Makalah Metode Newton Raphson [PDF]

Citation preview

MAKALAH METODE NEWTON RAPHSON Makalah ini Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Metode Numerik Dosen Pengampu: Yusni Nyura S. Kom., M. Kom.



Disusun oleh: Nazir Rabbani Dimas Ambarsono



(20615036) (20615040)



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN TEKNOLOGI INFORMASI POLITEKNIK SAMARINDA 2021



i



KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karuniaNya sehingga penyusun dapat menyelesaikan Makalah Metode Newton Raphson dengan harapan dapat bermanfaat dalam menambah ilmu dan wawasan kita. Makalah ini dibuat dalam rangka memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik. Dalam membuat Makalah ini, dengan keterbatasan ilmu pengetahuan yang kami miliki, kami berusaha mencari sumber data dari berbagai sumber informasi, terutama dari media internet dan media cetak. Kami juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang telah ikut serta membantu dalam pembuatan Makalah ini dan beberapa sumber yang kami pakai sebagai data dan acuan. Dalam penulisan Makalah ini kami merasa masih banyak kekurangan - kekurangan baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan keterbatasan kemampuan yang kami miliki. Tidak semua bahasan dapat dideskripsikan dengan sempurna dalam Makalah ini. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat kami harapkan demi penyempurnaan pembuatan Makalah ini. Akhirnya kami selaku penyusun berharap semoga Makalah ini dapat memberikan manfaat bagi seluruh pembaca. Samarinda, 08 November 2021



ii



DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ............................................................................................... i KATA PENGANTAR............................................................................................ii DAFTAR ISI.........................................................................................................iii BAB I PENDAHULUAN......................................................................................1 A. Latar Belakang...............................................................................................1 B. Rumusan Masalah...........................................................................................1 C. Tujuan.............................................................................................................1 BAB II KAJIAN PUSTAKA.................................................................................2 A. Metode Numerik.............................................................................................2 B. Metode Terbuka..............................................................................................3 BAB III PEMBAHASAN......................................................................................4 A. Metode Newton Raphson...............................................................................4 B. Algoritma Metode Newton Raphson..............................................................4 C. Kelebihan dan Kekurangan Metode Newton Raphson...................................5 D. Contoh Soal....................................................................................................5 BAB IV KESIMPULAN........................................................................................7



iii



BAB I PENDAHULUAN



A. Latar Belakang Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan. Metode numerik digunakan karena model matematika yang sering muncul adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Seperti halnya untuk menentukan solusi dari persamaan (akar persamaan) yang berbentuk f(x) = 0. Sebuah bilangan dianggap akar dari sebuah persamaan jika seandainya bilangan tersebut dimasukkan ke dalam persamaan, maka nilai persamaan itu akan sama dengan nol atau bisa dikatakan akar sebuah persamaan f(x) =0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Ada 2 pendekatan yang dapat digunakan pada penyelesaian persamaan non linier yaitu dengan metode tertutup dan metode terbuka. Metode tertutup (Bracketing Method) adalah metode yang hanya membutuhkan 2 tebakan awal untuk mengira-ngira akar dari sebuah persamaan. Sebuah fungsi sesuai jenisnya akan berubah disekitar harga suatu akar. Akar sebenarnya dari persamaan tersebut nantinya akan berada di antara 2 angka yang telah ditebak tersebut. Sementara itu metode terbuka adalah metode yang tidak memerlukan batas bawah dan batas atas pada perkiraan nilai awal. Karena hal itu, bila tebakan awal tepat, maka hasilnya akan mendekati akar yang sesungguhnya dengan kecepatan lebih cepat dari metode biseksi. Metode yang akan dibahas pada makalah ini adalah metode terbuka yaitu metode Newton Raphson.



B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang, permasalahan yang akan dibahas dirumuskan sebagai berikut: 1. Apa pengertian metode Newton Raphson? 2. Bagaimana algoritma dan penyelesaian metode Newton Raphson?



C. Tujuan Tujuan penyusunan makalah ini adalah sebagai berikut: 1. Memahami pengertian metode Newton Raphson 2. Mengetahui dan memahami algoritma dan penyelesaian metode Newton Raphson. 1



BAB II KAJIAN PUSTAKA



A. Metode Numerik Metode



numerik



permasalahanpermasalahan



adalah yang



teknik



diformulasikan



untuk secara



menyelesaikan matematis



dengan



menggunakan operasi hitungan (arithmatic) yaitu operasi tambah, kurang, kali, dan bagi. Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya, masing masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika. Solusi dari metode numerik selalu berbentuk angka dan menghasilkan



solusi



hampiran.



