Makalah Deret Laurent, Residu [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Penggunaan matematika dalam kehidupan sangat berguna untuk meningkatkan pemahaman dan penalaran, serta untuk memecahkan suatu masalah dan menafsirkan solusi dari permasalahan yang ada. Tanpa disadari dalam mempelajari matematika, seseorang akan memiliki ketelitian dan kecermatan yang sangat baik karena nilai-nilai pada matematika yang menggunakan nilai yang kompleks, sehingga faktor ketelitian sangat diperlukan untuk menghitung suatu rumusan masalah. deret merupakan bagian dari matematika dalam kalkulus yang banyak sekali diterapkan dalam bidang teknik dan ekonomi. Matematika yang juga banyak berperan dalam perkembangan ilmu matematika dan penerapannya diberbagai bidang tidak dapat dipungkiri. Di bidang teknik, integral berperan sebagai alat untuk menghitung luas di bidang datar dan volume benda putar. Tentunya integral sangat berguna sebab dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai bentuk-bentuk yang tidak teratur yang tidak dapat dihitung dengan rumus-rumus yang sudah dikenal, seperti persegi, segitiga, lingkaran, dan sebagainya. Bentuk-bentuk yang tidak teratur itu kemudian didekati dengan suatu fungsi tertentu yang kemudian luasnya dihitung dengan menggunakan integral. Di bidang ekonomi, integral digunakan untuk menentukan fungsi biaya total dan fungsi pendapatan total dari fungsi biaya marginal dan fungsi pendapatan marginal. Berkaitan dengan deret, Al-Qur’an hanya menjelaskan secara umum dan mencoba mengkajinya dengan pendekatan kesesuaian. Sebagaimana Allah SWT berfirman dalam Q.S. Al-Fathir 35 : 1 yang berbunyi :



1



Terjemahnya : “Segala puji bagi Allah Pencipta langit dan bumi, yang menjadikan malaikat sebagai utusan-utusan (untuk mengurus berbagai macam urusan) yang mempunyai sayap, masing-masing (ada yang) dua, tinga, dan empat. Allah menambahkan pada ciptaan-Nya apa yang dikehendaki-Nya. Sesungguhnya Allah Maha Kuasa atas segala sesuatu.” Dalam ayat di atas, menerangkan bahwa puji dan syukur itu adalah bagi Allah, yang telah menciptakan langit dan bumi dan apa yang ada diantara keduanya dengan ciptaan yang amat indah dan ajaib, ciptaan yang belum ada sebelumnya, dan telah diaturnya dengan tata tertib yang lengkap dan sempurna. Tuhan yang telah menugaskan malaikat menyampaikan wahyu pada para nabinabi-Nya, untuk menyampaikan kepada mereka berbagai macam urusan. Malaikat itu adalah sejenis makhluk yang mempunyai sayap sebelah menyebelah disampingnya, dua-dua, tiga-tiga, atau empat-empat, yang akan membantu di dalam perjalanannya menyampaikan dengan segera perintah-perintah Allah, baik berupa suruhan maupun berupa larangan, kepada para Nabi-Nya. Allah SWT berkuasa menambah sayap para malaikat lebih banyak lagi menurut kehendakNya, sesuai dengan keperluan. Tidak ada kekuatan yang bagaimanapun kuatnya yang dapat menghalangi-Nya Karena Dia itu Maha Kuasa atas segala sesuatu. Dari ayat di atas, diketahui bahwa malaikat dapat digolongkan menjadi beberapa golongan yaitu yang memiliki 2 sayap, 3 sayap, 4 sayap, dan sebagainya. Untuk menghitung jumlah seluruh malaikat dapat dilakukan dengan menghitung jumlah malaikat yang memiliki 2 sayap, menghitung jumlah malaikat yang memiliki 3 sayap, menghitung jumlah malaikat yang memiliki 4 sayap dan



2



sebagainya lalu menjumlahkan setiap hasil yang diperoleh meskipun dalam hal ini malaikat adalah makhluk ghaib yang jumlahnya hanya Allah yang mengetahui. Jika dikaitkan dengan integral, hal ini memiliki keterkaitan dalam menentukan luas suatu daerah dimana daerah tersebut dipartisi menjadi beberapa bagian lalu dihitung luas setiap daerah tersebut dan hasil yang diperoleh dari luas setiap daerah tersebut dijumlahkan untuk memperoleh luas total daerah. Namun, pada kenyataannya banyak yang masih belum memahami perbedaan antara deret dalam menyelesaikan persoalan yang berhubungan dengan kompleks. Hal ini dikarenakan kurangnya. pemahaman tentang langkah-langkah penyelesaian pada deret laurent Oleh Karena itu, penulis membuat sebuah makalah tentang Integrasi Kompleks serta contoh dan alternative penyelesaiannya.



B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, penulis merumuskan masalah sebagai bagaimana bentuk umum dari penderetannya bila f(z) fungsi meromorfik yang gagal analitik di sebuah kutub z = a di dalam daerah konvergensinya?



