Makalah Interpolasi Metode Numerik [PDF]

Citation preview

MAKALAH MATEMATIKA Interpolasi Metode Numerik dan Penerapannya dalam Ilmu Teknik Sipil



Disusun Oleh: 1.



Bustomi



(11315418)



2.



Dinda Ayu Larasati



(11315948)



3.



Suwardi



(16315734)



JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN UNIVERSITAS GUNADARMA 2017



1



KATA PENGANTAR



Puji syukur kehadirat Allah Yang Maha Esa, yang telah melimpahkan rahmat, taufik serta hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan Makalah Matematika 4 “Interpolasi Metode Numerik dan Penerapannya dalam Ilmu Teknik Sipil”. Sholawat dan salam selayaknya tetap terlimpah kepada Nabi Muhammad SAW. Selain meningkatkan dan mengembangkan wawasan tentang interpolasi metode numerik ini penulis susun sebagai bentuk rasa tanggung jawab sebagai seorang mahasiswa dalam memenuhi tugas kelompok matematika 4. Penyusun mengucapkan terimakasih kepada Bapak Dr. Edi Sukirman sebagai dosen mata kuliah Matematika 4, yang telah membantu penyelesaian makalah ini. Semoga makalah ini bermanfaat bagi penyusun khususnya dan bagi pembaca pada umumnya. Penyusun berharap makalah ini dapat digunakan sebagai bahan acuan referensi bagi para pembaca untuk lebih memahami interpolasi dan penerapannya dalam bidang teknik sipil.



Depok, 11 Mei 2017 Penyusun



Kelompok 2



i



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR ............................................................................................ i DAFTAR ISI .......................................................................................................... ii BAB 1 PENDAHULUAN ..................................................................................... 1 1.1



Latar Belakang ......................................................................................... 1



1.2



Permasalahan ............................................................................................ 2



1.3



Tujuan Penulisan ...................................................................................... 2



BAB 2 PEMBAHASAN ........................................................................................ 3 2.1



Pengertian Interpolasi ............................................................................... 3



2.2



Jenis-Jenis Interpolasi ............................................................................... 3



2.2.1



Interpolasi Linier ............................................................................... 3



2.2.2



Interpolasi Kuadratik ......................................................................... 6



2.2.3



Interpolasi Lagrange.......................................................................... 9



2.2.4



Interpolasi Newton .......................................................................... 10



2.3



Penerapan Interpolasi pada Teknik Sipil ................................................ 11



BAB 3 PENUTUP................................................................................................ 15 3.1



Kesimpulan ............................................................................................. 15



3.2



Saran ....................................................................................................... 18



DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... iii



ii



BAB 1 PENDAHULUAN



1.1



Latar Belakang Permasalahan yang banyak berhubungan dengan pola suatu data adalah



fungsi yang melibatkan data. Sebagai contoh bila diketahui data-data penjualan suatu produk, akan muncul pertanyaan adakah yang fungsi yang menyatakanbahwa penjualan merupakan fungsi dari waktu. Contoh kenyatan yang menunjukkan bahwa penjualan dipengaruhi oleh waktu ialah “penjualan es campur pada siang hari akan lebih baik dari pada penjualan di malam hari. Kenyataan tersebut dapat di katakana bahwa penjualan merupakan fungsi dari waktu . Persoalannya adalah bagaiman menyajikan fungsi tersebut. Ini adalah persoalan yang sangat tidak mudah untuk di pecahkan , karena betapa idealnya bila di ketahui suatu fungsi yang bias menyatakan penjualan adalah fungsi waktu atau di tuliskan dengan J = F (t ). Agar dapat menyajikan fungsi yang dapat di lakukan adalah menggunakan fungsi pendekatan , yaitu fungsi yang paling sesuai untuk menyatakan suatu data berdasarkan model fungsi tertentu seperti model fungsi linear , fungsi eksponensial , dan fungsi polinomeal . Cara pendekatan semacam ini di namakan dengan regeresi. Cara pendekatan yang lain bukan untuk menyatakan fungsi tetapi untuk mencari nilai – nilai antara titik – titik yang di ketahui sehingga pola fungsinya semakin jelas terlihat atau membentuk suatu kurva .Cara pendekatan ini di namakan dengan interpolasi .Interpolasi di gunakan untuk menentukan titik – titik yang lain berdasarkan fungsi pendekatan yang di tentukan sebelumnya. Pengertian interpolasi pada matematika dasar adalah perkiraan suatu nilai tengah dari suatu set nilai yang diketahui. Interpolasi dengan pengertian yang lebih luas merupakan upaya mendefinisikan suatu fungsi dekatan suatu fungsi analitik yang tidak diketahui atau pengganti fungsi rumit yang tak mungkin diperoleh persamaan analitiknya. Masalah umum interpolasi adalah menjabarkan data untuk 1



