Makalah Barisan Dan Deret [PDF]

Citation preview

“BARISAN DAN DERET”



NAMA



: INDAH PRATIWI HASIBUAN



NIM



: 0305171059



KELAS



: PMM-2



DOSEN PEMBIMBING: SITI ZAHARA HARAHAP M.Pd



JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUMATERA UTARA MEDAN 2017-2018



Kata Pengantar



Dengan menyebut nama Allah SWT yang Maha Pengasih lagi Maha Panyayang, Saya panjatkan puja dan puji syukur atas kehadirat-Nya, yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan inayah-Nya kepada saya, sehingga saya dapat menyelesaikan tugas makalah tentang Barisan dan Deret . Alhamdulillah, atas izin Allah SWT, saya dapat menyelesaikan tugas ini. Tugas makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Pengantar Dasar Matematika. Dalam penyusunan tugas ini tidak luput dari adanya sumber buku yang digunakan. Sehingga saya dapat menyelesaikan tugas ini dengan mudah. Dengan segala keterbatasan yang ada, saya menyadari bahwa dalam penulisan tugas ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu,dengan tangan terbuka saya menerima segala saran dan kritik dari pembaca agar saya dapat memperbaikinya. Semoga tugas yang saya kerjakan dapat bermanfaat bagi saya pribadi dan pembacanya. Amin.



Medan, 18 Januari 2018



Penulis



i



Daftar Isi Kata Pengantar .............................................................................................................................i Daftar Isi .................................................................................................................................... ii BAB I: PENDAHULUAN .......................................................................................................... 1 A. Latar Belakang ................................................................................................................ 1 B. Rumusan Masalah ........................................................................................................... 1 BAB II : PEMBAHASAN .......................................................................................................... 2 A. Pengertian Baris dan Deret ............................................................................................. 2 1. Barisan bilangan........................................................................................................ 2 2. Deret .......................................................................................................................... 3 B. Barisan Aritmatika .......................................................................................................... 3 C. Deret Aritmatika ............................................................................................................. 6 D. Barisan dan Deret Geometri.......................................................................................... 10 1. Pengertian Barisan Geometri .................................................................................. 10 2. Pengertian Deret Geometri ..................................................................................... 10 BAB III : PENUTUP ................................................................................................................ 13 A. Kesimpulan ................................................................................................................... 13



ii



BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Matematika adalah salah satu ilmu dasar, yang semakin dirasakan interkasinya dengan bidang-bidang ilmu lainnya seperti ekonomi dan teknologi. Peran matematika dalam interaksi ini terletak pada struktur ilmu dan peralatan yang digunakan. Ilmu matematika sekarang ini masih banyak digunakan dalam berbagai bidang seperti bidang industri, asuransi, ekonomi, pertanian, dan di banyak bidang sosial maupun teknik. Kata matematika berasal dari kata “mathema” dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai “sains, ilmu pengetahuan atau belajar.” Disiplin utama dalam matematika di dasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan memprediksi peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika yaitu studi tentang struktur, ruang, dan perubahan. B. Rumusan Masalah 1. Apa yang dimaksud dengan Barisan? 2. Apa yang dimaksud dengan Deret? 3. Bagaimana menetukan dan menghitung Barisan dan Deret? 4. Bagaimana menetukan dan menghitung Barisan dan Deret Aritmatika? 5. Bagaimana menentukan dan menghitung Barisan dan Deret Geometri?



1



BAB II PEMBAHASAN A. Pengertian Barisan dan Deret 1.



Barisan Bilangan Barisan adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai karakteristik atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan yang disimbolkan dengan U dan setiap suku digabungkan dengan tanda koma (,). Jika barisan adalah urutan dari bilangan yang memiliki pola maka Deret adalah penjumlahan dari bilangan tersebut. Jika barisan bilangan U1,U2,U3,U4,....,Un Maka deret bilangan U1+U2+U3+.......+Un



Perhatikan susunan bilangan berikut : a.



1, 2, 3, 4, 5,…;



dinamakan barisan bilangan asli



b.



2, 4, 6, 8, 10,…;



dinamakan barisan bilangan asli genap



c.



1, 3, 6, 10, 15,…;



dinamakan barisan bilangan segitiga



d.



