Makalah Kelompok 1 - Sifat-Sifat Sederhana Grup [PDF]

Citation preview

MAKALAH SIFAT-SIFAT SEDERHANA GRUP Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Teori Grup Dosen Pengampu: Nina Agustyaningrum, S.Pd.Si, M.Pd.



Disusun oleh kelompok 1: 



Rara Sakhi Luthfiyya (2010306035)







Puji Lestari



(2010306046)







Maulida Irwanti



(2010306053)







Inka Salsa Bella



(2010306067)







Victaria Aulia Irawan (2010306083)



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS TIDAR 2022 i



KATA PENGANTAR



Puji syukur saya panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya kepada kami sehingga kami dapat menyelesaikan tugas makalah



tepat pada



waktunya dengan judul “Sifat-Sifat Sederhana Grup”. Harapan kami makalah ini dapat bermanfaat untuk orang lain. Kami tentu menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kata sempurna dan masih banyak terdapat kesalahan serta kekurangan di dalamnya. Oleh karena itu, kami mengharapkan kritik serta saran dari pembaca untuk makalah ini, supaya makalah ini nantinya dapat menjadi makalah yang lebih baik lagi. Akhir kata, kami mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang telah membantu dalam menyusun makalah ini. Magelang, 11 September 2022



Kelompok 1



ii



DAFTAR ISI COVER...............................................................................................................................i KATA PENGANTAR.......................................................................................................ii DAFTAR ISI......................................................................................................................iii BAB I PENDAHULUAN..................................................................................................1 1.1 Latar Belakang...............................................................................................................1 1.2 Rumusan Masalah..........................................................................................................1 1.3 Tujuan............................................................................................................................1 BAB II PEMBAHASAN...................................................................................................2 2.1 Sifat-Sifat Sederhana Grup............................................................................................2 BAB III LATIHAN SOAL................................................................................................8 BAB IV PENUTUP............................................................................................................11 3.1 Kesimpulan....................................................................................................................11 DAFTAR PUSTAKA........................................................................................................13



iii



BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Sebelum mendalami materi sifat sederhana grup, mahasiswa diharapkan sudah memahami pengertian grup beserta bukti formalnya. Sehingga target dalam makalah ini dapat diterima dengan mudah. Target yang di maksud adalah kemampuan menyebutkan, membuktikan, dan menggunakan sifat-sifat sederhana grup. Berdasarkan uraian tersebut penulis menyusun sebuah makalah yang berjudul: “SifatSifat Sederhana Grup”. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang ada didapatkan rumusan masalah sebagai berikut: a) Apa saja sifat-sifat sederhana grup? b) Bagaimana cara membuktikan sifat-sifat sederhana grup? c) Bagaimana pengaplikasian dari sifat-sifat sederhana grup? 1.3 Tujuan Berdasarkan rumusan masalah yang ada, didapatkan tujuan sebagai berikut: a) Mengetahui sifat-sifat sederhana grup. b) Membuktikan sifat-sifat sederhana grup. c) Mengetahui pengaplikasian sifat-sifat sederhana grup.



1



BAB II PEMBAHASAN 2.1 Sifat-Sifat Sederhana Grup Teorema 1 (Ketunggalan Elemen Identitas) Dalam sebuah grup G, hanya ada satu elemen identitas. Bukti: Ambil sebarang grup G dan misalkan ada dua elemen identitas yaitu e dan e ' . Pandang e sebagai elemen identitas, maka berlaku e e' =e' e=e . Di lain pihak, pandang juga e ' sebagai elemen identitas, maka berlaku juga e ' e=e e ' =e . Dari dua pernyataan tersebut, diperoleh ' ' ' ' e=e e =e e=e maka e =e . Jadi, elemen identitas grup G adalah tunggal.



Teorema 2 (Ketunggalan Invers) Untuk setiap elemen a dalam sebuah grup G, ada elemen tunggal b dalam G, sehingga ab=ba=e .



Bukti: Ambil sebarang grup G dari e elemen identitas pada G . Ambil sebarang a ∈ G. Misalkan b dan c merupakan invers dari a . Pandang b sebagai invers dari a berlaku ba=ab=e . Di lain pihak, pandang c sebagai invers dari a , berlaku ca=ac=e. Dari kedua pernyataan tersebut diperoleh b=be=b ( ac )= ( ba ) c=ec=c. Berakibat b=c . Jadi, dapat disimpulkan bahwa setiap a ∈ G memiliki invers yang tunggal.



