LKPD Matematika Peminatan [PDF]

Citation preview

Mata Pelajaran



: Matematika Peminatan



Kelas/Semester



: XII/Ganjil



Materi Pokok



: Limit Fungsi Trigonometri



Alokasi Waktu



: 90 Menit



Kelompok : ________________ Nama Anggota Kelompok: ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________



Kompetensi Dasar 3.1. Menjelaskan dan menentukan limit fungsi trigonometri Indikator 3.1.2 Menentukan nilai limit fungsi trigonometri Tujuan Pembelajaran • Peserta didik mampu menentukan nilai limit fungsi trigonometri dengan cara substitusi • Peserta didik mampu menentukan nilai limit fungsi dengan cara menguraikan atau menyederhanakan



1. Bekerjalah dalam kelompok yang telah diatur oleh guru. 2. Bacalah setiap permasalahan dalam kegiatan ini dengan cermat, dan kemudian diskusikan dengan teman satu kelompokmu bagaimana kalian akan menyelesaikan permasalahan itu. 3. Tulislah jawaban hasil diskusi kalian pada tempat yang telah disediakan. 4. Pada akhir dari kegiatan ini diharapkan kalian dapat menentukan nilai limit fungsi trigonometri 5. Waktu untuk menyelesaikan LKPD ini adalah 40 menit.



Sebelum kita mempelajari limit fungsi trigonometri, kita harus memahami limit fungsi aljabar. Masih ingat bagaimana cara menentukan nilai limit fungsi aljabar? Coba kamu selesaikan masalah berikut ini.



Tentukan nilai dari



lim



x 2



x2  4 ! x2



Aktivitas 1 Perhatikan bentuk – bentuk limit berikut ini. a. lim sin 2 x x







3



b. lim 2 x 3 x



c.



1 3



lim x



 3



1 cos x



2 x 2  3x  5 x 2 2x  1



d. lim



e. lim tan 2 x x 0



Manakah limit fungsi 𝑥 yang memiliki fungsi trigonometri? Jawab : _______________________________________ Manakah limit fungsi 𝑥 yang tidak memiliki fungsi trigonometri? Jawab : _______________________________________ Limit fungsi yang memiliki fungsi tirgonometri disebut sebagai limit fungsi trigonometri. Menurut kalian, apakah pengetrian dari limit fungsi trigonometri? Jawab : Limit fungsi trigonometri adalah limit fungsi 𝑥 untuk mendekati 𝑎 =



lim f x  dengan f x  adalah fungsi …………….. x a



Sebelum kamu menyelesaikan masalah berikut ini, bacalah ketentuan berikut dengan saksama! Untuk menentukan limit fungsi trigonometri dengan cara substitusi langsung dapat dilakukan dengan meniadakan tanda limit dan mensubstitusi langsung nilai sudut 𝑥 yang diberikan sebagai batas limit (semua sudut diukur dalam satuan radian). lim sin x  sin c dan lim cos x  cos c x c



x c



Selesaikanlah masalah berikut ini dengan cara substitusi!



lim 3 sin 3 x  2 cos 2 x   x







2



lim 2 tan x  sin 2 x   x







3



lim 2 cos x  3 sin x   x







6



lim



x 0



sin x  sin 2 x



Apakah hasil dari masalah 4 terdefinisi (tidak menghasilkan bentuk tak tentu)? __________________



Nilai limit terdefinisi.



suatu



fungsi



harus



Jadi, bagaimana cara untuk menyelesaikan masalah 4 di atas? Untuk mengetahuinya, kerjakanlah



Ketika dengan substitusi diperoleh bentuk tak tentu, maka untuk menentukan limit fungsi trigonometri dilakukan dengan menyederhanakan fungsi trigonometri, kemudian melakukan substitusi nilai 𝑥 yang diberikan sebagai batas limit.



