Makalah Lingkaran Mohr-REVISI [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN



1.1. Latar Belakang Lingkaran Mohr diperkenalkan oleh seorang insinyur Jerman, Otto Mohr (1835-1913). Lingkaran ini digunakan untuk melukis transformasi tegangan maupun regangan, baik untuk persoalan-persoalan tiga dimensi maupun dua dimensi. Lingkaran Mohr merupakan salah satu metode dalam bidang keteknikan yang berkaitan tentang persoalan tegangan maupun regangan, sehingga pada aplikasinya lingkaran Mohr sangat diperlukan karena dapat berfungsi sebagai kontrol suatu tegangan ataupun regangan yang ada. Selain itu, yang perlu dicatat adalah bahwa penggambaran grafik lingkaran Mohr dimulai dari perputaran sumbu elemen sebesar q ditunjukkan oleh perputaran sumbu pada lingkaran Mohr sebesar 2q, dan sumbu tegangan geser positif adalah menunjuk ke arah bawah. Pengukuran dimulai dari titik A, positif bila berlawanan arah jarum jam, dan negatif bila sebaliknya. Dan juga dalam proses penggambaran lingkaran Mohr juga perlu diperhatikan beberapa hal terkait dengan ketentuan dalam menggambar lingkaran Mohr. Oleh itulah pada makalah ini akan dibahas mengenai definisi dan cara penggambaran lingkaran Mohr, serta kaidah-kaidah yang diperlukan untuk menggambar lingkaran Mohr.



1.2. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah



diuraikan diatas, dapat



dirumuskan permasalahan sebagai berikut: 1. Apa definisi dari Lingkaran Mohr? 2. Ada berapa jenis cara dalam menggambar Lingkaran Mohr? 3. Bagaimana tahap-tahap dalam menggambar Lingkaran Mohr? 4. Apa yang dibutuhkan dalam menggambar Lingkaran Mohr? 5. Apa persamaan dalam penentuan tahap menggambar lingkaran Mohr?



1



MAKALAH | LINGKARAN MOHR



1.3. Tujuan Penulisan Tujuan penulisan dalam makalah ini ditujukan untuk memenuhi beberapa hal sebagai berikut : 1. Agar mahasiswa dapat memahami tentang definisi dari Lingkaran Mohr, 2. Mahasiswa dapat mengetahui tentang jenis-jenis cara untuk menggambar Lingkaran Mohr, 3. Mahasiswa dapat memahami tahap-tahap dalam menggambar Lingkaran Mohr sesuai kondisi atau jenis caranya, 4. Mahasiswa dapat memahami mengenai persamaan atau rumus yang diperlukan untuk menentukan nilai kordinat grafik Lingkaran Mohr.



1.4. Manfaat Untuk manfaat yang dapat diambil dari makalah ini sesuai dengan pokok masalah dan tujuan penulisan adalah bahwa mahasiswa dapat mengerti dan memahami tentang lingkaran Mohr dan cara menggambarnya, sehingga dapat penyelesaian suatu masalah yang berhubungan dengan tegangan, regangan, ataupun momen mahasiswa bisa mentransformasikan kedalam bentuk gambar lingkaran Mohr.



2



MAKALAH | LINGKARAN MOHR



BAB II PEMBAHASAN



2.1 Pengertian Lingkaran Mohr Lingkaran Mohr adalah metode grafik untuk menentukan pengaruh koordinat rotasi pada kuantitas tensor. Dalam rekayasa bertujuan untuk menemukan aplikasi dalam pengaruh koordinat rotasi pada tegangan (stress), regangan (strain), momen kedua daerah dan momen inersia. Tegangan normal digambarkan disepanjang sumbu horisontal dan tegangan geser digambarkan disepanjang sumbu vertikal. Tegangan-tegangan x , y dan xy diplot dalam skala dan suatu lingkaran digambarkan melalui titik-titik ini dimana pusatnya terletak pada sumbu horisontal. Gambar 1 menunjukkan lingkaran Mohr untuk suatu elemen yang dikenai berbagai bentuk tegangan.



Teg.



l



geserx



b e



xy o



g



j



c



2 s



2 p



Teg.



k n 2



h f



 normal xy



d



y 



Gambar 1



2.2 Langkah Menggambarkan Lingkaran Mohr cara grafis 2.2.1 Cara grafis (lingkaran mohr) tegangan utama/ekstrim.  Langkah-langkah pembuatan lingkaran mohr. 



3



Buat salib sumbu x= dan y=



MAKALAH | LINGKARAN MOHR







Tentukan pusat lingkaran : C dengan koordinat xC = ½ (x+y) dan yC=0







Tentukan titik pada lingkaran : A dengan koordinat xA = x dan yA = xy







Buat lingkaran dengan pusat di titik C dan melalui titik A (jarijari lingkaran = CA)



Gambar 2  Menentukan tegangan utama/ekstrim 



Tegangan normal ekstrim : 1 = x’maks = tepi kanan lingkaran, 2 = x’min = tepi kiri lingkaran.