Pembahasan selanjutnya, grup ( G ,∙ ) disederhanakan penulisannya menjadi grup G dan a ∙ b menjadi ab , kecuali jika lambang dari operasinya diperlukan, maka lambang operasi itu dituliskan. Misalnya G grup aditif, harus ditulis ¿ Perhatikan contoh-contoh berikut ini:



2



Contoh 1 Periksalah bahwa U ( 7 )= {1 , 2 ,3 , 4 , 5 ,6 } dengan perkalian modulo 7 adalah suatu grup abelian. Elemen identitas dari grup ini adalah 1. Penyelesaian: 3 ×7 5=1 cukup ditulis 3 ∙5=1 ,2−1=4 , sebab 2 ∙ 4=1 ,3−1=5 , 4−1=2 dan 5−1 =3. −1



−1



−1



Perhatikan bahwa ( 3−1 ) =5−1=3 , dan ( 4−1 ) =2−1=4. Tunjukanlah bahwa ( 5−1) =5 dan −1



( 2−1 ) =2. Perhatikan



pula



bahwa



( 2 ∙5 )−1=5−1 ∙2−1. −1



−1



Demikian



pula



( 3 ∙ 4 )−1=5−1=3



dan



−1



−1 −1 4 ∙3 =2 ∙5=3, sehingga ( 3 ∙ 4 ) =4 ∙3 .



Contoh 2 Misalkan S= { 1, 2 ,3 } dan S3 adalah himpunan semua pemetaan bijektif dari S ke S. Seperti telah dipelajari dalam bab sebelumnya bahwa pemetaan-pemetaan bijektif dari S ke S adalah



Tabel cayley dari S3= { ε , α , β , γ , δ , σ } dengan operasi ∘ (komposisi fungsi) seperti tampak pada Tabel 4.1. Pada table tersebut mudah ditentukan invers dari setiap elemen S3 yaitu: Tabel 4.1. Tabel Cayley untuk ( S3 , ∘ ) ∘



ε



α



β



γ



δ



σ



ε



ε



α



β



γ



δ



σ



α



α



ε



σ



δ



γ



β



3



−1



−1



β



β



δ



ε



σ



α



γ



γ



γ



σ



δ



ε



β



α



δ



δ



β



γ



α



σ



ε



σ



σ



γ



α



β



ε



δ



−1



−1



−1



−1



ε =ε , α =α , β =β , γ =γ , δ =σ , dan σ =δ −1



−1



Perhatikan bahwa ( δ −1 ) =σ −1 =δ , sehingga ( δ −1 ) =δ . −1



−1



Dan ( σ −1 ) =δ −1 =σ , sehingga ( σ −1 ) =σ . Perhatikan pula bahwa ( α ∘ σ )−1=β−1=β , dan σ −1 ∘ α −1=δ ∘ α =β , tetapi α −1 ∘ σ −1=α ∘ δ=γ , sehingga ( α ∘ σ )−1=σ −1 ∘ α −1. Contoh-contoh tersebut merupakan ilustrasi dari teorema berikut ini. Teroma 3 Misalkan G suatu grup, maka ⍱ a . b ∈G berlaku −1



(i)



( a−1 ) =a dan



(ii)



( ab )−1=b−1 a−1



Bukti: (i)



−1



Karena G suatu grup, maka ⍱ a ∈G berlaku bahwa a a−1=a−1 a=e, maka ( a−1 ) =a .



(ii) ( ab ) (b ¿ ¿−1 a−1)=( a ( b b−1 ) ) a−1 ¿



dan



−1



(b ¿ ¿−1a ) ( ab )=b



−1



( ( a−1 ) b ) ¿



¿ ( ae ) a−1



¿ ( eb ) b−1



¿ a a−1



¿ bb−1 ¿e



¿e



Karena ( ab ) ( b−1 a−1 ) =( b−1 a−1 ) ( ab )=e, maka ( ab )−1=b−1 a−1. 4



Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real dan a , b , c ∈ R sedemikian hingga ab=ac . Apakah dapat disimpulkan b=c ? Ambil, misalnya a=0, b=9, c=5 , maka



dipenuhi bahwa ab=ac dan tidak dapat disimpulkan bahwa b=c . Hal ini disebabkan ada elemen R yang tidak mempunyai invers terhadap perkalian, atau dengan kata lain, R dengan perkalian bukan suatu grup. Tetapi untuk R−{ 0 }, maka untuk setiap a , b , c ∈ R−{ 0 } dengan ab=ac maka dapat disimpulkan bahwa ab=ac , karena ( R−{ 0 } , x ) adalah suatu grup. Perhatikan lagi contoh yang lebih kompleks, yaitu himpunan matriks, misalnya: M 2 ( R )=