Selesaikanlah masalah berikut ini dengan cara Menguraikan dan Menyederhanakan!



lim



x 0



sin x  ...... sin 2 x



 Untuk menyelesaikan masalah ini, ubah terlebih dahulu bentuk fungsi trigonometri agar bisa difaktorkan atas faktor yang paling sederhana (dalam kasus ini faktor paling sederhana adalah sin 𝑥). Dalam kasus ini, ubahlah sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥 sin x sin x  lim x 0 sin 2 x x 0 2 sin x......



lim



 Sederhanakan bentuk fungsi trigonometrinya (dapat dilakukan dengan membagi dengan faktor yang sama). ...... x  0 2.....



 lim



 Substitusi nilai 𝒙 = 𝟎 (sesuai dengan nilai yang didekati oleh 𝑥) ke fungsi trigonometri untuk menentukan nilai limitnya. 



...... 2.....



sin x  ............ x 0 sin 2 x



Jadi, lim



Dengan mengikuti langkah – langkah menyelesaikan masalah 1, selesaikanlah masalah 2 dan 3 berikut ini!



lim



x 0



tan x  sin x



lim x



 4



cos 2 x  cos x  sin x



1  cos 2 x lim  x 0 sin x



Kesimpulan



1.



Limit fungsi trigonometri adalah………………………………………… ……………………………………………………………..



2. Untuk menentukan nilai limit fungsi trigonometri dengan cara substitusi dilakukan dengan ……… nilai ……. ke dalam fungsi trigonometri 3. Jika setelah substitusi diperoleh nilai limit fungsi dalam bentuk tak tentu, maka nilai limit fungsi diperoleh dengan ……………. atau …………. fungsi trigonometri.



Latihan 1. Tentukanlah limit fungsi trigonometri berikut ini! a. lim 3 cos x  2 sin x  x







6



b. lim 3 sin x  2 cos 2 x  x







2



2. Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut ini! a. lim x



2



b. lim



x 0



cos 2 x 1  sin x 1  cos 2 x sin x



LKPD Menentukan Limit dengan Menggunakan Rumus Limit Fungsi Trigonometri Mata pelajaran : Matematika Kelas



: XII



Semester



: Ganjil/ I



Materi



: Limit Trigonometri



Kelompok : Anggota: 1. 2. 3. 4. 5.



Tujuan Pembelajaran: Setelah mengikuti proses pembelajaran siswa dapat: 3.1.4.1 Menemukan rumus-rumus limit fungsi Trigonometri 3.1.5.1 Menentukan limit fungsi trigonometri dengan Rumus Limit Fungsi Trigonometri 4.1.1.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri



Kegiatan 1 Menemukan Rumus Limit Trigonometri Menemukan Rumus 𝑥 lim𝑥→0 sin 𝑥



Perhatikan gambar lingkaran di bawah ini



Misallkan, jari-jari lingkaran = OB = OA = r , ∡𝐵𝑂𝐶 = 𝑥 = sudut di kuadran I, 0° < 𝑥 < 90°. Pada gambar di atas pada segitiga siku-siku ∆𝑂𝐵𝐶 mempunyai: sin 𝑥 =



𝐵𝐶 → 𝐵𝐶 = ⋯ …



(𝑂𝐵 = 𝑟) 𝐵𝐶 = ⋯



cos 𝑥 =



𝑂𝐶 …



→ 𝑂𝐶 = ⋯ 𝑂𝐶 = ⋯



Perhatikan ∆𝐴𝑂𝐵, …



∡𝐴𝑂𝐷 = 𝑥 , tan 𝑥 = … → 𝐴𝐷 = ⋯ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝐴𝐷 = ⋯



(𝑂𝐴 = 𝑟)



Menentukan Luas Segitiga BOC



1



𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐵𝑂𝐶 = 2 … …. (substitusi r , cos x, dan sin x) Sehingga diperoleh: 1



𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐵𝑂𝐶 = 2 … … .. 1



= 𝑟2 … 2



INGAT!!!



