Barisan Dan Deret Soal [PDF]

Citation preview

Barisan dan Deret 1. USM STAN 2009 27, 64, 18, 48, 12, 36, ..... a. 8, 27 b. 8, 25 c. 6, 27 d. 6, 25 Penyelesaian : Suku ganjil, dibagi 3 kemudian dikali 2 (12 : 3 x 2 = 8) Suku genap, dibagi 4 kemudian dikali 3 (36 : 4 x 3 = 27) Jawaban A. 8, 27



:



2. UN 2004/2005 Suatu jenis bakteri, setiap detik akan membelah diri menjadi dua. Jika pada saat permulaan ada 5 bakteri, waktu yang diperlukan bakteri supaya menjadi 320 adalah ..... a. 5 detik b. 6 detik c. 7 detik d. 16 detik e. 20 detik Penyelesaian : Deret geometri r = 2 dan a = 5 Un = arⁿ 320 = 5. 2ⁿ => 64 = 2ⁿ 2⁶ = 2ⁿ => jadi n=6 detik Jawaban B. 6 detik



:



3. UN 2005/2006 Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah ..... a. 65 m b. 70 m



c. 75 m d. 77 m e. 80 m Penyelesaian : Deret geometri a = 10 m, r = ¾ Lintasan bola bolak balik kecuali saat jatuh pertama => maka jumlah seluruh lintasannya ialah : S = 2. Sn-a a )–a 1 r 10 = 2. ( ) – 10 1 3/ 4



= 2. (



= 70 m Jawaban B. 70 m



:



4. UN 2006/2007 Suku ke-5 sebuah deret aritmatika adalah 11 dan jumlah nilai suku ke-8 dengan suku ke-12 sama dengan 52. Jumlah 8 suku pertama deret tersebut ialah ….. a. 68 b. 72 c. 76 d. 80 e. 84 Penyelesaian :  U₈ + U₁₂ = 52 (a+7b)+(a+11b) = 52 2a+18b = 52 1a+9b =26………………(1)  U₅ = a + 4b =11……………………..(2)  1a + 9b = 26  1a + 4b = 11 5b = 15 => b = 3 1a + 4b = 11  1a + 4.3 = 11  a = -1 Maka :



Sn =



n (2a + (n-1)b) 2



S₈ = 4 (2(-1)+(8-1)3) = 4 (-2+21) = 76 Jawaban



:



C. 76 5. USM STIS 2005/2006 Jika tiga bilangan q,s, dan t membentuk barisan geometri, maka qs = ….. q  2s  t q



s



a. q  t b.



c. q  s



s st



d.



q st



Penyelesaian : n 1 Un = a. r , q, s, t  geometri s = qr t = qr 2 = sr r = 



t s



q  qr qs 1 r = = 2 = q  2s  t q  2qr  qr 1  2r  r 2



1 1 1 r 1 s t = (s  t ) = = 2 = 1  (1  r ) 1 r st s s



Jawaban B.



:



s st



6. USM STIS 2007/2008 Jumlah tak hingga dari deret geometri adalah 81 dan suku pertamanya adalah 27. Jumlah semua suku bernomor genap deret tersebut adalah ….. a. 32 2 b. 21 3



c. 18 9



5



13 d. 12 6 13



5



Penyelesaian : Deret geometri bernomor genap adalah : ar, ar³, ar⁵, ….. ar S~ = = 1 r2



=



27. 2



3 1  (2 )2 3



162 = 32 5



2



5



Jawaban A. 32 2



:



5



7. USM STIS 2005/2006 Pada sebuah deret geometri diketahui bahwa suku pertamanya adalah 3 dan suku ke-9 adalah 768. Suku ke-7 deret itu adalah ….. a. 36 b. 72 c. 192 d. 256 Penyelesaian : a=3 U₉ = 768 Un = ar n 1 U₉ = 3r⁸ = 768 r⁸ = 256 r =2 U₇ = 3. 2⁶ = 3. 64 = 192 Jawaban C. 192



