Makalah Lingkaran [PDF]

Citation preview

GEOMETRI ANALITIK “LINGKARAN ”



Dosen Pembimbing : Reflina, M.Pd Disusun Oleh Kelompok I 1. 2. 3. 4. 5. 6.



Ananda Nabila Rizqi Nst Clarisa Latuf Farisah Siska Wilda Husna Yenni Aprina Hasibuan



: (0305182084 ) (0305183148) (0305183213) (0305181037) (0305182087) (0305182138)



JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUMATERA UTARA MEDAN



2020



2



KATA PENGANTAR



Puji syukur saya ucapkan kepada Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayahnya- Nya sehingga saya dapat menyelesaikan tugas Makalah yang berjudul “Lingkaran”. Shalawat dan rangkaikan kepada nabi Muhammad SAW yang telah membimbing kita dari alam kegelapan menuju alam terang benderang. Terimakasih saya ucapkan kepada bapak dosen pengampu yang memberikan tugas projek ini dengan bertujuan untuk tugas kelompok pada mata kuliah Geometri Analitik. Saya sadar bahwa makalah yang saya tulis ini jauh dari kata kesempurnaan dan masi banyak kekurangan. Atas semua itu dengan rendah hati saya harapkan kritik dan saran yang membangun guna menyempurnakan makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi penulis khususnya bagi pembaca                               



Medan, 21 April 2020



Penulis



1



DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ..........................................................................................................i DAFTAR ISI..........................................................................................................................ii BAB I PENDAHULUAN .....................................................................................................1 A. Latar Belakang.............................................................................................................1 B. Rumusan Masalah........................................................................................................1 C. Tujuan...........................................................................................................................2 BAB II PEMBAHASAN.......................................................................................................3 A. Persamaan Lingkaran Dengan Pusat 0 dan jari- jari r ................................................3 B. Persamaan Lingkaran Dengan Pusat (a,b) dan jari-jari r............................................4 C. Persamaan Umum Lingkaran.....................................................................................6 D. Persamaan Garis Singgung Lingkaran....................................................................... E. Persamaan Garis Kutub.............................................................................................. F. Kuasa Suatu Tititk Terhadap Lingkaran..................................................................... G. Soal Multiple dan Essay............................................................................................. BAB III PENUTUP.............................................................................................................. A. Kesimpulan................................................................................................................... B. Saran.............................................................................................................................. DAFTAR PUSTAKA............................................................................................................



2



3



BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Geometri merupakan salah satu cabang matematika yang sangat penting sebagai ilmu dasar dan sudah dikenal sejak lama. Geometri telah dipelajari pada jenjang pendidikan dasar, pendidikan sekolah menengah, sampai pendidikan tinggi. Geometri didefenisikan sebagai cabang matematika yang mempelajari titik, garis, bidang, dan benda-benda ruang serta sifat-sifatnya, ukuran-ukurannya, dan hubungan satu sama lain. Berdasarkan uraian diatas dalam makalah ini akan mengemukakan tentang materi matematika khususnya pada Lingkaran. Pada jejang pendidikan sekolah dasar materi tentang lingkaran hanya sebatas pengenalan bentuk dan



unsur-unsurnya,



contohnya mudah di temukan dalam kehidupan sehari-hari. Selanjutnya materi lingkaran ini di tingkatan SMP sudah berada pada tingkatan yang lebih tinggi, misalnya defenisi lingkaran, garis singgung, bagian-bagian lingkaran dan sebagainya. Sedangkan materi lingkaran pada jenjang pendidikan SMA disajikan dalam bentuk persamaan lingkaran, persamaan garis singgung, hubungan bangun ruang dengan lingkaran dan sebagainya. Dengan demikian materi tentang bangun datar yaitu lingkaran terdapat disetiap jenjang pendidikan, pada makalah ini persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari, persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari- jari r, bentuk persamaan umum pada lingkaran, persamaan garis kutub dan kuasa titik terhadap lingkaran. B. Rumusan Masalah 1. Bagaimana persamaan lingkaran dengan pusat O (0,0) , dan jari-jari r ? 2. Bagaimana persamaan lingkaran dengan pusat (a,b), dan jari- jari r ? 3. Bagaimana bentuk umum persamaan lingkaran ? 4. Bagaiamana menentukan garis singgung pada lingkaran ? 5. Bagaimana menentukan persamaan garis pada kutub ? 6. Bagaiamana menentukan kuasa titik terhadap lingkaran ? C. Tujuan 1. Untuk mengetahui persamaan lingkaran dengan pusat O (0,0) , dan jari-jari r ? 2. Bagaimana persamaan lingkaran dengan pusat (a,b), dan jari- jari r ?