Menentukan Luas juring



𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐴𝑂𝐵 =



∡𝐴𝑂𝐷 2𝜋



….



𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 =



(substitusi ∡𝐴𝑂𝐷 = 𝑥)



Sehingga diperoleh: …



𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐴𝑂𝐵 = 2𝜋 . 𝜋𝑟2 1



= …. 2



Menentukan Luas Segitiga



1



𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝑂𝐷 = 2 𝑥 … 𝑥 … = r tan x) Sehingga diperoleh: 1



𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝑂𝐷 = 2 𝑥 … 𝑥 … 1



= 2𝑥…



(substitusi OA = r, dan AD



∝ . 𝜋𝑟2 2𝜋



Dari gambar di atas terlihat bahwa luas segitiga BOC lebih kecil dari dari luas juring AOB dan keduanya lebih kecil dari luas segitiga AOD. 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐵𝑂𝐶 < 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐴𝑂𝐵 < 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝑂𝐷 (substitusikan masing-masing luas yang telah kalian temukan) 1 2 1 1 𝟏 𝑟 … < … . . 𝑟 2 < 𝑟 2 … (𝒃𝒂𝒈𝒊 𝒓𝟐 ) 2 2 2 𝟐



…



< … < … (𝑝𝑒𝑟𝑠 𝑖)



cos 𝑥 . sin 𝑥 < 𝑥 < tan 𝑥 (𝑏𝑎𝑔𝑖 sin 𝑥) sin 𝑥



…



sin 𝑥 …



… < < cos 𝑥 sin 𝑥 sin 𝑥 … … < < sin 𝑥 … 𝑥 … < lim 𝑥→0 sin 𝑥 𝑥→0 …



lim … < lim



𝑥→0



𝑥



… < lim



𝑥→0 sin 𝑥



< …



𝑥



𝑥



Berdasarkan teorema apit limit dari 1 < lim sin 𝑥 < 1 berlaku lim sin 𝑥 = 1 𝑥→0



Kesimpulan:



𝑥 =⋯ 𝑥→0 sin 𝑥 lim



𝑥→0



Menemukan Rumus sin 𝑥 lim𝑥→0 𝑥



Untuk menemukan rumus lim𝑥→0



sin 𝑥 𝑥



selesaikan persmaan berikut.



𝑥



𝑥



Berdasarkan rumus lim sin 𝑥 = 1 ganti (sin 𝑥 = 𝑥→0



1 sin 𝑥 𝑥



)



𝑥 =1 𝑥→0 sin 𝑥 lim



lim



1 …



𝑥→0 …



= 1 (Gunakan Teorema Limit Hasil Bagi)



𝟏 … =𝟏 lim 𝑥



𝑥→0



… = 𝑥→0 … lim



Maka lim



𝑥→0



sin 𝑥 𝑥



= …



Menemukan Rumus 𝑥 lim𝑥→0 tan 𝑥



Dari persamaan (i) di atas cos 𝑥 . sin 𝑥 < 𝑥 < tan 𝑥 (dibagi dengan tan x) … tan 𝑥 … sin 𝑥 cos 𝑥



... … < tan 𝑥 tan 𝑥 … … < < tan 𝑥 tan 𝑥




0 atau a > c



KEGIATAN IV Amati langkah-langkah kegiatan berikut dan selesaikan permasalahan dibaawah ini dengan mengikuti langkah-langkah berikut ! Jika suatu limit menuju di ketakhinggaan, seperti permasalahan yang terdapat di kegiatan IV maka dapat diselesaikan dengan mengikuti petunjuk di bawah ini: a) Mengalikan dengan akar sekawan b) Sederhanakan variabel pembilang dan penyebut yang dihasilkan dengan membagi semua variabel pembilang dan penyebut dengan pangkat yang tertinggi dari penyebut c) Setelah bentuk fungsi limit sudah dalam bentuk yang sederhana maka masukkan nilai limit menuju di ketakhinggaan ().



