Makalah Fisika Statistik (Nofi DKK) [PDF]

Citation preview

STATISTIK FERMI - DIRAC Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Fisika Statistik



DISUSUN OLEH : KELOMPOK VII



DISUSUN OLEH : KELOMPOK VII 1. 06101011006 MUHAMMAD FURQON 2. 06101011020 EVELINA ASTRA PATRIOT 3. 06101011037 RENY



DOSEN PENGAMPUH: Drs. IMRON HUSAINI, M.Pd. LENI MARLINA, S.Pd., M.Si.



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SRIWIJAYA 2013



STATISTIK FERMI-DIRAC



KATA PENGANTAR Dengan menghaturkan puji dan syukur ke hadirat Allah Swt, penyusun telah dapat menyelesaikan makalah Fisika Modern yang berjudul “Statistik Fermi - Dirac” tepat waktu. Tujuan utama penyusunan makalah ini adalah selain untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Fisika Statistik, juga untuk membantu para pembaca khususnya mahasiswa yang nantinya akan menjadi calon pendidik agar lebih mengetahui tentang statistik untuk fungsi distribusi fermi-dirac. Dengan demikian, diharapkan para calon pendidik dapat melaksanakan tugasnya dengan sebaik mungkin untuk menyongsong masa depan peserta didiknya sebagai generasi muda yang akan menjadi motor pengerak pembangunan bangsa di masa yang akan datang. Dalam penyusunan makalah ini penyusun mengucapkan terima kasih kepada Dosen Pengasuh Mata Kuliah Fisika Modern, Bapak Drs. Imron Husaini, M.Pd., Ibu Leni Marlina, S.Pd., M.Si. dan kedua orangtua kami yang senantiasa memberikan dukungan dan nasihatnya, serta teman-teman Pendidikan Fisika Angkatan 2010 yang selalu memberikan dukungan serta semangatnya dalam penyusunan makalah ini. Meskipun telah berusaha dengan segenap kemampuan, namun penyusun menyadari bahwa makalah ini masih belum sempurna. Oleh karena itu, segala tegur sapa, kritik, serta saran yang diberikan pembaca akan penyusun terima dengan kelapangan hati guna perbaikan pada masa yang akan datang. Akhir kata, penyusun berharap semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi para pembaca.



Palembang, Mei 2013



Penyusun



Fisika Statistik



Page 2



STATISTIK FERMI-DIRAC



DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL................................................................................................1 KATA PENGANTAR.............................................................................................2 DAFTAR IS. ........................................................................................................ ...3 SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP)....................................................... ...4 BAB I PENDAHULUAN 1.1



Latar Belakang.............................................................................................5



1.2



Rumusan Masalah................................................................................. .......7



1.3



Tujuan Penulisan..........................................................................................8



1.4



Manfaat Penulisan........................................................................................ 8



BAB II ISI 2.1



Distribusi Fermi - Dirac...............................................................................9



2.2



Konfigurasi Fermion..................................................................................13



2.3



Energi Fermi...............................................................................................20



2.4



Temperatur Fermi dan Gas Fermi..............................................................23



2.5



Contoh Soal beserta Penyelesaiannya........................................................29



BAB III PENUTUP 3.1



Kesimpulan................................................................................................34



3.2



Saran...........................................................................................................34



DAFTAR PUSTAKA............................................................................................35



Fisika Statistik



Page 3



STATISTIK FERMI-DIRAC



SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) 1.



Identitas Mata Kuliah Mata Kuliah



: Fisika Statistik Kode Mata Kuliah/Sks



: GFI 10349/3 SKS Fakultas/Jurusan,Prodi



: FKIP/PMIPA,



Prodi Pendidikan Fisika Semester



: Genap



2012/2013 Tempat



: Indralaya



Dosen Pengasuh



: Drs. Imron Husaini, M.Pd./Leni Marlina, M.Si.



2. Tujuan Mata Kuliah



: Memberikan wawasan kepada mahasiswa untuk memahami tentang statistik fungsi fermi-dirac.



3.



Standar Kompetensi



: Memiliki wawasan dan pengetahuan tentang statistik fungsi fermi-dirac



4. Kompetensi Dasar



:



Memiliki wawasan dan pengetahuan tentang statistik fungsi fermi-dirac



5.



Indikator



: 1. Menjelaskan distribusi energi fermi. 2. Menjelaskan konsep temperatur Fermi dan gas elektron



6.



Materi Pembelajaran



:



7.



Kegiatan Pembelajaran :



Statistik Fermi Dirac Pertemuan Ke-7 (2 x 50 menit)



Kegiatan awal (10 menit) 1.



Salam pembuka, mengecek kehadiran mahasiswa.



2. Dosen melakukan tanya jawab mengenai tugas yang diberikan, kelompok yang presentasi harus duduk di depan. 3.



Dosen menyampaikan indikator yang harus dicapai mahasiswa.



Fisika Statistik



Page 4



STATISTIK FERMI-DIRAC



4.



Dosen memberikan arahan tentang tata tertib dalam bertanya dan disikusi



Kegiatan inti (75 menit) 5.



Presentasi Kelompok 6



6.



Penjelasan Ensambel Mikrokanonik



7.



Penjelasan Ensambel Kanonik



8.



Penjelasan Aplikasi Pada Suseptibilitas Bahan Magnet



9.



Energi Rata Rata Gas Ideal



Penutup (15 menit) 10. Dosen menyampaikan intisari dari isi materi ajar yang dipresentasikan oleh kelompok penyaji. 11. Dosen memberikan catatan perbaikan pada materi ajar dan untuk dijillid oleh kelompok penyaji.