fungsi dekatan, dan salah satu metode penyelesaiannya dinamakan metoda prinsip substitusi. Mata kuliah metode numerik ada materi Interpolasi linear dan kuadratik. Materi ini dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Interpolasi di gunakan untuk menentukan titik – titik yang lain berdasarkan fungsi pendekatan yang di tentukan sebelumnya.



1.2



Permasalahan Berdasarkan latar belakang tersebut kami akan membahas beberapa pokok



permasalahan, adapun permasalahan yang akan kami bahas adalah sebagai berikut: 1.



Apa yang dimaksud Interpolasi pada metode numerik ?



2.



Apa jenis-jenis Interpolasi pada metode numerik dan bagaimana contoh perhitungannya ?



3.



1.3



Bagaimana penerapan Interpolasi metode numerik pada teknik sipil ?



Tujuan Penulisan Adapun tujuan penulisan makalah penerapan interpolasi metode numerik



pada teknik sipil adalah sebagai berikut : 1. Untuk mengetahui interpolasi metode numerik 2. Untuk memahami jenis-jenis interpolasi metode numerik 3. Untuk mengetahui penerapan interpolasi metode numerik pada teknik sipil



2



BAB 2 PEMBAHASAN



2.1



Pengertian Interpolasi Interpolasi adalah suatu metode atau fungsi matematika yang



mengestimasikan/prediksi nilai pada lokasi-lokasi yang datanya tidak tersedia atau tidak diperoleh pada sampel data yang diambil. Interpolasi spasial mengasumsikan bahwa atribut data bersifat kontinu di dalam ruang dan atribut ini saling berhubungan secara spasial. Pendugaan atribut data atau estimasi dapat dilakukan berdasarkan lokasi-lokasi di sekitarnya dan nilai pada titik-titik yang berdekatan akan lebih mirip dari pada nilai pada titik-titik yang terpisah lebih jauh Definisi lainnya Interpolasi adalah metode untuk mendapatkan data berdasarkan beberapa data yang telah diketahui. Dalam ruang lingkup pemetaan interpolasi adalah proses estimasi nilai pada wilayah yang tidak disampel atau diukur, sehingga terbuatlah peta atau sebaran nilai pada seluruh wilayah. Didalam melakukan interpolasi, sudah pasti dihasilkan sebuah bias dan error.



2.2



Jenis-Jenis Interpolasi Proses penyelesaian permasalahan dengan menggunakan interpolasi



dibagi beberapa jenis diantaranya adalah sebagai berikut : 2.2.1



Interpolasi Linier Interpolasi linear atau interpolasi lanjar adalah interpolasi dua buah titik



dengan sebuah garis lurus. Misal diberikan dua buah titik, (x0,y0) dan (x1,y1). Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk: P1(x) = a0 + a1x . Gambar 2.2 dan Gambar 2.3 memperlihatkan garis lurus yang menginterpolasi titik-titik (x0,y0) dan (x1,y1).



3



Y



(x1,y1 )



(x0,y0 ) X Gambar 2.1 Interpolasi Linear Koefisien 𝑎0 dan 𝑎1 dicari dengan proses substitusi dan eliminasi. Dengan mensubstitusikan (𝑥0 , 𝑦0 ) dan (𝑥1 , 𝑦1 ) ke dalam persamaan 𝑝1 (𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 diperoleh dua persamaan linear: 𝑦0 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥0 . . . . . (1) 𝑦1 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥1 . . . . . (2) Dari dua persamaan diatas, dengan eliminasi diperoleh: 𝑦0 − 𝑦1 = (𝑎0 + 𝑎1 𝑥0 ) − (𝑎0 + 𝑎1 𝑥1 ) 𝑦0 − 𝑦1 = 𝑎1 𝑥0 − 𝑎1 𝑥1



⇔ 𝑦0 − 𝑦1 = 𝑎1 (𝑥0 − 𝑥1 ) 𝑦0 − 𝑦1 ⇔ 𝑎1 = 𝑥0 − 𝑥1



Substitusikan nilai 𝑎1 ke dalam persamaan (1), diperoleh: 𝑦 −𝑦



𝑦0 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥0 ⇔ 𝑦0 = 𝑎0 + ( 𝑥0 −𝑥1 )𝑥0 0



