Makalah Korelasi Spearman Rank [PDF]

Citation preview

UJI KORELASI SPEARMAN



Disusun untuk memenuhi Tugas mata kuliah Pengolahan Data Penelitian Rombel A2 Program Studi Pendidikan Matematika S2



1. Suryandu Prasetyo Jati



(0401517041)



2. Yoshida Agung Ramadan



(0401517059)



PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA



UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG TAHUN 2017



1. PENDAHULUAN Hubungan fungsional antara variabel-variabel seperti regresi linear, regresi non linear dan regresi linear ganda, ditentukan oleh parameter dalam persamaan regresi tersebut. Persoalan yang perlu ditinjau adalah jika hasil pengamatan terdiri dari banyak variabel, maka seberapa kuat hubungan antar variabel tersebut. Dengan kata lain perlu ditentukan derajat hubungan antara variabel variabel. Studi yang membahas derajat hubungan antara variabel variabel dikenal dengan analisis korelasi. Ukuran yang dipakai untuk mengetahui derajat hubungan data kuantitatif adalah koefisien korelasi. Uji korelasi yang dikembangkan oleh Charles Spearman (1863-1945), yakni sebuah uji statistik yang digunakan untuk menguji hipotesis asosiatif dua variabel dengan data yang berskala ordinal. Uji ini dilakukan untuk data nonparametrik atau tidak berdistribusi normal dan tanpa memerhatikan linieritasnya. Data yang diuji berskala ordinal, maka harus dibuat perankingan datanya terlebih dahulu sebelum diuji. Dalam analisis korelasi tidak ada istilah variabel bebas (X) maupun variabel terikat (Y). Dengan demikian, dapat diartikan bahwa kedua variabel yang dikorelasikan (dihubungkan) bersifat independen antara satu dengan yang lainnya. Dengan kata lain masing-masing variabel berdiri sendiri dan tidak tergantung satu sama lain. Uji korelasi Spearman digunakan untuk beberapa tujuan yaitu (1) menguji ada tidaknya hubungan di antara dua variabel, (2) melihat jenis hubungan atara variabel, dan (3) melihat apakah hubungan tersebut signifikan atau tidak. Pengujian dilakukan dengan menentukan koefisien korelasi dari dua variabel yang diuji. Koefisien korelasi Spearman dilambangkan dengan 𝜌 (rho) untuk parameter dan 𝑟𝑠 untuk statistiknya. Nilai koefisien korelasi 𝑟𝑠 menyatakan seberapa kuat hubungan kedua variabel yang diuji.



2. PEMBAHASAN A. Pengertian Uji korelasi yang dikembangkan oleh Charles Spearman (1863-1945), yakni sebuah uji statistik yang digunakan untuk menguji hipotesis asosiatif dua variabel dengan data yang berskala ordinal. Uji ini dilakukan untuk data nonparametrik atau tidak berdistribusi normal dan tanpa memerhatikan linieritasnya. Data yang diuji berskala ordinal, maka harus dibuat perankingan datanya terlebih dahulu sebelum diuji. Uji korelasi Spearman digunakan untuk menguji ada tidaknya hubungan di antara dua variabel. Pengujian dilakukan dengan menentukan koefisien korelasi dari dua variabel yang diuji. Koefisien korelasi Spearman dilambangkan dengan 𝜌 (rho) untuk parameter dan 𝑟𝑠 untuk statistiknya. Nilai koefisien korelasi 𝑟𝑠 menyatakan seberapa kuat hubungan kedua variabel yang diuji. B. Hipotesis Uji korelasi Spearman dibedakan menjadi 3, yakni uji dua pihak, uji satu pihak untuk korelasi positif dan uji satu pihak untuk korelasi negatif. Berikut hipotesis statistik untuk masing-masing jenis uji korelasi Spearman. 1. Uji Dua Pihak (Two Tailed Test) 𝐻0 : 𝜌𝑠 = 0 (Tidak ada korelasi di antara dua variabel) 𝐻1 : 𝜌𝑠 ≠ 0 (Ada korelasi di antara dua variabel) 2. Uji Satu Pihak untuk Korelasi Positif (One Tailed Test for Positive Correlation) 𝐻0 : (Tidak ada korelasi di antara dua variabel) 𝐻1 : (Ada hubungan dari nilai lebih besar di variabel satu dan variabel 2 yang dipasangkan) 3. Uji Satu Pihak untuk Korelasi Negatif (One Tailed Test for Negative Correlation) 𝐻0 : (Tidak ada korelasi di antara dua variabel) 𝐻1 : (Ada hubungan dari nilai lebih besar di variabel satu dan nilai lebih kecil di variabel 2 yang dipasangkan, atau sebaliknya) C. Uji Statistik Uji korelasi Spearman digunakan untuk menguji korelasi antara dua buah variabel yang independen, yang bergantung satu sama lain. Setelah mengkonversi data untuk setiap sampel ke dalam bentuk ranking, jika tidak ada hubungan di antara



ranking-ranking pada variabel pertama dan kedua, nilai dari uji statistiknya dapat dihitung menggunakan rumus yang dikembangkan dari rumus koefisien korelasi Kendall Tau berikut. 𝑟=