C. Tujuan Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dari penulisan makalah untuk mengetahui bentuk umum dari penderetannya bila f(z) fungsi meromorfik yang gagal analitik di sebuah kutub z = a di dalam daerah konvergensinya D. Manfaat Berdasarkan tujuan di atas, manfaat penelitian adalah dapat mengetahui bentuk umum dari penderetannya bila f(z) fungsi meromorfik yang gagal analitik di sebuah kutub z = a di dalam daerah konvergensinya



3



BAB II DERET LAUERENT DAN INTEGRAL RESIDU A. Penguraian Fungsi analitik ke dalam deret Laurent



a. Deret Laurent Penguraian



suatu fungsi f{z)



ke dalam deret· Taylor menyatakan



fungsi itu di dalam lingkaran konvergensinya, selalu hanya merupakan



tetapi,



yang hampir



bagian daerah analitisitasnyaf.



Misalnya,



deret 1 Lz" konvergen ke f{z) = 1/{l - z) hanya pada cakram lz 1< 1, rneskipun f analitik di mana-mana kecuali pada z = 1. Pertanyaan yang wajar kemudian, menyatakan



ialah: Adakah suatu penguraian deret yang



f di dalam daerah yang lebih lengkap, atau mungkin,



pada semua titik di mana f analitik? Inilah sasaran utama.



pasal ini, untuk



memberikan



beberapa jawaban pada pertanyaan



yang umum dan wajar ini dengan mengembangkan deret Laurent bagi fungsi analitik. Seperti yang akan kita llhat, deret Laurent adalah bentuk umum deret Taylor, yang di dalamnya memuat bentuk (z - c) berpangkat bilangan bulat negatif ditambah dengan bentuk (z c) berpangkat bi- langan bulat positif (berhingga a tau takberhingga). Kita akan melihat juga bahwa deret Laurent



suatu



fungsi f(z)



konvergen, pada umumnya, di dalam anulus melingkar r < Iz - cl < p (lihat Gambar



7.1.), itulah



sebabnya kita sekarang akan



berkepentingan dengan anulus konvergensi sebagai pengganti lingkaran konvergensi. Teorema berikut memformalkan



apa yang dinyatakan di at as dalam



istilah yang lebih tepat.



4



Teorema 7.1 (Teorema Laurent) Andaikan bahwa f{z )analitik pada setiap titik di anulus tertutup A: r ≤ |Z − C| ≤ P.Maka terdapat positif



suatu



derct dalam (z -_ c) berpangkat



dan negatif yang me- nyatakan f pada setiap titik , didalam



annulus terbuka 𝑟 < |𝑍 − 𝐶| < 𝑃: Koefisien deret tersebut di berikan rumus 𝑎𝑛 =



1 𝑓(𝑧) ∫ 𝑑𝑧, 2𝜋𝑖 𝑘 (𝑧 − 𝑐)𝑛+1



𝑛 = 0,1,2, … ,



𝑑𝑎𝑛 𝑏𝑛 =



1 𝑓(𝑧) ∫ 𝑑𝑧, 2𝜋𝑖 𝑘 (𝑧 − 𝑐)−𝑛+1



𝑛 = 0,1,2,3 … ,



dimana K: lz - ci= p dan C: lz - cl =r, keduanya berorientasi positif, Bukti:Lihat Lampiran 7.



Penguraian deret pada teorema di atas dinamaan deret Laurent f pada c dan annulus terbuka 𝑟 < |𝑍 − 𝐶| < 𝑃 dinamakan annulus konvergensi deret. Perhatikan bahwa kita dapat juga menliskan deret itu dalam bentuk ∞



∑ 𝑐𝑛 (𝑧 − 𝑐)𝑛 , 𝑛=~∞



5



Dengan koefisiennya diberikan oleh rumus: 𝑐𝑛 =



1 𝑓(𝑧) ∫ 𝑑𝑧, 2𝜋𝑖 𝑘 (𝑧 − 𝑐)𝑛+1



𝑛 = 0, ±1, ±,2, … ,



di mana I' adalah sembarang lintasan tertutup sederhana yang berorientasi positif yang ter- letak di dalam anulus konvergensi dan memuat pusat penguraian c di bagian dalamnya: lihat Gambar 7.1. CATATAN



1.



Dengan cara yang sarna seperti yang digunakan dalam pembuktian Teorema 6.9., dapat diperlihatkan bahwa deret Laurent suatu fungsi f(z) konvergen seragarn ke f pada setiap tertutup



titik



dalam sembarang himpunan



di dalam anulus konvergensinya. Se-



bagai akibatnya,



ialah bahwa, seperti dalam kasus deret Taylor, suatu



deret Laurent dapat didifer.ensialkan atau diintegralkan suku demi suku di dalam anulus konvergensinya.



'CATATAN



2.



Diperlihatkan



pada Bab 9 bahwa jika penguraian deret Lauren t



suatu



fungsi



pada anulus



yang



diberikan



·ada, maka



ia



tunggal.