1



3. Bagaimana bentuk umum persamaan lingkaran ? 4. Bagaiamana menentukan garis singgung pada lingkaran ? 5. Bagaimana menentukan persamaan garis pada kutub ? 6. Bagaiamana menentukan kuasa titik terhadap lingkaran ?



2



3



BAB II PEMABAHASAN A. Persamaan Lingkaran Dengan Pusat 0 dan jari- jari r



Misalkan A(x,y) terletak pada lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r seperti terlihat pada Gambar 3., maka OA = √ ❑ + √ ❑ = √ ❑ = r → x 2+ y 2 = r 2



Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan jari-jari r memiliki persamaan: x2 + y2 = r2 Contoh: 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan melalui titik A(-3,4) Jawab: Persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dan jari-jari r adalah x 2 + y 2 = r 2. r = OA = √ ❑= √ ❑ = √ ❑ = 5 Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan melalui titik A(-3,4) adalah : x 2 + y 2 = 52 → x2 +¿ y 2 = 25 2. Diketahui titik A(0,1) dan B(0,9). Tentutkan persamaan tempat kedudukan P(x,y) sehingga PB = 3PA. Jawab : PB = 3PA → √ ❑ = 3 √ ❑ → √❑ = 3 √❑ → x 2 + (y - 9¿2 = ( 9 x 2+ y 2+ 2y + 1) → x 2 + y 2 -18y + 81 = 9( x 2 + y 2-2y + 1) → x2 + y 2 -18y + 81 = 9 x 2 + 9 y 2 -18y + 9 →-8 x 2 - 8 y 2 = -72 → x2 + y 2 = 9 B. Persamaan Lingkaran Dengan Pusat (a,b) dan jari-jari r



4



Jika ada sebuah lingkaran dengan pusat A (a,b) dan ada sebuah titik sebut saja B (x,y) terletak pada lingkaran tersebut, maka besarnya jari-jari dari lingkaran tersebut dapat ditentukan dengan r = jarak A ke B r2= (jarak A ke B)2 r2= (xB-xA)2 + (yB-yA)2 r2= (x-a)2 + (y-b)2 Jadi Persamaan lingkaran yang berpusat di titik A (a,b) dengan jari-jari r adalah d (x-a)2 + (y-b)2= r2 Contoh : 1.



Tentukan persamaan sebuah lingkaran yang pusatnya (5,4) dan menyinggung sumbu y. Jawab : Jika sebuah lingkaran menyinggung sumbu y maka jari-jarinya adalah senilai x. jadi dari soal tersebut telah ketemu nilai r = 5. Untuk persamaanya tinggal kita masukkan ke (x-5)2 + (y-4)2 = 52 x2-10x+25+y2-8y+16 = 25 x2+y2-10x-8y = 25-16 x2+y2-10x-8y = 9 5