Tegangan geser ekrtrim : x’y’maks = tepi atas lingkaran, x’y’min = tepi bawah lingkaran.



2.2.2 Cara grafis (lingkaran mohr) tegangan pada bidang tertentu (x’ dan x’y’) Diketahui : x, y, xy dan sudut 



Gambar 3 4



MAKALAH | LINGKARAN MOHR



 Langkah-langkah menentukan tegangan pada bidang tertentu (menentukan x’ dan x’y’) 



Buat lingkaran Mohr, tentukan titik A dengan koordinat xA = x dan yA = xy







Tarik garis sejajar bidang (sb.y’) melalui A yang memotong lingkaran di B, atau (AB//y’)







Tarik garis vertikal melalui B yang memotong lingkaran di D, maka koordinat D yaitu xD = x’ dan yD = x’y



Gambar 4  Cara grafis (lingkaran mohr) arah bidang tertentu () 



Diketahui : x, y, xy dan tegangan tertentu yaitu x’ dan x’y’



Gambar 5



5



MAKALAH | LINGKARAN MOHR



 Langkah-langkah menentukan arah bidang tertentu (menentukan ) 



Buat lingkaran Mohr, tentukan titik A dengan koordinat x A = x dan yA = xy serta titik D dengan koordinat xD=x’ dan yD=x’y’







Tarik garis vertikal melalui D yang memotong lingkaran di B







Tarik garis BA, lalu tarik garis p melalui A tegak lurus garis BA







 = sudut antara sumbu x dan garis p



Gambar 5



2.2.3 Lingkaran Mohr Tegangan Dua Dimensi



Gambar 6 berlabel lingkaran Mohr



6



MAKALAH | LINGKARAN MOHR



Mengingat unsur tegangan awal, atau stress nilai σx, σy, dan τxy, lingkaran Mohr bisa dibangun. Konvensi tanda-tanda sebagai berikut:  Tegangan tarik (positif) berada di sebelah kanan  Tegangan tekan (negatif) yang ke kiri.  Searah jarum jam tegangan geser diplot ke atas.  Berlawanan tegangan geser diplot ke bawah. Dalam rangka untuk menarik lingkaran Mohr pada sistem koordinat Cartesian, sumbu x dan sumbu y diidentifikasi sebagai sumbu σ dan sumbu τ, masing-masing. Dua titik lingkaran untuk plot adalah point 1 (σ x, xy τ) dan 2 titik (y σ, τ xy). Garis yang menghubungkan dua titik adalah diameter lingkaran, mengetahui lingkaran ini sekarang bisa ditarik. Pusat lingkaran terletak dimana diameter memotong sumbu σ, juga rata-rata tegangan normal (σAvg). Tegangan normal rata-rata dapat dibaca dari sistem koordinat jika tertarik untuk skala atau dapat dihitung dengan menggunakan rumus:



Garis dari pusat lingkaran yang melewati titik 1 akan mewakili sumbu x, ini akan digunakan kemudian untuk berhubungan arah lingkaran Mohr menekankan ke arah normal x dan arah y. Titik akhir dari dua diameter horizontal adalah σ1 dan σ2. Titik σ1 mewakili tegangan normal maksimum (σmax) dan titik σ2 adalah tegangan normal minimum (σmin). Persamaan untuk mencari nilai-nilai tersebut adalah sebagai berikut ini :



7



MAKALAH | LINGKARAN MOHR



Diameter vertikal melewati σavg dan naik ke τmax positif dan ke bawah untuk τmax negatif. Persamaan untuk mencari nilai τmaks adalah :



Gambar 7 Unsur Tegangan



Nilai berikutnya adalah untuk menentukan sudut tegangan normal yang bertindak. Sudut ini antara σ positif sumbu x dan sumbu y. Ukuran sudut dicari dengan persamaan berikut :



Untuk menemukan sudut bahwa tegangan maksimum bertindak pada persamaan berikut digunakan:



2∅'= 〖tan^(-1)-〗⁡〖(σ_x- σ_y)/(2τ_xy )〗. 2 ∅ '= 〖tan ^ (-1) -〗 ⁡ 〖(σ_x-σ_y) / (2τ_xy)〗. Ini sangat penting untuk memperhatikan penggunaan kedua persamaan yang serupa. Hal terakhir yang harus dilakukan adalah untuk menarik elemen tegangan awal seolah-olah tidak diberikan, elemen tegangan normal pada sudut ∅, dan elemen tegangan geser maksimum pada sudut ∅ '.