Penilaian 12. Penilaian Presentasi Kelompok 14. 13. Penulisan Tugas (Lembar Kriteria Tugas). 14. Penilaian Kognitif (Tanya Jawab Antar Kelompok dan Antar Individu) 15. Penilaian Afektif (Lembar Pengamatan) 16. Penilaian Psikomotorik ( Lembar Pengamatan) 17. Alat Yang Digunakan : Laptop, Projektor, Papan Tulis, Alat Tulis 18. Sumber belajar



: Buku-Buku Fisika Universitas dan Fisika Statistik, Mahasiswa, Internet



19. Media



: Pemrograman Materi Ajar dengan Program Microsoft Power Point dan Microsoft Word



20. Penilaian



: Teknik Penyajian (Lembar Pengamatan) Penguasaan Materi (Lembar Pengamatan) Penilaian Kognitif (Tes Tertulis, Tes Lisan) Penilaian Afektif (Lembar Pengamatan) Penilaian Psikomotorik (Lembar Pengamatan)



Fisika Statistik



Page 5



STATISTIK FERMI-DIRAC



21. Sumber Pembelajaran



:



Internet/E-Book



Inderalaya, Mei 2013



Mengetahui, Kaprodi Pendidikan Fisika



Taufiq, S.Pd., M.Pd.



Fisika Statistik



Dosen Pengasuh I



Dosen Pengasuh II



Drs. Imron Husaini, M.Pd.



Leni Marlina, M.Si.



Page 6



STATISTIK FERMI-DIRAC



BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Fisika statistik adalah ilmu yang mempelajari tentang sifat atau perilaku sistem yang terdiri dari banyak partikel. Generalisasi perilaku partikel merupakan ciri pokok dari pendekatan statistik. Sampai saat ini pendekatan statistik cukup memadai untuk merepresentasikan keadaan sistem dan perilaku partikel penyusunnya. Oleh karena itu perlu disusun cara memahami keadaan suatu sistem dan perilaku partikel pada sistem partikel yang memenuhi hukum-hukum fisika klasik maupun fisika modern. Pada bagian awal dalam kuliah ini menerangkan tentang dasar-dasar statistik dan fungsi distribusi partikel sebagai pengetahuan dasar dalam memahami penerapan statistik pada sistem partikel. Sistem yang tersusun oleh partikel- partikel tidak identik (terbedakan) dan mematuhi hukum-hukum fisika klasik dapat didekati dengan statistik klasik Maxwell-Boltzmann. Sedangkan pada sistem yang tersusun oleh partikel-partikel identik (tidak terbedakan), hukum- hukum fisika klasik tidak cukup memadai untuk merepresentasikan keadaan sistem dan hanya dapat diterangkan dengan hukum-hukum fisika kuantum. Sistem semacam ini dapat didekati dengan statistik modern, yaitu statistik Fermi-Dirac dan Bose-Einstein. Statistik Fermi-Dirac sangat tepat untuk menerangkan perilaku partikel-partikel identik yang memenuhi larangan Pauli, sedangkan statistik BoseEinstein sangat tepat untuk menerangkan perilaku partikel-partikel identik yang tidak memenuhi larangan Pauli. Fisika Statistik ini adalah mata kuliah wajib program studi pendidikan fisika. Materi yang akan disajikan mengacu pada kurikulum dan pengalaman mengajar fisika statistik. Topik-topik yang disajikan dalam pembelajaran disesuaikan dengan kemampuan hamasiswa dan kurikulum. Materi fisika yang akan disajikan menekankan pada pemahaman konsep dasar dan pengembangannya. Disamping itu akan dibahas juga cara menyajikan materi disertai dengan terapannya dalam kehidupan sehari-hari, terutama pada materi-materi yang dianggap sulit untuk diajarkan kepada mahasiswa. Mengingat begitu pentingnya Fisika Statistik bagi mahasiswa FKIP Fisika, maka mahasiswa diharapkan dapat mengetahui dan memahami materi ajar Fisika Statistik yang meliputi Pengantar Metode Statstik, Karakteristik Makroskopik dan Kesetimbangan, Deskripsi Statistik Sistem Partikel, Entropi dan Temperatur,



Fisika Statistik



Page 7



STATISTIK FERMI-DIRAC



Ensambel dan Sistem Interaktif, Statistik Maxwell-Boltzmann, Aplikasi Statistik Maxwell-Boltzmann, Statistik Bose-Einstein, Aplikasi Statistik Bose-Einstein, Statistik Fermi-Dirac, serta Aplikasi Statistik Fermi-Dirac. Dalam hal ini akan membahas mengenai Ensambel dan Sistem Interaktif yang terdiri dari Ensambel Mikrokanonik, Ensambel Kanonik, Aplikasi pada Suseptibilitas Bahan Magnet dan Energi Rata-Rata Gas Ideal. 1.2 Rumusan Masalah Beberapa rumusan masalah dalam makalah ini diantaranya: 1) Apa definisi Statistik Fermi-Dirac? 2) Apa definisi tentang energi Fermi ? 3) Bagaimanakah perumusan temperatur Fermi dan gas elektron? 1.3 Tujuan Penulisan Adapun tujuan dalam penyusunan makalah diantaranya: 1) Penulis dapat menjelaskan tentang statistik Fermi-Dirac 2) Penulis dapat menjelaskan tantang energi Fermi 3) Penulis dapat menjelaskan perumusan temperatur Fermi dan gas elektron 1.4 Manfaat Penulisan Adapun manfaat penulisan makalah ini adalah sebagai berikut: 1) Manfaat untuk mahasiswa Penulis melakukan penulisan makalah ini diharapkan dapat bermanfaat bagi para mahasiswa, diantaranya dapat dijadikan sebagai salah satu solusi yang bisa menjembatani permasalahan yang dialami mahasiswa mengenai statistik distribusi Fermi - Dirac sehingga nantinya dapat mengurangi kesalahpahaman dalam penafsiran materi Fisika Statistik. 2) Manfaat untuk penulis Manfaat untuk penulis yaitu memperluas wawasan dan pengetahuan tentang Fisika Statistik, terutama statistik distribusi fungsi Fermi-Dirac serta sebagai bahan acuan dalam pembuatan makalah selanjutnya. 3) Manfaat untuk penulis selanjutnya Manfaat penulisan makalah ini untuk penulis selanjutnya adalah dapat digunakan sebagai contoh dalam pembuatan makalah yang akan datang.