a. lim √4𝑥 2 − 3𝑥 + 2 ˗ √6𝑥 2 + 2𝑥 − 7 = lim(√4𝑥 2 − 3𝑥 + 2 − 𝑥→



𝑥→



√4𝑥 2 −3𝑥+2 + √6𝑥 2 +2𝑥−7



√6𝑥 2 + 2𝑥 − 7). √4𝑥 2 = lim



(4(…… )2 −3……..+ ……… )−(6(……… )2 + …… 𝑥− ……… ) √4𝑥2 −3𝑥+2 + √6𝑥2 +2𝑥−7



𝑥→



= lim



−3𝑥+2 + √6𝑥 2 +2𝑥−7



(……..……………………………………………...) √4𝑥2 −3𝑥+2 + √6𝑥2 +2𝑥−7



𝑥→



(bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari penyebut)



………… 𝑥2 ………….𝑥 ………… − + √………….. ඥ𝑥2 ඥ𝑥2



= lim



𝑥→ √4𝑥2



6𝑥2 2𝑥 7 − + +√ 2+ − ………. …………. ………. ………. 𝑥2 𝑥 3𝑥



2



−2…… − …… +



= √4−



3



……..



+



2



……..



+ √6+



9 ……… 2



…………



−



7



………….



=



= lim



−2…… − …… +



𝑥→ √4−



−∞ √……… +√……..



3



……..



+



2



……..



= … … ..



+ √6+



9 ……… 2



…………



−



7 ………….



b. lim √4𝑥 2 − 5𝑥 + 1 − √4𝑥 2 − 2𝑥 + 3 = 𝑥→



Cara 1 : √4𝑥 2 −5𝑥+1+ √4𝑥 2 −2𝑥+3



lim(√4𝑥 2 − 5𝑥 + 1 − √4𝑥 2 − 2𝑥 + 3). √4𝑥 2



𝑥→



= lim



(4(…… )2 −5……..+ ……… )−(4(……… )2 − 2…… 𝑥+ ……… ) √4𝑥2 −5𝑥+1 + √4𝑥2 −2𝑥+3



𝑥→



= lim



−5𝑥+1+ √4𝑥 2 −2𝑥+3



(……..……………………………………………...) √4𝑥2 −5𝑥+1+ √4𝑥2 −2𝑥+3



𝑥→



(bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari penyebut)



………….𝑥 ………… − √………….. ඥ𝑥2



−



= lim



𝑥→ √4𝑥2



5𝑥



4𝑥2



1



2𝑥



3



− + +√ 2− + ………. …………. ………. ………. 𝑥2 𝑥



− ……−



= √4−



5



……..



+



1



……..



2 ………



+ √4−



2



+



3



=



− ……−



= lim



𝑥→ √4−



5



……..



………………. √……… +√……..



=



+



1



……..



2 ………



+ √4−



…….. …….+ …….



=



……. ……



………… ………….



Cara 2 : Dari soal diketahui bahwa a = p= 4, b = -5, c = 1, q = -2 dan r = 5 𝑏−𝑞



lim √4𝑥 2 − 5𝑥 + 1 − √4𝑥 2 − 2𝑥 + 3 = 2



𝑥→



=



……… −(……… ) 2 √………



=



√𝑎



……… …….



Apakah cara 1 dan cara 2 menghasilkan nilai yang sama untuk lim √4𝑥 2 − 5𝑥 + 1 − √4𝑥 2 − 2𝑥 + 3 ? ..................



𝑥→



2



+



3



………… ………….



c. lim √9𝑥 2 + 3𝑥 − 2 ˗ √4𝑥 2 + 3𝑥 − 7 = lim(√9𝑥 2 + 3𝑥 − 2 − 𝑥→



𝑥→



√9𝑥 2 +3𝑥−2 +√4𝑥 2 +3𝑥−7



√4𝑥 2 + 3𝑥 − 7). √9𝑥 2



= lim



(9(…… )2 +3……..− ……… )−(4(……… )2 + …… 𝑥− ……… ) √9𝑥 2 +3𝑥−2 +√4𝑥 2 +3𝑥−7



𝑥→



= lim



+3𝑥−2 +√4𝑥 2 +3𝑥−7



(……..……………………………………………...)