Menentukan persamaan sebuah lingkaran dengan diketahui pusat dan juga salah satu titiknya. Sekarang kalau ditanya sebaliknya, berapa pusat dan jari-jari lingkaran jika diketahui persamaannya? Itu ngga sulit, berikut caranya perhatikan persamaan lingkaran berpusat di (a,b) (x-a)2+ (y-b)2= r2 (dijabarkan) x2-2ax+a2+y2-2by+b2= r2 x2+y2-2ax-2by+a2+b2= r2 x2+y2-2ax-2by+a2+b2–r2= 0 Jika  a2+b2–r2 = c maka x2+y2-2ax-2by+c= 0 Dari persamaan di atas bisa didapat ● untuk mencari titik pusat perlu mengalikan nilai x dan y dari persamaan dengan -1/2 untuk mendapatkan titik pusat lingkaran (x,y) dengan syarat persamaan harus terlebih dahulu ada dalam bentuk x2+y2-2ax-2by+c= 0 ● untuk mencari jari-jari dapat didapat dari persamaan : ● a2+b2–r2 = c ● r2 = a2+b2– c maka r = akar dari [a2+b2– c] Contoh Persamaan Lingkaran : 2. Tentukan koordinat titik pusat dan panjang jari-jari dari persamaan lingkaran 3x2+3y2+30x+72 = 0 Jawab : Dari persamaan  3x2+3y2+30x+72 = 0 harus kita buat dalam bentuk persamaan lingkaran  x2+y2-2ax-2by+c= 0  yaitu dengan membagi ruas kanan dan kiri persamaan lingkaran dengan angka 3



6



3x2+3y2+30x+72 = 0 (masing-masing ruas dibagi 3) x2+y2+10x+24 = 0 ❖ Koordinat titik pusatnya (a,b) a = -1/2 x 10 = -5 b = -1/2 x 0 = 0 (karena dalam persamaan tidak ada nilai  y, maka y bernilai 0) jadi koordinat titik pusatnya (-5,0) ❖ Panjang Jari-jari Lingkaran



r = √ [a2+b2– c] r = √(-5)2+02-24 r = √25-24 = √1 = 1 jadi besarnya jari-jari adalah 1 C. Persamaan Umum Lingkaran



Dalam lingkaran, terdapat persamaan umum, yaitu: x 2+ y 2+ Ax+ By +C=0 Dari persamaan diatas, dapat ditentukan titik pusat serta jari-jari lingkarannya, yaitu: Titik pusat lingkaran −1 1 P ( a , b )=P A ,− B 2 2 Dan untuk jari-jari lingkaran adalah r =√ ❑



(



)



D. Persamaan Garis Lingkaran



Persamaan Garis Singgung Lingkaran ❖ Pengertian garis singgung lingkaran Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat disatu titik. Titik tersebut dinamakan titik singgung lingkaran.



Gambar 2.1



Gambar 2.2



7



Gambar 2.1, memperlihatkan bahwa garis menyinggung lingkaran di titik A. Garistegak lurus jari-jari. Dengan kata lain, hanya terdapat satu buah garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran. Gambar 2.2, titik terletak di luar lingkaran. Garis l melalui titik R dan menyinggung lingkaran di titik P, sehingga garis l tegak lurus jari-jari OP. Garis melalui titik R dan menyinggung lingkaran di titik Q, sehingga garis m tegak lurus jari-jari OQ. Dengan demikian, dapat dibuat dua buah garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran. ❖ Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran



Keterangan : D 0 garis memotong lingkaran pada titik yang berbeda



❖ Sifat – Sifat Garis Singgung Lingkaran 1.  Garis singgung lingkaran tegak lurus pada diameter lingkaran yang melalui titik singgungnya.



2. Melalui suatu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu dan hanya satu 8



garis singgung pada lingkaran tersebut.



Garis p bukan garis singgung lingkaran O. Garis n merupakan garis singgung lingkaran. 3. Melalui suatu titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung pada lingkaran tersebut.



