Makalah Matematika Dasar Limit Fungsi [PDF]

Citation preview

MAKALAH MATEMATIKA DSAR LIMIT FUNGSI



DISUSUN OLEH KELOMPOK 3 : WAHYU KRISMAN SAHAT TUA SIMBOLON (5193151002) PUTRI KHAIRUL NISA BATU BARA ( 5193351004) DOSEN PENGAMPU : AMIRHUD DALIMUTHE ST,M.kom



PROGRAM STUDI S1 PENDIDIKAN TEKNOLOGI INFORMATIKA KOMPUTER FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI MEDAN TAHUN 2019



KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kepada tuhan yang maha kuasa, karena berkat karunianyalah kami dapat menyelesaikan makalah ini. Makalah ini berisi mengenai fungsi dan grafik. Ucapan terimakasih kami sampaikan kepada dosen mata kuliah pengantar komputer yang telah memberikan kesempatan kepada kami untuk menyusun makalah ini. Dan kepada semua pihak yang telah membantu dalam proses pembuatan makalah ini. Kami sadar makalah ini jauh dari kesempurnaan. Untuk itu saran dan kritik yang bersifat membangun sangat kami harapkan, untuk kesempurnaan penyusunan makalah selanjutnya.



DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ......................................................................................... i DAFTAR ISI........................................................................................................ ii BAB 1 PENDAHULUAN A. Latar Belakang .................................................................................... 1 B. Rumusan Masalah ............................................................................... 2 1.3 Tujuan ................................................................................................. 3 BAB 2 PEMBAHASAN A. Konsep limit...........................................................................................4 B. Limit sepihak :limit kiri dan kanan........................................................5 C. Sifat-sifat limit dan teorema apit............................................................6 D. Limit fungsi trigonometri.......................................................................7 E. Limit tak hingga dan limit di tak hingga................................................8 BAB 3 PENUTUP Kesimpulan..................................................................................................9 Saran...........................................................................................................10 DAFTAR PUSTAKA



BAB 1 PENDAHULUAN A .Latar Belakang Limit merupakan konsep dasar atau pengantar dari deferensial dan integral pada Cobalah kamu mengambil kembang gula. Kembang gula dalam sebuah tempat dengan genggaman sebanyak 5 kali. Setelah dihitung, pengambilan pertama terdapat 5 bungkus, pengambilan kedua terdapat 6 bungkus, pengambilan ketiga 5 bungkus, pengambilan keempat 7 bungkus, dan pengambilan kelima 6 bungkus.Jadi,dirata-rata pada pengambilan pertama sampai pengambilan kelima adalah 5. dan dikatakan hampir mendekati 6.Alam contoh sehari-hari,banyak sekali kita temukan kata-kata hampir, mendekati, harga batas dsb. Pengertian tersebut sering dianalogikan dengan pengertian Limit. B. Rumusan masalah 1. 2. 3. 4. 5.



Konsep limit Limit sepihak limit kiri dan limit kanan Sifat-sifat limit dalam teorema apit Limit fungsi trigonometri Limit tak hingga dan limit di tak hingga



C. Tujuan A memenuhi mata kuliah matematika dasar B. mengembangkan pengetahuan dan kemampuan tentang limit fungsi. C. menemukan solusi dari suatu permasalahan yang terkait dengan fungsi alam matematika.



BAB 2 PEMBAHASAN A. KONSEP LIMIT Limit dalam bahasa umum berarti batas. Ketika belajar matematika ada guru yang menyatakan bahwa limit adalah pendekatan. Konsep limit memang berhubungan dengan batas. Definisi dari limit menyatakan bahwa suatu fungsi f(x) akan mendekati nilai tertentu jika x mendekati nilai tertentu. Pendekatan ini terbatas antara dua bilangan positif yang sangat kecil yang disebut sebagai epsilon dan delta. Hubungan kedua bilangan positif kecil tadi terangkum dalam definisi limit. Pengertian tentang limit merupakan gagasan yang sagat penting dalam Kalkulus. Kita bahkan dapat mendefinisikan Kalkulus sebagai pengkajian tentang limit. Dalam kehidupan sehari-hari, perkataan limit juga dipergunakan, seperti misalnya seseorang berkata, “Saya mendekati batas kesabaran saya”. Pemakaian yang demikian mempunyai hubungan dengan Kalkulus, tetapi tidak banyak.