𝑥→



√9𝑥 2 +3𝑥−2 + √4𝑥 2 +3𝑥−7



(bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari penyebut)



= lim



………… 𝑥2 ………… + ඥ𝑥2 ඥ𝑥2



𝑥→ √9𝑥2



3𝑥 2 + − 𝑥2 ………. ………….



5…… +



lim



4𝑥2 3𝑥 7 +√ 2+ −



……..



5…… +



= √9+



3 2 − …….. ……..



……….



5 ………



𝑥→ √9+ 3 − 2 + √4+ 3 ……..



……….



𝑥



=



…………



−



7 ………….



5 ……… 3



7



=



+ √4+………… −………….



∞ √……… +√……..



= … … ..



KESIMPULAN:



lim ඥ𝑓(𝑥) − ඥ𝑔(𝑥) = lim √𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 − ඥ𝑝𝑥 2 + 𝑞𝑥 + 𝑟 = 𝐿 𝑥→∞



𝑥→∞



................ ,untuk √𝑎 − ඥ𝑝 < 0 atau a < p



Dimana L=



......................., untuk √𝑎 − ඥ𝑝 = 0 atau a = p ...............,untuk √𝑎 − ඥ𝑝 > 0 atau a > p



Latihan Individu Tentukanlah nilai limit berikut dengan menggunakan sifat-sifat yang ada : a. lim √9𝑥 2 − 𝑥 + 4 − √9𝑥 2 + 3𝑥 − 6 𝑥→∞



b. lim



𝑥→∞



3𝑥 3 −𝑥 2 +8 2𝑥 4 + 6



c. lim √5𝑥 + 4 − √3𝑥 − 8 𝑥→∞



d. lim √2𝑥 2 + 3𝑥 − 5 − √4𝑥 2 + 3𝑥 − 9 𝑥→∞



LKPD B. Studi



(LEMBAR KEGIATAN PESERTA DIDIK)



: Matematika



Materi



: Limit Fungsi Aljabar di ketakhinggaan Kelas/semester : XII/1



Tujuan Pembelajaran : 3.2.7.1. Menentukan nilai variabel apabila nilai limit fungsi ditetapkan 4.2.1.1. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan eksistensi limit di ketakhinggaan pada fungsi aljabar



Kelompok



: ______________________



Nama



: 1. ____________________



Nama



:



2. _____________________



Nama



3. _____________________



Nama



4. _____________________ 5. _____________________



KEGIATAN 1: Menentukan nilai limit fungsi aljabar di ketakhinggaan



Masalah 1 Tentukan nilai dari lim (√4𝑥 2 − 3𝑥 + 2 − 2𝑥 − 1) 𝑥→∞



lim (ඥ4𝑥 2 − 3𝑥 + 2 − 2𝑥 − 1) = lim [ඥ4𝑥 2 − 3𝑥 + 2 − (… . . 𝑥 + … … )]



𝑥→∞



𝑥→∞



= lim (ඥ4𝑥 2 − 3𝑥 + 2 − ඥ(… . . 𝑥 + … … )2 ) 𝑥→∞



= lim (ඥ4𝑥 2 − 3𝑥 + 2 − √4 … … + 4 … … + … … ) 𝑥→∞



Apakah koefisien dari x2 adalah sama ? ....................... a = ....... , b = ........ , c = ....... , p = ........ , q = ....... , r = .......... Karena a ........ p maka lim (√4𝑥 2 − 3𝑥 + 2 − √4 … … + 4 … … + … … ) adalah 𝑥→∞



𝑏−𝑞



=2



√𝑎



=



………. − ……….. 2 √…………..



……….…..



= ………………..



