MAKALAH KELOMPOK 2 TEORI PROBABILITAS' With You [PDF]

Citation preview

ANALISIS DATA DENGAN PROGRAM SPSS “Teori Probabilitas”



Dosen Pengampu: Dr. Rai Sujanem, M.Si Ni Putu Ayu Hervina Sanjayanti, S.Pd.,M.Pd



Oleh: Andreas Gon



1813021011/VA



Ni Made Yassintha Ary Sandy



1813021014/VA



Made Surya Widyastuti



1813021027/VB



I Gusti Ayu Made Widi Saptarini



1813021023/VB



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA JURUSAN FISIKA DAN PENGAJARAN IPA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA SINGARAJA 2020



i



KATA PENGANTAR



Puji syukur penulis panjatkan kehadapan Ida Sang Hyang Widhi Wasa, karena atas waranugraha-Nya penyusunan makalah yang berjudul “Teori Probabilitas” ini dapat terselesaikan. Ada beberapa kendala yang penulis temui dalam proses penyusunan makalah ini, baik itu berupa kendala sumber-sumber informasi maupun penggunaan teknologi. Namun, berkat adanya dukungan serta bantuan dari berbagai pihak, yang tidak penulis sebutkan satu persatu, kendala tersebut dapat terlalui. Penulis menyadari bahwasanya makalah ini masih jauh dari tingkat kesempurnaan, baik isi maupun penyajiannya. Untuk itu melalui kesempatan ini penulis sampaikan terima kasih apabila nantinya ada saran dan kritik yang membangun untuk revisi makalah ini. Akhirnya, penulis berharap semoga makalah ini bermanfaat bagi para pembaca.



Singaraja, September 2020



Penulis



ii



DAFTAR ISI COVER ......................................................................................................................................i KATA PENGANTAR...............................................................................................................ii DAFTAR ISI.............................................................................................................................iii BAB I.........................................................................................................................................1 1.1. Latar Belakang.............................................................................................................1 1.2. Rumusan Masalah.......................................................................................................2 1.3. Tujuan Penulisan.........................................................................................................2 1.4. Manfaat Penulisan.......................................................................................................2 BAB II........................................................................................................................................4 2.1. Teori Probabilitas........................................................................................................4 2.2. Ruang Sampel dan Ruang Peristiwa............................................................................6 2.2.1. Ruang Sampel...........................................................................................................6 2.2.2. Ruang Peristiwa........................................................................................................7 2.3.



Analisis Kombinatorik dalam Probabilitas dan Probabilitas Bersyarat.................10



2.3.1. Aturan Penjumlahan...............................................................................................12 2.3.2. Aturan Perkalian.....................................................................................................13 2.3.3. Permutasi................................................................................................................16 2.3.4. Kombinasi...............................................................................................................17 2.3.5. Analisis Dengan Program SPSS.............................................................................18 BAB III.....................................................................................................................................21 3.1 Simpulan....................................................................................................................21 3.2 Saran……………………………………………………………………………......21 DAFTAR PUSTAKA..............................................................................................................22



iii



BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan dengan beberapa pilihan yang harus kita tentukan memilih yang mana. Biasanya kita dihadapkan dengan kemungkinan-kemungkinan suatu kejadian yang mungkin terjadi dan kita harus pintar-pintar mengambil sikap jika menemukan keadaan seperti ini, misalkan saja pada saat kita ingin bepergian, kita melihat langit terlihat mendung. Dalam keadaaan ini kita dihadapkan antara 2 permasalahan, yaitu kemungkinan terjadinya hujan serta kemungkinan langit hanya mendung saja dan tidak akan turunnya hujan. Statistik yang membantu permasalahan dalam hal ini adalah probabilitas. Probabilitas didefinisikan sebagai peluang atau kemungkinan suatu kejadian, suatu ukuran tentang kemungkinan atau derajat ketidakpastian suatu peristiwa (event) yang akan terjadi di masa mendatang. Rentangan probabilitas antara 0 sampai dengan 1. Jika kita mengatakan probabilitas sebuah peristiwa adalah 0, maka peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi. Dan jika kita mengatakan bahwa probabilitas sebuah peristiwa adalah 1 maka peristiwa tersebut pasti terjadi. Serta jumlah antara peluang suatu kejadian yang mungkin terjadi dan peluang suatu kejadian yang mungkin tidak terjadi adalah satu, jika kejadian tersebut hanya memiliki 2 kemungkinan kejadian yang mungkin akan terjadi. Probabilitas adalah kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu peristiwa. Dalam kehidupan sehari-hari sulit untuk mengetahui dengan “pasti” apa yang akan terjadi pada waktu yang akan datang, baik dalam jangka pendek maupun jangka panjang. Sebuah contoh sederhana adalah jika sebuah koin dilempar, maka akan sulit untuk memastikan bahwa muka gambar atau muka angka yang berada di atas. Jika terkait dengan suatu perusahaan, maka akan sulit untuk memprediksikan apakah tahun depan akan mengalami keuntungan atau kerugian. Jika terkait dengan suatu ujian, juga akan sulit untuk memastikan apakah lulus atau



gagal



dan



lain



sebagainya.