∑ 𝑥𝑦 √∑ 𝑥 2 ∑ 𝑦 2



Di mana jumlah-jumlah mencakup harga-harga 𝑛 dalam sampelnya. Sekarang bila X dan Y adalah harga-harga ranking 𝑟 = 𝑟𝑠 , dan jumlah 𝑛 bilangan bulat 1,2, . . . . 𝑛 adalah ∑𝑋 =



𝑛(𝑛 + 1) 2



dari jumlah kuadrat bilangan-bilangan 12 , 22 ,. . . . 𝑛2 dapat ditunjukkan sebagai berikut. ∑ 𝑋2 =



𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 6



Oleh sebab itu, ∑ 𝑥 2 = ∑(𝑋 − 𝑋̅)2 = ∑ 𝑋 2 − dan ∑ 𝑥 2 =



𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 6



Maka, ∑ 𝑦 2 =



−



𝑛(𝑛+1)2 4



=



2



(∑ 𝑋) 𝑛



𝑛3 −𝑛 12



𝑛3 −𝑛 12



.



Sekarang 𝑇 = 𝑥 − 𝑦 𝑇 2 = (𝑥 − 𝑦)2 = 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 ∑ 𝑇 2 = ∑ 𝑥 2 + ∑ 𝑦 2 − ∑ 2𝑥𝑦 Karena rumus r menyatakan bahwa 𝑟=



∑ 𝑥𝑦 √∑ 𝑥 2 ∑ 𝑦 2



= 𝑟𝑠



jika observasi-observasinya di ranking, maka diperoleh ∑ 𝑇 2 = ∑ 𝑥 2 + ∑ 𝑦 2 − 2𝑟𝑠 √∑ 𝑥 2 ∑ 𝑦 2 dengan demikian 𝑟𝑠 =



∑ 𝑥 2 +∑ 𝑦 2 −∑ 𝑇 2 2√∑ 𝑥 2 ∑ 𝑦 2



dengan 𝑋 dan 𝑌 dalam rank, kita dapat mensubstitusikan ∑ 𝑥 2 = dalam rumus 𝑟𝑠 , maka akan diperoleh :



𝑟𝑠 =



𝑛3 −𝑛 𝑛3 −𝑛 + −∑ 𝑇 2 12 12 𝑛3 −𝑛 𝑛3 −𝑛



2√(



12



)(



12



)



𝑛3 −𝑛 12



= ∑ 𝑦 2 ke



=



2



𝑛3 − 𝑛 ∑ 2 12 − 𝑇 𝑛3 − 𝑛 2 12



= 1−



=1−



∑ 𝑇2 𝑛3 − 𝑛 6 6 ∑ 𝑇2 𝑛(𝑛2 − 1)



Maka, didapatkan rumus korelasi Spearman sebagai berikut : 𝑟𝑠 = 1 −



6 ∑𝑛𝑠=1 𝑇 2 𝑛(𝑛2 − 1)



Keterangan: 𝑟𝑠 : koefisien korelasi untuk sampel data berpasangan (statistik sampel) 𝜌𝑠 : koefisien korelasi untuk semua data populasi (parameter populasi) 𝑛 : banyaknya pasangan data sampel 𝑇 : selisih ranking data variabel 𝑋 dan 𝑌 D. Kiteria Uji Kriteria pengujian untuk uji korelasi Spearman yaitu tolak 𝐻0 jika 𝑟𝑠 ≥ 𝑟𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 . 𝑟𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 diperoleh dari Tabel Spearman Rho (𝜌) untuk 𝑛 ≤ 30. Jika 𝑛 > 30, maka perhitungan dilanjutkan dengan menentukan nilai 𝑧𝑠 menggunakan rumus berikut. 𝑧𝑠 = 𝑟𝑠 √𝑛 − 1 Untuk uji korelasi dua pihak, 𝐻0 ditolak jika 𝑧𝑠 > 𝑧(0,5−1𝛼) , sedangkan untuk uji 2



