Makalah Kelompok 6 Matematika PDGK4108 Modul 9 Dan Modul 10 [PDF]

Citation preview

MAKALAH MATEMATIKA PDGK4108 MODUL 9 DAN MODUL 10 PENGANTAR STATISTIKA



Oleh : Kelompok 6 1. 2. 3. 4. 5. 6.



ESA PUTRI DINANTI ( 856192923 ) FITRIANIS (856193624 ) NURI NIRWANA (856193402 ) RINZI FITRIA (856193591 ) SEPRIA YENTI (856193172 ) WIRNU HIDAYAT (856193459 )



PGSD BI FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN POKJAR TANJUNG PATI UPBJJ PADANG UNIVERSITAS TERBUKA 2020.1



MODUL 9 PENGANTAR STATISTIKA 1



Kegiatan Belajar 1 Pengumpulan dan Penyajian Data A. PENGERTIAN DATA Data adalah keterangan atau kumpulan keterangan yang diketahui yang mana merupakan suatu keterangan yang akan disampaikan kepada orang lain. B. KLASIFIKASI DATA Data dapat diklasifikasikan berdasarkan : 1. Sifatnya Menurut sifatnya data dapat dibedakan menjadi dua yaitu: a. Data kualitatif ,yaitu data yang tidak berbentuk angka yang mana berbentuk keterangan, b. Data kuantitatif ,yaitu data yang mana dalam penyajiannya berbentuk angka yang mana merupakan hasil sebuah pengukuran Data kuantitatif dibedakan menjadi dua macam.  Data diskret (cacahan), yaitu data yang diperoleh dengan  cara mencacah atau menghitungnya, misalnya, data tentang  banyak anak dalam keluarga.  Data kontinu (ukuran), yaitu data yang diperoleh dengan  cara  mengukur,  misalnya  data  tentang  luas  tanah,  dat a  tentang berat badan, dan data tentang tinggi badan. 2. Menurut proses pengolahannya dibagi manjadi dua yaitu: a. Data berkelompok, yaitu data – data yang telah di klasifikasikan berdasarkan cara-cara tertentu b. Data tidak berkelompok, yaitu data yang mentah atau masih belum di klasifikasikan 3. Menurut sumber data dapat dibedakan menjadi dua yaitu: a. Data internal , yaitu data yang didapatdari dalam lingkungan sendiri, sebagai contoh:sebuah organisasi membuat data keuangannya b. Data eksternal ,yaitu data yang didapat dsari luar lingkungan sendiri, sebagai contoh:data tentang valuta asing C. PENGUMPULAN DATA. Ada tiga cara untuk mengumpulkan data antara lain: 1. Observasi yaitu pengambilan data denagan cara si peneliti harus terjun langsung atau berpartisipasi langsung dilapangan. 2. Wawancara yaitu teknik pengumpulan data dengan cara melakukan tanya Jawab dengan responden.wawancara dibagi dua yaitu



a. Wawancara terstrutur yaitu pertanyaan yang diberikan suda dibuat atau ditentukan b. Wawancara tidak terstruktur yaitu wawancara yang mana pertanyaan tidak ditentukan. 3. Angket yaitu data yang cara mendapatkannya dengan cara memberikan pertanyaan kepada responden,yang mana pertanyaanya dibagi dua yaitu; a. Tertutup yaitu jawabannya berupa objektif atau pilihan b. Terbuka atau bebas yaitu pertanyaan dapat dijawab dengan bebas atau terbuka D. PENYAJIAN DATA Penyajian data dapat dilakukan dalam bentuk tabel da diagram, 1. Tabel / Daftar Contoh : Misalnya nilai ulangan matematika kelas VI adalah sebagai berikut : 6, 6, 5, 7, 8, 8, 4, 9, 8, 8, 9, 9, 6, 4, 7, 7, 8, 9, 10, 8, 8, 9, 9, 4, 5, 5, 8, 9, 7, 7, 6, 9, 8, 7, 7, 8, 9, 8, 10, 10.