Semua



peristiwa



tersebut



berada



dalam



“ketidakpastian” atau Uncertainty. Dengan demikian, probabilitas atau peluang merupakan “derajat kepastian” untuk terjadinya suatu peristiwa yang diukur dengan



1



angka pecahan antara nol sampai dengan satu, dimana peristiwa tersebut terjadi secara acak atau random. 1.2. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang tersebut, adapun beberapa rumusan masalah yaitu sebagai berikut : 1.2.1. Apakah yang dimaksud dengan teori probabilitas? 1.2.2. Apakah yang dimaksud dengan ruang sampel dan ruang peristiwa? 1.2.3. Bagaimana analisis kombinatorik dalam probabilitas dan probabilitas bersyarat? 1.3. Tujuan Penulisan Berdasarkan rumusan masalah diatas, adapun tujuan yang dapat kami ambil dari penulisan makalah ini yaitu: 1.3.1. Untuk mengetahui dan memahami teori probabilitas. 1.3.2. Untuk mengetahui dan memahami ruang sampel dan ruang peristiwa. 1.3.3. Untuk mengetahui analisis kombinatorik dalam probabilitas dan probabilitas bersyarat. 1.4. Manfaat Penulisan Adapun manfaat yang diperoleh memalui pembuatan makalah ini adalah : 1.4.1 Bagi Penulis Dengan adanya makalah ini penulis dapat melengkapi tugas dari mata kuliah Analisis data dengan program SPSS. Selain itu penulis juga mendapatkan pengalaman mengenai tata cara penulisan makalah yang baik dan benar, serta mendapatkan ilmu yang lebih mengenai materi yang dibahas. 1.4.2 Bagi Pembaca Dengan adanya makalah ini yang berjudul “Teori Probabilitas”, maka diharapkan nantinya pembaca mendapatkan wawasan yang lebih mengenai peluang, sampel, dan teknik sampling akan diaplikasikan dalam program SPSS, sehingga dapat menghasilkan hasil yang lebih akurat.



2



BAB II PEMBAHASAN 1.1. Teori Probabilitas Lind (2002) mendefinisikan probabilitas sebagai berikut “Probabilitas adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa yang akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase”. Ada tiga hal penting dalam membicarakan probabilitas yaitu percobaan (experiment), hasil (outcome), dan peristiwa (event). 1. Percobaan (experiment) adalah aktivitas yang melahirkan suatu peristiwa. Contohnya saja kegiatan melempar uang koin akan melahirkan peristiwa muncul gambar atau angka, kegiatan jual beli saham akan melahirkan peristiwa membeli atau menjual, perubahan harga – harga akan melahirkan inflasi dan deflasi, mahasiswa yang giat belajar akan melahirkan prestasi yang memuaskan, sangat memuaskan atau terpuji. Pertandingan sepak bola akan melahirkan peristiwa menang, kalah, atau seri. Kegiatan-kegiatan yang melahirkan peristiwa tersebut dikenal dengan percobaan. 2. Hasil (outcome) adalah suatu hasil dari percobaan. Dari suatu percobaan akan memberikan hasil. Dari contoh kegiatan diatas dapat diperoleh hasil berikut. Tabel 1. Hasil dari beberapa percobaan. PERCOBAAN Kegiatan melempar uang Kegiatan perdagangan saham Perubahan harga Mahasiswa belajar Pertandingan Sepak Bola



HASIL 1. Muncul gambar 2. Muncul angka 1. Menjual saham 2. Membeli saham 1. Inflasi (harga naik) 2. 1. 2. 3.



Deflasi (harga turun) Lulus memuaskan Lulus sangat memuaskan Lulus terpuji



1. Menang



2. Kalah Jadi hasil adalah seluruh kemungkinan peristiwa yang akan terjadi akibat adanya suatu percobaan atau kegiatan. 3



3. Peristiwa (event) adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan. Peristiwa menunjukkan hasil yang terjadi dari suatu kejadian. Dalam setiap percobaan atau kegiatan hanya ada satu kemungkinan hasil. Pada kegiatan jual beli saham, kalau tidak membeli berarti menjual. Pada perubahan harga terjadi inflasi atau deflasi. Pada pertandingan sepak bola juga terjadi satu peristiwa, apakah klub sepak bola tersebut menang, kalah atau seri. Tidak mungkin dalam suatau pertandingan sepak bola, misalnya Liverpool VS Arsenal, hasilnya Liverpool menang juga kalah. Peristiwa yang mungkin adalah Persita menang, kalah atau seri. Berikut adalah urutan percobaan, hasil, dan peristiwa. Pertandingan sepak bola Liverpool VS Percobaan/ Kegiatan