korelasi satu pihak, 𝐻0 ditolak jika 𝑧𝑠 > 𝑧(0,5−𝛼) . Nilai 𝑧(0,5−1𝛼) dan 𝑧(0,5−𝛼) diperoleh 2



dari Tabel Distribusi Normal Standar. Syarat 𝑟𝑠 yang diterima dalam pengujian ini adalah sebagai berikut. 1. Besarnya koefisien korelasi harus diasumsikan antara -1 dan 1. 2. Jika nilai yang lebih besar dari variabel I dipasangkan dengan nilai yang lebih besar dari variabel II, maka nilai yang lebih kecil dari variabel I dan variabel II dipasangkan, maka dinamakan korelasi positif, dan nilai koefisien korelasinya mendekati 1 untuk hubungan yang kuat. 3. Jika nilai yang lebih besar dari variabel I dipasangkan dengan nilai yang lebih kecil dari variabel II, dan sebaliknya, maka dinamakan korelasi negatif, dan nilai koefisien korelasinya mendekati -1 untuk hubungan yang kuat.



4. Jika nilai dari variabel I dipasangkan secara acak dengan nilai dari variabel II maka koefisien korelasinya akan mendekati 0. Hal tersebut menunjukkan bahwa variabel I dan variabel II saling bebas. Kriteria korelasi dari hasil pengujian adalah sebagai berikut. Jika r = 0 maka tidak terdapat hubungan Jika 0 < r < 0,55 maka hubungan lemah. Jika 0,55 < r < 0,65 maka hubungan cukup kuat. Jika 0,65 < r < 0,75 maka hubungan kuat. Jika 0,75 < r < 0,99 maka hubungan sangat kuat. Jika r = 1 maka hubungan sempurna E. Prosedur Pengujian 1) Uji Manual Langkah-langkah untuk uji manual korelasi Spearman adalah sebagai berikut. a) Tentukan hipotesis pengujian. b) Konversikan data tersebut dalam bentuk ranking. c) Hitung selisih dari ranking pasangan data dari dua variabel yang diuji (𝑇) kemudian hitung nilai 𝑇 2 . d) Subsitusikan nilai 𝑇 2 dan 𝑛 ke rumus korelasi Spearman 𝑟𝑠 e) Tentukan nilai 𝑟𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 . Untuk 𝑛 ≤ 30, lihat nilai 𝑟𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 dari tabel Spearman rho (𝜌). Jika 𝑛 > 30, hitung nilai 𝑧𝑠 . f) Jika 𝑛 ≤ 30, tolak 𝐻0 jika 𝑟𝑠 ≥ 𝑟𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 . Untuk 𝑛 > 30, jika uji yang dilakukan dua pihak, maka 𝐻0 ditolak jika 𝑧𝑠 > 𝑧(0,5−1𝛼) . Jika uji yang dilakukan satu 2



pihak, maka 𝐻0 ditolak jika 𝑧𝑠 > 𝑧(0,5−𝛼) . 2) Uji Menggunakan SPSS Langkah-langkah untuk uji menggunakan SPSS korelasi Spearman adalah sebagai berikut. a) Tentukan hipotesis pengujian. b) Buat dua variabel pada variable view dalam SPSS c) Masukkan data di data view dalam SPSS d) Klik menu analyze, kemudian klik corelate kemudian klik bivariate akan muncul dialog box.



Gambar 1. Dialog box Bivariate Correlations dalam SPSS e) Pada dialog box yang muncul, masukkan dua variabel yang diuji ke dalam kotak variables. f) Berikan tanda cek () pada corelation coefficient Spearman, kemudian klik “OK”, maka akan muncul output yang berisi koefisien korelasi dari kedua variabel yang diuji atau 𝑟𝑠 dan taraf kritik dari dua variabel yang diuji. g) Perhatikan nilai taraf kritik dari dua variabel yang diuji. Tolak 𝐻0 jika nilai taraf kritik < 𝛼. F. Contoh Soal 1. Sebuah penelitian mengenai pertumbuhan populasi bakteri dilakukan dengan waktu yang dipilih secara acak (dalam jam) dan dihasilkan data sebagai berikut. Banyaknya Bakteri dalam Pertumbuhan Populasi Waktu (dalam jam) Ukuran Populasi



6



2



107 109 125 126 128 133 143 177



3



4



10



16



29



35



38



41



606



45



Gunakan taraf signifikansi 0.05 untuk mengetahui korelasi antara waktu dan populasi bakteri. Selesaian : Jelas bahwa data tersebut merupakan sampel yang acak. 𝐻0 : 𝜌0 = 0



(Tidak ada korelasi antara waktu dan populasi bakteri)



𝐻1 : 𝜌0 ≠ 0



(Ada korelasi antara waktu dan populasi bakteri)



Beri ranking pada urutan skor yang ada dalam data, kemudian hitung selisihnya.