Jadi, nilai dari lim (√4𝑥 2 − 3𝑥 + 2 − 2𝑥 − 1) adalah ..................... 𝑥→∞



Masalah 2 Tentukan nilai dari lim (√25𝑥 2 − 10𝑥 + 2 − 2𝑥 − 1 − √9𝑥 2 − 12𝑥 + 2) 𝑥→∞



Tinjau bahwa √9𝑥 2 − √25𝑥 2 = −2𝑥 disubstitusikan ke dalam soal diperoleh : lim (ඥ25𝑥 2 − 10𝑥 + 2 + √… … … − √… … … − 1 − ඥ9𝑥 2 − 12𝑥 + 2)



𝑥→∞



= lim (ඥ25𝑥 2 − 10𝑥 + 2 − √… … … ) + lim (√… … … − ඥ9𝑥 2 − 12𝑥 + 2) − lim … … . . 𝑥→∞



𝑥→∞



𝑥→∞



Ingat : −∞, untuk 𝑎 < 𝑝 lim (√𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 − ඥ𝑝𝑥 2 + 𝑞𝑥 + 𝑟) =



𝑥→∞



𝑏−𝑞 , 2√𝑎



untuk 𝑎 = 𝑝



∞, untuk 𝑎 > 𝑝



=



−10 − ⋯ 2 √… …



+



… . . −(−12) 2 √… …



− … … = … … … … … … … … … … . = … … … … … … … … … … ….



Jadi, nilai dari lim (√25𝑥 2 − 10𝑥 + 2 − 2𝑥 − 1 − √9𝑥 2 − 16𝑥 + 2) adalah .................. 𝑥→∞



Masalah 3 Jumlah penduduk di sebuah kota kecil t tahun dari sekarang ditaksir dan bisa dinyatakan 9.000



dalam fungsi berikut : 𝑁 = 35.000 + (𝑡+2)2 . Berapa perkiraan jumlah penduduk kota tersebut dalam jangka waktu yang sangat lama di masa depan ? Penyelesaian : Dalam jangka waktu yang sangat lama dari sekarang, bisa kita anggap bahwa t menuju ketakhinggaan. Secara matematis ditulis t ......................... Dengan demikian jumlah penduduk dalam jangka waktu lama dapat kita buat dalam bentuk limit fungsi, yaitu : 𝑁 = lim [… … … . . + 𝑡→ ……



9.000 ] (… . . +2)2 9.000 2 (……………….) 𝑡→ ……



⇔ 𝑁 = lim … … … … . . + lim 𝑡→ ……



= ……………+



………… ∞



N = ................... Jadi, jumlah penduduk dalam jangka waktu lama adalah .................................. jiwa KEGIATAN 2: Menentukan nilai variabel apabila nilai limit fungsi ditetapkan



Masalah 1 Tentukan nilai a dan b yang memenuhi lim √5𝑥 2 − 𝑏𝑥 + 3 − √𝑎𝑥 2 + 6𝑥 − 4 = √5 𝑥→∞



Ingat bahwa :



−∞, untuk 𝑎 < 𝑝 lim (√𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 − ඥ𝑝𝑥 2 + 𝑞𝑥 + 𝑟) =



𝑥→∞



𝑏−𝑞 , 2√𝑎



untuk 𝑎 = 𝑝



∞, untuk 𝑎 > 𝑝



Karena lim √5𝑥 2 − 𝑏𝑥 + 3 − √𝑎𝑥 2 + 6𝑥 − 4 memiliki nilai yaitu √5 maka 𝑥→∞



√5 =



𝑏−𝑞 2 √𝑎



, untuk 𝑎 = 𝑝



Berarti : a = 5 dan q = 6 , disubstitusikan √5 =



𝑏 − ……. 2 √… … .



⇔ 2(… … … ) = 𝑏 − … … …



............... = b - ................... b = ................................. = ............... Jadi diperoleh bahwa nilai a =............... dan nilai b = ...............