PEMAHAMAN SECARA INTUISI Pandanglah sebuah fungsi sebagai berikut : 𝑓(𝑥) =



𝑥2 + 𝑥 − 6 𝑥−2



Perhatikan bahwa fungsi tersebut tidak terdefinisikan pada x = 2 karena di titik ini f(x) berbentuk



0 0



, yang tanpa arti. Tetapi kita masih dapat menanyakan apa yang terjadi pada f(x)



bilamana x mendekati 2. Secara lebih tepat, apakah f(x) mendekati beberapa bilangan tertentu bilamana x mendekati 2? Untuk menjawab pertanyaan ini kita dapat menggunakan sebuah tabel, seperti dibawah ini. x



1,75



1,85



1,95



1,97



1,99



1,999



f(x)



3,75



4,85



4,95



4,97



4,99



4,999



… 2 𝟎 … 𝟎



…



2,001



2,01



2,1



2,2



2,9



3,1



…



5,001



5,01



5,1



5,2



5,9



6,1



Dari tabel di atas sepertinya kita bisa mengambil suatu kesimpulan yang sama, bahwa : f(x) mendekati 5 bilamana x mendekati 2. Dalam lambang matematis, kita bisa tuliskan : 𝑥2 + 𝑥 − 6 =5 𝑥→2 𝑥−2 lim



Ini dibaca “limit dari



𝑥 2 +𝑥−6 𝑥−2



untuk x mendekati 2 adalah 5”.



Dengan menjadi seorang ahli aljabar yang baik, kita dapat menguraikan fungsi di atas, menjadi lim



𝑥→2



𝑥 2 +𝑥−6 𝑥−2



=



(𝑥+3)(𝑥−2) (𝑥−2)



(𝑥−2)



= (𝑥 + 3) = (2 + 3) = 5, perhatikan bahwa (𝑥−2) = 1, selama x ≠ 2.



Dari semua uraian di atas kita dapat memberikan definisi tentang limit. Definisi (Pengertian limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑐



berarti bahwa bilamana x dekat tetapi berlainan dari c, maka f(x) dekat ke L.



Perhatikan bahwa kita tidak mensyaratkan sesuatu agar tepat benar di c. Fungsi f bahkan tidak perlu 𝑓(𝑥) =



terdefinisi



di



c,



juga



tidak



dalam



contoh



seperti



𝑥 2 +𝑥−6 𝑥−2



, yang baru saja kita tinjau. Pemikiran tentang limit dihubungkan dengan



perilaku suatu fungsi dekat c, bukannya di c.



B. LIMIT SEPIHAK: LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN Bilamana suatu fungsi mempunyai nilai yang berbeda bila didekati dari kiri dan didekati dari kanan, maka penggunaan limit-limit sepihak diperlukan dalam hal ini. Andaikan lambang x → c+ berarti bahwa x mendekati c dari kanan, dan andaikan lambang x → c-berarti bahwa x mendekati c dari kiri, maka Definisi (Limit-kiri dan Limit-kanan). Untuk mengatakan bahwa lim+ 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑐



berarti bahwa



bilamana x dekat tetapi pada sebelah kanan c, maka f(x) adalah dekat ke L. Serupa, untuk mengatakan lim− 𝑓(𝑥) = 𝐿 berarti bahwa bilamana x dekat tetapi pada sebelah kiri 𝑥→𝑐



c, maka f(x) adalah dekat ke L.



Teorema lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 jika dan hanya jika lim− 𝑓 (𝑥) = 𝐿 dan lim+ 𝑓 (𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑐



1. RUMUS-RUMUS LIMIT FUNGSI



𝑥→𝑐



𝑥→𝑐



Contoh : Carilah lim 2𝑥 4



𝑥→3



Penyelesaian 4



lim 2𝑥 4 = 2 lim 𝑥 4 = 2 [lim 𝑥] = 2[3]4 = 162



𝑥→3



𝑥→3



3



𝑥→3



7



2



C. SIFAT –SIFAT LIMIT DAN TEOREMA APIT SIFAT-SIFAT LIMIT DAN CONTOHNYA; Dengan teorema limit pusat, maka didapatlah 8 sifat limit fungsi, Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta, berlaku, sebagai berikut : 1.



lim x →a c = c



2.



lim x →a xn = an



3.



lim x →a c f(x) = c lim x →a f(x)



4.



lim x →a ( f(x) + g(x)) = lim x →a f(x) + lim x →a g(x)



5.



lim x →a ( f(x) x g(x)) = lim x →a f(x) x lim x →a g(x)



6.



lim x →a f(x)/g(x) = (lim x →a f(x))/(lim x →a g(x))



7.



lim x →a f(x)n = (lim x →a f(x))n



8.



lim x →a n√ f(x) = n√lim x →a f(x)