Fisika Statistik



Page 8



STATISTIK FERMI-DIRAC



BAB II ISI 2.1



DISTRIBUSI FERMI – DIRAC Distribusi fermi-Dirac ini adalah distribusi yang mematuhi asas larangan pauli seperti partikel-partikel berspin pecahan setengah (1/2, 3/2, ....) contohnya elektron atau nukleon, yang disebut dengan fermion, dan fungsi distribusi yang berlaku bagi sistem fermion ini adalah distribusi Fermi-Dirac : 1



E  



f FD



Ae



(1)



E / kT



1



untuk distribusi Fermi-Dirac, A sangat bergantung pada T, dan ketergantungannya



ini



biasanya



menghampiri bentuk eksponensial



sehingga dapat ditulis sebagai berikut : A  e



 E F / kT



(2)



dengan demikian, fungsi distribusi Fermi-Dirac menjadi 1



E  



f FD



e



( E  E F ) / kT



(3) 1



EF disebut energi Fermi. (Walaupun energi Fermi sendiri bergantung pada suhu, ketergantungannya cukup lemah sehingga E F dapat kita perlakukan sebagai sebuah tetapan). Marilah kita lihat secara kualitatif perbedaan antara



f BE



dan



f FD



pada suhu rendah. Untuk distribusi Bose-Einstein, pada limit T rendah, dengan menganggap sementara A = 1, faktor eksponensial menjadi besar untuk E yang besar; karena itu,



f BE  0



untuk keadaan dengan energi



yang besar. Satu-satunya tingkat energi yang memiliki peluang besar untuk ditempati adalah keadaan yang memiliki E



 0



; karena faktor



eksponensial menghampiri 1, sehingga penyebut f menjadi sangat kecil, dan dengan demikian



f BE  



. Jadi, bila T kecil, semua partikel dalam



sistem berebut menempati keadaan energi yang terendah. Efek ini dikenal Fisika Statistik



Page 9



STATISTIK FERMI-DIRAC



sebagai “pengembunan” (condensation). Kelak akan kita lihat bagaimana efek ini memberikan akibat-akibat tidak terduga yang cukup menarik perhatian. Efek “pengembunan” ini tidak mungkin terjadi pada sistem fermion, sepeTrt=i0 sistem elektron, karena sebagaimana telah kita ketahui, elektron-elektron dalam



sebuah atom, misalnya tidak semuanya



menempati keadaan energi terendah, berapapun rendahnya suhu. Marilah kita lihat bagaimana distribusi Fermi-Dirac mencegah terjadinya hal ini. Faktor eksponensial dalam penyebut f FD adalah e ( E  E ) / kT . Untuk E > EF, F



ceritanya sangat berbeda, karena E – EF negatif, sehingga untuk T yang kecil, faktor



e



( E  E F ) / kT



menuju nol, dan



f FD  1 .



Dengan demikian,



probabilitas populasi hanyalah satu fermion per satu keadaan kuantum, sesuai dengan yang disyaratkan oleh asas Pauli. Jadi, pada suhu yang rendah sekalipun, sistem fermion tidak “mengembun” ke tingkat energi yang terendah. Pada



EF



E



0



1



fFD Gambar ... Pengisian berbagai tingkat energi elektron menurut distribusi Fermi-Dirac pada T = 0



Misalkan suatu assembly tertutup dan mengandung sejumlah fermion yang tak saling berinteraksi, dengan energi total



E



N



. Seperti pada



pembahasan statistik sebelumnya, konfigurasi assembly dapat dinyatakan dalam bentuk distribusi sistem pada sejumlah pita energi. Tiap pita



Fisika Statistik



Page 10



STATISTIK FERMI-DIRAC



mengandung sejumlah interval  s dan  s



 ds



g s keadaan



dengan energi yang berada dalam



. Konfigurasi assembly ditandai oleh nilai



ns



yang



menyatakan jumlah sistem yang dapat ditempatkan pada berbagai nilai



s



.



Karena assemblynya tertutup, maka jumlah total sistem dan energi total haruslah memenuhi syarat











ns  N



s



n s s  E



s



Seperti halnya dengan boson, pertukaran dua fermion tidak akan menghasilkan susunan yang baru karena partikelnya identik (tak dapat dibedakan). Selanjutnya jira terdapat w s cara menyusun n s sistem diantara pita energi



s



yang memiliki



g s keadaan,



maka jumlah total konfigurasi



adalah W 







ws



s



yang tentu saja



W



tak lain adalah robot konfigurasi.