Nilai



Banyak Siswa



4



3



5



4



6



4



7



7



8



11



9



8



10



3



Jumlah



40



2. Grafik / Diagram, dibagi menjadi 4 yaitu : a. Diagram batang Dari nilai matematika kelas VI diatas dapat disajikan ke dalam diagram batang sebagai berikut



  b. Diagram garis Dari nilai ulangan matematika kelas VI diatas dapat disajikan ke dalam  diagram garis.



c. Diagram lambang atau simbol



d. Diagram lingkaran Berikut ini contoh data hasil panen suatu desa : Tanaman Padi Jagung Ketela Kelapa Jumlah



Hasil Panen (ton) 400 200 300 100 1.000



Penyajian diagram lingkaran dalam bentuk derajat a. Padi          = 144 b. Jagung       = 72 c. Ketela        = 108 d. Kelapa       = 36 Sehingga data tersebut apabila disajikan dalam diagram lingkaran menjadi seperti di bawahini :



 Penyajian diagram lingkaran dalam bentuk persen a.       Padi       = 40% b.      Jagung   = 20%



c.       Ketela    = 30% d.      Kelapa   = 10% Sehingga data lingkaran menjadi seperti



tersebut apabila disajikan dalam di bawah ini



diagram :



Kegiatan Belajar 2 Penyajian Data Berkelompok ke Dalam Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi dan Bentuk Diagramnya A. Pengertian Tabel Distribusi Frekuensi Tabel distribusi frekuensi adalah statistika yang menyusun data dengan cara membagi nilai obsevasi ke dalam kelas-kelas dengan interval tertentu. B. Istilah – Istilah Dalam Tabel Distribusi Frekuensi 1. Rentang Rentang adalah nilai data terbesar dikurangi dengan nilai data terkecil 2. Kelas interval Banyaknya data yang dikumpulkan dan dibentuk dalam kelompok-kelompok yang disajikan sebagai a—b 3. Frekuensi Banyaknya data yang terdapat dalam kelas interval 4. Batas bawah kelas interval Bilangan di sebelah kiri kelas interval 5. Batas atas kelas interval Bilangan di sebelah kanan kelas interval 6. Panjang interval Selisih positif antara setiap dua ujung bawah berurutan 7. Tepi kelas interval Tepi kelas bawah, batas bawah kelas interval dikurangi 0,5. Tepi atas kelas interval. Batas atas kelas interval ditambah 0,5 C. Teknik Menyusun Data Ke Dalam Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi 1. Mengurutkan data dari yang terkecil ke yang terbesar 2. Menentukan daerah jangkauan (range) = R



3. Menentukan banyaknya kelas/kelompok dengan menggunakan aturan Sturgess yaitu: k = 1 + 3,3 log n , n = banyaknya datum 4. Menentukan interval kelas: I = R / k 5. Menentukan batas kelas yaitu batas atas dan batas bawah 6. Menentukan tepi kelas a. Tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,5 b. Tepi bawah kelas = batas bawah kelas – 0,5 7. Menuliskan frekuensi kelas dalam kolom turus atau tally sesuai dengan banyaknya data Contoh: Data nilai ulangan matematika dari 80 siswa SMP Tunas Hijau Sidoarjo.



D. Macam – Macam Tabel Distribusi Frekuensi 1. Distribusi Frekuensi Relatif Distribusi frekuensi relatif adalah distribusi frekuensi yang nilai frekuensinya tidak dinyatakan dalam bentuk angka mutlak, akan tetapi setiap kelasnya dinyatakan dalam bentuk persentase ( % ). Rumus : F relatif kelas ke-i = Di mana n = jumlah data Contoh



Carilah soal di



soal : Kelas



Interval Kelas



Frekuensi



1



22-34



6



2



35-44



8



3



45-54



11



4



55-64



14



5



65-74



12



6



75-84



8



7



85-94



6



Jumlah



65



distribusi frekuensi relatif untuk atas !



Frelatif = 6/65 x 100% = 9,2% Frelatif = 8/65 x 100% = 12,3% Frelatif = 11/65 x 100% = 17% Frelatif = 14/65 x 100% = 22% Frelatif = 12/65 x 100% = 18% Tabel Distribusi frekuensi relatif Kelas



Interval Kelas



Frekuensi



Persentase (%)



1



25-34



6



9,2



2



35-44



8



12,3



3



45-54



11



17



4



55-64



14



22



5



65-74



12



18



6



75-84



8



12,3



7



85-94



6



9,2



65



100



Jumlah



2. Distribusi Frekuensi Kumulatif Distribusi frekuensi kumulatif adalah distribusi yang nilai frekuensinya (f) diperoleh dengan cara menjumlahkan frekuensi demi frekuensi. Distribusi frekuensi kumulatif ( f kum ) dibagi dua, yaitu distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan distribusi frekuensi kumulatif lebih dari.