1. Contoh sifat lim x →a c = c Tentukan nilai lim x →2 7 !!!!



Jawab : Dik : a=2 c=7 Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a c = c, maka : lim x →2 7 = 7 Jadi nilai dari lim x →2 7 adalah 7



TEOREMA APIT :



Teorema Apit Andaikan f, g, h adalah fungsi-fungsi yang memenuhi f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x dekat c, kecuali mungkin di c. Jika lim 𝑓 (𝑥) = lim ℎ(𝑥) = 𝐿, 𝑚𝑎𝑘𝑎 lim 𝑔(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑐



𝑥→𝑐



𝑥→𝑐



Y h L



g



f



0



X



c



CONTOH : Telah diketahui bahwa



1−𝑥 2 6



≤



sin 𝑥 𝑥



≤ 1 untuk semua x yang mendekati tetapi tidak 0. Apa



yang dapat kita simpulkan dari hal ini? Penyelesaian : Andaikan 𝑓(𝑥) =



1−𝑥 2 6



, 𝑔(𝑥) =



sin 𝑥 𝑥



, dan h(x) = 1, maka lim 𝑓(𝑥) = 1 , sehingga 𝑥→0



menurut teorema apit. sin 𝑥 =1 𝑥→0 𝑥 lim



D. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI Limit trigonometri ialah nilai terdekat pada suatu sudut fungsi trigonometri. Perhitungan limit fungsi ini bisa langsung disubtitusikan seperti misalnya limit fungsi aljabar namun ada fungsi trigonometri yang harus diubah dahulu ke identitas trigonometri untuk limit tak tentu yaitu limit yang apabila langsung subtitusikan nilainya bernilai 0, bisa juga untuk limit tak tentu tidak harus memakai identitas tetapi menggunakan teorema limit trigonometri atau ada juga yang memakai identitas dan teorema. Maka apabila suatu fungsi limit trigonometri di subtitusikan nilai yang mendekatinya menghasilkan dan maka harus menyelesaikan dengan cara lain. Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi trigonometri terdapat beberapa cara yang bisa dipakai :     



Metode Numerik Menggunakan Turunan Subtitusi Kali Sekawan Pemfaktoran



Macam – Macam Trigonometri Berdasarkan pembahasan yang telah dibahas di rumus trigonometri pada artikel sebelumnya, berikut ialah nama-nama trigonometri yang kita kenal :      



Cosinus (cos) Sinus (sin) Cosecan (Csc) Tangen (tan) Cotongen (cot) Secan (sec)



Rumus Limit Trigonometri Cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri untuk x mendekati suatu bilangan c bisa secara mudah didapat dengan melakukan substitusi nilai c pada fungsi trigonometrinya. Persamaan rumus limit fungsi trigonometri seperti pada gambar di bawah ini : Rumus Limit Fungsi Trigonometri untuk x –> c :



rumus limit fungsi trigonometri x–>c



Limit Fungsi Trigonometri untuk x Mendekati 0 (Nol) Dalam pembahasan ini, ada berbagai rumus yang bida disebut sebagai “properti” untuk menyelesaikan soal – soal limit trigonometri. Kumpulan properti tersebut bisa dilihat pada daftar rumus limit trigonometri yang diberikan di bawah ini Rumus Limit Fungsi Trigonometri untuk x –> 0 :



rumus limit fungsi trigonometri x –> 0 Teorema Limit Trigonometri Ada beberapa teorema yang bisa dipakai untuk menyelesaikan persoalan limit trigonometri yaitu : 1. Teorema A



Teorema di atas hanya berlaku saat (x -> 0) . 2. Teorema B Ada beberapa teorema yang berlaku. Pada setiap bilangan real c di dalam daerah asal fungsi yaitu :



Biasanya pada soal limit fungsi pada trigonometri nilai terdekat dari limit fungsinya ialah berupa sudut sudut istimewa yaitu sudut yang mempunyai nilai sederhana. Untuk itu perlu mengetahui nilai-nilai sudut istimewa yang telah disajikan tabel istimewa di bawah ini :



Contoh Soal Contoh Soal 1 Tentukanlah nilai dari



Pembahasan: Soal yang diberikan pada soal yang dikerjakan dengan kombinasi pemfaktoran dan memanipulasi dengan identitas trigonometri. Identitas trigonometri yang dipakai yaitu cosinus sudut rangkap, seperti terlihat pada persamaan di bawah.