1



𝑥0 𝑦0 − 𝑥0 𝑦1 𝑥0 − 𝑥1 𝑥0 𝑦0 − 𝑥0 𝑦1 ⇔ 𝑦0 = 𝑎0 + 𝑥0 − 𝑥1 𝑥0 𝑦0 − 𝑥0 𝑦1 ⇔ 𝑎0 = 𝑦0 − 𝑥0 − 𝑥1 ⇔ 𝑦0 = 𝑎0 +



4



⇔ 𝑎0 =



𝑦0 (𝑥0 − 𝑥1 ) − 𝑥0 𝑦0 + 𝑥0 𝑦1 𝑥0 − 𝑥1



𝑥0 𝑦0 − 𝑥1 𝑦0 − 𝑥0 𝑦0 + 𝑥0 𝑦1 𝑥0 − 𝑥1 𝑥0 𝑦1 − 𝑥1 𝑦0 ⇔ 𝑎0 = 𝑥0 − 𝑥1 ⇔ 𝑎0 =



Dengan melakukan manipulasi aljabar untuk menentukan nilai 𝑝1 (𝑥) dapat dilakukan sebagai berikut: 𝑝1 (𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 𝑥1 𝑦0 − 𝑥0 𝑦1 𝑦1 – 𝑦0 𝑝1 (𝑥) = + 𝑥 𝑥1 − 𝑥0 𝑥1 − 𝑥0 𝑝1 (𝑥) =



𝑥1 𝑦0 − 𝑥0 𝑦1 + 𝑥𝑦1 – 𝑥𝑦0 𝑥1 − 𝑥0



𝑝1 (𝑥) =



𝑥1 𝑦0 − 𝑥0 𝑦1 + 𝑥𝑦1 – 𝑥𝑦0 + (𝑥0 𝑦0 − 𝑥0 𝑦0 ) 𝑥1 − 𝑥0



𝑝1 (𝑥) =



𝑥1 𝑦0 − 𝑥0 𝑦0 − 𝑥0 𝑦1 + 𝑥𝑦1 – 𝑥𝑦0 + 𝑥0 𝑦0 𝑥1 − 𝑥0



𝑝1 (𝑥) =



𝑦0 (𝑥1 − 𝑥0 ) + 𝑦1 (𝑥 − 𝑥0 ) – 𝑦0 (𝑥 − 𝑥0 ) 𝑥1 − 𝑥0



𝑝1 (𝑥) =



𝑦0 (𝑥1 − 𝑥0 ) + (𝑦1 − 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑥1 − 𝑥0



𝑝1 (𝑥) = 𝑦0 +



(𝑦1 − 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑥1 − 𝑥0



Dalam menentukan persamaan dari interpolasi linear juga dapat dilakukan melalui cara menentukan titik-titik antara dari 2 buah titik dengan menggunakan garis lurus. Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1 (x0,y0) dan P2 (x1,y1) dapat dituliskan dengan: 𝑦 − 𝑦0 𝑥 − 𝑥0 = 𝑦1 − 𝑦0 𝑥1 − 𝑥0 Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linear sebagai berikut: 𝑦1 − 𝑦0 (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑦0 𝑦= 𝑥1 − 𝑥0



5



Contoh perhitungan Interpolasi Linear : Dari data ln(9.0) = 2.1972, ln(9.5) = 2.2513, tentukan ln(9.2) dengan interpolasi lanjar sampai 5 angka bena. Bandingkan hasil yang diperoleh dengan nilai sejati ln(9.2)=2.2192. Penyelesaian: Dipunyai: 𝑥0 = 9.0, y0 = 2.1972. 𝑥1 = 9.5, y1 = 2.2513. Ditanya : tentukan nilai ln(9.2) sampai 5 angka bena kemudian dibandingkan dengan nilai sejati ln(9.2) = 2.2192. Ingat: 𝑝1 (𝑥) = 𝑦0 +



(𝑦1 − 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑥1 − 𝑥0



𝑝1 (9.2) = 2.1972 +



( 2.2513 − 2.1972)(9.2 − 9.0) 9.5 − 9.0



𝑝1 (9.2) = 2.21884 Galat = nilai sejati ln(9.2) – nilai ln(9.2) hasil perhitungan dengan metode interpolasi linear Galat = 2.2192 – 2.21884 = 3,6 x 10-4 .