Oleh karena fermion memenuhi larangan Pauli, maka jumlah yang dapat ditempatkan pada suatu keadaan hanya dapat bernilai 0 atau 1. Jika sejumlah



gs



 ns



ns



sistem telah ditempatkan dalam



 dari



g s keadaan



g s keadaan,



maka terdapat



yang masih kosong. Maka banyaknya cara



mengisi adalah ws 



g s! n !g  n s



Untuk



menggambarkan



proses



s



! s



pengisian



ini,



gambar



berikut



memperlihatkan 3 sistem (digambarkan dengan titik) pada 5 keadaan (digambarkan dengan kotak). Hasil menunjukkan bahwa terdapat 10 cara, nilai ini sesuai jika kita menggunakan rumus 5.3 Bobot konfigurasi secara keseluruhan diperoleh dengan mengalikan masing-masing jumlah susunan yang mungkin, yakni Fisika Statistik



Page 11



STATISTIK FERMI-DIRAC W 



 s



Fisika Statistik



gs ! ns !  g s  ns !



Page 12



STATISTIK FERMI-DIRAC



Oleh karena



gs



dan



ns



cukup besar, maka kita dapat menggunakan pendekatan



Stirling



lo g W 



 lo g s



gs ! ns !  g s  ns !



=



g s lo g g s  n s lo g n s   g s  n s  lo g



gs



 ns







Mengikuti metode sebelumnya, syarat yang harus dipenuhi adalah   lo g W



  s



      s d n s  0



ns











Nilai yang ada dalam tanda kurung haruslah bernilai nol untuk setiap harga



s



manapun  lo g W ns



    s  0



Dari persamaan 5.5



l o g W ns



 g s n s   lo g   ns  



 g n s lo g  s ns  gs ns



Nilai



ns



      s  0 



 e x p     s   1



yang bersesuaian dengan konfigurasi yang memiliki peluang terbesar ns 



gs e x p     s   1



Persamaan di atas disebut distribusi Fermi-Dirac untuk assembly fermion.



Fisika Statistik



Page 13



STATISTIK FERMI-DIRAC



Bentuk



1 / e x p       s  



secara umum dikenal dengan nama fungsi



Fermi dan umumnya ditulis dalam bentuk f 



 



1 e x p      F



/



kT



1



Persamaan di atas diperoleh dengan melakukan substituís     F / kT



  1 / kT



dan



. F dalam persamaan di atas disebut energi Fermi. Jika rapat keadaan



dengan energi berada di antara







dan 



 d



, maka jumlah sistem yang berada



dalam interval energi tersebut adalah n    d   f    g    d 



2.2



KONFIGURASI FERMION Salah satu sifat yang dimiliki fermion adalah terpenuhinya prinsip ekslusi Pauli. Tidak boleh lebih dari satu fermion memiliki keadaan kuantum yang sama. Satu keadaan hanya boleh kosong atau hanya ditempati oleh satu fermion. Konsekuensi dari prinsip eksklusi Pauli adalah jumlah fermion harus lebih sedikit atau sama dengan jumlah keadaan. Ini berbeda dengan sistem klasik atau boson di mana tidak ada pembatasan jumlah partikel yang menempati keadaan tertentu. Berapa pun jumlah keadaan yang tersedia, maka keadaan tersebut dapat menampung partikel klasik maupun boson yang jumlahnya berapa pun. Untuk menurunkan fungsi distribusi Fermi-Dirac kita pun akan memulai dengan membagi keadaan-keadaan atas kelompok-kelopok sebagai berikut : Kelopok-1 mengandung g1 keadaan dengan energi rata-rata E1 Kelopok-2 mengandung g2 keadaan dengan energi rata-rata E2. . .



Fisika Statistik



Page 14



STATISTIK FERMI-DIRAC Kelopok-s mengandung gs keadaan dengan energi rata-rata Es



Fisika Statistik



Page 15



STATISTIK FERMI-DIRAC



. . . Kelopok-M mengandung gM keadaan dengan energi rata-rata Mg ME Jumlah sistem yang menempati masing-masing keadaan misalkan n1 sistem menempati keadaan-1 n2 sistem menempati keadaan-2 . . . ns sistem menempati keadaan-s . . . nM sistem menempati keadaan-M Karena satu keadaan maksimum menampung satu sistem maka harus terpenuhi n1



g1, n2



g2, … , ns



gs, nM



gM .



Selanjutnya kita akan menentukan berapa cara menyusun n1 sistem pada g1 keadaan,



n2 sistem pada g2 keadaan, …, nM sistem pada gM keadaan. Tinjau



kelompok-1. Di sini ada



keadaan dan menampung



sistem. Kembali kita



menganalogikan keadaan sebagai kursi dan sitem sebagai benda yang akan ditempatkan pada kursi-kursi tersebut, seperti diilustrasikan pada Gbr. 6.1.



Fisika Statistik



Page 16



STATISTIK FERMI-DIRAC



Gambar : Contoh



penyusunan fermion



analog dengan penyusunan kursi. Sebagian kursi



ditempeli benda (keadaan yang diisi fermion) dan sebagian kursi kosong (keadaan yang tidak ditempati fermion).



Untuk menentukan jumlah cara menempatkan benda pada kursi-kursi tersebut, kita tempelkan benda pada kursi-kursi tesebut. Pada satu kursi hanya boleh ditempelkan satu benda. Penempelan ini menjamin bahwa tidak boleh lebih dari satu benda berada pada satu lursi. Akibatnya kita dapatkan : Ada



buah kursi yang ditempeli benda



Ada



buah kursi yang kosong.