{[ ]



}



a b a , b , c , d bilangan−bilangan real . Jika A , B , C ∈ M 2 ( R ) dengan AB= AC c d



atau AC=BC , maka kita tidak dapat menyimpulkan bahwa B=C atau A=B . Sebagai contoh:



[ 56 12], B=[ 79 12], C=[08 03], maka AC=BC =[ 168 36 ] dan A ≠ B. Hal ini pun



Jika A=



disebabkan karena ada elemen-elemen M 2 ( R ) yang tidak mempunyai invers terhadap perkalian matriks, atau M 2 ( R )dengan perkalian matriks bukan suatu grup. Tetapi, jika N suatu himpunan matriks berordo n yang nonsingular, maka N dengan perkalian matriks adalah suatu grup, maka A , B , C ∈ N , jika AB= AC maka B=C . Fakta-fakta tersebut merupakan ilustrasi teorema berikut ini. Teorema 4 (Sifat penghapusan atau kanselasi). Apabila G suatu grup, maka ∀ a , b , c ∈ G berlaku: (i) Jika ab=ac , maka b=c



(sifat kanselasi kiri)



(ii) Jika ac=bc, maka a=b



(sifat kanselasi kanan).



Bukti: (i) Ambil sebarang a , b , c ∈G dan diketahui bahwa ab=ac , maka



a−1 ( ab )=a−1 ( ac ) , karena G grup dan a ∈ G, maka a−1 ∈ G



( a−1 a ) b= ( a−1 a ) c , sifat asosiatif eb=ec ( a a )=e (unsur identitas) −1



5



b=c



(ii) Ambil sebarang a , b , c ∈G dan diketahui bahwa ac=bc, maka



c−1 ( ac )=c −1 ( bc ), karena G grup dan c ∈G , maka c−1 ∈G



( c −1 c ) a=( c−1 c ) b , sifat asosiatif ea=eb ( c c ) =e (unsur identitas) −1



a=b



Contoh 3 1) Misalkan Z5 ={0 , 1 ,2 , 3 , 4 }dengan penjumlahan modulo 5 adalah suatu grup. Carilah x , y ∈ Z 5 yang memenuhi 4 + x=3 dan y +3=1.



Penyelesaian: Invers dari 4 adalah 1, maka kedua ruas dari persamaan pertama ditambah 1. 4 + x=3



Invers dari 3 adalah 2, maka kedua ruas



1+4 + x=1+3



dari persamaan kedua ditambah 2



0+ x=4



y +3=1



x=4



y +3+2=1+ 2, karena −3=2



y +0=3 y=3



2) U ( 11 )={ 1 , 2,3 ,… , 10 } dengan perkalian modulo 11 adalah suatu grup. Selesaikanlah persamaan-persamaan: a) 9 x=7 dan b) y ∙7=2. Penyelesaian: a)



9 x=7



b)



y ∙7=2



5 ∙ 9 x =5∙ 7 , karena 9−1=5



y ∙7 ∙ 8=2.8 , karena 7−1=8



1 x=2



y ∙1=5



x=2



y=5



Contoh-contoh tersebut secara formal dinyatakan sebagai teorema berikut ini. Teorema 5



6



Setiap persamaan linier kiri maupun kanan dalam suatu grup mempunyai penyelesaian yang tunggal, yaitu : Jika G suatu grup, maka ∀ a , b ∈G , persamaan-persamaan xa=b (persamaan kiri) dan ay =b (persamaan kanan), masing-masing mempunyai penyelesaian tunggal. Bukti : G suatu grup dan a , b ∈G dengan xa=b , karena a ∈ G dan G grup maka a−1 ∈ G, sehingga



( xa ) a−1=b a−1 −1



x (a a )=b a xe=b a



−1



sifat asosiatif



−1



x=b a−1



Jadi x=b a−1 adalah penyelesaian dari persamaan xa=b. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa penyelesaian itu tunggal. Misalkan persamaan xa=b mempunyai persamaan penyelesaian u dan v , maka berlaku bahwa ua=b dan va=b Sehingga diperoleh ua=va