Contoh : Carilah distribusi frekuensi kumulatif dari tabel diatas Tabel Distribusi frekuensi kumulatif kurang dan lebih dari



No



Kurang dari



Lebih dari



1



< 25



0



≥ 25



65



2



≤ 34



6



> 34



59



3



≤ 44



14



> 44



51



4



≤ 54



25



> 54



40



5



≤ 64



39



> 64



26



6



≤ 74



51



> 74



14



7



≤ 84



59



> 84



6



8



≤ 94



65



> 94



0



3. Distribusi Frekuensi Relatif Kumulatif Distribusi frekuensi relatif kumulatif adalah distribusi frekuensi yang mana nilai frekuensi kumulatif diubah menjadi nilai frekuensi relatif atau dalam bentuk persentase (%). Contoh : Carilah distribusi frekuensi relatif kumulatif dari tabel 2.3 1. Distribusi frekuensi relatif kumulatif ( f kum (%) ) kurang dari        



f kum (%) ke-1 = 0/65 x 100% = 0% f kum (%) ke-2 = 6/65 x 100% = 9,2% f kum (%) ke-3 = 14/65 x 100% = 22% f kum (%) ke-4 = 25/65 x 100% = 38% f kum (%) ke-5 = 39/65 x 100% = 60% f kum (%) ke-6 = 51/65 x 100% = 78% f kum (%) ke-7 = 59/65 x 100% = 91% f kum (%) ke-8 = 65/65 x 100% = 100%



2. Distribusi frekuensi relatif kumulatif ( f kum (%) ) lebih dari       



f kum (%) ke-1 = 65/65 x 100% = 100% f kum (%) ke-2 = 59/65 x 100% = 91% f kum (%) ke-3 = 51/65 x 100% = 78% f kum (%) ke-4 = 39/65 x 100% = 60% f kum (%) ke-5 = 25/65 x 100% = 38% f kum (%) ke-6 = 14/65 x 100% = 22% f kum (%) ke-7 = 6/65 x 100% = 9,2%







f kum (%) ke-8= 0/65 x 100% = 0%



( Siregar, Sofyan, 2011 : 9 – 11 ) Tabel Distribusi frekuensi relatif kumulatif kurang dan lebih dari



No



Kurang dari



Lebih dari



Nilai



fkum(%)



Nilai



fkum(%)



1



< 25



0



≥ 25



100



2



< 34



9,2



≥ 34



91



3



< 44



22



≥ 44



78



4



< 54



38



≥ 54



60



5



< 64



60



≥ 64



38



6



< 74



78



≥ 74



22



7



< 84



91



≥ 84



9,2



8



≤ 94



100



> 94



0



E. Penyajian Data Berkelompok Ke Dalam Bentuk Diagram 1. Histogram adalah sajian tabel distribusi frekuensi dengan menggunakan gambar berbentuk pesegi panjang yang saling berhimpit. Langkah-langkah membuat histogram: a. Membuat sumbu datar dan sumbu tegak yang saling berpotongan. Sumbu datar menyatakan kelas interval dan sumbu tegak menyatakan frekuensi b. Buat skala menggunakan batas-batas kelas interval c. Bentuk batang sesuai dengan batas kelas interval dan frekuensi. Sisi-sisi dari batang kelas interval harus berdekatan dan berhimpit Contoh: Data nilai ulangan matematika dari 80 siswa SMP Tunas Hijau Sidoarjo yang telah disajikan dalam tabel distribusi frekuensi.



2.



Poligon adalah diagram garis yang dibentuk dengan cara menghubungkan titik tengah bagian sisi atas persegi panjang pada histogram. Langkah-langkah membuat poligon: 1. Buat titik tengah kelas: (nilai ujung bawah + nilai ujung atas) x ½ 2. Buat tebel distribusi frekuensi mutlak dengan kolom tambahan berupa kolom titik tengah kelas 3. Buat grafik poligon dengan melihat data pada tabel distribusi frekuensi mutlak Contoh: Data nilai ulangan matematika dari 80 siswa SMP Tunas Hijau Sidoarjo yang telah disajikan dalam tabel distribusi frekuensi.



3.