2.2.2



Interpolasi Kuadratik Misal diberi tiga buah titik data, (𝑥0 , 𝑦0 ), (𝑥1 , 𝑦1 ), 𝑑𝑎𝑛 (𝑥2 , 𝑦2 ). Polinom



yang menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk: 𝑝2 (𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 . Bila digambar, kurva polinom kuadrat berbentu parabola, seperti ditunjukkan dalam Gambar 2.2



6



Y x1,y1



y1



y2



y0



x2,y2



x0,y0



x0



x1



x2 Gambar 2.2 Interpolasi Kuadratik



X



Menyelesaikan Polinom 𝑝2 (𝑥) ditentukan dengan cara berikut: 1.



Substitusikan (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) ke dalam persamaan 𝑝2 (𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥𝑖 + 𝑎2 𝑥𝑖2



dengan i = 0, 1, 2. Diperoleh tiga persamaan dengan tiga buah parameter yang tidak diketahui yaitu: 𝑎0 , 𝑎1 , dan 𝑎2 : 𝑎0 + 𝑎1 𝑥0 + 𝑎2 𝑥02 = 𝑦0 𝑎0 + 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥12 = 𝑦1 𝑎0 + 𝑎1 𝑥2 + 𝑎2 𝑥22 = 𝑦2 2.



Hitung 𝑎0 , 𝑎1 , dan 𝑎2 dari sistem persamaan tersebut dengan metode



eliminasi Gauss. Selain menggunakan metode eliminasi Gauss, menentukan 𝑎0 , 𝑎1 , dan 𝑎2 dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut: Hitung 𝐹01 =



𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖



, 𝐹12 =



𝑦𝑖+2 − 𝑦𝑖+1 𝑦𝑖+2 − 𝑦𝑖+1



, dan 𝐹012 =



𝐹12 − 𝐹01 𝑥𝑖+2 − 𝑥𝑖



Hitung 𝑃 = 𝑦1 + (𝑥 − 𝑥𝑖 )𝐹01 + (𝑥 − 𝑥𝑖 )(𝑥 − 𝑥𝑖+1 )𝐹012 Contoh Perhitungan Interpolasi Kuadratik : 1.



Diberikan titik ln(8.0) = 2.0794, ln(9.0) = 2.1972, dan ln(9.5) = 2.2513.



Tentukan nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadratik.



7



Penyelesaian: Dipunyai: 𝑥0 = 8.0,



𝑦0 = 2.0794



𝑥1 = 9.0,



𝑦1 = 2.1972



𝑥2 = 9.5,



𝑦2 = 2.2513



Ditanya : Tentukan nilai ln (9.2). Sistem persamaan yang terbentuk adalah: 𝑎0 + 8.0 𝑎1 + 64.00 𝑎2 = 2.0794 𝑎0 + 9.0 𝑎1 + 81.00 𝑎2 = 2.1972 𝑎0 + 9.5 𝑎1 + 90.25 𝑎2 = 2.2513 Untuk perhitungan secara manual, sistem persamaan diselesaikan dengan metode eliminasi Gauss dengan langkah sebagai berikut: Matriks yang terbentuk dari persamaan 𝑎0 + 8.0 𝑎1 + 64.00 𝑎2 = 2.0794 𝑎0 + 9.0 𝑎1 + 81.00 𝑎2 = 2.1972 𝑎0 + 9.5 𝑎1 + 90.25 𝑎2 = 2.2513 adalah: 1 8 64 2.0794 𝑅21(−1) (1 9 81 2.1972) 𝑅31(−1) 1 9.5 90.25 2.2513 𝑅12(−8) 1 0 −72 1.137 (0 1 17 0.1178 ) 𝑅32(−1.5) 0 0 0.75 −0.0048 𝑅13(72) 1 0 0 0.6762 (0 1 0 0.2266 ) 𝑅23(−17) 0 0 1 −0.0064



1 8 64 (0 1 17 0 1.5 26.25 1 1 ( 𝑅31(0.75) 0 0



2.0794 0.1178) 0.1719 0 −72 1.137 1 17 0.1178 ) 0 1 −0.0064



Menggunakan metode Eliminasi gauss menghasilkan 𝑎0 = 0.6762, 𝑎1 = 0.2266, 𝑎2 = −0.0064 . Polinom kuadratnya adalah: 𝑝2 (𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 𝑝2 (9.2) = 0.6762 + 0.2266. (9.2) + −0.0064. (9.2)2 𝑝2 (9.2) = 2.2192