Kenyataan ini menjamin bahwa sekali deret Laurent telah diperoleh untuk fungsi yang diberikan f(z), maka penguraian itu pastilah deret Laurent bagi f.



CATATAN Perhatikan maka



deret



3. bahwa



Laurent menjadi



suatu deret Taylor Penting



jika bn = 0 di dalam rumus Teorema



untuk



deret



Taylor.



7.1.;



Dalam pengertian itu,



adalah kasus khusus bagi deret Laurent. diperhatikan



bahwa, jika diketahui



suatu fungsi



f(z) dan suatu titik c pa- da bidang datar,



adalah mungkin



dapat mempunyai lebih



Laurent dengan



dari



satu



deret



tergantung pada anulus konvergensi pada



mana



deret



bahwa f pusat



Laurent



c, itu 6



me- nyatakan



f. Perlu



bertentangan



dengan



Laurent yang berbeda c'dan banyaknya



ditekankan Catatan



2. Pada



kenyataan



singularitas



ini tidak



umumnya, banyaknya deret



bagi suatu fungsi[akan bergantung



pada pusat



fungsi f. Misalnya fungsi



𝑓(𝑧) = mempunyai



bahwa



tiga penguraian



3 𝑧(𝑧 − 𝑖)



deret yang berbeda dengan pusat pada c



= -i: 1.Suatu deret Taylor yang konvergen di dalam cakram |𝑧 + 𝑖 | < 1. 2. Suatu deret Laurent



yang mempunyai



anulus konvergensi 1
1 Diperoleh 1 | |3 ada dua arti dari daerah ini, yaitu: 1. Perlu menguraikan fungsi tersebut untuk daerah konvergensi yaitu pada semua z yang di luar lingkaran berpusat 0 dan berjari-jri 3



9



2. Perlu menguraikan fungsi tersebut dalam bentukderet pangkat baik positif 𝑏



maupun negative dari z. singkatnya menjadi bentuk ∑ 𝑎𝑛 𝑧 𝑛 + ∑ 𝑧 𝑛𝑟 Perhatikan bentuk berikut:



1 𝑧+3



1



= 𝑧=



1 3 2



1+( )



Supaya dapat menyelesaikannya, ingat penguraian kedalam deret taylor untuk fungsi



1 𝑧+3



yaitu ∑ −1𝑛 𝑧 𝑛 untuk selanjutnya, anda dianggap telah



menguasai teknik ini. Maka : ∞



1 1 1 (−1)𝑛 . 3𝑛 = = ∗ ∑(−1)𝑛 = ∑ 𝑧 1 + (3) 𝑧 𝑧 𝑛+1 𝑛=0 2 Ini adalah kasus yangpaling sederhana. Dapat dilihat bahwa kita hanya mencari principal part dari deret Laurent . ini dikarenakan daerah yang diminta adalah |z|>3.



B. Singularitas dan kenolan funsi analitik Dari



materi sebelumnya definisi berikut: suatu titik 𝑧0 merupakan



singularitas fungsi f(z), bila f gagal menjadi analitik pada 𝑧0 , sementara setiap lingkungan 𝑧0 memuat paling sedikit satu titik dimana f analitik. Pada dasarnya, terdapat dua macam singularitas: 1. Singularitas takterasing 2. Singularitas terasing Suatu titik 𝑧0 merupakan singularitas tak terasing, bagi fungsi f jika dan hanya jika 𝑧0 singularitas bagi f dan setiap lingkungan 𝑧0 memuat paling sedikit satu singularitas f yang lain dari 𝑧0 . Sebagai missal, fungsi F(z)= log z Mempunyai singularitas tak terasing pada setiap titik di sumbu nyata tak positif. Secara umum, setiap fungsi yang dikatakan dengan suatu potongan cabang memiliki singularitas tak terasing. Karena, menurut definisi, setiap lingkungan terhapus bagi singularitas tak terasing fungsi f memuat paling



10



sedikit satusingularitas f yang lain. Ini berarti jika suatu fungsi mempunyai satu singularitas tak terasing, maka ia mempunyai tak berhingga banyak singularitas, meskipun tidak perlu tak terasing. Andikan sekarang bahwa 𝑧0 merupakan singularitas fungsi f(z). Maka 𝑧0 akan dinamakan singularitas terasing f, asal ada suatu lingkungan terhapus 𝑧0 dimana f analitik. Misalnya fungsi 𝑓(𝑧) =



4𝑖 +1



𝑧2



Mempunyai singularitas terasing, satu pada +I dan satu lagi pada –i. ini tidak sulit untuk melihat, karena suatu lingkungan terhapus dengan jari-jari 1 (atau kurang) dapat dilukis di sekeliling salah satu dari kedua titik itu dimana f analitik di dalamnya. Singularitas terasing lebih jauh digolongkan sebagai berikut. Andaikan bahwa 𝑧0 merupakan singularitas terasing fungsi f(z). maka f(z) anaitik diseluruh suatu lingungan terhadap N *(𝑧0 , 𝜌); dengan kata lain, diseluruh annulus 0