Ogive adalah merupakan grafik garis yang dapat dibuat dari poligon fekuensi kumulatif. Jika poligon fekuensi kumulatif dihaluskan maka diperoleh kurva yang disebut kurava ogive. Ada dua macam ogive yaitu: 1. Ogive positif, yang diperoleh dari polygon frekuensi kumulatif kurang dari 2. Ogive negative, yang diperoleh dari polygon frekuensi kumulatif lebih dari 1. Frekuensi kumulatif kurang dari (fkk) menyatakan jumlah semua nilai data yang kurang dari atau sama dengan nilai pada tiap kelas. 2. Frekuensi kumulatif lebih dari (Fkl) menyatakan jumlah frekuensi semua nilai data yang lebih dari atau sama dengan nilai tiap kelas. Contoh: Data nilai ulangan matematika dari 80 siswa SMP Tunas Hijau Sidoarjo yang telah disajikan dalam tabel distribusi frekuensi.



MODUL 10 PENGANTAR STATISTIKA 2 Kegiatan Belajar 1 Ukuran Pemusatan Ukuran statistik yang dapat menjadi pusat dari rangkaian data dan memberi gambaran singkat tentang data disebut ukuran pemusatan data. Ukuran pemusatan data dapat digunakan untuk menganalisis data lebih lanjut. Ukuran pemusatan data terdiri dari tiga bagian yaitu, Rataan (mean),Median, dan Modus. Rataan, Median, dan Modus, memberikan gambaran pemusatan nilai-nilai dari suatu kumpulan data yang telah diamati. A. Rataan Hitung (Mean) Rataan hitung seringkali disebut sebagai ukuran pemusatan atau rata-rata hitung. Rataan hitung juga dikenal dengan istilah mean dan diberi lambang ´x . Rataan (mean) dari suatu data adalah perbandingan jumlah semua nilai datum dengan banyak datum. Dengan demikian dapat ditulis :



Rataan=



jumla h semuanilaidatumyangdiamati banyakdatumyangdiamati



1. Rataan Data Tunggal Secara umum : Jika suatu data terdiri atas nilai-nilai x 1, x2, x3, ... , xn, maka rataan dari data itu ditentukan dengan rumus berikut.



´x =



x 1+ x 2 + x 3+ …+ x n n



n



atau



´x =



1 ∑x n i=1 i



Keterangan : ´x = rataan dari suatu data



n = banyak datum yang diamati, disebut ukuran data x i = nilai datum yang ke-i Contoh Hitunglah rataan dari data 4, 5, 6, 7, 8, 10, 10, 10. Jawab :



Jumlah nilai datum yang diamati adalah 8



∑ x i=4+5+ 6+7+8+ 10+10+10=60 i=1



Banyak nilai datum dari data yang diamati adalah n = 8 8



1 1 x= ∑ x i= ( 60 )=7,5 n i =1 8 Jadi rataan dari data tersebut adalah 7,5. 2. Rataan Data Distribusi Frekuensi



a) Rataan Data Distribusi Frekuensi Tunggal Apabila data disajikan dalam tabel distribusi frekuensi maka rataan dirumuskan sebagai berikut: n



∑ f 1 x 1+ f 2 x2 + f 3 x 3 +…+ f n x n x= atau x= i=1n f 1 +f 2 + f 3 +…+ f n



f i xi



∑ fi i=1



Keterangan : f i=frekue nsi untuk nilai x i x i=data ke−i Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh soal Berdasarkan data hasil ulangan harian Matematika di kelas XI IPA, enam siswamendapat nilai 8, tujuh siswa mendapat nilai 7, lima belas siswa mendapat nilai 6,tujuh siswa mendapat nilai 5, dan lima siswa mendapat nilai 4. Tentukan rata-ratanilai ulangan harian Matematika di kelas tersebut. Penyelesaian Tabel nilai ulangan harian Matematika kelas XI IPA. Nilai ( x i)



Frekuensi ( f i)



f i . . xi



4



5



20



5



7



35



6



15



90



7



7



49



8



6



48



5



5



∑ f i=40



∑ f i . x i=242



i=1



i=1



5



∑ f i xi



x= i=15



=



∑ fi



242 =6,05 40



i=1



Jadi, rataan nilai ulangan harian Matematika di kelas XI IPA adalah 6,05.



b) Rataan Data Distribusi Frekuensi Kelompok Rata-rata untuk data kelompok pada hakikatnya sama dengan menghitung rata-rata data pada distribusi frekuensi tunggal dengan mengambil titik tengah kelas sebagai x i. x i diperoleh dari



1 ( bata s bawah+batas atas) dari setiap 2



kelas. Sehingga dapat dirumuskan : k



∑ f i xi



x= i=1k



Rataan :