8



MAKALAH | LINGKARAN MOHR



2.3.4 Lingkaran Mohr Tegangan Tiga Dimensi



Gambar 8 Mohr's circle for a three-dimensional state of stress



Untuk membuat Lingkaran Mohr tiga dimensi dari tegangan pada suatu titik, nilai-nilai dari tegangan pokok …………… dan arah pokok harus menjadi yang pertama dievaluasi. Mengingat pokok sebagai sumbu sistem koordinat, bukan umum



,,



,,



sistem



kordinat dan assuming that sistem koordinat, dan dengan asumsi bahwa , Maka komponen normal dan geser dari vektor tegangan , Untuk sebuah pesawat diberikan dengan vektor satuan n, Memenuhi persamaan berikut :



Mengetahui bahwa , ,



, ,



, Kita bisa mencari



, Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss yang



menghasilkan :



9



MAKALAH | LINGKARAN MOHR



Dari



, Dan



ini adalah non-negatif,



pembilang dari persamaan ini :



sebagai denominator dan sebagai denominator



dan juga,



sebagai denominator dari dan



Bentuk ini dapat ditulis kembali



sebagai berikut :



yang merupakan persamaan lingkaran Mohr untuk tegangan tiga dimensi



,



,



Dan



,



Dengan



, Dan koordinat



jari-jari



,



, Dan pusat mereka dengan ,



,



masing-



masing. Persamaan untuk lingkaran Mohr yang bahwa semua poin tegangan yang diterima



itu menunjukkan terletak pada



lingkaran tersebut atau dalam area berbayang tertutup. Persamaan untuk lingkaran



tetap, atau keluar lingkaran melewati di atas, atau



lingkaran luar untuk lingkaran



10



. . Tegangan pont



berguna untuk persamaan



lie on, atau lingkaran di dalam



Dan akhirnya



MAKALAH | LINGKARAN MOHR



poin tegangan lingkaran



11



dapat digunakan untuk persamaan untuk



lie di atas, atau lingkaran luar



.



MAKALAH | LINGKARAN MOHR



BAB III PENUTUP



3.1



Kesimpulan Lingkaran Mohr adalah metode grafik untuk menentukan pengaruh



koordinat rotasi pada kuantitas tensor. Dalam rekayasa berguna untuk mentransformasikan tegangan, regangan, maupun momen-momen ke dalam bentuk grafik lingkaran Mohr. Dalam menentukan penggambaran lingkaran Mohr tergantung dari kondisi tegangan yang terjadi pada suatu bidang, seperti tegangan ekstrim, tegangan dua dimensi, dan tegangan tiga dimensi. Penentuan nilai kordinat dalam grafik lingkaran mohr dicari dengan menggunakan persamaanpersamaan tergantung kondisi tegangan.



3.2.



Saran Bertolak



dari



pembahasan



lingkaran



Mohr



dan



kondisi



pembebanannya penyusun memberikan saran sebagai berikut : 1. Kita sebagai mahasiswa hendaknya mengetahui tentang lingkaran mohr dan kegunaannya . 2. Bagi pembaca penulis mengharapkan kritik dan sarannya yang bersifat membangun demi sempurnanya makalah ini.



12



MAKALAH | LINGKARAN MOHR



DAFTAR PUSTAKA



- PP Benham, RJ Crawford and CG Armstrong, Mechanics of Engineering Materials , 1996, second edition, Harlow, Addison Wesley Longman. PP Benham, RJ Crawford dan CG Armstrong, Mekanika Bahan Teknik, 1996, edisi kedua, Harlow, Addison Wesley Longman. - Beer, Ferdinand Pierre; Elwood Russell Johnston, John T. DeWolf (1992). Mechanics of Materials . Beer, Ferdinand Pierre; Elwood Russell Johnston, John T. Dewolf (1992) Bahan. Mekanika. - Brady, BHG; ET Brown (1993). Rock Mechanics For Underground Mining (Third ed.). Brady, BHG; ET Brown (1993). Rock Mekanika Untuk Pertambangan Underground (Ketiga ed.). Kluwer Academic Publisher. Kluwer Academic Publisher. (http://books.google.ca/books?id=s0BaKxL11KsC&lpg=PP1&pg=PA18#v=o nepage&q=&f=false) - Davis, RO; Selvadurai. Davis, RO; Selvadurai. APS (1996). Elasticity and geomechanics . APS (1996). Elastisitas dan geomekanika . Cambridge University Press. Cambridge University Press. (http://books.google.ca/books?id=4Z11rZaUn1UC&lpg=PP1&pg=PA16#v=o nepage&q=&f=false) - Holtz, Robert D.; Kovacs, William D. (1981). An introduction to geotechnical engineering . Holtz, Robert D.; Kovacs, William D. (1981). Suatu pengantar rekayasa geoteknik. Prentice-Hall civil engineering and engineering mechanics series. Prentice-Hall teknik sipil dan rekayasa mekanika seri. Prentice-Hall. (http://books.google.ca/books?id=yYkYAQAAIAAJ&dq=inauthor:%22William +D.+Kovacs%22&ei=kF-MS5LRKpfCM9vEhIYN&cd=1) - Jaeger, John Conrad; Cook, NGW, & Zimmerman, RW (2007). Fundamentals of rock mechanics (Fourth ed.). Jaeger, John Conrad, Cook, NGW, & Zimmerman, RW (2007). Dasar dari mekanika batuan (Edisi Keempat). (http://books.google.com/books?id=FqADDkunVNAC&lpg=PP1&pg=PA10#v =onepage&q=&f=false) 13



MAKALAH | LINGKARAN MOHR