Makalah Eksponen [PDF]

Citation preview

1 MAKALAH PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN



Disusun Oleh: Raisa Adira Syofitami Ma’ruf Darmawan



(1923021003) (19230210)



Dosen Pengampu: Suharsono, M.Sc. Ph.D.



MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS LAMPUNG 2019 KATA PENGANTAR



2



Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat, taufik, dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen”. Atas terselesainya makalah ini, penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan makalah ini. Terutama penulis haturkan kepada: Bapak Suharsono, M.Sc. Ph.D. selaku dosen pembimbing mata kuliah Matematika Sekolah, dan Semua pihak yang ikut membantu dalam penyelesaian makalah ini. Penulis menyadari dalam makalah ini masih banyak kekeliruan dan kekurangan yang menyebabkan makalah ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dari pembaca yang bersifat membangun demi kesempurnaan makalah ini.



Bandar Lampung, 13 November 2019



Penulis



3



DAFTAR ISI



Halaman HALAMAN JUDUL KATA PENGANTAR.................................................................................i DAFTAR ISI...............................................................................................ii PENDAHULUAN Latar Belakang.............................................................................................1 Rumusan Masalah........................................................................................1 Tujuan..........................................................................................................1 PEMBAHASAN Definisi Eksponen........................................................................................2 Sifat – sifat Eksponen …………………………………………3 Persamaan Eksponen....................................................................................4 Pertidaksamaan Eksponen............................................................................7 PENUTUP Kesimpulan..................................................................................................9 Saran.............................................................................................................9 DAFTAR PUSTAKA



1



BAB I PENDAHULUAN



1.1.



Latar Belakang



Dalam ilmu pengetahuan dan teknologi maupun kehidupan sehari- hari, fungsi eksponen dan logaritma seringkali digunakan untuk mendiskripsikan suatu peristiwa pertumbuhan maupun peluruhan. Misalnya uang yang diinvestasikan di sebuah bank, peluruhan zat radioaktif, pertambahan penduduk dan lain sebagainya. Hal ini dikarenakan logaritma merupakan invers (kebalikan) dari eksponen. 1.2. Rumusan Masalah Apa yang dimaksud Eksponen? Apa saja sifat-sifat Eksponen? Apa saja persamaan Eksponen? Apa saja pertidaksamaan Eksponen? 1.3. Tujuan Masalah Memahami apa yang dimaksud Eksponen Memahami sifat-sifat Eksponen Memahami persamaan Eksponen Memahami pertidaksamaan Eksponen



2



BAB II PEMBAHASAN



2.1. Definisi Eksponen Eksponen merupakan perkalian bilangan yang sama secara berulang. Sebagai contoh, jika kita mengalikan angka 7 secara berulang sebanyak 4 kali, yaitu7 x 7 x 7 x 7=2401, kita dapat menuliskannya dengan 7^4 = 2401 atau . Secara umum, dengan sebanyak n kali. Artinya, kita mengalikan secara berulang sebanyak kali. ( dibaca “x pangkat n”). Eksponen biasa juga disebut dengan pangkat. Pada perpangkatan , x disebut sebagai basis bilangan pokok dan y disebut sebagai pangkat. Eksponen sering kita kenal dengan sebutan pangkat. Definisi eksponen adalah nilai yang menunjukkan derajat kepangkatan (berapa kali bilangan tersebut dikalikan dengan bilangan tesebut juga). Bentuk a n (baca: a pangkat n) disebut bentuk eksponensial atau perpangkatan. a disebut dengan bilangan pokok (basis) dan n disebut eksponennya. Jika n adalah bilangan bulat positif maka definisi dari eksponen 2.1.1 Fungsi Eksponen Persamaan pangkat atau eksponen adalah persamaan yang memuat variabel dalam pangkatnya. Fungsi eksponen f dengan bilangan pokok a adalah fungsi yang didefinisikan f : x → ax, dengan a > 0, a ≠ 1dan x anggota bilangan R (himpunan bilangan real). Fungsi ini memetakan setiap bilangan real x dengan tunggal ke bilangan real positif ax. Fungsi eksponen f : x



→ ax dinyatakan dalam bentuk f(x) = ax dengan



sedangkan persamaan fungsi eksponen dinyatakan dalam bentuk y = ax.