Arsenal di Stadion Anfield, tanggal 12



Hasil



Januari 2012 Liverpool Menang Liverpool Kalah Seri



Peristiwa



Liverpool Menang



Jadi menyatakan Probabilitas adalah sebagai berikut “Probabilitas dinyatakan dalam bentuk pecahan antara 0 sampai 1. Probabilitas 0 menunjukkan suatu yang tidak mungkin terjadi, sedang probabilitas 1 menunjukkan peristiwa pasti terjadi. Teori peluang ini dikembangkan pada abad ke XVII oleh ahli matematika dari Prancis yang bernama Pierre de Fermat dan Blaise Pascal. Awalnya teori peluang dimulai dari permainan judi atau permainan yang bersifat untung-untungan. Teori peluang banyak dijumpai pada soal-soal yang berkaitan dengan uang logam, dadu, dan kartu bridge (Badri, 2012). Adapun beberapa pengertian probabilitas menurut para ahli yaitu, menurut Susanti (2010) probabilitas adalah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak. Menurut Johanes (2005) probabilitas merupakan nilai untuk mengukur kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang tidak pasti. Menurut Imawati (2012) probabilitas didefinisikan sebagai peluangatau kemungkinan suatu kejadian, suatu ukuran tentang kemungkinan atau derajat ketidakpastian suatu peristiwa 4



yang akan terjadi di masa mendatag. Dari beberapa pendapat para ahli tersebut mengenai probabilitas, maka dapat disimpulkan bahwa probabilitas merupakan peluang untuk menyatakan suatu kejadian yang akan terjadi nanti dari suatu peristiwa yang acak. Untuk mengetahui karakteristik suatu populasi sering dilakukan dengan analisis hanya sebagian data saja atau sering disebut dengan sampel. Berdasarkan informasi yang terkandung dalam sampel, dilakukan pengambilan kesimpulan terhadap populasinya. Dasar logika dari proses pengambilan kesimpulan tentang suatu populasi dengan menganalisis data sampel adalah probabilitas. Oleh karena itu, pemahaman tentang teori probabilitas sangat diperlukan dan bersifat mendasar. Probabilitas biasanya dinyatakan dengan bilangan desimal seperti 0,50, 0,20, 0,89 atau bilangan pecahan seperti 5/100, 20/100. Nilai dari probabilitas berkisar antara 0 sampai dengan 1. Semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 0, semakin kecil kemungkinan suatu kejadian yang akan terjadi. Sebaliknya semakin dekat nilai probabilitas dengan nilai 1 semakin besar peluang suatu kejadian akan terjadi. 2.1.1



Konsep Dasar Hukum Probabilitas Konsep probabilitas berhubungan dengan pengertian eksperimen atau percobaan yang menghasilkan hasil yang tidak pasti. Maksud dari pernyataan tersebut adalah eksperimen yang dilakukan diulang-ulang dalam kondisi yang sama akan menghasilkan hasil yang berbeda, contohnya ketika melempar sebuah dadu, nilai dadu yang muncul tidak akan sama pada setiap pelemparan. Adapun beberapa istilah yang digunakan dalam teori probabilitas, yaitu sebagai berikut (Badri, 2012): 1. Ruang sampel 2. Ruang Peristiwa 3. Probabilitas suatu peristiwa 4. Analisis Kombinatorik 5. Probabilitas Bersyarat



1.2. Ruang Sampel dan Ruang Peristiwa 1.2.1. Ruang Sampel Sebelum kita membicarakan ruang sampel ada baiknya kita membicarakan 5