4. Jika P di luar lingkaran maka jarak P ke titik-titik singgungnya adalah sama



❖ Persamaan Garis Singgung Melalui Satu titik pada Lingkaran Rumus Persamaan Garis Singgung ini dapat dirangkum sebagai berikut: Persamaan Lingkaran 2



2



x + y =r



2



Persamaan Garis Singgung xx 1+ yy 1=r 2 9



( x−a)2 +( y−b)2=r 2 x 2+ y 2+ Ax+ By +C=0



( x−a ) ( x 1−a ) + ( y−b ) ( y ¿¿ 1−b)=r 2 ¿ 1 1 xx 1+ yy 1+ A ( x + x 1 ) + B ( y + y 1 ) +C=0 2 2



❖ Persamaan Garis Singgung Bergradien m Rumus persamaan Garis singgung ini digunakan untuk mencari persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui, sejajar atau tegak lurus dengan suatu garis atau unsure lain yang berhubungan dengan gradient. Rumus-rumus yang dapat digunakan ialah Persamaan Lingkaran Persamaan Garis Singgung 2 2 2 y=mx ±r √❑ x + y =r 2 2 2 y−b=m( x−a)± r √ ❑ ( x−a) +( y−b) =r 2 2 x + y + Ax+ By +C=0Ubah dahulu bentuk persamaan ke ( x−a)2 +( y−b)2=r 2 gunakan rumus y−b=m( x−a)± r √ ❑ ❖ Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran Ada beberapa metode atau teknik untuk menyelesaikan masalah ini antara lain: menggunakan rumus, menggunakan garis singgung bergradien m. a. Menggunakan rumus Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A(x 1 , y1 ) pada lingkaran ( x−a)2 +( y−b)2=r 2 adalah y− y1 =m¿ adalah dengan



m=



( y 1−b ) ( x1 −a ) ± √ ❑ ❑



b. Menggunakan rumus persamaan garis singgung bergradien m Teknik nini menggunakan kesamaan garis dari dua persamaan, persamaan 1 (satu) adalah garis melalui A(x 1 , y1 ) dan persamaan 2 (dua) adalah persamaan garis singgng bergradien m. E. Persamaan Garis Kutub



10



F. Kuasa Suatu Titik Terhadap Lingkaran Misalkan ada titik T(x1,y1) diluar lingkaran, dan ada lingkaran L yang berpusat di titik P dan jari-jari r seperti gambar berikut.



G.



Kuasa titik T(x1,y1) terhadap lingkaran L didefinisikan sebagai nilai TP2−r2 . ♠ Menentukan nilai kuasa suatu titik yang dilambangkan K :        Misalkan ada persamaan lingkaran L : x2+y2+Ax+By+C=0 dengan pusat P(−A2,−B2) dan kuadrat jari-jarinya r2=14A2+14B2−C. Kuasa (K) titik T(x1,y1) terhadap lingkaran L, adalah K=TP2−r2=(x1+12A)2+(y1+12B)2−r2 atau K=x21+y21+Ax1+By1+C        Perhatikan bahwa kuasa titik T(x1,y1) terhadap lingkaran L:x2+y2+Ax+By+C=0 dapat diperoleh dengan cara menggantikan x dan y pada persamaan lingkaran itu dengan x1 dan y1 . ♣ Kegunaan nilai kuasa suatu titik pada lingkaran Setelah diperoleh kuasa suatu titik terhadap lingkaran, maka nilai kuasanya bisa digunakan untuk menentukan letak titik tersebut terhadap lingkaran, yaitu : i). Jika K>0, maka titik ada di luar lingkaran.



11



ii). Jika K=0, maka titik terletak pada lingkaran. iii). Jika K0), maka titik T(1,2) terletak di luar kedua lingkaran. 



12



BAB III PENUTUP A. Kesimpulan



B. Saran



13



DAFTAR PUSTAKA https://lib.unnes.ac.id/17748/1/4101409076.pdf http://www.nafiun.com/2014/06/contoh-soal-rumus-persamaan-lingkaran-pengertian-umsupusat-O-A-jari-jari-r-posisi-titik-dan-garis-pembahasan-jawaban-matematika.html?m=1 http://nyachya.blogspot.com/2017/02/kuasa-lingkaran-titik-kuasa-dan-garis.html#ixzz6Kyl82w00 https://www.studiobelajar.com/persamaan-lingkaran/



14