Masalah 2 𝑥 2 −2𝑥+𝑏 𝑥→1 𝑥−1



Tentukan nilai a dan b yang memenuhi lim



=𝑎



Penyelesaian : Karena jika disubstitusi nilai x = 1 ke dalam



𝑥 2 −2𝑥+𝑏 𝑥−1



0



diperoleh 0 maka kita harus mematuhi



0 0



aturan bentuk tak tentu dan pemfaktoran. x→ 1 maka 𝑥 2 − 2𝑥 + 𝑏 = 0



(.....)2 - 2(......) + b = 0 ................... + b = 0 b = ..........



Substitusi nilai b 𝑥 2 −2𝑥+𝑏 𝑥→1 𝑥−1



lim



𝑥 2 −2𝑥+ …… 𝑥−1 𝑥→1



= 𝑎 ⇔ lim



=𝑎



(𝑥 − 1)(𝑥 + … … ) =𝑎 𝑥→1 𝑥−1 lim



(… … − 1) = 𝑎 𝑎 = … …. Jadi diperoleh bahwa nilai a = .......... dan b = ........ Masalah 3 Tentukan nilai a dan b yang memenuhi lim [√𝑥 (√𝑥 − 𝑎 − √𝑏𝑥 + 4)] = −4 𝑥→∞



Ingat bahwa :



−∞, untuk 𝑎 < 𝑝 lim (√𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 − ඥ𝑝𝑥 2 + 𝑞𝑥 + 𝑟) =



𝑥→∞



𝑏−𝑞 , 2√𝑎



untuk 𝑎 = 𝑝



∞, untuk 𝑎 > 𝑝



lim (ඥ𝑥 2 − 𝑎𝑥 − ඥ𝑏𝑥 2 + 4𝑥) = −4



𝑥→∞



Karena lim (√𝑥 2 − 𝑎𝑥 − √𝑏𝑥 2 + 4𝑥) memiliki nilai yaitu - 4 maka 𝑥→∞



−4 =



𝑏−𝑞 2 √𝑎



, untuk 𝑎 = 𝑝 dimana 𝑎 = p = b = 1, b = - 𝑎 , c = 0 , q = 4 dan r = 0



Berarti : b = 1 −4 =



𝑏 − ……. 2 √… … .



=



𝑏 − ……. ………



⇔ −4(… … … ) = 𝑏 − … … … ............... = b - ................... b = ................................. = ...............



Jadi diperoleh bahwa nilai a =............... dan nilai b = ............... Latihan Individu 1. Tentukan nilai dari : a. lim [√4𝑥 − 3 (√2𝑥 + 1 − √2 − 2𝑥)] 𝑥→∞



b. lim [√𝑥 (√𝑥 + 5 − √𝑥 − 4)] 𝑥→∞



c. lim (√𝑥 2 + 5𝑥 − 2 − √4𝑥 2 − 3𝑥 + 7 + √𝑥 2 + 7𝑥 + 5) 𝑥→∞



d. Hubungan antara inang dan jumlah parasit adalah sebagai berikut. Jumlah parasit untuk kerapatan inang (jumlah inang per satuan luas) x pada suatu periode waktu tertentu bisa 900𝑥



dinyatakan oleh : 𝑦 = 10+45𝑥 Jika kerapatan inang terus ditingkatkan tanpa batas, berapakah jumlah parasit ? 2. Tentukan nilai a dan b yang memenuhi setiap limit di bawah ini : a. lim (√4𝑥 2 − 8𝑥 − 10 + 𝑎𝑥 + 𝑏) = 1 𝑥→∞



3



b. lim (√4𝑥 2 + 𝑏𝑥 − 1 − √𝑎𝑥 2 − 2𝑥) = − 4 𝑥→∞



c. lim



𝑥→∞



(𝑏−2)𝑥 2 +2+𝑥 1−4𝑥+4𝑥 2



=3



Nama Anggota Kelompok :



Tujuan Pembelajaran :



1.