mengenai pengertian eksperimen. Dimana eksperimen tersebut adalah proses pengumpulan data tentang sesuatu yang menunjukkan adanya variasi di dalam hasil yang di peroleh. Dalam membicarakan peluang terlebih dahulu kita harus memahami atau mengerti ruang sampel, sebab dengan mengetahui ruang sampel maka kita dapat menentukan nilai peluang suatu peristiwa atau kejadian. Sebagai contoh, jika kita melempar dadu satu kali maka akan segera dilihat sebuah angka yang muncil, misalnya 3. Di lain pihak, sebelum melempar dadu, kita menyatakan angka yang mungkin muncul adalah 1,2,3,4,5,6. Keenam angka ini membentuk suatu himpunan yang disebut ruang sampel dari aktivitas melempar dadu. Secara umum definisi ruang sampel yaitu himpunan semua peristiwa yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan atau aktivitas. Berdaasarkan dengan pemilihn sampel, ruang sampel dapat didefinisikan sebagai himpunan semua sampel berukuran n yang mungkin diambil dari sebuah populasi tertentu. Istilah peluang (probabilitas) atau kemungkinan digunakan untuk berkaitan dengann peristiwa yang mungkin terjadi atau ruang sampel dan tidak dapat dipakai berkaitan dengan peristiwa yang telah terjadi. Misalnya: 1. Dalam suatu wilayah seorang individu diambil secara acak untuk mengetahui status kesehatannya maka kemungkinannya mereka sakit atau sehat.Sehingga ruang sampel dari wilayah tersebut adalah “sakit” dan “sehat” 2. Sebuah dadu dilempar ke atas, maka kemungkinan mata dadu yang muncul paling atas adalah 1, 2, 3, 4, 5 atau 6. Sehingga ruang sampel dari mata dadu yang muncul paling atas pada pelemparan sebuah dadu adalah 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. Ruang sampel secara matematis biasanya dilambangkan dengan S. Sehingga ruang sampel pada contoh di atas bisa ditulis seperti di bawah ini. 1. Ruang sampel yang muncul pada wilayah yang diambil yaitu , S={Sakit, Sehat} 2. Ruang sampel sisi yang muncul pada sebuah dadu yang dilempar, S={1, 2, 3, 4, 5, 6} Ruang sampel di bedakan atas dua yaitu: 1. Ruang Sampel Diskrit adalah apabila ruang sampelnya mengandung titik sampel yang berhingga atau terhitung banyaknya. 6



Contohnya: Menghitung banyaknya yang meninggal karena terserang penyakit demam berdarah pada tahun 2016 di Denpasar. 2. Ruang Sampel Kontinu adalah apabila ruang sampelnya mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya, dan memuat semua bilangan real dalam suatu interval. Contohnya : Menghitung Banyaknya jumlah bintang di langit. Kemungkinan-kemungkinan yang akan muncul dalam ruang sampel disebut juga dengan Titik Sampel. Sehingga titik sampel merupakan unsur atau anggota dari ruang sampel. Agar titik-titik sampel dalam suatu ruang sampel bisa tersusun dengan baik, maka pencatatannya bisa dibantu dengan menggunakan mendatar , diagram pohon dan tabel. 1.2.2. Ruang Peristiwa  Definisi Kumpulan (himpunan) daari hasil yang muncul atau terjadi pada suatu percoban statistik disebut kejadian atau peistiwa (event) yang dilambangkann dengan himpunan A. Anggota-anggota himpunan A disebut titik sanpel. Bila pada peleparan sebuah dadu yang muncul adalah muka 2, hasil yang muncul ini dinamakan kejadian munculnya muka 2, yang dinyatakan dengan A={2}. Tentu yang muncul cuma 1 muka, sehingga himpunan A terdiri atas satu anggota. Pada pelemparan dadu tersebut, S={1,2,3,4,5,6} dan A={2}, sehingga A merupakan anggota dari S. Hubungan kejadian A dengan ruang sampel S dapat digambarkan dengan Diagram Venn.



s A



Gambar 1. Diagram Venn  Operasi pada Peristiwa 7



Setelah memahami apa itu peristiwa (event), selanjutnya akan dibahas mengenai operasi pada peristiwa. Beberapa operasi kejadian yaitu: Irisan, gabungan, komplemen, dan saling pisah a. Irisan Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang atau notasi A



B. Irisan



kejadian adalah kejadian yang unsurnya termasuk dalam A dan B. A



B=



S A



B



Gambar 2. Irisan A dan B Contohnya adalah pengambilan kartu bridge, kejadian A adalah angka ganjil, sedangkan B adalah warna hitam. Maka gabungan A dan B adalah menyataan kejadian munculnya bilangan genap atau bilangan gajil. Jadi A irisan B adalah kartu dengan angka gnjil yang berwarna hitam. b. Gabungan Gabungan dua kejadian A dan B dinyatakan dengan lambang



, ialah



kejadian yang mengandung semua unsure termasuk A atau B atau keduanya. A



B= S A



B



Gambar 3. Gabungan A dan B



8



Contohnya adalah pelemparan sebuah dadu, kejadian A =(1,2,3), sedangkan B= (4, 5, 6). Maka gabungan A dan B adalah menyataan kejadian munculnya bilangan genap atau bilangan gajil. Jadi A



B=(1, 2, 3, 4, 5, 6)



c. Komplemen Komplemen suatu kejadian A terhadap S ialah himpunan semua unsure S yang tidak termasuk A yang dinyatakan dengan simbol A’.