Kemudian kita melakukan permutasi semua kursi yang ada baik yang kosong maupun yang ditempeli benda, karena benda sudah menempel pada kursi maka permutasi tidak memungkinkan munculnya satu kursi yang menampung lebih dari satu benda. Jumlah kursi yang dipermutasi adalah menghasilkan jumlah permutasi sebanyak kursi kosong tidak terbedakan dan



buah



buah kursi yang ditempeli benda juga tidak



dapat dibedakan maka jumlah permutasi



Fisika Statistik



cara. tetapi, karena



kursi sehingga



buah kursi harus dibagi dengan



Page 17



STATISTIK FERMI-DIRAC



permutasi



buah kursi kosong, tidak terbedakan dan



buah kursi yang



ditempeli benda untuk mendapatkan penyusunan yang berbeda. Jadi, jumlah penyusunan yang berbeda hanyalah



(6.1) Dengan cara yang sama kita dapatkan jumlah cara penyusunan pada



sistem



keadaan adalah



(6.2) Begitu seterusnya. Akhirnya, jumlah total cara penyusunan secara bersama – sama



sistem pada



keadaan,



sistem pada



keadaan,…,



sistem pada



keadaan adalah x



x…x



Selanjutnya kita perlu menentukan berapa cara membawa



sistem dari luar



untuk didistribusikan ke dalam keadaan – keadaan di dalam assembli. Seperti yang kit bahas pada assembli boson, untuk partikel tak terbedakan jumlah cara tersebut adalah



. Akhirnya, jumlah cara penyusunan fermion untuk



konfigurasi di atas adalah



atau dalam notasi logaritma ( umlah total sistem dalam assembli dan energi total assembli masing – masing adalah



Fisika Statistik



Page 18



STATISTIK FERMI-DIRAC



dan



ntuk sistem terisolasi di mana tidak terjadi pertukaran partikel



maupun energi antara assembli dan lingkungan maka jumlah partikel selalu konstan dan energi total juga konstan. Dengan demikian bentuk diferensial dari N dan U adalah (



(



Konfigurasi Maksimum Konfigurasi memaksimalkan



dengan atau



probabilitas



maksimum



diperoleh



dengan



dengan memperhatikan konstrain pada persamaan



(6.5) dan (6.6). Sebelum ke arah itu kita coba sederhanakan



pada persamaan



(6.4)



Selanjutnya kita gunakan pendekatan Stirling untuk menyederhanakan faktorial, yaitu



Dengan demikian bentuk



dapat diaproksimasi sebagai berikut.



( Selanjutnya, ambil diferensial ke dua ruas persamaan (6.7)



Fisika Statistik



Page 19



STATISTIK FERMI-DIRAC



( Mari kita hitung satu per satu suku dalam persamaan (6.8) i. ii.



iii.



Dari hasil di atas maka bentuk



dapat ditulis dalam bentuk lebih sederhana



sebagai berikut.



( Konfigurasi dengan probabilitas maksimum diperoleh dengan mencari solusi untuk persamaan



, atau



( Agar persamaan (6.10) selalu nol untuk variasi



yang sembarang maka harus



terpenuhi



Fisika Statistik



Page 20



STATISTIK FERMI-DIRAC



yang memberikan ungkapan untuk



sebagai



( Berlaku juga pada fungsi distribusi fermion bahwa parameter



memenuhi



. Dengan parameter ini maka kita dapat menulis persamaan (6.11) secara lebih eksplisit sebagai



( Persamaan (6.12) merupakan bentuk umum fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk fermion.



Tabel 1 Fungsi Distribusi Statistik Tipe Distribusi



Sifat-sifat



Maxwell-



Partikel identik



Boltzmann



yang



Fungsi F MB  E   A



E



contoh Semua Gas



kT



dapat



dibedakan Bose-Einstein



Partikel identik yang tak dapat



He cair (spin 0)



1



F BE ( E ) 



E



e



kT



1



Foton (spin 1)



dibedakan berspin bulat Fermi-Dirac



Partikel identik yang tak dapat dibedakan



Elektron (spin ½)



1



F FD 



 E  E F 



e



kT



1



Proton nertron



berspin tengahan.



Fisika Statistik



Page 21



STATISTIK FERMI-DIRAC



2.3



ENERGI FERMI Energi Fermi adalah tingkat energi tertinggi yang ditempati elektron pada suhu T = 0K (pada keadaan dasar). Energi Fermi merupakan suatu kuantitas yang sangat penting dalam sistem fermion (elektron adalah fermion). Fermion adalah sistem partikel dengan fungsi gelombang yang saling bertumpangan, yang memiliki spin setengah bilangan bulat-ganjil (



..........). Fermion memenuhi prinsip ekslusi Pauli, dan fungsi



gelombang sistem fermion berubah tanda terhadap pertukaran setiap pasangan partikel. Fungsi gelombang semacam ini disebut antisimetrik. Hanya satu fermion yang diperbolehkan terdapat pada keadaan kuantum tertentu dari sistem tersebut. a. Sistem dua partikel yang terbedakan Terdapat dua partikel, partikel 1 dan 2, yang berada dalam keadaan a dan keadaan b. Jika kedua partikel tersebut terbedakan, maka terdapat dua kemungkinan terisinya keadaan yang diperoleh oleh fungsi gelombang :



Untuk fermion, kemungkinan untuk mendapatkan kedua partikel tersebut dalam keadaan yang sama (misal pada keadaan a) adalah:



Jadi, dalam sistem fermion, kehadiran partikel dalam keadaan kuantum tertentu dapat mencegah partikel lain untuk berada dalam keadaan itu ( hal ini terjadi karena untuk fermion berlaku prinsip ekslusi Pauli).



b. Sistem dua partikel tak terbedakan Jika terdapat partikel yang tidak dapat dibedakan, maka posisi masing-



Fisika Statistik



Page 22



STATISTIK FERMI-DIRAC



masing partikel tidak dapat ditentukan, dan fungsi gelombangnya harus merupakan kombinasi dari



dan



, untuk mencerminkan



peluang yang sama.