( ua ) a−1=( va ) a−1 −1 −1 u ( a a )=v ( a a )



ue=ve



u=v



Jadi penyelesaian dari persamaan xa=b adalah tunggal. Sifat kanselasi, selain mempunyai peranan dalm meyelesaikan persamaan, berperan juga sebagai pengganti dua aksioma terakhir yaitu adanya elemen identitas dan setiap elemennya mempunyai invers, dalm definisi grup, seperti dalam teorema berikut ini. Teorema 6 Suatu semigrup berhingga yang memenuhi sifat kanselasi adalah suatu grup. 7



Bukti : Misalkan G semigrup berhingga dengan n elemen, maka G dapat dinyatakan sebagai G={a1 , a2 , a3 , ….. , an } dengan a i ≠ a j untuk i≠ j. Ambil sebarang a i ∈G dan setiap elemen G dioperasikan dengan a i , maka diperoleh a i a 1 , ai a2 , ai a3 , … .., a i a n . Karena sifat tertutup



dari G maka setiap hasil operasi ini semua berada dalam G . Karena G memenuhi sifat kenselasi, maka diperoleh bahwa Jika a i a k =a i a t maka a k =a t untuk k ≠ t Tetapi karena untuk k ≠ t , jika a k ≠ at , maka a i a k ≠ ai at . Jadi hasil operasi –hasil operasi a i a 1 , ai a2 , ai a3 , … .., a i a n semua berbeda (tidak ada yang sama). Hal ini berarti setiap



persamaan linier kanan a i x=a m dengan a i a m ∈ G mempunyai penyelesaian tunggal. Sejalan dengancara tersebut dapat disimpulan pula, bahwa setiap persamaan linier kiri y ai=am mempunyai penyelesaian tunggal.



Persamaan – persamaan a i x=a i dan y ai=ai dengan a i ∈G , dan misalakan berturutturut mempunyai penyelesaian u dan v maka a i u=ai dan v a i=ai ( u , v ∈G ) . Demikian pula untuk (a i , u ∈G), maka ada dengan tunggal x dan y yang memenuhi persamaan-persamaan a i x=a i dan y ai=ai



Selanjutnya v u=v ( ai x ) danuu=( y ai ) u ¿ ( v a i ) x= y (a¿¿ iu) ¿ ¿ ai x= y ai v u=uuu=u



Sehingga v u=uu, karena G memenuhi sifat kenselasi, maka v=uini berarti G memuat elemen identitas. Misalkan elemen identitas G adalah e dan ambil sebarang a i ∈G , maka persamaan-persamaan linier a i x=e dan penyelesaian tunggal.



8



yai =e



masing-masing mempunyai



Selanjutnya a i x=ey ( ai x ) = y e



( y ai ) x= y e x=y x= y



Hal ini berarti setiap unsur G mempunyai invers dalam G pula. Sehingga telah terbukti bahwa G suatu grup. Misalkan G suatu grup dan ∀ a ∈G berlaku a e=a, maka e disebut identitas kanan. Sehingga a a−1=e . Dalam hal ini a−1 disebut invers kanan dari a. Selanjutnya,



( e a ) a−1=e(a a−1 ) ¿e e



sifat asosiatif e identitas kanan



¿e



( e a ) a−1=a a−1



e identitas kanan



e a=a



sifat kanselasi



Hal ini berarti e adalah identitas kiri. Uraian tersebut merupakan bukti dari teorema berikut ini. Teorema 7 Elemen identitas kanan dari suatu grup merupakan identitas kiri pula. Definisi 1 Misalkan G suatu grup a ∈ G dan m suatu bilangan bulat positif, maka m



a =a a a … a



a−m=( a−1 )



sebanyak m faktor



m



0



a =e



dengan a−1 dalah invers dari a. (elemen identitas)



Catatan: Jika G suatu grup aditif, maka definisi tersebut menjadi m a=a+a+ a+…+ a



sebanyak m suku 9



(−m ) a=m(−a)



dengan −a adalah invers dari a



0 a=e



(e elemen identitas)



Contoh 4 U ( 7 )= {1,2,3,4,5,6 } dengan perkalian mod 7 adalah suatu grup.