3 2.2. Sifat- sifat Eksponen Jika a dan b bilangan real positif, serta m dan n bilangan real, maka berlaku hubungan : am x an = am+n ( a x b )m = am x bn am : an = am-n ( a : b )m = am : bn ( am)n = am × n (i) a-m = 1/ am (ii) am = 1/ a-m Sifat Operasi Bilangan Pangkat Rasional Jika a,b,c є bilangan real dan m,n,p,q є bilangan bulat positif, maka : am. an = am + n am: an = am - n (am) n = amn (a.b)m = am .bm a am ( )m  m b b



Contoh soal : Sederhanakanlah soal dibawah ini : (3x3



y-5) (-3x-8



y9) = ....



Jawab : (3x3



y-5) (-3x-8



y9) = (3x2) (-3x-8) (y-5) (y9) = (3) ( -3)x2 . x-8 . y-5 . y9 = -9x-6 . x2-8 . y-5+9 = -9x-6 . y4



4



=2.3. Persamaan Eksponen Definisi : adalah suatu persamaan yang pangkatnya (eksponen), bilangan pokoknya, atau bilangan pokok dan eksponennya memuat suatu variabel. Sifat – sifat Fungsi Eksponen untuk Menyelesaikan Persamaan Eksponen Sifat fungsi atau eksponen berbentuk af(x) = 1 Jika af(x) = dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = 0 Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan eksponen berikut ini:



Jawab : 3 +6=0 3



= -6



Jadi himpunan penyelesaiannya {



Sifat fungsi atau eksponen berbentuk af(x) = ap Jika af(x) = ap dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = p



contoh soal : tentukan penyelesaian 3 = 271-x jawab : 3 = 271-x 31 = 33(1-x) 3(1 - x) = 1



5



1–x



=



x



=



Jadi, himpunan penyelesaiannya {



=



Sifat fungsi atau persaman eksponen berbentuk af(x) = ag(x) Jika af(x) = ag(x) dengan a > 0 dan a ≠1 , makaa f(x) = g(x)



Contoh soal : tentukan penyelesaian 25x+3 = 5x-1 jawab : 25x+3 52(x+3) 2(x + 3) 2x + 6 x



= 5x-1 = 5x-1 =x–1 =x–1 = -7



Jadi, himpunan penyelesaiannya {



= -7}



Sifat fungsi atau persamaan berbentuk af(x) = bf(x) (a≠b) Jika af(x) = bf(x) dengan a,b > 0 a,b ≠ 1 serta a ≠ b, maka f(x) = 0 Contoh Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan eksponen berikut ini : 3x²-x-2 = 7x²-x-2 3x²-x-2 = 7x²-x-2 x² - x -2 = 0 (x-2)(x+1) = 0 x = 2 ; x = -1



Jadi, himpunan penyelesaiannya {



= -1,



=2}



Sifat fungsi atau persamaan eksponen berbentuk af(x) = bg(x)



6 Penyelesaian persamaan eksponen berbentuk af(x) = bg(x) dengan a,b>0 dan a,b≠1 dapat diselesaikan dengan logaritma, yaiu log : af(x) = log bg(x) atau f(x) log a = g(x) log b



contoh soal : Tentukan himpunan penyelesaian dari 4x-1 = 3x+1 (x-1)log4 = (x+1)log3 xlog4 - log4 = x log 3 + log 3 x log 4 - x log 3 = log 3 + log 4 x (log4 - log3) = log 12 x log 4/3 = log 12 x log 4/3 = log 12 x = log 12/ log 4/3 = 4/3 log 12



Jadi, himpunan penyelesaiannya {



4/3



log 12}



Sifat fungsi persamaan eksponen berbentuk [U(x)]f(x) = [U(x)]g(x) Jika [U(x)]f(x) = [U(x)g(x)] maka nlai x diperoleh dari : f(x) = g(x) U(x) = 1 U(x) = 0, jika nilai x memenuhi syarat f(x) ≥ 0 dan g(x) > 0 U(x) = -1, jika nilai x memenuhi syarat f(x) dan g(x) kedua-duanya ganjil atau kedua-duanya genap. Contoh soal ; Tentukanlah himpunan penyelesaian Jawab : Dengan menggunakan syarat di atas maka di peroleh : Type equation here.



