Metode Newton Raphson [PDF]

Citation preview

3.4.2 Metode Newton-Raphson Ada dua pendekatan dalam menurunkan rumus metode Newton-Raphson, yaitu : (a) penurunan rumus Newton-Raphson secara geometri. (b) penurunan rumus Newton-Raphson dengan bantuan deret Taylor. (a) Penurunan rumus Newton-Raphson secara geometri



Gambar 3.13 Tafsiran geometri metode Newton-Raphson Dari gambar 3.13, gradien garis singgung di 𝑥𝑟 adalah ∆𝑦 𝑚 = 𝑓̀(𝑥𝑟 ) = ∆ 𝑥



𝑓(𝑥𝑟 )−0 𝑥𝑟 −𝑥𝑟+1



(P.3.8)



atau 𝑓(𝑥 ) 𝑓̀ (𝑥𝑟 ) = 𝑥 −𝑥𝑟 𝑟



(P.3.9)



𝑟+1



Sehingga prosedur lelaran metode Newton-Raphson adalah 𝑓(𝑥 )



𝑥𝑟+1 = 𝑥𝑟 − 𝑓̀(𝑥𝑟 ) 𝑟



, 𝑓̀ (𝑥𝑟 ) ≠ 0



(b) penurunan rumus Newton-Raphson dengan bantuan deret Taylor Uraikan 𝑓(𝑥𝑟+1 ) disekitar 𝑥𝑟 ke dalam deret Taylor :



(P.3.10)



𝑓(𝑥𝑟+1 ) ≈ 𝑓(𝑥𝑟 ) + (𝑥𝑟+1 − 𝑥𝑟 )𝑓̀ (𝑥𝑟 ) +



(𝑥𝑟+1 −𝑥𝑟 )2 2



𝑓 ′′ (𝑡), 𝑥𝑟 < 𝑡 < 𝑥𝑟+1



(P.3.11)



Yang bila dipotong sampai suku orde-2 saja menjadi 𝑓(𝑥𝑟+1 ) ≈ 𝑓(𝑥𝑟 ) + (𝑥𝑟+1 − 𝑥𝑟 )𝑓̀ (𝑥𝑟 )



(P.3.12)



Dan karena persoalan mencari akar, maka 𝑓(𝑥𝑟+1 ) = 0, sehingga 0 = 𝑓(𝑥𝑟 ) + (𝑥𝑟+1 − 𝑥𝑟 )𝑓̀ (𝑥𝑟 )



(P.3.13)



Atau 𝑓(𝑥 )



𝑥𝑟+1 = 𝑥𝑟 − 𝑓̀(𝑥𝑟 ) 𝑟



, 𝑓̀ (𝑥𝑟 ) ≠ 0



Yang merupakan rumus metode Newton-Raphson. Kondisi berhenti lelaran Newton-Raphson adalah bila |𝑥𝑟+1 − 𝑥𝑟 | < 𝜀𝑠 𝑥𝑟+1 −𝑥𝑟



Atau bila menggunakan galat relatif hampiran|



𝑥𝑟+1



|