Maka −1



1 =1 , −1



2 =4 ,



3−1 =5, −1



4 =2



6−1=6 , 3



5−3 =( 5−1 ) =33=6 −1 8



4 =( 4 ) =2 =4 −8



8



43



16



6 87 =62 ( 43 )+1=( 62 ) .6 1=143 .6=6.3101 =36 ( 16)+5= ( 36 ) .35 =116 . 35=5



Teorema 8 Misalkan G suatu grup, m dan n sebarang bilangan-bilangan bulat, maka ∀ a ∈G berlaku (i)



a m an=a m+n



(ii)



( a m ) =amn



n



Bukti: Karena m dan n bilangan-bilangan bulat, maka terdapat tiga kemungkinan (dengan mengabaikan nol, karena jika m atau n sama dengan nol, buktinya mudah dilakukan), yaitu Keadaan I: m dan n keduanya positif Keadaan II: m dan n keduanya negatif Keadaan III: salah satu positif dan lainnya negatif Keadaan I: m dan n keduanya bulat positif m



n



a a =(a ∙ a ∙a …∙ a)(a ∙ a ∙ a … ∙ a) m faktor



n faktor 10



m



n



a a =(a ∙ a ∙a …∙ a) sebanyak (m+n) faktor Keadaan II: m dan n keduanya bulat negative, misalnya m=−k dan n=−l dengan k,l bilangan-bilangan bulat positif. m



n



−k



−l



a a =a ∙ a −1 k



−1 l



¿ (a ) (a ) −1



−1



−1



−1



−1



−1



¿( a ∙ a ∙ … ∙ a )(a ∙ a ∙ …∙ a )



k faktor −1



−1



¿ a ∙ a ∙ … ∙a



−1



l faktor sebanyak (k + l) faktor



k+l



¿ ( a−1 )



( −k ) +(−l )



¿a ¿a



m+n



Keadaan III: Misalnya m bulat positif dan n bulat negative dan |m|>|n|, Misalkan pula n=−t dengan t suatu bilangan bulat positif. m



n



m −t



m



a a =a a =a ¿



(a a a … a)(a−1 a−1 a−1 … a−1 ) ¿ −1 −1 −1 ¿ a a a a … a ( a a ) a … a dan seterusnya hingga sebanyak (m−t ) faktor



¿aa aa…a ¿ a m−1=am +(−t ) ¿ a m+n



Untuk kasus m ≤|n|. Pembuktian Sejalan Contoh 5 Jika dalam suatu grup G berlaku ¿, buktikan bahwa G abelian! Bukti: Ambil sekaranag a , b ∈G , maka 11



¿



( a b )( a b )=( a a )( b b ) a ( b a ) b=a ( a b ) b b a=a b



Jadi ∀ a , b ∈G berlaku ba=ab , sehingga G suatu grup abelian. Definisi 2 Misalkan G suatu grup dan a ∈ G, periode (order) dari a (diberi symbol, o(a) adalah suatu bilangan bulat positif terkecil, misalnya m, sedemikian hingga a m=e . Jika taka da bilangan bulat yang demikian, maka dikatakan bahwa order dari a adalah tak hingga. Memperhatikan definisi tersebut, maka untuk menghitung order dari a dalam grup G , cukup menghitung perpangkatan bulat dari a , yaitu a , a 2 , a3 , …hingga memperoleh elemen identitas untuk pertama kalinya maka eksponennya merupakan order dari a . Jika dalam barisan perpangkatan bulat dari a tersebut tidak ditemukan elemen identitas, maka order dari a adalah tak hingga. Dalam definisi tersebut, G suatu grup dengan operasi perkalian. Apabila operasi pada grup G adlah penjumlahan, maka o(a) adalahbilangan bulat positif terkecil, mialnya m, sedemikian hingga ma=z ( z adalah elemen identitas dalam grup aditif). Contoh 6 1. Perhatikan



U ( 15 )={ x| x



kelas



bilangan



bulat



modulo



15 , ( x , 15 )=1 ¿={ 1, 2 , 4 , 7 , 8 , 11, 13 , 14 } dengan perkalian modulo 15.



Misalnya kita akan menetukan order, maka perlu dihitung 21=2 , 22=4 , 23=8 , 24=1, sehingga ° ( 2 )=4 . Untuk menetukan °(11), maka dihitung 111=11 , 112=1 ,sehingga ° ( 11 )=2.



Dengan



perhitungan



seperti



itu,



maka



dapat



ditentukan



° ( 1 )=1 ,° ( 4 )=2 , ° ( 7 )=4 ,° ( 8 ) =4 ,° ( 13 )=4dan ° ( 14 )=2. sebagai trik untuk membantu



perhitungan



1



2



3



4



13 ,13 , 13 ,13 ,agar



lebih



132= (−2 )=4 ,13 3=(−2 ) .4=−8 ,13 4= (−2 )(−8 )=1.



12



mudah.