∑ fi i=1



Keterangan :



 k menyatakan banyaknya kelas  fi menyatakan frekuensi untuk nilai datum xi k







∑ f i xi menyatakan ukuran data i=1



Contoh : Tentukan rataan dari data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi kelompok pada tabel berikut Hasil pengukuran



Frekuensi



(dalam mm)



fi



119 - 127



3



128 - 136



6



137 - 145



10



146 - 154



11



155 - 163



5



164 - 172



3



173 - 181



2



Jawab : Hasil pengukuran



Titik tengah



Frekuensi



(dalam mm)



xi



fi



119 - 127



123



3



369



128 - 136



132



6



792



137 - 145



141



10



1410



146 - 154



150



11



1650



155 - 163



159



5



795



164 - 172



168



3



504



173 - 181



177



2



354



∑ f i=40



∑ f i xi =5874



7 i=1



fi . xi



7 i=1



7



Berdasarkan tabel diatas diperoleh ∑ f i=40 i=1



7



∑ f i xi =5874 i=1



dan



7



∑ f i xi



x= i=17



∑ fi



=



5874 =146,85 40



i=1



Jadi rataannya adalah 164,85 mm



Selain dengan menggunakan cara diatas, ada cara lain untuk menghitung rataan yaitu dengan menentukan rataan sementara terlebih dahulu, sebagai berikut: a. Menentukan rataan sementaranya



xs



= rataan sementara



b. Menentukan simpangan (d) dari rataan sementara c. Menghitung simpangan rataan baru dengan rumus berikut ini n



Simpangan rataan



=



∑ f i di i=1 n



∑ fi i=1



d. Menghitung rataan sesungguhnya Dengan rumus: n



∑ f i di



x=x s + i=1n



∑ fi i=1



Contoh soal 1. Carilah rataan dari data berikut dengan menggunakan rataan sementara. Nilai ( x i)



Frekuensi ( f i)



4



5



5



7



6



15



7



7



8



6



Penyelesaian Misal rataan sementara= 6 Maka dapat dibuat tabel baru seperti di bawah ini: Nilai ( x i)



Frekuensi (f i)



d i=x i−x s



f i . . di



4



5



-2



-10



5



7



-1



-7



6



15



0



0



7



7



1



7



8



6



2



12



5



5



∑ f i=40



∑ f i . di =2



i=1



i=1



5



5



Berdasarkan tabel diatas diperoleh ∑ f i=40 dan ∑ f i d i=2 i=1



5



∑ f i di Simpangan rataan =



i=1 5



∑ fi i=1



5



∑ f i di



x=x s + i=15



∑ fi i=1



x=6+ 0,05 x=6,05



B. Menentukan Median



=



2 =0,05 40



i=1



Median adalah suatu nilai datum yang berada di tengah-tengah, dengan catatan data telah diurutkan dari nilai yang terkecil samapai dengan yang terbesar. Jika nilai suatu data telah diurutkan, maka median dari data itu dapat ditentukan sebagai berikut. Jika ukuran data n ganjil, maka mediannya adalah nilai datum yang ditengah atau nilai datum yang ke



n+1 . 2



Ditulis :



Median= X n+1 2



Jika ukuran data n genap, maka mediannya adalah rataan dari dua nilai datum yang ditengah atau rataan dari nilai datum ke



n n dan nilai datum ke ( + 1). 2 2



Ditulis :



Median=



1 X + X n+1 2 n2 2



(



)



Contoh : Tentukan median dari setiap data berikut ini. a) 4, 5, 7, 9, 10 b) 12, 11, 7, 8, 6, 13, 9, 10



Jawab : a) Nilai-nilai dalam data itu sudah terurut dengan ukuran data n = 5 (ganjil).



Median= X 5+1 = X 3=7 2



Jadi, median dari data itu adalah x 3 = 7. Dalam bentuk bagan, median dari data itu dapat ditentukan sebagai berikut.



4



5



7



9



10



x1



x2



x3



x4



x5



Datum yang ditengah, median = x3 = 7 b) Nilai-nilai dalam data itu belum terurut. Oleh karena itu, terlebih dahulu diurutkan sebagai berikut :



6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 Dan ukuran data diatas adalah n = 8 (genap) Median =



1 x 8 x 8+1 1 1 ( + ) = (x4 + x5) = (9+10) = 9,5 2 2 2 2 2



Jadi, median dari data itu adalah 9,5. Perhatikan bagan berikut ini.