S A’



A



Gambar 4. Komplemen A Misalnya A menyatakan kejadian bahwa dalam pelemparan sebuah mata uang akan muncul gamabar (G). Maka A’ adalah kejadian munculnya angka (A). contohnya lagi adalah dadu tadi, jika kita lambangakn A =(2, 4, 6) makan A’=(1, 3, 5). d. Saling Pisah Dua kejadian A dan B sling pisah bila A



B=0. Artinya kejadian A dan kejadian B



tidak mungkin terjadi di waktu yang bersamaan. S A A



B B



Gambar 5. Saling pisah Misalnya sebuah dadu dengan kondisi baik dilemparkan. A menyatakan kejadian munculnya bilangan genap dan B menyatakan kejadian munculnya bilagan ganjil. Kejadian A dan B tidak mungkin muncul bersamaan. Oleh karena itu A dan B saling terpisah. 9



2.3 Analisis Kombinatorik dalam Probabilitas dan Probabilitas Bersyarat 2.3.1 Aturan Penjumlahan Hukum penambahan digunakan untuk menentukan probabilitas satu peristiwa atau peristiwa lain, atau keduanya yang terjadi pada satu observasi. Untuk menerapkan aturan penjumlahan harus diketahui dahulu jenis kejadian dari peristiwa tersebut. Apakah bersifat saling meniadakan (mutually exclusive) atau tidak saling meniadakan (non exclusive). a. Mutually Exclusive Ketika seseorang mengikuti tes untuk melamar suatu pekerjaan di suatu perusahaan, maka ada dua kemungkinan mengenai hasil yang akan ia dapatkan yaitu diterima atau ditolak. Jika seseorang tersebut diterima, ia tidak akan sekaligus ditolak. Sebaliknya jika seseorang ditolak maka ia tidak akan sekaligus diterima. Maka jika diterima dipandang sebagai satu kejadian, dan ditolak juga dipandang sebagai satu kejadian lainnya, dengan demikian akan dijumpai dua kejadian yang saling meniadakan satu sama lainnya. Kejadian-kejadian yang saling meniadakan seperti ini disebut mutually exdusive events yang dalam bahasa sehari-hari adalah kejadian alternative. artinya dua atau lebih peristiwa tidak dapat terjadi bersamasama, dimana peristiwa yang satu sekaligus menghilangkan kemungkinan atau meniadakan terjadinya peristiwa yang lain. misalnya jika ia diterima maka ia tidak ditolak. Adapun beberapa contoh kejadian mutually exclusive adalah sebagai berikut.  Keluarnya gambar G atau angka A pada tiap lemparan sebuah mata uang.  Lahirnya anak wanita W atau pria P pada suatu kelahiran.  Terambilnya kelereng hitam H atau putih P dari sebuah wadah yang berisi bermacam-macam kelereng. Diagram venn dapat membantu memperjelas persoalan yang mendasari hukum penambahan mutually exclusive.



A



B



Gambar 6. Diagram Venn Mutually Exclusive 10



Dalam banyak peristiwa, tidak hanya menghadapi suatu gejala dengan hanya dua kejadian seperti keluarnya gambar G atau angka A, atau diterima atau ditolaknya siswa. Misalnya saja sebuah dadu yang dilemparkan, maka terdapat enam kejadian dengan masing-masing probabilitasnya adalah 1/6 apabila dadu tersebut masih baik dan dilempar bebas. Untuk tiga kejadian saling meniadakan yang dinyatakan dengan A, B, C dapat ditulis; P(A atau B atau C)= Pr ( A∪B∪C ) = P(A) + P(B) + P(C) Contoh: Jika dinyatakan yang keluar adalah mata ganjil yaitu mata satu S, mata tiga T, atau mata lima L, maka jumlah probabilitas tiap mata ganjil adalah: Pr (S) + Pr (T) + Pr (L) = Pr (S + T + L) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = ½ Dengan demikian, jika yang keluar adalah mata genap, keluarnya mata 1 dan 6, keluarnya bukan mata 2 dan 4, dan sebagainya. Pr (M2 + M4 + M3) = Pr(M2) + Pr(M4) + Pr(M6)



1 1 1 3 1 + + = = =0,5 = 6 6 6 6 2 Pr (M1 + M6) = Pr (M1) + Pr (M6)



1 1 2 1 + = = =0 , 33 .. . . = 6 6 6 3 Probabilitas keluarnya bukan mata 2 dan 4 disimbolkan Pr



( M 2 +M 4 )



dan



tidak lain merupakan probabilitas keluarnya mata 1,3,5,6. Jadi: Pr



( M 2 +M 4 )



= Pr (M1 + M3 + M5 + M6) = Pr (M1) + Pr (M3) + Pr (M5) + Pr (M6)



1 1 1 1 4 2 + + + = = =0 , 66 .. . . = 6 6 6 6 6 3 Sehingga dapat disimpulkan : jumlah probabilitas dari kejadian-kejadian yang mutually exclusive adalah jumlah dari probabilitas dari masing-masing kejadian jika kejadian pertama disimbolkan K1 dan seterusnya dapat dirumuskan : Untuk kedua kejadian



Pr ( K 1 + K 2 )=Pr ( K 1 )+Pr ( K 2 ) Untuk n kejadian 11



Pr ( K 1 + K 2 +. ..+K n )=Pr ( K 1 )+Pr ( K 2 )+. ..+ Pr ( K n ) Dimana, Probabilitas munculnya