Perhatikan



bahwa



2. Perhatikan grup Z10= { 0 ,1 , 2 ,3 , 4 ,5 ,6 , 7 , 8 , 9 } dengan penjumlahan modulo 10. Elemen



identitasnya



adalah



0.



1.0=0 ,10.1=0 , 5.2=0 , 10.3=0 , 5.4=0 , 2.5=0 ,5.6=0 , 10.7=0 ,5.8=0 ,dan



maka



diperoleh



berturut



–



° ( 0 )=1 , ° ( 1 )=10 ,° ( 2 )=5 , ° ( 3 )=10 ,° ( 4 )=5 , ° (5 )=2 , ° ( 6 )=5 , ° ( 7 ) =10 ,° ( 8 ) =5



Karena 10.9=0,



turut dan



° ( 9 )=10 .



3. Perhatikan ¿ yaitu grup bilangan bulat dengan penjumlahan arimetik. Jika a ∈ Z dan a ≠ 0, maka a , 2 a , 3 a , … tidak pernah menghasilkan 0, maka order dari setiap elemen



dari Z yang bukan 0 adalah tak hingga. BAB III LATIHAN SOAL 1. Buktikan G suatu grup dan a , b ∈G denganay =b 2. Misalkan G suatu grup yang memenuhi ¿ dan ¿, Untuk semua a , b ∈G . Tunjukan bahwa G suatu grup abelian.



3. Jika a dan b dua unsur sebarang dari suatu grup abelian, buktikan bahwa untuk sebarang bilangan bulat n berlaku ( ab )n=a n b n 4. Misalkan G suatu grup dan untuk 3 bilangan bulat berurutan dari m berlaku ¿. ∀ a , b ⊂ G. Buktikan bahwa G komutatif. 5. Misalkan Z7 ={ 0 , 1 ,2 , 3 , 4 , 5 , 6 } dengan penjumlahan modulo 7 adalah suatu grup. Carilah x , y ∈ Z yng memenuhi 6+ x =2 dan y +5=1.



13



BAB IV PENUTUP 3.1 Kesimpulan  Jika hanya ditulis G suatu grup, maka dimaksudkan G adalah grup multiplikatif, yaitu grup dengan operasi perkalian. Simbol perkalian tidak perlu ditulis. Untuk grup aditif (dengan operasi penjumlahan) maka simbol penjumlahan harus ditulis.  Misalkan G suatu grup, maka ∀ a , b ∈G berlaku ¿ dan ¿  Sifat penghapusan atau kenselasi. Apabila G suatu grup, maka ∀ a , b , c ∈ G berlaku: (i) Jika ab=ac ,maka b=c (sifat kanselasi kiri) (ii) Jika ac=bc , maka a=b (sifat kanselasi kanan).  Jika G suatu grup, maka ∀ a , b ∈G , persamaan-persamaan xa=b (persamaan kiri) dan ay =b (persamaan kanan), masing-masing penyelesaian tunggal.



 Misalkan G suatu grup, a ∈ G dan m suatu bilangan bulat positif, maka m a =a a a a … ..a sebanyak m faktor.



−m



dengan a−1 adalah invers dari a



a =¿ 0



(elemen identitas)



a =e



 Misalkan G suatu grup, m dan n sebarang bilangan-bilangan bulat, maka ∀ a ∈G berlaku m



n



(i)



a a =a



(ii)



¿



m+n



14



 Misalkan G suatu grup dan a ∈ G, periode (order) dari a diberi symbol o (a ¿ adalah sesuatu bilangan bulat poditif terkecil, misalnya m, sedemikian hinggga a m=e . Jika tak ada bilangan bulat yang demikian, mka dikatakan bahwa order dari a adalah tak hingga. Table 4.2 Perpadanan Grup Multiplikatif dan Grup Aditif Grup Multiplikatif (dengan operasi x)



Grup Aditif (dengan operasi +)



a . b atau ab



Perkalian



a+ b



e atau 1



Identitas



z atau o



a



−1



Invers a terhadap



−a



perkalian a



n



Penjumlahan Identitas Invers a terhadap penjumlahan



Perpangkatan dari a



na



Kelipatan dari a



ab



−1



Pembagian a oleh b



a−b



Pengurangan oleh b



15



a



DAFTAR PUSTAKA



Maya, Rippi. (2016). Struktur Aljabar: Grup. Bandung: STKIP Siliwangi. Sukirman. (2016). Teori Grup Aljabar Abstrak 1. Yogyakarta: UNY Press.



16