MAKALAH Logika Matematika [PDF]

Citation preview

MAKALAH LOGIKA MATEMATIKA Mata Kuliah : Pendidikan Dasar Matematika Dosen Pengampu : Dr. Mara Samin Lubis,S.Ag, M.Ed



Disusun oleh : Tengku Ihsanul Rabani (0305201077) Pinta Riski Barokah



(0305201041)



Salisah Kurnia Apriliani (0305201098) Ilmu Tarbiyah dan Keguruan/Pendidikan Matematika-1/Semester-1



UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUMATERA UTARA MEDAN 2020 Jl. William Iskandar Ps. V, Medan Estate, Kec. Percut Sei Tuan, Kabupaten Deli Serdang, Sumatera Utara 20371



KATA PENGANTAR



Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan karunia-Nya sehingga saya dan rekan-rekan saya menyelesaikan makalah yang berisikan tentang “Logika Matematika ” dengan pembahasan tentang logika , pernyataan dan kata hubung kalimat tepat pada waktunya. Makalah ini diharapkan dapat bermanfaat untuk menambah pengetahuan bagi para pembaca dan dapat digunakan sebagai salah satu pedoman dalam proses pembelajaran. Kami menyadari bahwa makalah ini masih banyak kekurangannya karena pengetahuan yang kami miliki cukup terbatas.Oleh karena itu, kami berharap kritik dan saran dari pembaca yang bersifat membangun untuk kesempurnaan makalah ini. Akhir kata, kami sampaikan terima kasih.



Medan, 31 Oktober 2020



Tim penyusun



I



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR...................................................................................................................I DAFTAR ISI................................................................................................................................II BAB I...........................................................................................................................................1 PENDAHULUAN........................................................................................................................1 1.1.Latar Belakang...................................................................................................................1 1.2. Rumusan Masalah.............................................................................................................1 1.3.



Tujuan............................................................................................................................1



BAB II..........................................................................................................................................2 PEMBAHASAN..........................................................................................................................2 2.1.



Pengertian Logika dan Logika Matematika...................................................................2



2.2.



Pernyataan......................................................................................................................2



2.3



Kalimat terbuka............................................................................................................3



2.4.     Operasi Logika..............................................................................................................3 2.5 Pernyataan Majemuk Bersusun........................................................................................8 BAB III........................................................................................................................................9 PENUTUP....................................................................................................................................9 3.1. Kesimpulan.......................................................................................................................9 3.2. Saran.................................................................................................................................9 DAFTAR PUSTAKA................................................................................................................10



II



BAB I PENDAHULUAN 1.1.Latar Belakang Melalui logika kita dapat mengetahui kebenaran suatu pernyataan dari suatu kalimat dan mengetahui apakah pernyataan pertama sama maknanya dengan pernyataan kedua. Misalkan, apakah pernyataan “Jika sekarang adalah hari Minggu maka sekolah libur.” sama artinya dengan “Jika sekolah libur maka sekarang adalah hari Minggu.”? Untuk menjawab pertanyaan ini tentu kita perlu mengetahui aturan-aturan dalam logika. Banyak hal yang perlu kita ketahui mengenai logika. Dengan logika, kita juga dapat mengetahui apakah suatu pernyataan bernilai benar atau salah. Hal terpenting yang akan didapatkan setelah mempelajari logika matematika adalah kemampuan atau keahlian mengambil kesimpulan dengan benar atau sah. Logika matematika memberikan dasar bagi sebuah pengambilan kesimpulan dan dapat digunakan dalam banyak aspek kehidupan.



1.2. Rumusan Masalah Adapun masalah yang akan di bahas dalam makalah ini adalah 1.



Apa yang dimaksud logika Matematika,pernyataan dan kalimat terbuka?



2.



Operasi-operasi apa saja yang terdapat dalam logika matematika?



3.



Bagaimana bentuk lambing/symbol Operasi dalam logika matematika



4



Apa yang dimaksud pernyataan majemuk bersusun



1.3. 1.



Tujuan Untuk mengetahui Pengertian logika matematika, pernyataan dan kalimat terbuka



2.



Untuk mengetahui operasi yang berjalan didalam logika matematika



3.



Untuk mengenal Lambang operasi logika matematika



4.



Untuk mengetahui pengertian Majemuk bersusun



1



BAB II PEMBAHASAN 2.1.