K 1 atau



K2



adalah sama dengan jumlah dari probabilitas



munculnya K 1 dan K 2 . Probabilitas keluarnya



K 1 atau K 2 atau … K n adalah sama dengan jumlah



probabilitas keluarnya K 1 dan K 2 dan … K n . b. Non Mutually Exclusive Dua kejadian A dan B disebut kejadian-kejadian yang not mutually exclusive apabila timbulnya A tidak dengan sendirinya meniadakan timbulnya B. Misalnya keluanya King K dan keluarnya Heart H pada pengambilan sebuah kartu dari setumpuk kartu bridge adalah dua kejadian yang tidak saling meniadakan. Sebab, suatu lemparan kartu bridge dapat mengeluarkan K atau H atau K dan H bersama-sama. Demikian juga kelahiran wanita W dan kelahiran anak yang berambut keriting K adalah dua kejadian yang tidak saling meniadakan. Sebab, dari sebuah kelahiran dapat keluar W atau K atau W dan K bersama-sama. Maka jika dua kejadian dapat terjadi sendiri-sendiri atau bersama-sama, kejadian itu disebut tidak bersifat saling meniadakan. Artinya peristiwa tersebut dapat terjadi secara bersama-sama (non exclusive) atau peristiwa “joint” (Pr A



¿



B). Dalam teori



set peristiwa joint itu disebut “interseksi dari A dan B”. (Susanti, 2010) Jadi hukum penambahan untuk peristiwa A dan B yang non exclusive adalah: Pr (A atau B) = Pr(A) + Pr(B) – Pr(A dan B) Atau Pr (A



¿



B) = Pr(A) + Pr(B) – Pr(A



Pr (A atau B) atau Pr (A



¿



¿



B) B) dapat dinyatakan dalam bentuk kalimat



“peluang bahwa A mungkin terjadi dan B mungkin terjadi”. Kalimat ini juga mencakup “kemungkinan bahwa A dan B terjadi” dalam hal kejadian yang tidak saling meniadakan. Contoh: Bila kita menarik sebuah kartu dari setumpuk kartu “bridge” peristiwa AS (A) sebanyak 4 buah kartu dan peristiwa Jantung (JT) sebanyak 13 buah kartu. Karena diantara 4 kartu AS juga ada yang bergambar (JT), maka kejadian terpilihnya kartu bergambar AS atau JT merupakan kejadian yang bersifat “ bukan saling meniadakan ”. 12



Probabilitas untuk mendapatkan (A) atau (JT) atau (keduanya) dengan salah satu kali tarikan. Kartu AS



Probabilitas P(A) = 4/52



Penjelasan 4 kartu raja dalam 1 set kartu



Jantung (JT)



P(JT) = 13/52



13 kartu JT dalam 1 set kartu



AS bergambar P(A dan B) = 1/52



1 kartu raja bergambar JT dalam 1 set



Jantung kartu Dengan menggunakan rumus kejadian yang tidak saling meniadakan, maka dapat dihitung probabilitas bahwa sebuah kartu akan bergambar Jantung atau AS yaitu: Pr(A atau J) = Pr (A



¿



B) = Pr (A) + Pr (JT) – Pr (A dan JT)



4 13 1 16 4 + − = =0 ,3077 52 52 52 = 52 13 =



2.3.2 Aturan Perkalian Dalam konsep probabilitas, aturan perkalian diterapkan secara berbeda menurut jenis kejadiannya. Ada dua jenis kejadian dalam hal ini, yaitu kejadian-kejadian Dependen (tak bebas atau bersyarat) dan kejadian-kejadian Independen (bebas atau tak bersyarat). a. Peristiwa Dependen (Tak Bebas atau Bersyarat) Dua kejadian disebut dependen apabila terjadi atau tidaknya suatu kejadian “berpengaruh” pada probabilitas kejadian yang lain. Dapat dikatakan bahwa probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat bahwa B sudah terjadi disebut probabilitas bersyarat atau sebaliknya peristiwa B dengan syarat peristiwa A telah terjadi, atau bisa ditulis P (A|B) atau P (B|A). Perlu dicatat bahwa P (A|B) atau P (B|A) bukan merupakan simbol untuk pembagian. Jadi apabila dua kejadian dependen, konsep “Probabilitas Bersyarat” digunakan untuk menentukan probabilitas dari kejadian yang berkaitan. Peristiwa dependen (tak bebas atau bersyarat) dapat dilihat melalui diagaram venn di bawah ini:



13



Gambar 7. Diagram Venn Probabilitas Bersyarat (P(B|A)) Bila kita akan menentukan probabilitas B dengan syarat A, maka perlu dicatat bahwa bila A telah terjadi, diagaram venn mula-mula (bidang sampel) berkurang menjadi diagaram set yang lebih kecil pada gambar sebelah kanan dari gambar diatas. Jadi dari diagaram yang ada sekarang terdapat didalamnya peristiwa A dan sebagian yang lain adalah peristiwa A dan B. Maka probabilitas B setelah A terjadi adalah bagian set baru yang mrngandung B dibagi keseluruhan set baru ( yaitu A). Jadi probabilitias B bila A terjadi adalah:



P(B|A )=



P( A∩B ) P( A )



→P ( A )≠0



Sebaliknya jika probabilitas A dengan syarat B maka diagaram venn yang ada didalamnya peristiwa B dan sebagian yang lain adalah peristiwa Bdan A. Maka probabilitas A setelah B terjadi adalah bagian set baru yang mengandun A dibagi keseluruhan set baru ( yaitu B). Dapat dilihat pada diagaram venn dibawah ini:



Gambar 8. Diagram Venn Probabilitas Bersyarat (P(A|B)) Jadi probabilitas A bila B terjadi adalah:



P( A|B )=



P( A∩B ) P (B )



→P (B )≠0



Contoh : 14



Sebuah mesin bola karet berisi 50 bola hijau, 150 bola putih, 100 bola merah, dan 100 bola kuning. Bila kita memasukkan uang logam 100 rupiah, mesin tersebut akan mengeluarkan sebuah bola karet. 3 orang anak bermain-main dengan mesin tersebut. 1. Probabilitaas anak yang kedua akan memperoleh bola merah juga bila anak pertama memasukkan uang logam 100 rupiah dan mendapatkan bola merah ? 2. Misalnya anak yang ke dua mendapat bola merah. Anak yang ketiga tidak menghendaki mendapatkan bola merah. Berapa probabilitasnya anak yang ketiga mendapatkan bola bukan warna merah ?  Jawab 1. Bola merahnya tinggal 99 (100-1) danjumlah seluruhnya tinggal 399 (400-1). Jadi probabilitas bahwa anak kedua memperoleh bola merah juga:



Pr ( M 2|M 1 )=



99 =0 ,248 399



2. Jumlah bola bukan berwarna merah 300 buah (50 hijau+150 putih+100 kuning). Dan julah seluruh bola tinggal 398(400-2). Jadi probabilitas anak ke tiga mendapatkan bola bukan



berwarna merah adalah :



Pr ( M ' / M 1 danM 2 )=



300 =0 , 754 398



b. Peristiwa Independen (bebas atau tak bersyarat) Dua kejadian atau lebih dikatakan Independen atau kejadian bebas apabila kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B dikatakan bebas, jika kejadian A tidak mempengaruhi B atau sebaliknya. Kenyataannya kejadian bebas jarang terjadi karena pada dasarnya kejadian yang satu dengan yang lainnya saling mempengaruhi baik secara langsung maupun tidak langsung. Misalnya kejadian pasang surutnya kali pesanggrahan dengan harga komputer di Jakarta, banyaknya hujan Sumatera dengan naiknya produksi padi di Jawa. Hukum perkalian untuk peristiwa-peristiwa bebas adalah:



P( AdanB )=P( A∩B ) =P( A )⋅P(B ) Contoh 1:



15



Satu mata uang logam Rp 50 dilemparkan keatas sebanyak dua kali. Jika A 1 adalah lemparan 1 mendapat gambar burung (A), dan A 2 adalah lemparan kedua yangh mendapatkan rumah (B). Berapa P( A 1 ∩A 2 )?  Jawab :



P( A 2 )=P( B)=



1 2



P( A 1 ∩A 2 )=P( A1 )⋅P( A2 ) 1 1 1 ¿ ⋅ = 2 2 4 2.3.3 Permutasi Apabila ada kemungkinan susunan n unsur berbeda dengan memperhatikan urutannya disebut permutasi dari n unsur tersebut. Dan apabila dari kemungkinan n peristiwa itu diamati sebanyak r peristiwa saja, maka akan terdapat berbagai kemungkinan peristiwa didalam itu. Permutasi adalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu.Permutasi adalah banyaknya kemungkinan susunan “peristiwa” di dalam r yang di ambil dari n peristiwa (Susanti 2010 : 170). Namun dalam hal ini perlu diperhatikan suatu pengaturan atau urutan beberapa elemen atau objek itu sangat penting (AB ≠ BA). Banyaknya permutasi dari m elemen adalah jumlah maksimum cara-cara yang berbeda dalam mengatur atau membuat urutan dari m elemen tersebut. Permutasi objek n yang diambil sebanyak r, yang dapat dinyatakan sebagai nPr, P(n,r)atau Pn,r adalah : n



Pn  n !



Definisi: Misalkan n bilangan asli. n faktorial atau n! adalah 1.2.3. . . . . . n dan 0! Sifat 1: Banyaknya permutasi dari r unsur ( r  n ) yang diambil dari n unsur berbeda adalah :



P  n r



n! (n  r )!