4



5



7



9



10



10



10



10



x1



x2



x3



x4



x5



x6



x7



x8



1



Datum yang ditengah, median = 2 (x4 + x5) = 9,5 Dari contoh tersebut, tampak bahwa median membagi data menjadi dua bagian yang sama banyak. Median untuk data berkelompok akan dijelaskan pada pembahasan kuartil kedua untuk data berkelompok.



C. Menentukan Modus



Bila kita melintasi suatu kawasan tertentu, kadang kita mendapati rumahrumah yang



bagus. Tentu kita segera membuat kesimpulan bahwa kawasan



tersebut adalah kawasan orang-orang kaya. Padahal, bila diperhatikan ada beberapa rumah yang kumuh. Gejala-gejala yang banyak muncul seperti pada ungkapan diatas bahwa suatu kawasan tersebut adalah kawasan orang kaya karena sebagian besar rumahnya bagus, mengarah pada suatu yang disebut modus. Modus adalah nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi. Jika suatu data hanya mempunyai satu modus disebut unimodal dan bila memiliki dua modus disebut bimodal, sedangkan jika memiliki modus lebih dari dua disebut multimodal. Modus dilambangkan dengan Mo. 1) Modus data tunggal



Modus dari data tunggal adalah data yang sering muncul atau data dengan frekuensi tertinggi. Perhatikan contoh berikut: 1. Tentukan modus dari data berikut: 2, 1, 4, 1, 1, 5, 7, 8, 9, 5, 5, 10!



2. Tentukan modus dari data dibawh ini: Nilai



Frekuensi



4



5



5



10



6



14



7



6



8



5



Penyelesaian: 1. Urutkan data: 1, 1, 1, 2, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 10 Setelah diurutkan terlihat bahwa data yang sering muncul adalah 1 dan 5. Jadi modusnya adalah 1 dan 5. 2. Berdasarkan pada tabel, nilai yang memiliki frekuensi tertinggi adalah 6. Jadi, modusnya adalah 6.



2) Modus data berkelompok Langkah-langkah untuk menentukan modus dari data berkelompok adalah sebagai berikut. 1) Tentukan kelas modus, yaitu kelas yang memiliki frekuensi terbesar. Kemudian tentukan tepi bawah dan tepi atas kelas modus tersebut. 2) Hitung panjang kelas modus.



3) Hitung selisih frekuensi kelas modus dengan kleas sebelumnya, dan selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya. 4) Hitung modus dengan rumus berikut



Modus data berkelompok dirumuskan sebagai berikut:



Mo=L+ c .



(



d1 d1+ d2



)



Keterangan: L = tepi bawah kelas Modus c = lebar/panjang kelas d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya



Contoh : Dari tabel di bawah ini, tentukan nilai modusnya. Nilai



frekuensi (fi)



55 – 59



6



60 – 64



8



65 – 69



16



70 – 74



10



75 – 79



6



80 – 84



4



Jawab : 



Dari data diatas terlihat bahwa kelas modusnya 65 – 69 (karena memiliki frekuensi terbesar, yaitu 16). Tepi bawahnya L = 65 – 0,5 = 64,5. Dan tepi



atasnya U = 69 + 0,5 = 69,5. Sehingga panjang kelas c = U – L = 69,5 – 64,5 = 5. 



Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya δ 1 = 16 – 8 = 8, dan selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya δ 2 = 16 – 10 = 6.



Jadi modusnya adalah :



Modus=L+c . ¿ 64,5+



( 8+68 ) 5



= 67,36 (teliti sampai 2 tempat desimal)



Kegiatan Belajar 2 Ukuran Letak A. Kuartil Kuartil adalah ukuran letak ynag membagi data observasi menjadi empat bagian yang sama banyak. Oleh karena itu masing-masing bagian mengandung 25% data observasi. Pada satu set data observasi mempunyai tiga buah kuartil, yaitu K1, K2, K3. a. Data yang tidak berkelompok. Untuk menentukan kuartil data yang tidak berkelompok dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut ini: 1. Urutkan data observasi dari kecil kebesar 2. Tentukan letak kuartilnya Menentukan letak kuartilnya dapat digunakan formulasi sebagai berikut: Qi=