8



2.2.3



Interpolasi Lagrange Diberikan



x0 , f 0 , x1 , f1 , , xn , f n 



dengan xi sebarang. Lagrange



mempunyai pemikiran mengalikan f j dengan suatu polinom yang bernilai 1 pada x j dan 0 pada n titik simpul lainnya dan kemudian menjumlahkan n+1 polinom



tersebut untuk memperoleh polinom interpolasi tunggal berordo n atau lebih kecil. Sehingga persamaan polinomial dari lagrange interpolation dapat dirumuskan sebagai berikut : n



Ln ( x)   f k k 0



( x  x0 )( x  x1 )( x  xk 1 )( x  xk 1 )( x  xn ) ( xk  x0 )( xk  x1 )( xk  xk 1 )( xk  xk 1 )( xk  xn )



Atau jika ln x   ( x  x0 )( x  x1 )( x  x2 )( x  xk 1 )( x  xk 1 )( x  xn ) maka rumus interpolasi lagrange adalah :



l k x  fk l ( x ) k 0 k k n



f x   Ln x   



Contoh perhitungan Interpolasi Lagrange: Carilah f(9.2) dengan interpolasi lagrange dengan n = 3 dan f(9.0) = 2.19722, f(9.5) = 2.25129, f(10.0) = 2.30259, f(11.0) = 2.39790 Penyelesaian : L3 x  



l0  x  l x  l x  l x  f0  1 f1  2 f2  3 f3 l0 x0  l1 x1  l 2  x2  l3 x3 



l0 x0   x0  x1 x0  x2 x0  x3 



= -1.00000



l0 x   x  x1 x  x2 x  x3 



= -0.43200



l1 x1   x1  x0 x1  x2 x1  x3 



= 0.37500



l1 x   x  x0 x  x2 x  x3 



= 0.28800



l2 x2   x2  x0 x2  x1 x2  x3 



= -0.50000



l2 x   x  x0 x  x1 x  x3 



= 0.10800



l3 x3   x3  x0 x3  x1 x3  x2 



= 3.00000



l3 x   x  x0 x  x1 x  x2 



= 0.04800



9



L 3 (9.2) 



 0.43200 0.28800 0.10800 2.19722  2.25129  2.30259  1.00000 0.37500  0.50000 0.04800  2.39700 3.00000



= 2.21920 (eksak sampai 5 angka decimal) 2.2.4



Interpolasi Newton Sebuah polinom yang menyaingi Lagrange adalah polinom Newton.



Polinom ini sengaja dibuat karena kecenderungan orang-orang yang sulit untuk melakukan komputasi berulang kali. Ide awal polinom Newton tetap sama seperti yang dipakai pada polinom Lagrange. Perbedaannya adalah a1= persamaan polinom biasa orde 1, diubah bentuk menjadi a1 =



𝑦1 −𝑦0 𝑥1 −𝑥0



𝑓(𝑥1 )−𝑓(𝑥0 ) 𝑥1 −𝑥0



pada yang



dalam penulisannya dapat ditulis dengan a1 = 𝑓[𝑥1 , 𝑥0 ] untuk polinom dengan orde lebih dari satu dapat dituliskan dengan : 𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) + (𝑥 − 𝑥0 )𝑓[𝑥1 , 𝑥0 ] + (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )𝑓[𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ]+. … . +(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑛 )𝑓[𝑥𝑛, 𝑥𝑛−1 , … 𝑥1 , 𝑥0 ] Contoh perhitungan Interpolasi Polinom Newton : Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan empat yang menghampiri f(x)=cos(x) dalam range[0.0, 4] dan jarak antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3. Jawab: xi



yi



ST-1



ST-2



ST-3



ST-4



0.0



1



-0.4597



-0.2484



0.1466



-0.0147



1.0



0.5403



-0.9564



0.1913



0.0880



2.0



-0.4161



-0.5739



0.4551



3.0



-0.99



0.3363



4.0



-0.6536



10



Contoh cara menghitung nilai selisih terbagi pada tabel :



f [ x1 , x0 ] 



f ( x1 )  f ( x0 ) 0.5403  1   0.4597 ( x1  x0 ) 1 0



f [ x2 , x1 ] 



f ( x2 )  f ( x1 )  0.4161  0.5403   0.9564 ( x2  x1 ) 2 1



f [ x2 , x1 , x0 ] 