:



8. SNMPTN Matematika Dasar REGIONAL I tahun 2009/2010 Pada suatu ulangan matematika, terdapat soal mengenai jumlah barisan aritmatika. Pada berkas soal yang diterima Adam, rumus tidak tercetak sempurna sehingga hanya terbaca “ Sn = n² + ”, tetapi Adam masih bias menjawab soal tentang beda barisan tersebut. Nilainya adalah ….. a. 1 b. -1 c. 2 d. -2 e. 3 Penyelesaian : Missal Sn = n² + an Maka U₁ = S₁ = 1 + a



U₂ = S₂ - S₁ = (4+2a) – (1+a) = 3+a Jadi beda = U₂ - U₁ = 3 + a – (1+a) =2 Jawaban C. 2



:



9. SNMPTN Matematika Dasar REGIONAL III tahun 2009/2010 Jumlah 101 bilangan genap berurutan adalah 13130 jumlah bilangan terkecil yang pertama dari bilangan-bilangan genap tersebut adalah ….. a. 96 b. 102 c. 108 d. 114 e. 120 Penyelesaian : Deret aritmatika : n = 101 b=2 maka : Sn



=



13130 130 a



Sn = 13130



n (2a+(n-1)b) 2 101 = (2a+100.2) 2



= a+100 = 30



jadi 3 bilangan terkecil = 30 +32 + 34 = 96 Jawaban A. 96



:



10. SNMPTN Mata Ujian Matematika IPA Regional I tahun 2009/2010 Misalkan Un menyatakan suku ke-n suatu barisan geometri. Jika diketahui U₅ = 12 dan log U₄ + log U₅ - log U₆ = log 3, maka nilai U₄ adalah ….. a. 12 b. 10



c. 8 d. 6 e. 4 Penyelesaian : Un = suku ke-n suatu barisan geometri Log U₄ + log U₅ - log U₆ = log 3, maka : Log ar³ + log ar⁴ - log ar⁵ = log 3 ar 3 .ar 4  log = log 3 ar 5  ar² = 3 Diketahui U₅ = 12  ar⁴ =12, sehingga ar².r² = 12  3r² = 12  r² = 4 sehingga r = 2 U 12 diperoleh U₄ = 5 = =6 2 r Jawaban d. 6 11.



:



SNMPTN Mata Ujian Matematika IPA Regional II tahun 2009/2010 Misalkan Un menyatakan suku ke-n suatu barisan geometri. Jika diketahui U₆=64 dan log U₂+log U₃+log U₄=9 log 2, maka nilai U₃ adalah ….. a. 8 b. 6 c. 4 d. 2 e. 1 Penyelesaian : Un = suku ke-n suatu barisan geometri Log U₂ + log U₃ + log U₄ = 9 log 2, maka Log ar + log ar² + log ar³ = 9 log 2  log a³r⁶ = log 2⁹  a³r⁶ = 2⁹  (ar²)³ = (2³)³ Sehingga ar² = 2³ = 8 atau U₃ = 8 Jawaban A. 8



:



12.SNMPTN Mata Ujian Matematika IPA Regional II tahun 2009/2010 Koefisien x 49 pada hasil perkalian (x-1)(x-2)(x-3)….(x-50) adalah ….. a. -49 b. -50 c. -1250 d. -1275 e. -1350 Penyelesaian : (x-1)(x-2)(x-3)….(x-50) Untuk n=1, koefisien x⁰ adalah -1 Untuk n=2, koefisien x adalah -3 Untuk n=3, koefisien x² adalah -6 Untuk n=4, koefisien x³ adalah -10 . . . Untuk n=50, koefisien x adalah -1 -3 -6 -10 ….. -2 -3 -4 ….. -1 -1 a= -1 b= -2 c=-1 b( n  1) c( n  1)(n  2) Un= a + + 1! 2!  2( n  1)  1( n  1)(n  2) Un= -1 + + 1 2 = -n+1+ ½ (-n²+3n-2) = -1/2 n(n+1) Jadi koefisien x⁴⁹ terjadi pada n= 50 Sehingga U₅₀ = -1/2. 50(51)= -1275 Jawaban d. -1275