1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…;



dinamakan barisan bilangan Fibonacci



Bilangan-bilangan yang membentuk suatu barisan disebut suku-suku barisan. Bilangan pertama atau suku pertama dilambangkan dengan u1, suku kedua dengan u2, suku ketiga dengan u3, suku ke-k dengan uk,…, demikian seterusnya sampai suku ke-n dengan un (n bilangan asli). Indeks n menyatakan banyaknya suku dalam barisan itu. Untuk nilai n bilangan asli berhingga, barisan itu dinamakan barisan berhingga. Suku ke-n dilambangkan dengan undisebut suku umum barisan. Pada umumnya, suku ke-n atau un merupakan fungsi dengan daerah asal (domain) bilangan asli n. Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya. Jika bilangan pertama u1, bilangan kedua u2, bilangan ketiga u3, …, dan bilangan ke-n adalah un, maka barisan bilangan itu dituliskan sebagai u1, u2, u3, ... , uk, ... , un Contoh :



2



1)



Tentukan tiga suku pertama pada barisan berikut ini, jika suku ke-n dirumuskan sebagai un = 3n + 1 Jawab : Suku ke-n, un = 3n + 1 Untuk n = 1, diperoleh u1 = 3(1) + 1 = 4 n = 2, diperoleh u2 = 3(2) + 1 = 7 n = 3, diperoleh u3 = 3(3) + 1 = 10 Jadi, tiga suku pertama barisan itu adalah u1 = 4, u2 = 7, dan u3 = 10.



2)



Tentukan rumus umum suku ke-n untuk barisan berikut ini, jika empat buah suku pertama diketahui sebagai berikut.



a)



4, 6, 8, 10, . . .



b) 1, 9, 25, 49, . . .



Jawab : b)



4, 6, 8, 10, . . .;



barisan dengan suku pertama u1 = 4 dan selisih dua suku yang



berurutan bernilai konstan sama dengan 2. Jadi, un = 2n + 2 c)



1, 9, 25, 49, . . .;



dapat ditulis sebagai (1)2, (3)2, (5)2, (7)2, ...; barisan dengan suku-



sukunya merupakan kuadrat dari bilangan asli ganjil. Jadi, un = (2n – 1)2.



2.



Deret Perhatikan kembali barisan Jika suku-suku tersebut dijumlahkan dalam bentuk u1, u2, u3, ... , uk, ... , un, maka penjumlahan barisan tersebut dinamakan deret. Jumlah suku-suku pada barisan hingga n suku pertama dinyatakan dengan Sn. Misalnya jumlah 5 suku pertama ditulis Sn = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 . Contoh :



1)



Diketahui suatu deret 2 + 4 + 6 + …, hitunglah jumlah 5 suku pertama. Jawab: Sn = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 Jadi, jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah 30.



B.



Barisan Aritmatika Perhatikan barisan aritmatika 1, 3, 5, 7,… dan 2, 4, 6, 8,….; setiap selisih anatara dua suku yang berurutat adalah tetap nilainya yaitu: 3-1 = 5-3 = 7-5 =…= 2 3



4-2 = 6-4 = 8-6 =…= 2 Secara umum u1, u2, u3, ... , un adalah barisan aritmatika apabila u2 – u1 = u3 – u2 = u4 – u3 =konstanta. Konstanta ini disebut beda dan dinyatakan dengan b. Sehingga barisan aritmatika dapat kita definisikan sebagai berikut: Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bentuk umum : u1, u2, u3, ... , un atau a, ( a + b ), ( a + 2b ), ... , (a + (n – 1) b) Pada barisan aritmatika, berlaku un – un-1 = b , sehingga un = un-1 + b. a.



Rumus umum suku ke-n pada Barisan Aritmatika Misalkan suatu barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b, maka suku barisan itu dapat divisualisasikan sebagai berikut : I u1 = a I u2 = a + b I u3 = a + 2b I u4 = a + 3b I un = a + ( n -1 ) b Berdasarkan pola atau keteraturan suku-suku barisan di atas, maka rumus suku ke-n untuk barisan aritmatika dapat ditentukan dengan hubungan berikut. Misalkan suatu barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b, rumus umum suku ke-n dari barisan aritmatika itu ditentukan oleh : I un = a + ( n -1 ) b Contoh :



1) Carilah suku pertama, beda, dan suku ke-6 dari barisan aritmatika 4, 1, -2, -5, . . . Jawab : Barisan 4, 1, -2, -5, … Suku pertama



u1 = a = 4,



Beda



b = 1 – 4 = -3,



Suku ke-6



u6 = a + 5b = 4 + 5(-3) = -11



Jadi, suku pertama a = 4, beda b = -3, dan suku ke-6 adalah u6 = 11



b.



Suku tengah pada barisan aritmatika Suku tengah suatu barisan aritmatika dapat ditentukan melalui deskripsi berikut ini.