Hampiran,



pendekatan,



atau



aproksimasi



(approximation) didefinisikan sebagai nilai yang mendekati solusi sebenarnya atau sejati (exact solution). Sedangkan galat atau kesalahan (error) didefinisikan sebagai selisih nilai sejati dengan nilai hampiran. Metode numerik dapat menyelesaikan permasalahan matematis yang sering nonlinier yang sulit diselesaikan dengan metode analitik. Metode analitik disebut juga metode sejati karena memberi solusi sejati (exact solution) atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang memiliki galat (error) sama dengan nol. Jika terdapat penyelesaian secara analitik, mungkin proses penyelesaiannya sangat rumit, sehingga tidak effisien. Contohnya: menentukan akar-akar polynomial. Jadi, jika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin digunakan dengan metode analitik maka kita dapat menggunakan metode numerik sebagai alternatif penyelesaian persoalan tersebut. Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis, dengan tambahan grafis dan teknik perhitungan yang mudah. Algoritma pada metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan. Dengan metode pendekatan, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan) Penggunaan metode numerik biasanya digunakan untuk menyelesaikan persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan menggunakan metode analitik, yaitu: 1. Menyelesaikan persamaan non linear 2



2. Menyelesaikan persamaan simultan 3. Menyelesaikan differensial dan integral 4. Menyelesaikan persamaan differensial 5. Interpolasi dan Regresi 6. Masalah multivariabel untuk menentukan nilai optimal yang tak bersyarat Keuntungan penggunaan Metode Numerik: 1. Solusi persoalan selalu dapat diperoleh 2. Dengan bantuan komputer, perhitungan menjadi cepat dan hasilnya dapat dibuat sedekat mungkin dengan nilai sesungguhnya Kekurangan penggunaan Metode Numerik: 1. Nilai yang diperoleh adalah hampiran(pendekatan) 2. Tanpa bantuan alat hitung (komputer), perhitungan umumnya lama dan berulang-ulang.



B. Metode Terbuka Metode terbuka adalah metode yang menggunakan satu, atau dua tebakan awal yang tidak perlu mengurung akar, metode ini tidak memerlukan batas atas dan batas bawah pada perkiraan nilai awal. Metode terbuka terdiri dari beberapa jenis, yaitu metode Iterasi Titik Tetap, metode NewtonRaphson, dan metode Secant.



3



BAB III PEMBAHASAN



A. Metode Newton Raphson Metode Newton Rapshon merupakan metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan gradien pada titik tersebut.



Xn+1 = xn -



F  xn 



F 1  xn 



Perpotongan garis singgung dengan sumbu x yaitu Xi+1, akan menjadi nilai x yang baru, dengan cara dilakukan berulang-ulang (iterasi).



B.



Algoritma Metode Newton Raphson 1. Definisikan fungsi f(x) dan f1(x) 2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) 3. Tentukan nilai pendekatan awal x0 4. Hitung f(x0) dan f’(x0) 4



5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)|< e  Hitung f(xi) dan f1(xi)



xi 1  xi 



f  xi  f 1  xi 



6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh



C. Kelebihan dan Kekurangan Metode Newton Raphson 1. Kelebihan Jika pemilihan titik awal tepat, maka proses iterasinya cepat. 2. Kekurangan a. Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa akar (titik) penyelesaian, akarakar penyelesaian tersebut tidak dapat dicari secara langsung atau secara bersamaan. b. Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner). c. Tidak dapat mencari akar persamaan jika titik terkaan awalnya tidak tepat, meskipun ada akar penyelesaiannya. d. Untuk persamaan non linear yang cukup kompleks, pencarian turunan pertama dan kedua dari f(x) akan menjadi cukup sulit.



D. Contoh Soal 1) Selesaikan persamaan x - e-x = 0 dengan titik pendekatan awal x0 =0 f(x) = x - e-x  f’(x)=1+e-x f(x0) = 0 - e-0 = -1 f’(x0) = 1 + e-0 = 2



x1  x0 



f  x0  1  0   0,5 f 1  x0  2



f(x1) = -0,106631 dan f1(x1) = 1,60653  x2 = x1 



f(x2) x3 =



x2 



f  x1 



f  x1  1



 0,5 



f  x2 



f  x2  1



 0,106531  0,566311 1,60653



= -0,00130451 dan f1(x2) = 1,56762



 0,566311 



 0,00130451  0,567143 1,56762



5



f(x3) = -1,96.10-7. Suatu bilangan yang sangat kecil. Sehingga akar persamaan x = 0,567143. 2) x - e-x = 0  x0 =0, e = 0.00001



3) Hitunglah Salah Satu Akar dari persamaan untuk fungsi yang diberikan berikut ini F(x) : X3 + X2 – 3X – 3 = 0 Tabel Hasil Perhitungan Metode Newton Raphson



6



BAB IV KESIMPULAN Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan. Karena tidak semua perhitungan bisa diselesaikan dengan metode analitik, sehingga dibutuhkan metode lain untuk menyelesaikan perhitungan tersebut. Salah satunya adalah menghitung nilai akar dari fungsi non linear. Terdapat dua metode untuk menghitung nilai akar dari fungsi non linear, yaitu metode tertutup dan metode terbuka. Metode Newton-Raphson adalah salah satu contoh pendekatan numerik dengan metode terbuka. Disebut metode terbuka karena akarnya tidak dibatasi oleh batas bawah ataupun batas atas seperti pada metode biseksi. Langkah awal menentukan metode ini adalah dengan mendefinisikan persamaan fungsi dan turunan fungsi tersebut terlebih dahulu. Setelah itu, tentukan nilai awal x yang diperkirakan merupakan akar persamaan, lalu lanjutkan iterasinya hingga ditemukan akar dari fungsi non linear tersebut. Kelebihan metode ini adalah bila perkiraan akar ataupun nilai awal sudah tepat, maka waktu yang dibutuhkan untuk mendapatkan akar persamaan pun lebih cepat daripada waktu yang dibutuhkan oleh metode biseksi.



7