑎𝑦 (𝑚𝑜𝑑 𝑝) dengan 𝑝∤𝑎 dan 𝑝 bilangan basit, maka 𝑥≡𝑦 (𝑚𝑜𝑑 𝑝)  Diketahui bilangan-bilangan bulat 𝑎,𝑝,𝑞,𝑚, dan 𝑚>0. (1) 𝑎𝑝≡𝑎𝑞(𝑚𝑜𝑑 𝑚) jika dan hanya jika p ≡q (mod



m ) (a , m)



(2) 𝑝≡𝑞(𝑚𝑜𝑑 𝑚1) dan 𝑝≡𝑞(𝑚𝑜𝑑 𝑚2) jika dan hanya jika 𝑝≡𝑞(𝑚𝑜𝑑[𝑚1,𝑚2]) b. Sistem Residu Definisi:  Suatu himpunan {𝑥,𝑥,…,𝑥} disebut suatu sistem residu lengkap modulo 𝑚. Jika dan hanya jika untuk setiap y dengan 0≤𝑦