4



Misalkan barisan aritmatika yang terdiri dari atas (2k-1) suku : u1, ... ,uk, ... , u2k-1, maka suku tengahnya adalah uk. Suku tengah uk = a + (k-1) b = ½{2a+2(k-1)b} = ½{a+a+(2k-2)b} = ½ {u1 + u2k-1}. Jadi, suku tengahnya ditentukan oleh hubungan uk = ½ {u1+u2k-1}.



Contoh : 1) Diketahui barisan aritmatika 3, 5, 7, 9, …, 95. Banyak suku pada barisan itu adalah ganjil. a) Carilah suku tengahnya b) Suku keberapakah suku tengahnya itu? c) Berapakah banyak suku barisan itu? Jawab : a) Barisan 3, 5, 7, 9, …, 95. Suku pertama a = u1 = 3, beda b = 2, dan suku terakhir u2k-1= 95. uk = ½ (u1+u2k-1) = ½ (3 + 95) = 49 Jadi, suku tengahnya adalah 49. b) Dari hasil a), diperoleh : U uk = a + ( k-1) b = 49 ⇔ 3 + (k-1)2 = 49 ⇔ 2k = 48 ⇔ k = 224 Jadi, suku tengahnya adalah suku ke-24. c) Banyaknya suku barisan itu sama dengan 2k – 1 = 2(24) – 1 = 47.



c.



Sisipan pada barisan aritmatika Misalkan diantara dua bilangan real x dan



(dengan x ≠ y ) akan disisipkan sebanyak k buah



bilangan ( k bilangan asli). Bilangan – bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan itu membentuk suatu barisan aritmatika. Susunan bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan dapat divisualisasikan dengan menggunakan bagan sebagaimana diperlihatkan berikut ini.



5



Di antara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k buah bilangan sehingga bilanganbilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmatika. Nilai beda barisan aritmatika yang terbentuk dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan b =( y – x) / (k + 1) Dengan x dan y bilangan real (x ≠ y ) dan k bilangan asli. Contoh : 1) Di antara bilangan 4 dan 28 disisipkan 5 buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmatika. Carilah beda dari barisan aritmatika yang terbentuk. Jawab : Diketahui x = 4, y = 28, dan k = 5 Didapat b =( y – x) / (k + 1) = (28-4)/(5+1)=4 Jadi, beda barisan aritmatika yang terbentuk adalah b =4 . C. Deret Aritmatika Jumlah beruntun suku-suku suatu barisan aritmatika disebut sebagai deret aritmatika. Sebagai contoh : ·



Dari barisan aritmatika 1, 3, 5, 7, …, 99 dapat dibentuk deret aritmatika 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99,



·



Dari barisan aritmatika 2, 4, 6, 8, …, 2n dapat dibentuk deret aritmatika 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n. Dari contoh di atas dapat disimpulkan, jika u1, u2, u3, ... , un, merupakan suku – suku barisan aritmatika, maka u1 + u2 + u3 + ... + un dinamakan sebagai deret aritmatika.



a.



Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika Jumlah n suku pertama deret aritmatika dilambangkan dengan Sn , dan Sn ditentukan oleh : Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un-2 + un-1 + un Substitusikan u1 = a, u2 = a+b, u3 = a+2b , un-2 = un – 2b, un-1 =un – b; diperoleh Sn = a + (a+b) + (a+2b) + ... + (un – 2b) + (un – b) + un …(*) Jika urutan suku-suku penjumlahan pada persamaan (*) itu dibalik, diperoleh: 6



Sn = un + (un – b) + (un – 2b) + ... + (a+2b) + (a+b) + a … (**) Jumlahkan masing masing ruas pada persamaan (*) dengan persamaan (**), sehingga diperoleh :



Berdasarkan hasil perhitungan tersebut, jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dapat ditentukan melalui hubungan sebagai berikut. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika u1 + u2



+



u3 + ... + un ditentukan dengan



menggunakan hubungan : Sn = n/2 (a+ un) Dengan n = banyak suku, a = suku pertama, dan un = suku ke-n. b.



Sifat-sifat Sn pada deret aritmatika Jumlah n suku pertama deret aritmatika mempunyai sifat-sifat sebagai berikut.



1.



Sn = n/2 (a+ un) merupakan fungsi kuadrat dari n (n bilangan asli) yang tidak memiliki suku tetapan.



2.