:



13.Matematika IPA UM UGM tahun 2009/2010 Sebuah deret dengan suku ke-n adalah an memiliki jumlah suku pertama 5n² + 3n. Nilai a₂ + a₅ + a₈ + ….. + a₂₀ = …. a. 726 b. 736



c. 746 d. 756 e. 766 Penyelesaian : Sn = 5n² + 3n Un = 10 n-2, maka : a₂ + a₅ + a₈ + ….. + a₂₀ = 18 + 48 + 78 + ….. + 198 =



7 (18+198) 2



=756 Jawaban d. 756



:



14. Matematika IPA UM UGM tahun 2008/2009 Suku ke-n deret geometri adalah Un. Jika diketahui 1 , maka nilai U₁₀ = ….. 3 1 a. 27



=



b.



3 27



c.



1 9



d. e.



3 9



1 3



Penyelesaian : Deret geometri, diketahui : U6 1 1 = 3  2 =3  r = U8 3 r 1 1  U₅ = a=3 3 3 3 1 1 1 1 . )= U₁₀ = ar⁹ = 3 3 ( )⁹ = 3 3 ( 81 3 3 27



U₂ . U₈ =



Jawaban



:



U6 = 3 dan U₂.U₈ U8



a.



1 27



15.Matematika IPA UM UGM tahun 2008/2009 Dari suatu deret aritmatika dengan suku ke-n adalah Un, diketahui U₃ + U₆ + U₉ + U₁₂ = 72. Jumlah 14 suku pertama deret ini adalah ….. a. 231 b. 238 c. 245 d. 252 e. 259 Penyelesaian : Deret aritmatika diketahui : U₃ + U₆ + U₉ + U₁₂ = 72  U₆ + U₉ = 36 S₁₄ = 7. 36 = 252 Jawaban d. 252 16.



:



Matematika IPA UM UGM tahun 2007/2008 Suatu barisan geometri mempunyai rasio positif. Jika suku ke-3 bernilai 2p dan suku ke-2 dikurangi suku ke-4 sama dengan p 2 , maka rasio barisan tersebut adalah ….. a. 2 b. 2 2 c.



1 2



2



d. 2 e.



1 2



Penyelesaian : Deret geometri Jika : U₃ = 2p dan U₂ - U₄ = p 2 ar² = 2p dan ar-ar³ = p 2 maka :



ar  ar 3 p 2 = 2 2p ar



1 r2 = r



2 2



2 – 2r² = 2r 2r² + 2r -2 = 0



(2r r=



2 )(r 



1 2



2 atau r = 



jadi r = Jawaban c. 17.



1 2



2)  0



1 2



2 ™



2



:



2



Matematika IPA UM UGM tahun 2007/2008 Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri idan jumlahnya -48. Jika bilangan ke-2 dan ke-3 ditukar letaknya menghasilkan sebuah barisan aritmatika, maka nilai bilangan ke-2 dari barisan semula ialah ….. a. -32 b. -28 c. 28 d. 32 e. 36 Penyelesaian :  a + ar + ar² = - 48 a(1 + r + r²) = -48, dan  a + ar + ar² = DA ar² - a = ar - ar² r² - 1 = r – r² (r – 1)(r + 1) = r (1 – r) r + 1 = -1 r=-



1 1  a (1 2 2



+



1 ) = -48 4



a = -64 U₂ = ar = (-64)(-



1 ) 2



= 32 Jawaban d. 32 18.



:



Matematika IPA UM UGM tahun 2007/2008 Jika dalam suatu deret berlaku ³log x + ³log² x + ³log³ x + …… = 1, maka nilai x adalah …..



a.