7



X = 0 atau x = 2



3x – 10 = 0 3x = 10 x=



3x – 10 = 1 3x = 11 X=



Sekarang periksa apakah untuk x =



,



keduanya positif?



=



Jadi, untuk x =



keduanya positif, sehingga x =



Merupakan



penyelesaian.



3x – 10 = -1 3x = 9 x=3 Sekarang periksa apakah untuk x = 3 , ganjil?



keduanya genap Atau



8



Perhatikan bahwa untuk x = 3,



, sehingga x = 3



bukan merupakan penyelesaian. Dengan demikian himpunan penyelesaianya adalah { 0 , 2 ,



}



Sifat fungsi persamaan eksponen berbentuk A{af(x)}2 + B{af(x)} + C = 0 Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen A{af(x)}2 + B{af(x)} + C = 0 (a>0 dan a≠1, A,B, dan C bilangan real dan A≠0) dapat ditentukan dengan cara mengubah persamaan eksponen itu ke dalam persamaan kuadrat. Contoh soal tentukan himpunan penyelesaian dari



2.4. Pertidaksamaan Eksponen Definisi :Pertidaksamaan Eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung peubah x, dan tidak menutup kemungkingan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x. Bentuk Pertidaksamaan Eksponen Dari fungsi dan persamaan eksponen, kita sekarang akan mempelajari pertidaksamaan eksponen. Adapun bentuk pertidaksamaan eksponen yang kita pelajari adalah pertidaksamaan eksponen dengan bilangan pokok yang sama. af(x )… ag(x) Keterangan :



9 a adalah bilangan pokok, a>0 dan a≠1 tanda … dapat ditulis dengan salah satu tanda pertidaksamaan : , ≤, ≥. Penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen menggunakan sifat fungsi monoton naik dan sifat fungsi monoton turun pada fungsi-fungsi eksponen baku. Sifat Fungsi Monoton Naik (a>1) Jika af(x)≥ag(x), maka f(x)≥g(x) Jika af(x)≤ag(x), maka f(x)≤g(x) Sifat Fungsi Monoton Turun (0 0, a = 1, maka f(x) = 0 af(x) = ap, jika a > 0, a 1 dan af(x) = ap , maka f(x) = fungsi aljabar p, R / f(x)g(x) = 1, f(x), g(x) fungsi aljabar, dapat ditentukan dengan memperhatikan beberapa kemungkinan, yaitu: g(x) = 0 f(x) = 1 f(x) = -1, g(x) = genap af(x) = ag(x), jika a > 0, a 1 dan af(x) = ag(x), maka f(x) = g(x) /



11 h(x)f(x) = h(x)g(x), f(x), g(x) fungsi aljabar, dapat ditentukan dengan memperhatikan beberapa kemungkinan, yaitu : f(x) = g(x) h(x) = 1, karena 1 f(x) = 1 g(x) h(x) = -1 dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya bernilai ganjil h(x) = 0 dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya bernilai positif .



3.2 Saran Perlunya pemahaman konsep untuk memahami materi persamaan dan pertidaksamaan Eksponen yang dapat memudahkan dalam mengerjakan berbagai macam soal yang berkaitan dengan materi ini, selain itu juga perlunya latihanlatihan soal dari yang mudah hingga yang sukar.



DAFTAR PUSTAKA Kemdikbud. (2014). Matematika SMA/MA/SMK/SMAK Kelas X. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan. Sembiring, S. Marsito. (2014). Matematika SMA-MA/SMK-MAK wajib Kelas X. Jakarta: Yrama Widya.



Wilson Simangunsong, (2015). Matematika Dasar. Jakarta : Erlangga.