Kemudian perhatikan proses pengerjaannya di bawah ini.



sumber : idschool.net Maka jawaban soal di atas ialah E



E. LIMIT TAK HINGGA DAN LIMIT DI TAK HINGGA Limit di tak hingga merupakan kajian yang tepat untuk mengetahui kecendrungan suatu fungsi jika nilai variabelnya dibuat semakin besar. Kita katakan, x menuju tak hingga, ditulis x → ∞, artinya nilai x semakin besar atau bertambah besar tanpa batas. Diberikan sebuah fungsi f(x) = 1/x2. Apa yang terjadi dengan fungsi f(x), jika nilai x semakin besar ? Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita amati nilai fungsi f(x) untuk nilai-nilai x berikut. x=1 → f(x) = 1 x = 10 → f(x) = 0,01 x = 100 → f(x) = 0,0001 x = 1000 → f(x) = 0,000001 ... Dari data diatas dapat kita lihat bahwa nilai f(x) semakin mendekati 0, ketika x semakin besar. Sekarang coba perhatikan grafik fungsinya.



Jelas terlihat bahwa kurva y = 1/x2 semakin mendekati garis y = 0, ketika x semakin besar. Faktanya, seberapa besarpun x yang kita ambil, nilai 1/x2 akan semakin dekat ke 0. Secara intuitif kita simpulkan, jika x semakin besar tanpa batas, nilai 1/x2 semakin dekat ke 0. Dalam notasi limit, pernyataan ini ditulislimx→∞1x2=0limx→∞1x2=0 Sekarang coba kita amati nilai fungsi f(x) = 1/x2 untuk nilai-nilai x berikut. x = -1 → f(x) = 1 x = -10 → f(x) = 0,01 x = -100 → f(x) = 0,0001 x = -1000 → f(x) = 0,000001 Dari data diatas dapat kita lihat bahwa f(x) = 1/x2 juga semakin dekat ke 0, ketika x semakin kecil (negatif besar). Kita tulislimx→−∞1x2=0limx→−∞1x2=0 Nilai fungsi f(x) tidak selalu mendekati bilangan tertentu, ketika x semakin besar. Bisa saja nilai f(x) justru semakin besar dan terus bertambah besar tanpa batas. Untuk kasus seperti ini, kita tulislimx→∞f(x)=∞limx→∞f(x)=∞artinya jika nilai x semakin besar tanpa batas, maka nilai f(x) juga semakin besar tanpa batas. Limit seperti ini disebut limit tak hingga di tak hingga.



Contoh 1 Tentukan limx→∞x2limx→∞x2 Jawab : Misalkan f(x) = x2 x=1 → f(x) = 1 x = 10 → f(x) = 100 x = 100 → f(x) = 10000 ... Seperti yang kita lihat, ketika x semakin besar, nilai x2 juga semakin besar, namun tidak mendekati suatu bilangan unik tertentu, melainkan terus bertambah besar tanpa batas. Kita simpulkan limx→∞x2=∞limx→∞x2=∞



Perlu diketahui, teorema limit dasar masih bisa kita terapkan pada limit di tak hingga. Namun, untuk kasus-kasus yang melibatkan bentuk tak tentu, seperti (∞ - ∞), (∞/∞) atau (0.∞), perlu dilakukan manipulasi aljabar terlebih dahulu.



Sifat A Jika n > 0 dan n bilangan rasional, maka 1. limx→∞1xn=0limx→∞1xn=0 2. limx→−∞1xn=0,limx→−∞1xn=0, xn terdefinisi untuk x < 0



BAB 3 PENUTUP KESIMPULAN Dalam bahasa matematika,limit menjelaskan nilai suatu fungsi jika di dekati dari titik tertentu.mengapa harus didekati dari titik tertentu dan bukan tepat di titik tertentu ? hal ini di sebabkan tidak semua fungsi terdefinisi pada semua titik. Faktor terpenting adalah memahami konsep dan definisi dari limit fungsi itu sendiri dan juga sifat-sifatnya.



SARAN Demikianlah makalah matematika dasar ini,makalah ini tentunya masih banyak kekurangan yang harus dilengkapi untuk mencapai kesempurnaan. Kami hanyalah manusia biasa yang penuh dengan kekurangan,untuk itu penulis mohon dengan segala kerendahan hati,untuk memberikan saran dan kritiknya yang bersifat membangun dengan harapan agar makalah ini bisa lebih sempurna.



DAFTAR PUSTAKA :  



https://www.academia.edu/31929740/Konsep_Limit_Fungsi



 



https://rumusrumus.com/limit-fungsi-trigonometri/



https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2016/10/sifat-sifat-limit-fungsi-dancontohnya.html https://smatika.blogspot.com/2018/02/limit-di-tak-hingga.html