1 3



b.



3 3



c.



3



2 9 1 e. 9



d.



Penyelesaian : D ~ = ³log x + ³log² x + ³log³ x + …… = 1 S~=



a =1 1 r 3 log x =1 1 3 log x



³log x = 1 - ³log x 2. ³log x = 1 ³ log x = ½ X= 3 Jawaban c. 3



:



19.Matematika IPA UM UGM tahun 2006/2007 Diketahui deret aritmatika dengan beda 1. Jika jumlah pangkat tiga dri tiga suku pertamanya adalah 18 lebih besar dari 3 kali pangkat 3 dari suku ke-2 maka jumlah tiga suku pertamanya adalah ….. a. 6 b. 9 c. 12 d. 15 e. 18 Penyelesaian : Deret aritmatika b=1 U₁³ + U₂³ + U₃³ = 18 + 3 U₂³ U₁³ - 2 U₂³ + U₃³ = 18 a³ - 2 (a+ 1)³ + (a+ 2)³ = 18 a=2 U₁ + U₂ + U₃ = 2 + 3 + 4 = 9



Jawaban b. 9



:



20.Matematika IPA UM UGM tahun 2006/2007 Suku ke-5 dari barisan geometri adalah 243, hasil bagi suku ke-9 dengan ke-6 adalah 27. Suku ke-2 adalah ….. a. 3 b. 5 c. 7 d. 9 e. 11 Penyelesaian Deret geometri U₅ = 243 = ar⁴ U9 = r³ = 27 U6



:



r=3a=3 Jadi U₂ = ar = 3 . 3 = 9 Jawaban d. 9 21.



:



Matematika Dasar UM UGM tahun 2005/2006 Suku pertama dari deret geometri adalah 4 dan jumlah 8 suku pertamanya 17 kali jumlah 4 suku pertama. Rasio deret geometri itu sama dengan ….. a. 5 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1 Penyelesaian Deret Geometri a=4 S₈ = 17 . S₄ a



:



r8 1 r 4 1 = 17 . a r 1 r 1



r8 1 = 17 r 4 1 r⁴ + 1 = 17  r⁴ = 16  r = 2



Jawaban d. 2



:



22.SPMB 2004 Suku pertama dan ke-2 dari suatu deret geometri berturut-turut ialah p⁴ dan p³ x . Jika suku ketujuh adalah p³⁴, maka nilai x adalah ….. a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 Penyelesaian : 3x U2 p r= = = p 3 x 4 p4 U1 U₇ = ar⁶ = p⁴(p 3 x  4 )⁶ p³⁴ = p⁴. p 18 x  24 = p 18 x  20 34 = 18x – 20 18x = 54  x = Jawaban c. 3 23.



54 =3 18



:



SPMB 2004 Suku ke-2 dari suatu deret aritmatika adalah 5. Jika jumlah dari suku ke-4 dan suku ke-6 dari deret terrsebut adalah 28, maka suku ke-9 adalah ….. a. 19 b. 21 c. 26 d. 28 e. 29 Penyelesaian : U₂ = a + b = 5 U₄ + U₆ = a + 3b + a + 5b = 28 2a + 8b = 28 a + 4b = 14 a+b = 5 3b = 9  b = 3 a+3=5a=2



U₉ = a + (9 – 1)b = a + 8b = 2 + 8(3) = 26 Jawaban c. 26



:



24.SPMB 2004 / IPA Diketahui suatu deret geometri tak hingga dengan suku awal a dan rasio r. jika jumlah suku awal dan rasio sama dengan 6 dan jumlah semua suku-sukunya sama dengan 5, maka



a adalah ….. r



a. -20 b. 25 5 6 1 d. 25



c.