Untuk fermion, fungsi gelombang anti simetriknya adalah :



Faktor



diperlukan untuk menormalisasi fungsi gelombang tersebut.



Penentuan Besarnya Energi Fermi



Bayangkan sebuah elektron bebas bergerak dalam sebuah sumur potensial (daerah yang membatasi gerak elektron, dimana daerah tersebut memiliki energi potensial tak hingga



), yang lebarnya L dan



. Asumsikan bahwa pada daerah 0 – L energi



kedalamannya



potensialnya sama dengan 0. Jika partikel tidak memiliki energi potensial, maka persamaan eigen valuenya ( P.S ) adalah: 



Untuk 1 dimensi Besarnya harga



adalah



P.S :



=



dimana pada elektron bebas: V(x) = 0 =



...................................(1)



Dan solusinya adalah : Asin kx + Bcos kx



Fisika Statistik



Page 23



STATISTIK FERMI-DIRAC



Agar



=



= 0 maka besarnya x haruslah sama



dengan 0. Untuk x = 0, maka : = Asin k0 + Bcos k0 s dan cos 0 = 1, agar



= 0 maka B = 0



...............................................(2) Jika persamaan (2) disubtitusikan ke dalam persamaan (1), maka didapat: = bila k = bila k = Karena



=



= 0, maka : →



A sin kL



→ kL



sin kL k=



..............k(1)



n



..........................................................k(2)



Bila persamaan k(1) disubtitusikan ke dalam persamaan k(2), maka:



=



→L



a. Untuk harga n terkecil n = 1→ L = Panjang gelombang yang diperoleh kecil (minimum) b. Untuk harga n terbesar n = 3→ L = panjang gelombang yang diperoleh besar (maksimum)



Fisika Statistik



Page 24



STATISTIK FERMI-DIRAC



maka jumlah tingkat energi yang terisi ”penuh” oleh elektron



Bila pada n =



dimana N adalah jumlah elektron dan angka 2 menunjukan spin



elektron (spin up dan spin down), sebesar :



Energi tersebut dinamakan energi Fermi, yaitu tingkat energi tertinggi yang ditempati elektron pada suhu T = 0K (pada keadaan dasar, yang elektronnya terisi penuh). Jika suhu T = 0K , maka: 1.



Elektron akan mampu bertransisi (loncat) ke tingkat energi yang lebih tinggi.



2. Sedangkan elektron yang lainnya, pada waktu yang bersamaan, tidak dapat bertransisi ke tingkat energi yang lebih tinggi, hal ini terjadi dikarenakan berlakunya prinsip ekslusi Pauli. Dari persamaan-persamaan diatas, dapat disimpulkan bahwa semakin banyak gelombang yang terbentuk, maka akan semakin tinggi tingkat energinya.



2.4



TEMPERATUR FERMI DAN GAS FERMI-DIRAC Sebelum membahas lebih jauh perilaku gas yang dibentuk oleh fermion, kita akan menéela fungís Fermi dengan fokus pada energi Fermi F



. Fungsi Fermi pada temperatur mutlak nol ditunjukkan pada gambar berikut. Ketika temperatur mutlak T  0, suku    F  0  / k T memiliki dua nilai yang mungkin. (i) Untuk    F  0  ,   (ii) Untuk 



  F  0  / k T  



dan



  F  0  ,     F  0  / k T   



Maka fungsi Fermi dapat memiliki dua harga yakni untuk    F  0  ,



Fisika Statistik



f 



 



1 e







1



0



dan



Page 25



STATISTIK FERMI-DIRAC



untuk 



  F 0  , f 



 



1 e







1



1



Hal ini menunjukkan bahwa pada temperatur mutlak nol, peluang bahwa keadaan dengan energi    F  0  terisi sama dengan satu, dengan kata lain semua keadaan terisi. Sebaliknya bahwa semua keadaan dengan energi    F  0  kosong. Bentuk fungsi Fermi untuk temperatur mutlak nol ditunjukkan pada gambar berikut. f 



 1







0



Sifat fungsi



 F  0  f 



 dapat dijelaskan secara sederhana sebagai berikut. Pada



temperatur mutlak nol, fermion menduduki keadaan dengan energi yang paling rendah.



Oleh karena hanya satu fermion yang dapat menduduki satu keadaan,



maka keadaan dengan energi paling rendah semuanya terisi sampai semua fermion berada dalam tingkatan energi tersebut.



Singkatnya dapat dikatakan



bahwa tingkatan energi Fermi adalah tingkatan energi tertinggi yang diduduki oleh fermion pada temperatur mutlak nol, keadaan dengan tingkatan energi di atasnya tidak terisi. Nilai   0  dapat dicari dari persamaan 5.11 dengan menggunakan syarat F



bahwa 



 s



Fisika Statistik



ns 



 n   d 



 N



0



Page 26



STATISTIK FERMI-DIRAC



Oleh karena bentuk fungsi Fermi pada



T 0



n 



K,



  g    untuk



   ( 0 ) , F



ketika



n    0



untuk 



 F(0 )



syarat di atas dapat ditulis menjadi



EF ( 0 )



 n    d 



 N



0



Karena fermion merupakan sistem kuantum maka bentuk fungsi rapat keadaan g    dapat diambil dari persamaan 4.12 oleh karena momentum sudut spin fermion memungkinkan lebih dari satu keadaan untuk setiap tingkatan energi. Dengan penerapan yang lebih luas ini, misalnya dalam kasus elektron, kita dapat memandang bahwa bilangan kuantum spin magnetiknya dapat berharga 21 dan 