Waktu (dalam jam) Ranking dari



6



107 109 125 126 128 133 143 177



606



1



2



3



4



5



6



7



8



9



10



2



3



4



10



16



29



35



38



41



45



1



2



3



4



5



6



7



8



9



10



𝑇



0



0



0



0



0



0



0



0



0



0



𝑇2



0



0



0



0



0



0



0



0



0



0



waktu (𝑋𝑖 ) Ukuran Populasi Bakteri Ranking dari populasi (𝑌𝑖 )



Jelas bahwa ranking antara waktu yang dipilih dengan ukuran populasi saling bebas. Berarti kita gunakan rumus 𝑟𝑠 = 1 − 𝑟𝑠 = 1 −



2 6 ∑𝑛 𝑠−1 𝑇



𝑛(𝑛2 −1)



. Maka :



2 6 ∑10 1 𝑇 𝑛(𝑛2 − 1)



=1−



6(0) 10(102 − 1)



=1−



0 990



=1 Jelas 𝑟𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 untuk n=10 adalah 0,648. Karena 𝑟𝑠 > 𝑟𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 , maka kita tolak 𝐻0 . Berartti terdapat korelasi positif yang sempurna antara waktu yang dipilih dan ukuran populasi bakteri. Semakin lama waktunya, maka semakin besar ukuran populasi bakteri.



Gambar 2. Hasil Uji Korelasi Spearman dengan SPSS Soal No.1



Berdasarkan Gambar 2, diperoleh taraf kritik = 0,000, maka 𝑡𝑎𝑟𝑎𝑓 𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑘 < 𝛼 = 0,05, sehingga kita tolak 𝐻0 . Berarti terdapat korelasi positif yang sempurna antara waktu yang dipilih dan ukuran populasi bakteri. Semakin lama waktunya, maka semakin besar ukuran populasi bakteri. 2. Sebagai bagian studi tentang akibat tekanan kelompok terhadap individu untuk melakukan penyesuaian diri dalam suatu situasi yang melibatkan resiko keuangan, suatu keotoriteran dan suatu skala yang dibuat untuk mengukur perjuangan status sosial terhadap 12 mahasiswa. Apakah ada korelasi keotoriteran dan perjuangan status sosial? Tabel Skor Otoritas dan Perjuangan Status Sosial Mahasiswa



Skor Keotoriteran (K)



Perjuangan Status Sosial (PS)



1



82



42



2



98



46



3



87



39



4



40



37



5



116



65



6



113



88



7



111



86



8



83



56



9



85



62



10



126



92



11



106



54



12



117



81



Selesaian : Jelas bahwa data tersebut merupakan sampel yang acak. 𝐻0 : 𝜌0 = 0



(Tidak ada korelasi antara keotoriteran dan perjuangan status sosial)



𝐻1 : 𝜌0 ≠ 0



(Ada korelasi antara keotoriteran dan perjuangan status sosial)



Tabel Ranking Keotoriteran (K) dan Perjuangan Status Sosial (PS) Mahasiswa



Skor



Ranking



𝑇



𝑇2



K



PS



K



PS



1



82



42



2



3



-1



1



2



98



46



6



4



2



2



3



87



39



5



2



3



9



4



40



37



1



1



0



0



5



116



65



10



8



2



4



6



113



88



9



11



-2



4



7



111



86



8



10



-2



4



8



83



56



3



6



-3



9



9



85



62



4



7



-3



9



10



126



92



12



12



0



0



11



106



54



7



5



2



4



12



117



81



11



9



2



4



Jumlah



52



Jelas bahwa ranking antara waktu yang dipilih dengan ukuran populasi saling bebas. Berarti kita gunakan rumus 𝑟𝑠 = 1 −



2 6 ∑𝑛 𝑠−1 𝑇



𝑛(𝑛2 −1)



. Maka :



2 6 ∑12 1 𝑇 𝑟𝑠 = 1 − 𝑛(𝑛2 − 1)



=1−



6(52) 12(122 − 1)



=1−



312 1716



= 1 − 0,182 = 0,818 Jelas 𝑟𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 untuk 𝑛 = 12 adalah 0,591. Karena 𝑟𝑠 > 𝑟𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 , maka kita tolak 𝐻0 . Berartti terdapat korelasi positif yang sangat kuat antara keotoriteran dan perjuangan status sosial mahasiswa.