Pengertian Logika dan Logika Matematika Sebelum Mengetahui apa itu Logika Matematika ada baiknya kita mengetahui



terlebih dahulu apa itu Logika. Logika berasal dari kata Yunani kuno λόγος (logos) yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa. Logika adalah salah satu cabang filsafat. Sebagai ilmu, logika disebut dengan logike episteme (bahasa Latin: logica scientia) atau ilmu logika (ilmu pengetahuan) yang mempelajari kecakapan untuk berpikir secara lurus, tepat, dan teratur. Maka dapat diartikan bahwa Logika Matematika atau juga disebut Logika Simbol ialah logika yang menggunakan bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan lambanglambang atau simbol- simbol. Keuntungan atau kekuatan bahasa simbol adalah: ringkas, univalent/bermakna tunggal, dan universal/dapat dipakai dimana-mana. 2.2.



Pernyataan



Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Kebenaran atau kesalahan sebuah pernyataan dinamakan nilai kebenaran dari pernyataan tersebut. Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p, q, r, dan seterusnya. Setiap pernyataan adalah kalimat, tetapi tidak semua kalimat merupakan pernyataan. Contoh : a.



UINSU mempunyai fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan



b. 99 adalah bilangan genap. c.



Apakah mahasiswa yang daring dipagi hari mandi terlebih dahulu? Kalimat (a) merupakan pernyataan yang bernilai benar, kalimat (b) merupakan



pernyataan yang bernilai salah dan kalimat (c) bukan merupakan pernyataan, karena tidak bernilai benar atau salah



2



Kalimat-kalimat yang tidak termasuk pernyataan, adalah: a Kalimat perintah b. Kalimat pertanyaan c. Kalimat keheranan d. Kalimat harapan



2.3



Kalimat terbuka Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih memuat perubahan (variabel), sehingga



belum dapat ditentukan nilai benar atau salahnya. Variabel adalah simbol untuk menunjukkan suatu anggota yang belum spesifik dalam semesta pembicaraan. Untuk memahami pengertian kalimat terbuka, perhatikan contoh berikut. a.



2 x + 3 = 11



b.



Kota itu bersih, indah dan teratur.



Kalimat-kalimat di atas merupakan kalimat terbuka karena belum dapat ditentukan benar atau salahnya. Pada kalimat (a), jika kita ganti variabel x dengan 3 maka kalimat (a) tidak lagi berupa kalimat terbuka, sekarang (a) adalah suatu pernyataan yang bernilai salah tetapi jika kita ganti variabel x dengan 4 maka (a) adalah suatu pernyataan yang bernilai benar. Jika kita ganti variabel “itu” pada kalimat (b) dengan Medan, maka (b) belum menjadi pernyataan karena tetap harus diselidiki nilai kebenarannya.



2.4.     Operasi Logika    A.  Negasi Negasi (ingkaran) adalah suatu pernyataan baru yang dapat dibentuk dari pernyataan semula sehingga bernilai benar jika pernyataan semula salah dan bernilai salah Maka pernyataan semula benar. Jika pada suatu pernyataan p, diberikan pernyataan lain yang disebut negasi p, dilambangkan oleh ~p, maka dapat dibentuk dengan menuliskan “Tidak benar” di depan pernyataan p atau jika mungkin, dengan menyisipkan kata “tidak” atau “bukan”di dalam pernyataan p. Nilai kebenaran negasi suatu pernyataan memenuhi sifat berikut ini: Jika p benar, maka ~p salah; jika p salah maka ~p benar.



3



Jadi, nilai kebenaran negasi suatu pernyataaan selalu berlawanan dengan nilai kebenaran pernyataan semula. Sifat tersebut dapat dituliskan dalam bentuk tabel berikut ini. p



~p



B



S



S



B



Contoh: a.    p   :  Semua bilangan prima adalah ganjil.      ~p   :  Tidak benar bahwa semua bilangan prima adalah ganjil.      ~p   :  Ada bilangan prima yang tidak ganjil. b.    q   :  2 + 2 = 5      ~q   :  Tidak benar 2 +2 =5      ~q   :  2 + 2 ≠ 5   B. Konjungsi Konjungsi adalah pernyataan gabungan dari dua pernyataan dengan menggunakan kata hubung “dan”. Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p ^ q”. Nilai kebenaran konjungsi p ^ q memenuhi sifat berikut ini: jika p benar dan q benar, maka p ^ q benar; sebaliknya, jika salah satu p atau q salah serta p salah dan q salah, maka p ^ q salah. Dengan perkataan lain, konjungsi dua pernyataan akan bernilai benar hanya bila setiap pernyataan bagiannya bernilai benar. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut. p