Untuk setiap n bilangan asli berlaku hubungan Sn - Sn-1 = un (Suku ke-n). Contoh :



1)



Hitunglah jumlah deret aritmatika 2 + 4 + 6 + … + 60. Jawab : Untuk menghitung jumlah deret pada soal di atas, perlu ditentukan terlebih dulu banyak suku atau n melalui hubungan un = a + (n-1)b. 2 + 4 + 6 + … + 60, a = 2, b = 2, dan un = 60 60 = 2 + (n-1) 2 ⇔ 60 = 2n ⇔ n = 30 S30 = 30/2 (a+ u30) = 15(2+60) = 930 Jadi, jumlah deret aritmatika 2 + 4 + 6 + … + 60 adalah S30 = 930



7



KUMPULAN SOAL



1.



Rumus umum suku ke-n dari suatu barisan ditentukan melalui hubungan un= an2 + bn. Suku ke-2 dan suku ke-7 dari barisan itu masing-masing sama dengan 8 dan 63.



a.



Hitunglah nilai a dan nilai b



b.



Tentukan suku ke-10



2.



Tulislah deret bilangan berikut ini, kemudian tulislah hasil penjumlahannya.



a.



Deret 6 bilangan asli kelipatan tiga yang pertama



b.



Deret 5 bilangan segitiga yang pertama



c.



Deret 6 bilangan persegi yang pertama



3.



Suku ke-3 suatu barisan aritmatika sama dengan 11, sedangkan suku ke-10 sama dengan 39.



a.



Carilah suku pertama dan beda barisan itu



b.



Carilah rumus suku ke-n



4.



Suku ke-5 suatu deret aritmatika adalah 40 dan suku ke-8 deret itu adalah 25.



a.



Tentukan suku pertama dan beda deret aritmatika itu



b.



Hitunglah jumlah sepuluh suku pertama dari deret aritmatika itu



5.



Diketahui suku ke-3 dan suku ke-7 suatu deret aritmatika berturut-turut adalah 17 dan 37. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah…



KUNCI JAWABAN



1.



Nilai a dan b, serta suku ke-10 adalah



a.



Rumus umum suku ke-n : un= an2 + bn



·



Suku ke-2 sama dengan 8, diperoleh hubungan: a(2)2 + b(2) = 8 ⇔ 4a + 2b = 8 ⇔ 2a + b = 4



(*) 8



·



Suku ke-7 sama dengan 63, diperoleh hubungan: A a(7)2 + b(7) = 63 ⇔ 49a + 7b = 63 ⇔ 7a + b = 9 .................................. (*) Persamaan (*) dan (**) membentuk sistem persamaan linear dua variabel (dengan variabel a dan variabel b) sebagai berikut: 2a + b =4 7a + b =9 Solusi atau penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel diatas adalah a = 1 dan b = 2. Jadi, nilai a = 1 dan b = 2.



b.



Berdasarkan hasil perhitungan a rumus umum suku ke-n dapat dinyatakan sebagai un= n2 + 2n. Untuk n = 10 diperoleh u10 = (10)2 + 2(10) = 120 Jadi, suku ke-10 dari barisan itu adalah u10 = 120.



2.



Deret bilangan dan jumlahnya adalah



a.



3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 Sn = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 = 60



b.



1 + 3 + 6 + 10 + 15 Sn = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35



c.



1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 Sn = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91



3.



Suku pertama dan beda, serta rumus suku ke-n adalah



a.



u3 = 11 → a + 2b = 11



........................ (1)



u10 = 39 → a + 9b = 39 .... ........................ (2) Dari persamaan (1) dan (2) didapat 𝑎=3 dan 𝑏=4. Jadi, suku pertama a = 3 dan beda b = 4. b.



un = a + (n-1) b = 3 + (n-1) 4 = 4n-1 Jadi, rumus suku ke-n adalah un = 4n-1.



4.



Suku pertama, beda serta jumlah ssepuluh suku pertama adalah



a.



Suku ke-5 sama dengan 40



9



u5 = 40 → a + 4b = 40



.....



(1)



......



(1)



Suku ke-8 sama dengan 25 u8 = 25 → a + 7b = 25



Kedua persamaan di atas membentuk system persamaan linear dua variabel dan penyelesaiannya adalah a = 60 dan b = -5. Jadi, suku pertama dan beda dari deret aritmatika itu berturut-turut adalah a = 60 dan b = -5 D. Barisan dan Deret Geometri 1. Pengertian Barisan Geometri ·



Definisi Barisan Geometri Barisan geometri adalah barisan dimana bilangan pertamanya sembarang dan bilangan berikutnya di peroleh dengan menggalikan bilangan tetap kepada bilangan sebelumnya dengan syarat bilangan pertama bukan nol serta penggalinya bukan nol dan bukan 1, barisan geometri juga disebut barisan ukur atau barisan kali.