f [ x2 , x1 ]  f [ x1 , x0 ]  0.9564  0.4597   0.2484 ( x2  x0 ) 20



Maka polinom Newton derajat 1,2 dan 3 dengan x0 = 0 sebagai titik pertama :



cos( x)  p1 ( x)  1.0  0.4597( x  0.0) cos( x)  p 2 ( x)  1.0  0.4597 ( x  0.0)  0.2484( x  0.0)( x  1.0) cos( x)  p3 ( x)  1.0  0.4597 ( x  0.0)  0.2484( x  0.0)( x  1.0)  0.1466( x  0.0)( x  1.0)( x  2.0) cos( x)  p 4 ( x)  1.0  0.4597 ( x  0.0)  0.2484( x  0.0)( x  1.0)  0.1466( x  0.0)( x  1.0)( x  2.0)  0.0147( x  0.0)( x  1.0)( x  2.0)( x  3.0) Nilai sejati f(2.5) adalah F(2.5) = cos(2.5)=-0.8011



2.3



Penerapan Interpolasi pada Teknik Sipil Beberapa permasalahan yang nyata dan yang ada di lapangan, baik



permasalahan umum maupun yang khusus dengan ilmu teknik sipil memerlukan penyelesaian interpolasi. Contoh kasus tersebut diberikan sebagai berikut. 1.



Suatu hasil kajian di laboratorium untuk menguji hubungan tegangan dan regangan pada suatu batang baja, diperoleh hasil yang diberikan tabel dibawah ini. Tabel Hubungan Tegangan vs Regangan i



Regangan



Tegangan



1



0,0005



1800



2



0,0013



5200



3



0,003



9000



4



0,004



12000



5



0,0055



12000



6



0,007



10000



11



Dari data yang disajikan pada tabel tersebut, jika dipakai untuk memprediksi nilai tegangan jika regangannya sebesar 0,002 adalah: Jawab: Untuk mencari nilai tegangan dengan nilai regangan = 0,002, maka dapat dilakukan interpolasi linear sebagai berikut: f1(x)



= f(x 0 ) 



f(x 1 ) - f(x 0 ) (x - x 0 ) x1 - x 0



= 5200 



9000 - 5200 (0,002 - 0,0013) 0,003 - 0,0013



= 6765



Jadi didapat nilai teganagn sebesar 6765 pada saat nilai regangan sebesar 0,002 2.



Sedimentasi waduk adalah salah satu permasalahan yang umum terjadi pada waduk-waduk yang ada di Indonesia. Berikut diberikan contoh hasil pemeruman pada suatu tampungan waduk, berupa besarnya sedimentasi yang terjadi pada n tahun sejak beroperasinya waduk. Dari data tersebut akan diprediksikan besarnya sedimentasi pada tahun ke-8, dengan menggunakan interpolasi polinom newton orde 4. Tabel Data Sedimentasi Waduk Tahun



Sedimen yang mengendap (ribu



Ke



m3 )



1



752



2



1052



5



1291



7



1570



9



2192



9,5



5000



12



Jawab: Membuat tabel selisih-terbagi I 0 1 2 3 4 5



xi 1 2 5 7 9 9,5



f(xi) 752 1052 1291 1570 2192 5000



ST-1 300,000 79,667 139,500 311,000 5616,000



ST-2 -55,083 11,967 42,875 2122,000



ST-3 11,175 4,415 462,028



ST-4 -0,845 61,015



ST-5 7,278



Polinow newton-nya (dengan X0 = 1 sebagai titik data pertama) adalah: f(x)  P4(x) = 752  300( x  1)  55,083( x  1)( x  2)  11,175( x  1)( x  2)( x  5)  = 0,845( x  1)( x  2)( x  5)( x  7) Taksiran nilai sedimentasi pada tahun ke-8 adalah: f(8)  P5(8)



= 752  2100  2313,5  1408,05  106,4625 = 1840,088



Maka besarnya sedimentasi pada tahun ke-8 diprediksikan sebesar 1840,088 3.