i(n+1) 4



Dimana: i = 1,2,3 Qi = kuartil ke-i



3. Tentukan nilai kuartilnya. Apabila hasil dari letak Qi nya pecahan(tidak bulat) maka untuk menentukan hasil dari Qi nya yaitu Qi = X letak Qi + Jumlah pecahannya(X sesudah letak Qi + X letak Qi). Tetapi apabila hasil dari letak Q tersebut bulat atau tidak pecahan maka untuk menentukan nilai kuartilnya langsung saja ditentukan. Contoh: Tentukan Q1, Q2, danQ3 dari data berikut ini: 7,3,8,5,9,4,8,3,10,2,7,6,8,7,2,6,9. Jawab: Urutkan nilai tersebut dari yang terkecil ke besar 2,2,3,3,4,5,6,6,7,7,7,8,8,8,9,9,10 Tentukan letak Q1, Q2, Q3 dengan formula n = 17 Letak Q1 =



1(17+1) 18 = = 4,5 4 4



NilaiQ1 = X4 + 0,5(X5 -X4) = 3 + 0,5(4-3) = 3,5 Letak Q2 =



2(17+1) 36 = =9 4 4



Nilai Q2 = X9 =7 Letak Q3 =



3(17+1) = 13,5 4



Nilai Q3 = X13 + 0,5(X14 + X13) = 8 + 0,5 (8 - 8) =8



b. Data yang berkelompok. Untuk menentukan kuartil data yang berkelompok dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut ini: 1. Tentukan letak/ kelas kuartil (Q)dengan formula: Qi=



i. n 4



dimanai = 1,2,3 2. Tentukan nilai kuartil (Q)dengan menggunakan formula: i .n −( Σ f i)0 Qi = L0+c( 4 ). fq1 Keterangan: Qi= Kuartil i L0



= tepi kelas bawah dari kelas kuartil i



c



= interval kelas



n



= banyaknya data observasi



(Σfi)0 = frekuensi komulatif kelas sebelum kelas kuartil i fq = frekuensi kelas kuartil i Contoh: Tentukan Q1, Q2, dan Q3 nilai 30 peserta ujian statistik seperti yang tampak pada tabel 3.1 Nilai



Frekuensi



Tepi Kelas



Frekuensi Kumulatif



40-49



4



39,5



4



50-59



6



49,5



10



60-69



10



59,5



20



70-79



4



69,5



24



80-89



4



79,5



28



90-99



2



89,5



30



Σ



30



Jawab: 1) Q1 =



1.n 30 = = 7.5 4 4



1. n −(Σ f i)0 Q1 = L0+c( 4 ) fq = 49,5 + 10(



7,5−4 ) 6



= 49,5 + 5,8 = 50,3 2) Q2 =



2.n 2(30) = = 15 4 4



2. n −( Σ f i)0 Q2= L0+c( 4 ) fq = 59,5 +10 ¿) = 59,5 + 5 = 64,5 3) Q3 =



3 N 3(30) = =22,5 4 4



2. n −( Σ f i)0 Q2= L0+c( 4 ) fq



= 69.5 + 10(



22,5−20 ) 4



= 69,5 + 6,25 = 75,75



B. Desil Desil adalah ukuran letak yang membagi data observasi menjadi sepuluh bagian yang sama banyak. Oleh karena itu masing-masing bagian mengandung 100% data observasi. Pada satu set data observasi mempunyai sembilan buah desil, yaitu D1, D2, ... ,D9. a. data yang tidak berkelompok. Untuk menentukan kuartil data yang tidak berkelompok dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut ini: 1. Urutkan data observasi dari kecil kebesar. 2. Tentukan letak desilnya. Menentukan letak kuartilnya dapat digunakan formulasi sebagai berikut: Di=



i(n+1) 10



Dimana: i = 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Di = desil ke-i 3. Tentukan nilai desilnya. Apabila hasil dari letak Di nya pecahan(tidak bulat) maka untuk menentukan hasil dari Di nya yaitu Di = X



letak Di



+ jmlah pecahanny(X



sesudah letak Di



+X



).



letak Di



Tetapi apabila hasil dari letak D tersebut bulat(tidak pecahan) maka untuk menentukan nilai kuartilnya langsung saja ditentukan. Contoh:



1,2,3,3,4,5,5,5,5,7,7,7,7,9,9,9,9,10 Tentukan Letak dan nilai D1, D2, ...,D9! Jawab: Letak D1 =