Gambar 3. Hasil Uji Korelasi Spearman dengan SPSS Soal No.2 Berdasarkan Gambar 3, diperoleh taraf kritik = 0,001, maka 𝑡𝑎𝑟𝑎𝑓 𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑘 < 𝛼 = 0,05, sehingga kita tolak 𝐻0 . Dengan demikian, diperoleh kesimpulan yang sama dari hasil pengujian dengan perhitungan manual dan menggunakan SPSS, yakni terdapat korelasi positif antara keotoriteran dan perjuangan status sosial yang dimiliki mahasiswa. Semakin tinggi tingkat keotoriteran, maka semakin tinggi pula perjuangan status sosial yang dimiliki mahasiswa.



3. Seorang guru ingin mengetahui apakah ada korelasi positif antara pelajaran Statistika dan Ekonometrika. Diambil sampel secara acak sebanyak 42 siswa yang berasal dari 2 kelas. Berikut data nilai ujian Statistika dan Ekonometrika dari siswa-siswa tersebut. Tabel Nilai Ujian Statistika (S) dan Ekonometrika (E) Siswa Siswa



S



E



Siswa



S



E



Siswa



S



E



1



76



77



15



88



89



29



70



89



2



59



99



16



70



99



30



82



83



3



99



76



17



56



78



31



60



79



4



71



88



18



83



82



32



91



89



5



89



92



19



78



89



33



98



89



6



92



82



20



78



86



34



87



58



7



80



89



21



82



83



35



76



89



8



89



66



22



81



89



36



78



76



9



78



93



23



88



89



37



78



68



10



66



70



24



88



56



38



92



93



11



90



82



25



78



79



39



83



82



12



56



77



26



56



79



40



83



88



13



98



99



27



67



79



41



98



76



14



88



99



28



87



76



42



76



79



Hipotesis: •



𝐻0 : 𝜌0 = 0



(Tidak



ada



korelasi



positif



antara



pelajaran



Statistika



dan



Ekonometrika) •



𝐻1 : 𝜌0 ≠ 0



(Ada korelasi positif antara pelajaran Statistika dan Ekonometrika)



Perhitungan: 6 ∑12 𝑇 2



𝑟𝑠 = 1 − 𝑛(𝑛12 −1) 6(11084,5)



= 1 − 42(422 −1) 66507



= 1 − 74046 = 1 − 0,8982 = 0,1018 𝑧𝑠 = 𝑟𝑠 √𝑛 − 1 = 0,1018√42 − 1 = 0,1018√41 = 0,1018(6,4031) = 0,6518 Dengan 𝛼 = 5%, diperoleh 𝑧(0,5−𝛼) = 𝑧0,495 = 2,57. Karena 𝑧𝑠 < 𝑧(0,5−𝛼) , maka 𝐻0 diterima. Jadi, tidak ada korelasi positif antara hasil ujian pelajaran Statistika dan Ekonometrika. Perhitungan dengan bantuan aplikasi SPSS menghasilkan output sebagai berikut.



Gambar 4. Hasil Uji Korelasi Spearman dengan SPSS pada Soal No. 3 Berdasarkan Gambar 4, diperoleh 𝑡𝑎𝑟𝑎𝑓 𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑘 = 0,558 > 𝛼 = 0,05, maka kita terima 𝐻0 . Dengan demikian, diperoleh kesimpulan yang sama dari hasil pengujian dengan perhitungan manual dan menggunakan SPSS, yakni tidak ada korelasi positif antara hasil ujian pelajaran Statistika dan Ekonometrika.



3. PENUTUP



DAFTAR PUSTAKA



Conover, W. J. 1980. Practical Nonparametric Statistics. USA: John Wiley & Sons, Inc. Irianto, A. 2008. Statistik Konsep Dasar dan Aplikasinya. Jakarta: Kencana Prenada Media Group. Siegel, S. 1994. Statistik Nonparametrik untuk Ilmu-ilmu Sosial. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama. Sudjana. 2005. Metoda Statistika. Bandung: TARSITO Supangat, A. 2008. Statistika dalam Kajian Deskriptif, Inferensi, dan Non Parametrik. Jakarta: Kencana Prenada Media Group. Triola, M. F. 2011. Elementary Statistics Using The TI-83/84 Plus Calculator 3rd Edition Elementary Statistics Using The TI-83/84 Plus Calculator 3rd Edition. USA: Pearson Education, Inc.