Q



p ^ q



B



B



B



B



S



S



S



B



S



S



S



S



4



Contoh : a.    p          :  2 + 3 = 5 (benar)        q          :  5 adalah bilangan prima (benar)        p ^ q    :  2 + 3 = 5 dan 5 adalah bilangan prima (benar) b.    p          :  12 habis dibagi 3 (benar)        q          :  15 habis dibagi 2 (salah)        p ^ q    :  12 habis dibagi 3 dan 15 habis dibagi 2 (salah)   C.      Disjungsi Disjungsi adalah pernyataan gabungan dari dua pernyataan dengan menggunakan kata hubung “atau”. Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p v q”. Nilai kebenaran disjungsi p v q memenuhi sifat berikut ini: jika p benar dan q benar serta salah satu diantara p dan q benar, maka p v q benar. Jika p dan q dua-duanya salah maka p v q salah. p



Q



p v q



B



B



B



B



S



B



S



B



B



S



S



S



Karena di dalam disjungsi menggunakan konsep ‘atau’ artinya apabila salah satu atau kedua pernyataan memiliki nilai benar maka logika matematikanya akan dianggap benar. Pernyataan akan dianggap salah bila keduanya memiliki nilai salah Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut. Contoh:



a.p        



      



q        



      



p v q  



  :  5 + 3 = 8 (benar)   :  8 adalah bilangan genap (benar) :  5 + 3 = 8 atau 8 adalah bilangan genap



(benar) b. p            :  5 + 3 ≠8 (salah)        



q        



  :  8 bukan bilangan genap (salah)



5



     



 p v q   



:  5 + 3 ≠ 8 atau 8 bukan bilangan genap (salah)



 



 D.      Implikasi Implikasi (pernyataan bersyarat/kondisional) adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan dengan menggunakan kata hubung logika“jika …..maka . . .”. Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p ⇒ q”,dapat dibaca “jika p maka q”. Nilai kebenaran implikasi p ⇒ q memenuhi sifat berikut: jika p benar dan q salah, maka p ⇔ q dinyatakan salah. Dalam kemungkinan yang lainnya p ⇒ q dinyatakan benar. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut. p



q



p  ⇒q



B



B



B



B



S



S



S



B



B



S



S



B



Contoh : a.    p         :  5 + 3 = 8 (benar)       q          :  8 adalah bilangan genap (benar)        p ⇒ q :  jika 5 + 3 = 8 maka 8 adalah bilangan genap (benar) b.    p         :  5 + 3 ≠ 8 (salah)        q         :  8 adalah bilangan genap (benar)        p ⇒ q :  jika 5 + 3 ≠ 8 maka 8 adalah bilangan genap (benar) Contoh dan Penjelasan berupa kalimat Jika Budi sembuh maka Budi akan sekolah Jika betul Budi sembuh lalu Budi masuk sekolah, Budi telah melakukan hal yang benar. Namun jika Budi sembuh namun dia tidak masuk sekolah, Budi telah berbuat salah karena mengingkari janjinya. Lalu, bagaimana jika Budi belum sembuh? Perhatikan



6



bahwa Budi hanya berjanji masuk sekolah jika dia sembuh. Akibatnya jika dia masih belum sembuh, tidak masalah bagi Budi untuk masuk sekolah ataupun tidak karena dia tidak melanggar janjinya.   



E.      Biimplikasi Jika dua pernyataan p dan q dirangkai dengan menggunakan dengan kata hubung “… jika dan hanya jika …”, maka diperoleh pernyataan baru yang berbentuk “p jika dan hanya jika q” yang disebut biimplikasi. Biimplikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p ⇔ q”. Nilai kebenaran biimplikasi p ⇔ q memenuhi sifat berikut: p ⇔ q dinyatakan benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama. p ⇔ q dinyatakan salah jika mempunyai nilai kebenaran yang tidak sama. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut. p B



Q B



p⇔ q B



B



S



S



S



B



S



S



S



B



Dari tabel disamping dapat disimpulkan bahwa dalam konsep biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama benar, atau sama-sama salah.



a.     p          : 2 + 6 = 8 (benar)        q          :  2 < 8 (benar)        p ⇔ q  :  2 + 6 = 8 jika dan hanya jika 2 < 8 (benar) b.     p          : 2 + 6 ≠ 8 (salah)        q          :  2 > 8 (salah)        p ⇔ q  :  2 + 6 ≠ 8 jika dan hanya jika 2 > 8 (benar)



7



Contoh Kalimat Mahasiswa mendapatkan ilmu jika dan hanya jika Mahasiswa belajar Jika mahasiswa mendapatkan ilmu maka mahasiswa telah belajar dan jika mahasiswa belajar maka akan mendapatkan ilmu sebaliknya jika mahasiswa tidak mendapatkan ilmu maka mahasiswa sedang tidak belajar dan jika mahasiswa tidak belajar maka tidak akan mendapatkan ilmu 2.5 Pernyataan Majemuk Bersusun Pernyataan majemuk bersusun merupakan pernyataan yang disusun lebih dari 2 pernyataan yang berbeda, misalnya p,q,r dan ingkarannya atau p,q,r,s dan ingkarannya. Contoh soal : Jika p,q dan r adalah pernyataan tunggal yang berbeda, buatlah tabel nilai kebenaran dari (pɅq) v r.   Jawab : Tabel nilai kebenaran dari (pɅq) v r adalah sebagai berikut :



NO.