e. -25 Penyelesaian : a+r=6a=6–r a =5 1 r



a = 5 – 5r 6 – r = 5 – 5r 4r = -1  r = a= 6 –(-



1 4



1 1 )=6 4 4



1 a = 4 = - 25 1 r  4 6



Jawaban



:



e. -25 25.SPMB 2005 Suku tengah suatu deret aritmatika adalah 23. Jika suku terakhirnya 43 dan suku ketiganya 13, maka banyaknya suku pada deret tersebut adalah ….. a. 5 b. 7



c. 9 d. 11 e. 13 Penyelesaian : 2 U t = U₁ + Un 2 (23) = a + 43 46 = a + 43  a = 3 U₃ = a + 2b = 13  b = 5 Un = a + (n - 1)b = 43 3 + (n – 1) 5 = 43 5n – 5 = 40 5n = 45  n = 9 Jawaban c. 9



:



26.SPMB 2005 Agar deret geometri tak hingga dengan suku pertama a mempunyai jumlah 2, maka a memenuhi ….. a. -2 < a < 2 b. -4 < a < 0 c. 0 < a < 2 d. 0 < a < 4 e. -4 < a < 4 Penyelesaian S∞ =



:



a =2 1 r



a = 2  a = 2 – 2r 1 r



-1 < a < 1 r=1a=0 r = -1  a = 4 maka 0 < a < 4 Jawaban : d. 0 < a < 4 27.UAN 2005 Diketahui suku ketiga dan suku kelima dari deret aritmatika berturut-turut adalah 18 dan 24. Jumlah tujuh suku pertamanya adalah ….. a. 117 b. 120



c. 137 d. 147 e. 160 Penyelesaian a + 2b = 18 a + 4b = 24 -2b = -6 b = 3  a = 12 S₇ =



:



7 (2(12) + (7-1)3) 2



= 147 Jawaban d. 147



:



28.Matematika Dasar UM UGM tahun 2009/2010 Dalam suatu deret aritmatika, jika U₃ + U₇ = 56 dan U₆ + U₁₀ = 86, maka suku ke-2 adalah ….. a. 8 b. 10 c. 12 d. 13 e. 15



Penyelesaian : Deret aritmatika U₃ + U₇ = 56 U₆ + U₁₀ = 86



56 = 28 2 86  U₈ = = 43 2



 U₅ =



U₈ - U₅ = 43 – 28  3b = 15  b = 5 b = 5  Un = 5n + 3 (karena U₅ = 28) U₂ = 10 + 3 = 13 Jawaban d. 13



:



29. Matematika Dasar UM UGM tahun 2009/2010 Jika suatu barisan geometri y + 1, 2y – 2, 7y – 1, ….. mempunyai rasio positif, maka suku ke-4 barisan tersebut adalah ….. a. 108



4 3 4 c. 3



b.



d. -108 e. -324 Penyelesaian : y + 1, 2y – 2, 7y – 1, …..  barisan Geometri dengan r > 0 (2y – 2)² = (y + 1)(7y – 1); r =



2y  2 y 1



4y² - 8y + 4 = 7y² + 6y -1 3y² + 14y – 5 = 0 (3y – 1) (y + 5) = 0 1 y= 3



y=-5



2 2 3 r= > 0 (tidak dipakai) 1 1 3  10  2  12 r= = =3  5 1 4



U₁ = y + 1 = -5 + 1 = -4 U₄ = ar³ = -4 . 3³ = -108



Jawaban d. -108 30.



:



Matematika Dasar UM UGM tahun 2008/2009 Suatu deret aritmatika memiliki beda 2 dan jumlah 20 suku pertamanya 240. Jumlah tujuh suku pertamanya adalah ….. a. -5 b. -6 c. -7 d. -8 e. -9 Penyelesaian : Deret aritmatika, b = 2 dan S₂₀ = 240 maka 20 (2a + 19b) = 240  2a + 19.2 = 24 2 7  a = -7, S₇ = (2. -7 + 6.2) = -7 2



Jawaban



:



c. -7