·



Contoh barisan giometri a. 2, 4, 6, 8, 16, 32 . . . b. 2, 6, 18, 54 . . . c. 3, 12, 48, 102 . . .



2. Pengertian Deret Geometri ·



Definisi deret geometri Ketika suatu deret memiliki rasio yang konstan antara suku-suku yang berurutan, deret itu disebut sebagai deret geometri. Konstanta tersebut disebut rasio,r.



·



Contoh deret geometri :



1. 1+2+4+8+ ….



(rasionya selalu tetap yaitu 2)



2. 3+9+27+81+…. (rasionya selalu tetap yaitu 3) 3. 4+16+64+256+… (rasionya selalu tetap yaitu 4) Suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret geometri Pada deret geometri u 1+ u 2 + …..+ u n dengan suku pertama = u 1= a dan rasio deret = r , dengan r _ 1, maka suku ke-n deret ini adalah u n = ar n−1 dan jumlah n suku pertamanya adalah S n = u1+ u 2 + …..+ u n = a + ar + ar 2 + …..+ ar n−1 = a .1- rn 1-r



Contoh Soal : 10



1. Carilah suku ke 8 dari barisan di bawah ini ! a) 2,4,8,16,32,... b) 2,1,1/2,1/4,1/8,... 2. Diketahui barisan geometri dengan U3 = 27 dan U5 = 243. Berapakah 6 suku pertama deret tersebut?



Penyelesaian : 1. a) U1 = 4



U8 = U1 . r8-1 = 2 . 27 = 2 . 128 = 256



U2 = 2



r = U2 : U1 =4:2 =2 b) U2 = 1



U8 = U1 . r8-1 = 2 . (1/2)7 = 2 x 1/128 = 1/64



U1 = 2



r = U2 : U1 =1:2 = 1/2 2. U3 = a . r3-1 = a . r2 = 27 U5 = a . r5-1 = a . r4 = 243



27 = U1 . (3)3-1 27 = U1 . 32 27 = U1 . 9



U5/U3 = a . r4 / a . r2 = 243/27



r2 = 9



U1 = 27 : 9 = 3



r=3



S15 = 3 ( 36 - 1) / 3-1 = 3 (729-1) / 2 = 3 (728) /2 = 1092



1. Sebuah Bakteri mampu melakukan pembelahan diri menjadi 4 setiap 12 menit. berapakah jumlah bakteri yang ada setelah 1 jam jika sebelumnya terdapat 3 buah bakteri? Cara penyelesaian:



11



Diketahui: a



=



3



r



=



4



n = 1 jam/12 menit = 60/12 = 5 Ditanya: U5…? Jawab: Un =



arn-1



U5 =



3



x



45-1



U5 = 3 x 256 = 768 bakteri 2. Dari barisan geometri dengan suku-suku positif, diketahui suku ke-3 adalah 4, dan besarnya suku ke-9 adalah 256, besarnya suku ke-12 adalah .... A.



2048



D. 2056



B.



2050



E. 2062



C.



2054 jawaban : A U3 = 4



→ ar2 = 4



U9 = 256 → ar8 = 256 ar8/ ar2 = 256/4 r6 = 64 r = 2, maka ar2 = 4 → a.22 = 4 → a = 1 Un = arn -1 U12 = 1 . 211 = 2048



12



BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Barisan adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai karakteristik atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan yang disimbolkan dengan U dan setiap suku digabungkan dengan tanda koma (,). Jika barisan adalah urutan dari bilangan yang memiliki pola maka Deret adalah penjumlahan dari bilangan tersebut. Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bentuk umum : u1, u2, u3, ... , un atau a, ( a + b ), ( a + 2b ), ... , (a + (n – 1) b) Pada barisan aritmatika, berlaku un – un-1 = b , sehingga un = un-1 + b. Jumlah beruntun suku-suku suatu barisan aritmatika disebut sebagai deret aritmatika. Barisan geometri adalah barisan dimana bilangan pertamanya sembarang dan bilangan berikutnya di peroleh dengan menggalikan bilangan tetap kepada bilangan sebelumnya dengan syarat bilangan pertama bukan nol serta penggalinya bukan nol dan bukan 1, barisan geometri juga disebut barisan ukur atau barisan kali. ·



Contoh barisan giometri a. 2, 4, 6, 8, 16, 32 . . . b. 2, 6, 18, 54 . . . c. 3, 12, 48, 102 . . . Ketika suatu deret memiliki rasio yang konstan antara suku-suku yang berurutan, deret itu disebut sebagai deret geometri. Konstanta tersebut disebut rasio,r.



13