Menemukan sifat-sifat limit fungsi di ketakhinggaan pada fungsi trigonometri.



2.



Menentukan nilai limit ketakhinggaann pada fungsi trigonometri



3.



4..



Kerjakanlah bersama teman kelompokmu! Jika ada hal yang tidak diketahui, silahkan bertanya kepada guru!



Kegiatan 1



1. lim



𝜃→∞



sin 𝜃 𝜃



Cara menyelesaikan : Karena −1 ≤ sin 𝜃 ≤ 1 dan 𝜃 → ∞, maka : −1 ≤ sin 𝜃 ≤ 1 ( sama-sama dibagi 𝜃 ) …. ….



≤



… …..



…..



≤ ….. 1



( perhatikan 𝜃 → ∞, ∞ = ......



)



1 1



Dan - 𝜃 , 𝜃 →........ Jadi , lim



𝜃→∞



2. lim



sin 𝜃 𝜃



= .........



𝑐𝑜𝑠



𝜃→∞ 𝜃



Cara menyelesaikan : Karena −1 ≤ cos 𝜃 ≤ 1 dan 𝜃 → ∞, maka : −1 ≤ cos 𝜃 ≤ 1 ( sama-sama dibagi 𝜃 ) ….



≤ ….



… …..



…..



Kesimpulan :



≤ ….. 1



( perhatikan 𝜃 → ∞, ∞ = ........ 1 1



Dan - 𝜃 , 𝜃 → .......... Jadi , lim



𝜃→∞



cos 𝜃 𝜃



= ..........



)



Sifat –sifat limit ketakhinggaan fungsi trigonometri: 1. lim



𝜃→∞



2. lim



𝜃→∞



sin 𝜃 𝜃 cos 𝜃 𝜃



= .......



= ......



Kegiatan 2



1. Kerjakanlah berikut dengan menggunakan sifat – sifat limit ketakhingaan fungsi trigonometri : 𝑥



lim



𝑥→∞ 𝑥+sin 𝑥



?



Penyelesaian : 𝑥



…



𝑥+sin 𝑥 𝑥



𝑥



+



: =…



… …



𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 − 1 ≤ 𝑠𝑖𝑛𝑥 ≤ 1, 𝑑𝑎𝑛 𝑥 → ∞, 𝑚𝑎𝑘𝑎 ∶ −1 …



≤



lim



𝑥→∞



lim



sin 𝑥 …



sin 𝑥 𝑥



1



… …



≤ … dan − … , … →



=…



𝑥



𝑥→∞ 𝑥+sin 𝑥



Jadi , lim



𝑥→∞ … +



𝑥



𝑥→∞ 𝑥+sin 𝑥



2. lim 𝑥 tan 𝑥→∞



…



= lim



…



… …



=…= …



= …



1 𝑥



Penyelesaian: 1



1



Misalkan 𝑥 = 𝑦 , sehingga 𝑥 = 𝑦 Untuk 𝑥 → ∞ maka 𝑦 → …. 1



lim 𝑥 tan = lim



𝑥→∞



lim



….



𝑦→0 𝑦



𝑥



=1 1



Jadi, lim 𝑥 tan = .... 𝑥→∞



1



𝑦→0 …..



𝑥



tan 𝑦



Tugas Individu:



1. Tentukan hasil limit berikut ini : a.



1



1



𝑦→∞ 𝑦



𝑦



lim cot



b. lim



1 csc 𝑥



𝑥→∞ 𝑥



2. Tentukan hasil limit tak hingga fungsi trigonometri berikut ini : 5



2



a. lim tan 𝑥 ∙ 𝑐𝑠𝑐 𝑥 𝑥→∞



b. lim cot 3𝑥 −1 ∙ sin 𝑥 −1 𝑥→∞



c. lim



𝑥→∞



1 2𝑥 3 𝑐𝑠𝑐 𝑥



cot