Contoh kasus nilai temperatur danau diketahui pada Tabel Temperatur Danau, dimana akan dicari temperatur air pada kedalaman -7,5 pada lapis thermocline. Digunakan persamaan interpolasi Lagrange orde 2. Tabel Temperatur Danau xi f(xi)



-6 18,2



-7 17,6



-8 11,7



-9 9,9



Jawab:



L0 ( x) =



x  x1 x  x 2 x  x3 x0  x1 x0  x 2 x0  x3



=



x  (7) x  (8) x  (9) (6)  (7) (6)  (8) (6)  (9)



=



1 ( x  7)( x  8)( x  9) 6



13



=



L1 ( x) = =



1 3 ( x  24 x 2  191x  504) 6



x  x 0 x  x 2 x  x3 x1  x0 x1  x 2 x1  x3 x  (6) x  (8) x  (9) (7)  (6) (7)  (8) (7)  (9)



=



1 ( x  6)( x  8)( x  9) 2



=



1 3 ( x  23x 2  174 x  432) 2



L2 ( x) =



x  x0 x  x1 x  x3 x 2  x0 x 2  x1 x 2  x3



=



x  (6) x  (7) x  (9) (8)  (6) (8)  (7) (8)  (9)



=



1 ( x  6)( x  7)( x  9) 2



=



1 3 ( x  22 x 2  159 x  378) 2



L3 ( x) = =



x  x0 x  x1 x  x 2 x3  x0 x3  x1 x3  x 2 x  (6) x  (7) x  (8) (9)  (6) (9)  (7) (9)  (8)



1 =  ( x  6)( x  7)( x  8) 6



1 =  ( x 3  21x 2  146 x  336) 6



f 3 ( x) = L0 ( x) f ( x 0 ) + L1 ( x) f ( x1 ) + L2 ( x) f ( x 2 ) + L3 ( x) f ( x3 ) =



1 3 1 ( x  24 x 2  191x  504) (18,2)  ( x 3  23x 2  174 x  432) (17,6) + 6 2 1 1 3 ( x  22 x 2  159 x  378) (11,7)  ( x 3  21x 2  146 x  336) (9,9) 6 2



=  1,567 x 3  35,55x 2  262,58x  615,90)



14



=  1,567(7,5) 3  35,55(7,5) 2  262,58(7,5)  615,90) = 14,725



BAB 3 PENUTUP



3.1 1.



Kesimpulan Interpolasi adalah suatu metode atau fungsi matematika yang mengestimasikan/prediksi nilai pada lokasi-lokasi yang datanya tidak tersedia atau tidak diperoleh pada sampel data yang diambil. Proses interpolasi melalui pencarian dan penghitungan nilai suatu fungsi yang grafiknya melewati sekumpulan titk yang diberikan. Titik-titik tersebut mungkin merupakan hasil eksperimen dalam sebuah percobaan, atau diperoleh dari suatu fungsi yang diketahui. Didalam melakukan interpolasi, sudah pasti dihasilkan sebuah bias dan error.



2.



Jenis-jenis Interpolasi pada metode numerik diantaranya Interpolasi Linear, Interpolasi Kuadrat, Interpolasi Lagrange, dan Interpolasi Newton. a.



Interpolasi linear atau interpolasi lanjar adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Misal diberikan dua buah titik, (x0,y0) dan (x1,y1). Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk: P 1(x) = a0 + a1x . Dalam menentukan persamaan dari interpolasi linear juga dapat dilakukan melalui cara menentukan titik-titik antara dari 2 buah titik



15



dengan menggunakan garis lurus. Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1 (x0,y0) dan P2 (x1,y1) dapat dituliskan dengan: 𝑦 − 𝑦0 𝑥 − 𝑥0 = 𝑦1 − 𝑦0 𝑥1 − 𝑥0 Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linear sebagai berikut: 𝑦= b.



𝑦1 − 𝑦0 (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑦0 𝑥1 − 𝑥0



Interpolasi kuadrat ialah digunakan untuk mencari titik-tiik antara dari



3



buah



titik.



Misal



diberi



tiga



(𝑥0 , 𝑦0 ), (𝑥1 , 𝑦1 ), 𝑑𝑎𝑛 (𝑥2 , 𝑦2 ). Polinom



buah



titik



data,



yang menginterpolasi



ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk: 𝑝2 (𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 . Polinom yang digunakan untuk persamaan



ini



ialah



𝑃 = 𝑦1 + (𝑥 − 𝑥𝑖 )𝐹01 + (𝑥 − 𝑥𝑖 )(𝑥 −



𝑥𝑖+1 )𝐹012 c.



Interpolasi Lagrange adalah perumusan ulang darri polinom newton yang menghindari komputasi beda-beda terbagi. Diberikan



x0 , f 0 , x1 , f1 , , xn , f n 



dengan



xi sebarang.