18+1 10



= 1,9



Nilai D1 = X1 +0,9 (X2 – X1) = 1 + 0,9 (2 - 1) = 1 + 0,9 = 1,9 Letak D2= (



2(19) )= 3,8 10



Nilai D2 = X3 +0,8 (X4 – X3) = 3 + 0,8 (3 - 3) =3+0 =3 Letak D3 = (



3(19) )= 5,7 10



Nilai D3 = x5 +0,7 (x6 – x5) = 4 + 0,7 (5 - 4) = 4 + 0,7 = 4,7 Dan seterusnya sampai Letak D9= (



9(N +1) )= 17,1 10



Nilai D9 = x17 +0,1 (x18 – x17)



= 9 + 0,1 (10 - 9) = 9 + 0,1 = 9,1



b. Data yang dikelompokkan Untuk menentukan desil data yang berkelompok dapat ditentukan dengan langkahlangkah sebagai berikut ini: 1) Tentukan letak Desil dengan formula: Di=



i(n) 10



Dimana i = 1,2,3,4,5,6,7,8,9. 2) Tentukan nilaidesilnyadengan menggunakan formula: i .n −( f i)0 Di = L0+c ( 10 ) fd Keterangan: Di= Desil ke-i L0 = tepi kelas bawah dari desil i n = banyaknya data observasi ( f i)0 = frekuansi komulatif sebelum kelas desil 1 fd = frekuensi kelas yang memuat desil c = interval kelas Contoh: Tentukan nilai D6 dari data tersebut: Data



F



11-13



5



14-16



6



17-19



3



20-22



5



23-25



7



26-28



4



Data



F



Fk



11-13



5



5



14-16



6



11



17-19



3



14



20-22



5



19



23-25



7



26



26-28



4



30



Jawab:



Di=



i(n) 6(30) = = 18 10 10



i .n −( f i)0 Di = L0+c ( 10 ) fd = 19,5 + 3(



18−14 ) 5



= 19,5 + 2,4 = 21,9



C. Persentil



Persentil adalah ukuran letak yang membagi data observasi menjadi seratus bagian yang sama besar. Oleh karena itu masing-masing bagian mengandugn 1% data observasi. Pada satu set data observasi mempunyai 99 persentil, yaitu: P1, P2,..., P99. Pada kelompok data, dimana n ≥ 100, dapat ditentukan 99 nilai, P1, P2,..., P99 yang disebut persentil pertama, kedua, dan ke-99, yang membagi kelompok data tersebut menjadi 100 bagian; masing-masing mempunyai bagiian dengan jumlah observasi yang sama, dengan sedemikian rupa, sehingga 1% dari observasi mempunyai nilai yang sama atau lebih kecil dari P1, 2% observasi mempunyai nilai yang sama atau lebih kecil dari P2, dan seterusnya. a. Untuk data yang tidak berkelompok: Apabila data sudah disusun mulai dari yang terkecil sampai(X1) sampai yang terbesar (Xn), maka rumus persentil adalah sebagai berikut: Pi = nilai yang ke-



i(n+1) 100



Dimana: Pi = persentil ke-i i = 1,2,...,99 n = banyaknya data Contoh soal: Diketahui: 9,10,11,6,8,7,7,5,4,5. Tentukan letak dan nilai persentil ke-30 dan persentil ke-75 Penyelesaian: data diurutkan: 4,5,5,6,7,7,8,9,10,11 a. Letak dan nilai persentil ke-30 P30 =



=



30(10+1) 100 330 100



= 3,3



P30 = X3 + 0,3 (X4 – X3)



= 5 + 0,3 (6 - 5) = 5,3 b. Letak dan nilai persentil ke-75 P75 =



=



75(10+1) 100 825 100



= 8,25



P75 = X8 + 0,25 (X9 – X8) = 9 + 0,25 (10 - 9) = 9,25



b. Untuk data yang berkelompok: Rumus persentil: ¿ −( f i ) 0 ( 100 ) P = L +c ( ) 1



0



f p



Dimana: L0 = tepi bawah n



= banyaknya data



c= lebar kelas (fi)0 =frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas persentil fp = frekuensi kelas persentil contoh soal: X



F



41 – 45



3



46 – 50



6



51 – 55



16



56 – 60



8



61 – 65



7



Dari data diatas tentukan persentil ke-25 Penyelesaian: X



F



F kumulatih



41 – 45



3



3



46 – 50



6



9



51 – 55



16



25



56 – 60



8



33



61 – 65



7



40



Letak P25 = (



25 . 40 ) = 10 100



P25= 50,5 + 5



( 10−9 16 )



= 50,5 + 0,31 = 50,81



= 51