1 2



. Jadi memungkinkan dua keadaan untuk tiap tingkatan energi



g 



dalam sebuah ruang



V







3 2



 2m   V  4  2    h 



1 2



. Persamaan 5.13b menjadi F ( 0 )







3



 2 m 2 1 2 V  4   2   d   N  h



0



h



 F 0  



2











2/3



 3N



  2 m  8  V 



Secara sederhana kita dapat menghubungkan besaran di atas dengan energi termal kT dengan mendefenisikan temperatur Fermi T F melalui hubungan k TF   F  0 



Dalam tabel berikut disajikan nilai  F  0  dan



TF



untuk berbagai gas Fermi-Dirac



; gas fermion yang dibentuk oleh atom isotop Helium



3 2



H



pada tekanan standar



dan juga gas elektron dalam logam alkali lithium dan natrium



Fisika Statistik



Page 27



STATISTIK FERMI-DIRAC



Tabel 1. Energi dan temperatur Fermi  F  0   eV



Gas







T( K )



0,94 x 10-3



10



Gas elektron dlm lithium



4,7



54.000



Gas elektron dalam natrium



2.1



24.000



Helium



Untuk gas molekuler yang mengandung fermion, temperatur Ferminya relatif rendah dibandingkan temperatur kamar normal.



GAS ELEKTRON Dari tabel 1 nampak bahwa untuk gas elektron temperatur Ferminya relatif tinggi, diperkirakan bahwa kenaikan temperatur



dari temperatur mutlak ke nilai di



T



sekitar temperatur kamar hanya akan berpengaruh pada elektron-elektron dengan energi yang dekat dengan energi Fermi. Hal ini ditunjukkan pada gambar berikut F dan nilai fungsi Fermi diberikan untuk berbagai dengan asumís bahwa k T harga khusus (yang lebih mudah dihitung).     F  kT







  F



    F  kT



Fisika Statistik







f 



 



1 e



f 



 



f 



 



1



1 1



e 1 0



1 e1



0,73



0,5



0,27



Page 28



STATISTIK FERMI-DIRAC



f(ε)



ε εF - kT εF εF+ kT



Distribusi jumlah elektron ke seluruh tingkatan energi merupakan perkalian antara fungsi distribusi dengan rapat keadaan



n    d   f    g    d 



Bentuk grafik



n 



n 



 dapat dilihat pada gambar berikut.



 g(ε ~ ε1/2



T=0



T>0 



Sifat-sifat gas elektron pada temperatur mutlak nol dapat dihitung dari distribusi integral dengan mengambil batas integral dari 0 sampai  F  0  . Contoh energi rata-rata elektron pada T  0 adalah : 



 



  n    d  0 



 n    d  0



sehingga



f 







1



untuk 



  F



Fisika Statistik



dan



f    0



untuk    , F



Page 29



STATISTIK FERMI-DIRAC



F (0 )



  0  



 g    d 



0 



3 







 g    d 



 0 



F



5



0



nilai



g    diambil dari persamaan



5.14



Untuk mencari bagaimana perilaku gas elektron apabila temperatur mutlak dinaikkan (di atas nol), maka pertama perlu dicari energi Fermi sebagai fungsi temperatur. Dengan menggunakan persamaan 5.11 serta syarat kekekalan 



 n   d 



 N



0 



 f   g   d 



Maka



 N



0



Oleh karena itu kita hanya perlu mencari nilai energi Fermi sebagai batas atas TF . integral. Pendekatan yang dapat diambil adalah T Tingkatan energi Fermi sebagai fungsi temperatur dapat dinyatakan



dengan







F   F  0   1 



Untuk



TF



3 0 .0 0 0 K



, nilai







2



2  T  



   1 2  T F 



2



 T    1 2  T F  2







pada temperatur kamar kira-kira sama



dengan 8 x 10-5. Energi rata-rata elektron pada temperatur



T



diperoleh dengan menghitung







nilai integral   f    g    d  untuk memperoleh 0



3



2



 T  



2







    F  0       5  T F  4   



Panas jenis pada volume constan satu mol gas elektron diperoleh dari Fisika Statistik



Page 30



STATISTIK FERMI-DIRAC



   N A  Cv 



Dengan temperatur Fermi



TF



 



T



2



2



RT TF



pada temperatur kamar nilai panas jenis



3 0 .0 0 0 K



Kira-kira 0,05 R.



2.5



CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANNYA



1. Hitunglah energi Fermi EF dari logam Natrium Pemecahan : Karena setiap atom natrium menyumbangkan satu elektron valensi, maka jumlah elektron per satuan volume, N/V, sama dengan jumlah atom natrium per volume. Nilai ini dapat ditentukan dari kerapatan atom natrium dan massa atom natrium : N







V



Jumlah atom per volume



6 , 02  10  0 ,971 g / cm



23







N



A



M



atom / mol



3



23 , 0 g / mol  2 ,54  10



22



 2 ,54  10



28



E F 



h



2



cm m



3



3



2



 3 N   



3



2 m  8  V  



 hc2  2 mc



2



 3   2 ,54  10  8 



2



28



m



3



3   



2







 1240



eV .nm







2 0 ,511  10 eV 6







 2 , 09  10 



18



m



2



10



9



 m



nm



2



  



 3 ,15 eV



Fisika Statistik



Page 31



STATISTIK FERMI-DIRAC



2. Suatu metal mempunyai energi Fermi E F = 4,0 eV dan suhu T = 400 K. Hitung cacah elektron bebas persatuan energi n(E) untuk (a) E = E F + kT (b) E = EF – kT Pemecahan : E  E F  nE F