Lagrange



mempunyai pemikiran mengalikan f j dengan suatu polinom yang bernilai 1 pada x j dan 0 pada n titik simpul lainnya dan kemudian menjumlahkan n+1 polinom tersebut untuk memperoleh polinom interpolasi tunggal berordo n atau lebih kecil.



16



Sehingga persamaan polinomial dari lagrange interpolation dapat dirumuskan sebagai berikut : n



Ln ( x)   f k k 0



( x  x0 )( x  x1 )( x  xk 1 )( x  xk 1 )( x  xn ) ( xk  x0 )( xk  x1 )( xk  xk 1 )( xk  xk 1 )( xk  xn )



Atau jika



ln x   ( x  x0 )( x  x1 )( x  x2 )( x  xk 1 )( x  xk 1 )( x  xn ) maka rumus interpolasi lagrange adalah :



l k x  fk l ( x ) k 0 k k n



f x   Ln x    d.



Sebuah polinom yang menyaingi Lagrange adalah polinom Newton. Polinom ini sengaja dibuat karena kecenderungan orang-orang yang sulit untuk melakukan komputasi berulang kali. Ide awal polinom Newton tetap sama seperti yang dipakai pada polinom Lagrange. Perbedaannya adalah a1=



𝑦1 −𝑦0 𝑥1 −𝑥0



1, diubah bentuk menjadi a1 =



pada persamaan polinom biasa orde



𝑓(𝑥1 )−𝑓(𝑥0 ) 𝑥1 −𝑥0



yang dalam penulisannya



dapat ditulis dengan a1 = 𝑓[𝑥1 , 𝑥0 ] untuk polinom dengan orde lebih dari satu dapat dituliskan dengan : 𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) + (𝑥 − 𝑥0 )𝑓[𝑥1 , 𝑥0 ] + (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )𝑓[𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ]+. … . +(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑛 )𝑓[𝑥𝑛, 𝑥𝑛−1 , … 𝑥1 , 𝑥0 ]



17



3.



Dengan intepolasi metode numerik, konsep-konsep dasar penyelesaian numerik yang dapat dipakai dan diaplikasikan dalam menyelesaikan berbagai



permasalahan



teknik-sipil



serta



mampu



menganalisis



penyelesaian permasalahan di bidang teknik khususnya teknik sipil dengan beberapa metode dasar, serta mampu menyusun algoritma pemrograman komputer untuk mengimplementasikan metode-metode numerik yang dipelajari. Mencari nilai tegangan dengan nilai regangan dan sedimentasi waduk adalah salah satu permasalahan pada dunia teknik sipil. Sedimentasi waduk yang umum terjadi pada waduk-waduk yang ada di Indonesia, dapat dilakukan dengan menggunakan interpolasi polinomial orde 3 kita dapat memprediksi besarnya sedimentasi waduk yang mengendap di tahun-tahun berikutnya.



3.2



Saran Dalam bidang teknik sipil, banyak dijumpai permasalahan-permasalahan



lapangan yang diselesaikan dengan menggunakan persamaan matematika. Penyelesaian persamaan matematis untuk mendapatkan solusi permasalahan teknik sipil tersebut, sering terkendala oleh rumitnya bentuk persamaan matematis serta aplikasinya untuk permasalahan lapangan yang kompleks. Untuk itu diperlukan penyelesaian aproksimasi dengan cara numerik. Dengan makalah ini diharapkan pembaca dapat memahami konsep-konsep dasar penyelesaian numerik yang dapat dipakai dan diaplikasikan dalam menyelesaikan berbagai permasalahan tekniksipil. Pembaca ditargetkan dapat memahami dan mampu menjelaskan, mampu menganalisis penyelesaian permasalahan di bidang teknik khususnya teknik sipil



18



dengan metode Interpolasi Linear, Interpolasi Kuadrat, Interpolasi Lagrange, dan Interpolasi Newton.



19



DAFTAR PUSTAKA



Anonim.



2017.



Interpolasi



Metode



Numerik.



http://www.ugm.ac.id/e-



print/interpolasi. (diakses pada 20 April 2017) Embriani, Yuni. 2017. Interpolasi Lagrange dan Polinom. http://www.scribd.com. (diakses pada 19 April 2017) Yulistiyanto, Bambang. 2015. Metode Numerik Aplikasi untuk Teknik Sipil. Jogjakarta. Gadjah Mada University Press.



iii