P



q



r



pɅq



(p Ʌ q) v r



1



B



B



B



B



B



2



B



B



S



B



B



3



B



S



B



S



B



4



B



S



S



S



S



5



S



B



B



S



B



6



S



B



S



S



S



7



S



S



B



S



B



8



S



S



S



S



S



8



Cara pembuatan table nilai kebenaran adalah dengan menyusun setiap kemungkinan pada pernyataan p,q dan r dimana p,q dan r sama sama memiliki 2 kemungkinan yaitu benar (B) dan salah (S) sehingga penyusunan akan terlihat sama seperti table diatas



9



BAB III PENUTUP



3.1. Kesimpulan Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani ‘logos’ yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga berarti ilmu pengetahuan (Kusumah, 1986). Logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (tidak valid). Dalam logika matematika ada dua kalimat yang penting, yaitu kalimat pernyataan dan kalimat terbuka serta terdapat juga operasi logika, yaitu negasi (ingkaran), konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi.dengan Lambang atau symbol sebagai berikut Negasi



: “ ~(variabel pertama)” memiliki arti berbanding terbalik dengan pernyataan pertama



Konjungsi



: ” ^ “ memiliki arti “dan”



Disjungsi



: “v “ memiliki arti “atau”



Implikasi



: “⇒ “ Memiliki arti “jika…maka…



Biimplikasi:



: “⇔” Memiliki arti “…jika dan hanya jika …”



Pernyataan majemuk bersusun merupakan pernyataan yang disusun lebih dari 2 pernyataan yang berbeda, misalnya p,q,r dan ingkarannya atau p,q,r,s dan ingkarannya.



3.2. Saran Kami menyadari jika makalah ini masih jauh dari sempurna. Kesalahan ejaan, metodologi penulisan dan pemilihan kata serta cakupan masalah yang masih kurang adalah diantara kekurangan dalam makalah ini. Karena itu saran dan kritik membangun sangat kami butuhkan dalam penyempurnaan makalah ini.



10



DAFTAR PUSTAKA



Fitriyani, S. (2018, Juni 23). Matematika logika. Retrieved Oktober 31, 2020, from shellyfitriyani.blog.institutpendidikan.ac.id: https://shellyfitriyani.blog.institutpendidikan.ac.id/2018/06/23/matematika-logika/ Jan Hendrik Rapar. (2020, Oktober 27). wiki/Logika#cite_note-1. Retrieved Oktober 27, 2020, from id.wikipedia.org: https://id.wikipedia.org/wiki/Logika#cite_note-1 Kresnoadi. (2018, Januari 09). logika matematika. Retrieved Oktober 31, 2020, from blog.ruangguru.com: https://blog.ruangguru.com/logika-matematika Lasmana, N. (2013, Juni 04). /nasifahlasmana/makalah-logika-matematika-22465070. Retrieved 10 31, 2020, from slideshare.net: https://www.slideshare.net/nasifahlasmana/makalah-logika-matematika-22465070 Marlena, T. (2015, Desember 07). makalah logika matematika. Retrieved Oktober 31, 2020, from http://tikamarlena.blogspot.com/: http://tikamarlena.blogspot.com/2015/12/makalah-logika-matematika.html Oktavia, B. (2019, Oktober 26). Logika Matematika: Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi. Retrieved Oktober 31, 2020, from zenius.net: https://www.zenius.net/blog/22984/memahami-logika-matematika-dengan-mudah Oktavia, B. (2019). zenius.net. Retrieved from https://www.zenius.net/blog/22984/memahami-logika-matematika-dengan-mudah. unknown. (2016, Maret 30). makalah logika matematika. Retrieved Oktober 31, 2020, from wikimatematika.blogspot.com: http://wikimatematika.blogspot.com/2016/06/makalah-logika-matematika.html Wulandari, T. (2013, Mei 15). Pernyataan dan bukan pernyataan. Retrieved Oktober 31, 2020, from smartblogmathematic.wordpress.com: https://smartblogmathematic.wordpress.com/pernyataan-dan-bukan-pernyataan/



   



11