Untuk



Dari persamaan







C



 C  2 n  E F E F



1 / 2



1/ 2



EF



2



CE



n  E dE  dE e



1/ 2



 E  E F  / kT



1



1



  2  E n E F E    F  2



n  E  



e



 E  E F  / kT







1



a) sehingga untuk E = EF + kT











n E F  kT



dengan



2  E











kT / E F



e







 kT  1,38  10



F



 kT  E F  / kT



J /K







n E



F



EF



T 23



1 2



1



 400 K 1,6  10



=  19



J / eV







400 1



K



 0 ,034 eV



E F  4 ,0 eV n  4 ,034



eV



n  4 ,034 eV



  



2  E F k T / E



 n  E F  1



2



F



e1



0 ,54 n  4 ,0 eV







b) untuk E = EF – kT n  E F  kT











2 ( E F k T ) / E e



n 3 ,966 eV



  2 3 ,966



n 3 ,966 eV



  1,5 n  4 , 0



1







1



F



2



n  EF



1



/ 4 , 0  2 n  4 , 0 eV



3. 15 molekul helium



1



eV



 







masing-masing menpunyai spin total



dan berada



pada bidang potensial L x L. Tentukan Fisika Statistik



Page 32



STATISTIK FERMI-DIRAC a. energi Fermi b. energi total system Penyelesaian :



Fisika Statistik



Page 33



STATISTIK FERMI-DIRAC



a.



merupakan contoh fermion karena menmpunyai spin tengahan, atau



. Tingkat energi diberikan oleh pers.(2.14) untuk Lz = Ly = L



Setiap titik (m,n) ditempati dua molekul yaknin dengan spin up dan spindown. 15 berturut menempati dan berenergi sebagai berikut : N0 1 2 3 4 5 6 7 8



m 1 1 2 2 1 3 2 3



n 1 2 1 2 3 1 3 2



E/E0 2 5 5 8 10 10 13 13



Dengan demikian energi Fermi yakni energi tertinggi adalah 13E 0



Salah satu dari keadaan no.7 dan no.8 ditempati satu molekul lainnya dua.



dan



b. Energi total system 15 E = 2(2+5+5+8+10+10+13+13)E0 + 3 x 13 E0 = 119 E0 4.



4,2 x 1021 elektron berada di dalam kotak bervolume 1 cm3. Hitung : a. Besar vector gelombang Fermi b. Energi Fermi system c. Energi dan vector gelombang Fermi jika electron diganti proton. Penyelesaian : a. Dari pers.(6.52) diperoleh



Maka



Fisika Statistik



Page 34



STATISTIK FERMI-DIRAC



PF = Dan panjang vector gelombang Fermi



b. Energi Fermi



c. Bila electron diganti proton massa proton kira-kira 1836 massa electron mp = 1836 me



5. System gas electron bebas di dalam logam pad atemperatur nol mempunyai kerapatan N = 1022 elektron/cm3. Tentukan potensial kimia dari electron konduksi di dalam logam tersebut. Penyelesain : Dari rapat keadaan



Maka



6.



Bintang neutron Reaksi di dalam bintang neutron adalah p + e + , MeV→n Hitung :



Fisika Statistik



Page 35



STATISTIK FERMI-DIRAC



a. Kerapatan minimum electron bebas b. Kerapatan minimum bintang neutron agar reaksi di atas dapat berlangsung Penyelesaian : a. Menggunakan per.(6.7)



Reaksi berlangsung jika



b. Rapat massa minimum bintang neutron



Fisika Statistik



Page 36



STATISTIK FERMI-DIRAC



BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan Berdasarkan uraian-uraian yang telah dijabarkan oleh penulis di atas dapat disimpulkan bahwa: 1. Elektron atau fermion dalam sebuah atom memiliki tingkatantingkatan energi yang dapat diserap atau dipancarkan. Elektron ini memenuhi prinsip eksklusi Pauli, yang menyebutkan bahwa tidak ada elektron yang memiliki bilangan kuantum yang sama, kehadiran partikel dalam keadaan kuantum tertentu dapat mencegah partikel lain untuk berada dalam keadaan itu. Peluang elektron untuk menempati tingkat energi tertentu (loncat ke tingkat energi tertentu) dapat dinyatakan melalu distribusi Fermi-Diract, yang memiliki persamaan :



2. Temperatur Fermi pada T = 0 K adalah :



3. Energi Fermi adalah tingkat energi tertinggi yang ditempati elektron pada suhu T = 0K (pada keadaan dasar). Energi Fermi merupakan suatu kuantitas yang sangat penting dalam sistem fermion (elektron adalah fermion). 3.2 Saran Setelah membahas dan mengkaji tentang statistik Fermi-Dirac ini adapun beberapa saran yang ingin disampaikan penulis dari pembahasan materi ini yaitu dengan untuk bisa memahami perkembangan statistik Fermi- Dirac maka kita harus menggunakan banyak referensi. Sehingga, semakin banyak referensi yang kita baca, maka pemahaman mengenai materi tersebut akan semakin bertambah.



Fisika Statistik



Page 37



STATISTIK FERMI-DIRAC



DAFTAR PUSTAKA Abdullah, Mikrajuddin.2009.Pengantar Fisika Statistik. Bandung : Institut Teknologi Bandung. Purwanto, Agus. 2007. Fisika Statistik. Yogyakarta: Gaya Media. Sudiarta, I Wayan. 2012. Diktat Kuliah Fisika Statistik. Mataram: Universitas Mataram.



Fisika Statistik



Page 38