Sifat 2:



16



Banyaknya permutasi dari n unsur dimana terdapat k unsur yang masing-masing muncul



q , q ,.........., q 1



2



P k



kali adalah:



n! q1 ! q 2 !........ q k !



Sifat 3: Banyaknya permutasi siklis dari n unsur adalah: ( n - 1 )! Contoh soal : 1. Banyaknya permutasi dari satu set huruf (a,b,c) yang diambil dua huruf diantaranya adalah : 3 P2=



3! 3 x2 x1 = =6 1 (3−2)!



Yaitu susunan huruf ; ab, ba, ac, ca, bc, cb. Dalam Permutasi susunan huruf (urutan peristiwa adalah hal yang di perhitungkan. 2.3.4 Kombinasi Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tersebut. Kombinasi memiliki kemiripan dengan permutasi, tetapi pada kombinasi “urutan susunan” tidak diperlukan, walaupun urutannya berbeda kalau elemen-elemennya sama, namun mempunyai kombinasi yang sama, sehingga bias memperkecil jumlah. Jadi, ABC sama dengan ACB, BCA. Jadi Kombinasi adalah susunan dari beberapa elemen di mana urutan tidak diperhatikan. Kombinasi “n” objek yang diambil sebanyak ‘r” setiap kali sering



ditulis sebagai nCr, C(n,r), Cnr atau



C  n r



n! r !(n  r )!



Contoh : 1. Banyaknya kombinasi huruf a,b,c yang di ambil 2 huruf setiap kali adalah:



3 C2 =



3! 3 ! 3×2 = = =3 2!(3−2 )! 2 !1! 2×1



2.3.5 Analisis Data Menggunakan SPSS Soal



17



Jika total calon mehasiswa program studi fisika undiksha yang mengikuti ujian SBMPTN adalah 60 orang dengan nilai rata-rata 75 dan diketahui standar deviasinya adalah 55. Berapakah peluang calon mahasiswa fisika yang mendapatkan nilai 60? Langkah pengerjaan : 1. Langkah pertama adalah menyiapkan data yang akan di analisis. 2. Langkah kedua adalah membuka program SPSS, selanjutnya klik “variable view”,di bagian pojok kiri bawah.



3. Langkah ketiga adalah menuliskan data pada tabel “Data View”



4. Langkah keempat yaitu klik “Transform” lalu ada pilihan pertama yaitu “Compute Variable” lalu di klik. 18



5. Langkah kelima yaitu tulis pada “Target Variable” dan “Numeric Variable” dan cari function group PDF&Noncentral PDF



19



6. Setelah langkah 5 selesai lalu klik oke, dan nanti akan langsung keluar nilai peluangnya.



20



BAB III PENUTUP 3.1 Simpulan 1. Probabilitas adalah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak. Terdapat dua pendekatan dalam probabilitas yaiyu pendekatan objektif dan pendekatan subjeltif. Pendekatan objektif dibagi menjadi dua bagian yaitu pendekatan klasik dan pendekatan frekuensi relative. 2. Ruang sampel adalah semua hasil yang mungkin terjadi pada suatu percobaan statistik. Tiap hasil dalam ruang sampel disebut unsur atau anggota dari ruang 21



sampel. Ruang peristiwa adalah himpunan bagian dari sampel. Dalam ruang sampel terdapat beberapa operasi yaitu, gabungan, irisan, komplemen, saling pisah. 3. Analisis kombinatorik dalam probabilitas dan probabilitas bersyarat meliputi aturan penjumlahan, aturan perkalian, teorema bayes, permutasi, dan kombinasi. 3.2 Saran Berdasarkan pemaparan materi mengenai teori probabilitas ini, banyak sekali manfaat yang diberikan dari mempelajari probabilitas tersebut. Oleh karena itu sebagai seorang mahasiswa dan juga generasi muda sudah sepatutnya kita mempelajari teori probabilitas ini dengan sungguh-sungguh, sehingga dapat di implementasikan dalam menyelesaikan suatu permasalahan.



22



DAFTAR PUSTAKA Badir, S. (2012). Metode Statistika untuk Penelitian Kuantitatif. Yogyakarta: Penerbit Ombak. M.N, S. (2010). Statistika Deskriptif dan Infuktif. Yogyakarta: Graha Ilmu. Nurlindasari, D. (2012). Peluang Bersyarat. Jakarta: Academia edu. Otaya, L. G. (2016). PROBABILITAS BERSYARAT, INDEPENDENSI DAN TEOREMA. Gorontalo: Institut Agama Islam Negeri Sultan Amai Gorontalo. Sudjana. (2006). Metode Statistika. Bandung: PT Tarsito Bandung. Sugiyono. (2007). Statistika Untuk Penelitian. Bandung: CV Alfabeta.



23